O PROCESSO DE PRODUÇÃO LENHOSA 2.1 A LEI EMPÍRICA DO CRESCIMENTO LENHOSO
3.3. RELAÇÕES ENTRE OS TERMOS DE EXPLORABILIDADE DE PERÍO DOS DE PRODUÇÃO SUCESSIVOS
3.3.1. Cadeias de investimentos
Do conceito de explorabilidade resulta como se admitiu, o seu parentesco íntimo com a noção de duração óptima dum investimento de tipo uniparamétrico, com t, período de produção, como parâmetro.
Consideremos o caso mais geral duma cadeia de investimentos paramétricos.
Define-se cadeia de investimentos como uma sucessão de inves timentos de ordem q, finita ou infinita, em que cada termo (eZo da cadeia), constituindo um investimento parcial ou básico, se encontra relacionado, no tempo, com o anterior de uma forma a definir. Cada investimento parcial, corresponde a um processo de produção inde pendente e pode ou não ter uma estrutura temporal das receitas e des pesas idênticas à dos restantes. É, particularmente, o caso de estru tura idêntica que nos interessa considerar.
a) Admita-se, em primeiro lugar, o caso duma cadeia com dois
elos — A e B — cujos respectivos valores de capital, à taxa de juro i, são Ka e Kb e cujos intervalos de despesas e receitas são respectiva- mente, [o, ta] e [x, x + tb]. Admitamos ainda que se trata de inves timentos uniparamétricos, cujos valores de capital são Ka(ta) e Kb(tb). 1) O valor actual do investimento-cadeia, em relação ao momento da referência o será dado por
Ka,*(t) = Ka(ta) + Kb{tb)<r» (3.11) 2) Um caso particular será aquele em que um elo se «distancia» (positiva ou negativamente) do anterior, duma quantidade constante s: dum modo geral, x = ta + s. Se, entretanto, for s — O, temos um caso de largo interesse prático que corresponde a estarem os elos justa postos; ao terminar um investimento parcial, segue-se imediatamente um outro. No caso de dois elos, temos, nestas condições, o valor actual dado por
Kaib{t) = K
(f„,tb) = KAta)
d-Kb(tb)
er9** (3.12)3) Outro caso particular, será o de Ka =Kb = K. Então, o valor actual do investimento-cadeia (Kr):
Kc(t) = K(ta, th) = K(ta) + K{tb)e-Ô,“ (3.13) b) O valor actual duma cadeia infinita, supondo os valores de
capital de cada investimento parcial, em relação ao respectivo mo mento inicial, iguais, K(t), por extensão das deduções anteriores,
admitindo, a priori que tx = t2 = ... = t, será, portanto,
(t) = K(ti, t2,...) = K(t) [1 + e~ôt + e~2ôt + ...]
= K(t)--- (3.14)
1 - e
3.3.2. Durações de investimento óptimas de cadeias finitas e infinitas 3.3.2.I. Consideremos em primeiro lugar, o caso especial dum
investimento-cadeia de 2 elos.
As condições que, sob o ponto de vista da maximização do valor de capital da cadeia (3.13), determinam a existência de períodos ópticos para t(ta e tb) de cada um dos investimentos parciais (A e B),
serão dadas por:
K (ta) =o e K' (tb) = o
Ora, de (3.13), derivando em ordem a ta deduz-se que K[ (ta) = o é o mesmo que
Kc {ta) = K'a (ta) + Kh(tb)e ^a(- 8) = o (3.15)
e, derivando em ordem a tb, deduz-se que Kc (tb) = o, é equivalente a:
K'r (tb) =
K'b
(tb)=
o (3.16)logo, são condições necessárias de maximização:
K'a (ta) = - Kb(tb)erita( - 8) > o (3.17)
Na Fig. 3-2, a seguir representa-se o fragmento da curva K{t) mais provável em torno do seu máximo — Schneider [1956:63].
Para que (3.13), isto é Kc(t)=K(ta)+K(tb)e-6\ atinja, de acordo com (3.17) e (3.18), um máximo, tbopt, deve ser a abcissa do ponto máximo da curva K(t), M, portanto, correspondente ao valor actual máximo do investimento genérico, considerado isolado, caso em que seria ta = tb. Fixado assim o valor de tb que maximiza (3.13), resta conhecer o valor de taopt. Ora, a função K{tbopt)eròta, será interpretada pela segunda curva representada na fig. 3-2., decrescente no ponto de abcissa M. Da conjugação das duas curvas, para que K, (t) seja má ximo, porque a primeira tem um máximo no ponto de abcissa M e a segunda é nesse ponto, decrescente, conclui-se que ta"pl deve estar situado num ponto de abcissa inferior à desse ponto, sentido para onde cresce a função soma correspondente às duas curvas. Portanto,
taopt < tbopt (ou taopt = tb,,pt, se K(t) = o).
Repare-se que, de facto, pertencendo o investimento A a uma cadeia, ele durará um certo tempo, sobre o qual exerce influência o valor de capital do investimento que se realiza a seguir; se o investi mento A estiver isolado, ele prolongar-se-á no tempo, enquanto os seus acréscimos em valor não atingirem zero; este prolongamento, se ele pertence a uma cadeia determina o atraso do recebimento do valor de capital do próximo investimento B; tal atraso, traduz-se por decrés cimo de valor actual global do investimento (A + B): o ponto de equilíbrio resulta pois, no momento em que o ganho marginal de prolongar o investimento A, iguala a perda marginal de atrasar o investimento B.
3.3.2.2. Passemos agora ao caso duma cadeia de investimentos de mais de dois elos, finita, e de uma cadeia infinita.
0 M
Em extensão das deduções anteriores, obtêm-se (9) as seguintes conclusões gerais:
a) no caso de maximização do valor de capital:
1) Numa cadeia de investimentos com q elos, cujo valor actual é K = Kx = K2 =__= Kq, idêntico para todos, por generalização da
conclusão obtida em 3.3.2.1 e incluindo o caso extremo possível de
K = o, a sucessão das durações óptimas txopt, (x = 1,2 ... q), obedece a tS# < t2opt < ... < tqopt (3.19) 2) Numa cadeia infinita de investimentos, onde o valor actual de cada elo é K = Ky = K2 = ..., as durações óptimas, tgopt (x = 1,2 ...) são todas iguais entre si e iguais a topt, limite para que tende a série
+ opí f opt i opt
*■1 ) *'2 ) • • • quando q-> <x>
De facto, se esta é uma sucessão de períodos óptimos, também o será
t2opt, Uopt, t4opt,...
donde
y. opt — + opt 4- opt — + optt-l — 1*2 } ‘•2 — ''S ) • • •
e, portanto,
t^opt — t'0Pt — fopt — — j-opt (3.20) b) no caso da maximização da taxa interna, pela própria defi
nição de taxa interna, e em consequência de (3.19) e (3.20), vem:
1) Numa cadeia infinita de investimentos nas condições de a) 1),
(°) Em complemento das observações de Schneider [1956:60] a este res peito são esclarecedoras as demonstrações de Murteira [1958:73] e Rodrigues
as durações óptimas, txopt, são iguais entre si e iguais à duração óptima dum elo isolado.
t.ovt = toPt = ... = tqopt (3.21)
2) Numa cadeia infinita nas condições de d) 2), as durações óptimas são também iguais entre si e iguais à duração óptima dum elo isolado.
tiopt _ fropt = '" = tq°Pt = ... = t°p* (3.22)
3.3.2.3. As conclusões apresentadas no número anterior reves tem-se de especial importância na concepção do investimento flores tal. Estabelecendo com elas as relações existentes entre as durações de investimento óptimas dos vários tipos de investimento, isolado, cadeia finita e cadeia infinita, para as duas hipóteses de critérios de maximização, do valor de capital e da taxa interna e considerando o paralelismo entre estudo da duração óptima do investimento e da definição da explorabilidade, podem-se, agora, enunciar alguns prin cípios gerais que estão na base de toda a teoria da explorabilidade financeira.
Tendo em consideração que o investimento iniciado com a insta lação duma árvore ou dum povoamento, desde que o empresário visa fins lucrativos, pode ser considerado como um investimento normal, o problema da decisão do momento de corte é o do estudo dum inves timento uniparamétrico —3.2.2.— isolado ou em cadeia, finita ou infinita, conforme o horizonte admitido pelo empresário, sob o ângulo da maximização dum indicador de economicidade.
1) Se considerarmos a hipótese duma cadeia infinita, isto é, o empreendimento florestal repetido à perpetuidade em moldes equiva lentes, conclui-se de (3.20) e (3.22) que os termos de explorabilidade, isto é as idades de explorabilidade óptimas são iguais para todas as
revoluções, qualquer que seja o critério de maximização adoptado, valor actual ou taxa interna (I).
2) No caso duma cadeia finita como modelo do empreendimento florestal, de acordo com (3.22) e (3.24) os termos de explorabilidade
serão iguais para todas as revoluções e iguais ao duma revolução isolada, na hipótese de maximização da taxa interna; poderão ser desiguais e sucessivamente maiores, em relação à primeira revolução, na hipótese de maximização do valor de capital (II).