Representac~ao de Interfaces

Do mesmo modo que na sec~ao 1.2, consideramos o modelo de Domany-Kinzel unidimen- sional em um anel de L stios. No esquema simetrico, as probabilidades condicionais de

transic~ao s~ao dadas por,

P( i( t+ 1)j i 1( t); i+1( t)) ; e P(0j i 1 ; i) = 1 P(1j i 1 ; i) :

Ja para o esquema n~ao-simetrico,

P( i( t+ 1)j i 1( t); i( t)) ; e P(0j i 1 ; i) = 1 P(1j i 1 ; i) :

Os dois esquemas est~ao representados na Figura 3.1. Os valores das probabilidades condicionais s~ao os mesmos nos dois esquemas, e assumem a forma totalstica (vide as relac~oes (1.7)). A representac~ao de interfaces para estudar o DKCA foi proposta por

Figura 3.1: Esquemas utilizados para atualizar os aut^omatos.

Sales etal. [149], e gera um processo de crescimento SOS de superfcies rugosas em 1 + 1

dimens~oes. O processo consiste em acumular os estados assumidos pelas variaveis  i(

t)

durante uma dado numerot de passos de tempo, em um vetor de alturas,

h i( t) = t X =0  i( ) : (3.5)

Desse modo, obtemos processos de crescimento e a natureza das correlac~oes pode ser investigada pela analise da rugosidade, denida pela equac~ao (C.11). De fato, am de

0 200 400 600 800 1000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 altura 0 500 1000 1500 altura esquema simetrico esquema nao−simetrico

Figura 3.2: Evoluc~ao dos pers gerados pela representac~ao de interfaces. Acima: pers gerados no

esquema simetrico em uma rede com L = 1000. Abaixo: pers gerados pelo esquema n~ao-simetrico, L=1000. Ambas as guras possuem a mesma condic~ao inicial e s~ao submetidos a mesma sequ^encia de

numeros aleatorios, e os pers mostrados foram tomados nos mesmos instantes de tempo em ambos os casos. Cada perl corresponde a 1000 passos de tempo.

desconsiderar a rugosidade inicial dos pers, trabalhamos com a utuac~ao da rugosidade [156] w(L;t) = p w 2( L;t) w 2( L;0) ; (3.6) onde w 2(

L;0) e a rugosidade inicial do substrato, ou seja, o estado inicial do sistema.

As diferencas entre os esquemas cam explcitas neste ponto. Na Figura 3.2 mostramos varios pers na criticalidade, nos dois esquemas, gerados a partir da representac~ao de interfaces. E evidente que diferentes esquemas levam a pers completamente diferentes. Para modelos de crescimento, vimos que o comportamento de w(L;t) tem a forma de

escala, w(L;t)L  f  t L z  : (3.7)

Gracas as propriedades da func~ao de escala, para tempos curtos, t  L

z, esperamos

que, w(L;t)  t 

w. Desse modo, podemos medir 

w calculando a inclinac~ao do graco

log log de w(L;t)t. O expoente de crescimento denota como a rugosidade do perl

cresce com o tempo:  w = 1

=2 indica que o perl n~ao possui correlac~oes e esta na classe

de universalidade da deposic~ao aleatoria, como mostrado no captulo 2 [13]; se w

>1=2,

o perl tende a crescer mais nos \picos", implicando em um crescimento mais rapido da rugosidade, enquanto se

w

<1=2, os \vales" s~ao privilegiados, e a rugosidade cresce mais

lentamente.

Na Figura 3.3 mostramos alguns resultados tpicos para a evoluc~ao da rugosidade no DKCA. Nessa gura, consideramos medias sobre 50 condic~oes iniciais aleatorias, conside- rando 105 passos de tempo e um anel de

L = 10

4 stios. Claramente, na fase congelada

observamos que a rugosidade atinge um valor de saturac~ao, enquanto na fase ativa a rugosidade cresce indenidamente. Os valores de 

w em func~ao de p

1, para p

2 xo, s~ao

mostrados na Figura 3.4, para ambos esquemas. O expoente 

w e calculado levando-se

em conta pelo menos tr^es decadas : 10 < t < 10

5 e 10 1 < w < 10 3. Na transic~ao,  w( p

1) possui um maximo, que rapidamente decai para o valor 

w = 1

=2 na fase ativa,

mantendo-se assim atep

1 = 1. O valor de 

w na transic~ao depende do esquema utilizado

100 101 102 103 104 105 time steps 10-1 100 101 102 103 104 δ w (L,t) p1 = 0.2 p1 = 0.5 p1 = 0.59 p1 = 0.595 (transicao) p1 = 0.60 p1 = 0.8 p2 = 0.95

Figura 3.3: Evoluc~ao da utuac~ao da rugosidade w(L;t) com o tempot em um gracolog log, para p

2=0.95 e cinco diferentes valores de p

1. Usamos

L =10000 e 50 amostras. Note que a transic~ao de

fases ocorre quando a rugosidade passa a crescer sem saturac~ao (p

1= 0.595 - simbolos cheios).

para se atualizar o DKCA: no esquema simetrico, os stios pares (mpares) s~ao atualizados nos passos de tempo pares (mpares); no n~ao-simetrico, todos os stios s~ao atualizados em cada passo de tempo, mas os primeiros vizinhos de um stio (i;t+1) s~ao (i 1;t) e (i;t). No

esquema simetrico,  w = 0

:81(2), compatvel com a previs~ao da classe de universalidade

da percolac~ao direcionada ( w

 0:84) [41]; ja no esquema n~ao simetrico,  w = 0

:61(2).

Na proxima sec~ao, mostraremos argumentos teoricos que mostram que esse valor tambem pode ser obtido a partir da classe DP [10].

Uma analise de escala com tamanhos nitos pode ser feita para o expoente 

w e mostra

que a largura do maximo tende a zero a medida que o tamanho do sistema tende para innito. O valor do expoente de crescimento aproxima-se de 

w

 0:83(2) na transic~ao

congelada/ativa para o esquema simetrico e e aproximadamente o mesmo para todos os valores p

2

6

= 1.

Genericamente, a evoluc~ao temporal do DKCA emd dimens~oes e equivalente ao modelo

de Ising em d+1 dimens~oes [46]. Na linhap

2 = 1, a transic~ao e mapeada na transic~ao de

fases no modelo de Ising com o campo aplicado, em T = 0, em duas dimens~oes [46, 93]

e o valor de 

w e signicantemente maior nos dois esquemas: 

w = 0

:99(1), no esquema

simetrico, e w = 0

:75(1), no n~ao-simetrico. No esquema simetrico, o valor de

w concorda

com a previs~ao da literatura, 

w = 1 [46].

O valor de w

>1=2 indica uma tend^encia de crescimento das \pontas" dos pers, e pode

ser interpretado como uma tend^encia de conservac~ao dos stios ativos no sistema. Na criticalidade, apenas alguns stios permanecem ativos (veremos na ultima sec~ao que no ponto crtico hNi! 0), o que contribui para o crescimento da rugosidade. Na fase ativa

ha uma alta densidade de stios ativos, mas descorrelacionados, o que faz que a altura de cada stio, h

i(

t), cresca aleatoriamente resultando em  w = 1 =2. 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 p1 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 β p2 = 0.1 p2 = 0.3 p2 = 0.5 p2 = 0.7 p2 = 0.9

Figura 3.4: Evoluc~ao do expoente de crescimento

w como func~ao de p

1, na transic~ao congelada/ativa,

considerando os dois esquemas de atualizac~ao; o tamanho do sistema e L =10000 e cinco diferentes

valores dep

2s~ao considerados. O maximo de 

w indica a transic~ao. O esquema simetrico e representado

por smbolos cheios e o esquema n~ao-simetrico por smbolos vazios. As linhas s~ao apenas guias para os olhos.

3.1.2 Espalhamento de Danos

Martins et al [115] foram os primeiros a usar a tecnica de espalhamento de danos para

mostrar que a regi~ao ativa do DKCA pode ser dividida em duas fases, uma caotica e outra n~ao-caotica. O par^ametro de ordem dessa transic~ao e a diferenca entre duas replicas com congurac~oes iniciais levemente diferentes, como antecipamos no captulo 1. Aqui, a tecnica consiste em deixar um aut^omato evoluir ate o estado quase-estacionario, quando cria-se uma replica onde o estado de alguns stios e alterado (dano). Submetendo as duas replicas, uma com estados 

i(

t) e a outra com estados % i(

t), a mesma din^amica, mede-se

a diferenca entre os estados correspondentes em cada aut^omato,

i( t) =j i( t) % i( t)j:

A frac~ao de stios cujos estados s~ao diferentes nas duas replicas corresponde a dist^ancia de Hamming, D H( t) = 1 L X i i( t) :

O valor estacionario da dist^ancia de Hamming permite que se diferencie as duas fases: na fase n~ao-caotica a dist^ancia de Hamming se anula, enquanto no estado caotico seu valor e sempre positivo.

Para obter a linha de transic~ao, usamos o metodo do expoente de crescimento, onde a diferenca entre as replicas e usada para se fazer a representac~ao de interfaces,

h i( t) = t X =0 i( ) : (3.8)

Desse modo, o perl gerado pelo aut^omato da diferenca entre as replicas comporta-se exatamente como os pers gerados na subsec~ao anterior: na fase n~ao-caotica a rugosidade atinge um valor de saturac~ao, enquanto na fase caotica a rugosidade cresce indenidamen- te. Esse comportamento e esperado, uma vez que a diferenca entre as replicas se anula na fase n~ao caotica, o que implica em nenhuma contribuic~ao para o vetor de alturash

i( t), e

e positiva na fase caotica, o que implica em uma contribuic~ao persistente para o vetor de alturas. Novamente, o expoente 

w passa por um maximo exatamente na transic~ao e seu

valor depende do esquema utilizado. Na Figura 3.5 mostramos 

w p

1 para a transic~ao caotica/n~ao-caotica, no esquema

simetrico. Para obtermos essa gura, usamos um aut^omato com L = 10

4 e deixamos o

sistema evoluir por 104passos de tempo; ent~ao, criamos uma replica com um \dano inicial"

0.80 0.85 0.90 0.95 p1 0.42 0.52 0.62 0.72 β p2 = 0 p2 = 0.1 p2 = 0.15 p2 = 0.2

Figura 3.5: Evoluc~ao do expoente de crescimento 

w como func~ao de p

1, usando o espalhamento de

danos para localizar a linha de transic~ao. O sistema possuiL=10000e quatro diferentes valores dep 2

s~ao mostrados, para a prescric~ao A.

devido a mudanca no estado de aproximadamente 10% dos stios. A partir desse ponto, deixamos as replicas evolurem com a mesma din^amica durante 105 passos de tempo, e a

diferenca entre as replicas e medida. Uma media sobre 50 realizac~oes aleatorias diferentes foi considerada para os estados iniciais.

Neste ponto temos que enfatizar a quest~ao da din^amica de evoluc~ao conjunta de dois aut^omatos. Tome [62, 164] estudou detalhadamente essa evoluc~ao conjunta e mostrou que ha pelo menos duas prescric~oes diferentes: a prescric~ao A, usada por Martins et al. [115], considera a atualizac~ao de ambas as replicas usando sempre o mesmo numero

aleatorio, z; a prescric~ao B, introduzida por Kohring e Schereckenberg [94], implica que

algumas vezes dois diferentes numeros aleatorios s~ao usados, z 1 e

z

2, para se atualizar as

replicas. Isso ocorre quando ( i 1+  i+1) = 1 e ( % i 1+ %

i+1) = 2, ou vice-versa. Realizamos

simulac~oes considerando as duas prescric~oes e vericamos que elas resultam em diferencas signicativas na fronteira entre as fases caotica e n~ao-caotica no diagrama de fases do DKCA, como mostrado na Figura 3.6. Essas diferencas no diagrama foram apontadas por Bagnoli [14], que estudou o espalhamento de danos no DKCA utilizando uma aproximac~ao de campo medio; Atman e Moreira [8] conrmaram essa previs~ao numericamente.

No diagrama da Figura 3.6, mostramos uma terceira prescric~ao, C, na qual tr^es numeros aleatorios podem ser sorteados, z

1, z

2 e z

3, para atualizar o sistema. Denindo U i =  i 1+ 2  i+1 e V i = % i 1 + 2 %

i+1, temos os seguintes casos:  seU

i = V

i

! usamos o mesmo numero aleatorio,z

1, para atualizar o original e a

replica;

0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 p1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p2 sem dano prescricao A prescricao B prescricao C

Figura3.6: Diagrama de fases do DKCA obtido atraves do metodo do expoente de crescimento. Note que

as tr^es prescric~oes levam a diferentes fronteiras para a transic~ao caotica/n~ao-caotica. Para p

2=0 temos p 1c=0.809(1) e para p 1=1 temos p

2c=0.3135(10), e as fronteiras de todas as prescric~oes se encontram

nesses pontos.  seU i = 1 e V i = 2 (ou vice-versa) !usamosz

1 para atualizar uma replica e z 2 para a outra;  seU i = 1 e V i = 3 (ou vice-versa) !usamos z 1 para uma e z 3 para a outra.  seU i = 2 e V i = 3 (ou vice-versa) !usamos z 2 para uma e z 3 para a outra.

Para essa prescric~ao, a fronteira ca levemente acima da prescric~ao B.

As diferencas observadas entre as fronteiras de fase parecem ser devidas as diferentes correlac~oes entre os numeros pseudo-aleatorios utilizados em cada uma das prescric~oes: na prescric~ao A as correlac~oes s~ao maximas (ja que se trata do mesmo numero aleatorio); na prescric~ao B as correlac~oes s~ao menores, e na prescric~ao C as correlac~oes s~ao mnimas [15, 83]. A prescric~ao C foi utilizada na tentativa de se obter a terceira fase ativa reportada por Hinrichsenet al[83], mas n~ao obtivemos sucesso.

3.2 Expoentes de Escala

Mostramos na sec~ao anterior que o DKCA possui um unico estado absorvente, e seu diagrama de fases possui uma linha de transic~ao separando a fase absorvente da fase ativa. Ha uma conjectura armando que modelos com um estado absorvente devem pertencer genericamente a classe de universalidade da percolac~ao direcionada [67]. As evid^encias numericas conrmam essa conjectura [8, 41, 93], exceto para um dos pontos terminais, (p

1 = 0 :5,p

2 = 1), onde o comportamento assintotico pertence a classe de universalidade

da percolac~ao direcionada compacta (CDP) [43, 46, 49]. Nesse ponto terminal, a transic~ao de fases e descontnua, pois, de fato, o sistema possui dois estados absorventes: o ja

mencionado estado \congelado", e o estado completamente ocupado. A transic~ao para a fase caotica observada por Martinset al. [115] tambem deve pertencer a classe DP, como

esperado com base no conceito de universalidade [68], pois tambem e uma transic~ao para um estado absorvente.

Nesta sec~ao, continuaremos a utilizar a representac~ao de interfaces introduzida por de Salles et al.[149] e detalhada na sec~ao anterior. Cabe ressaltar que Bhattacharyya [21]

tambem estudou as propriedades din^amicas crticas de um PCA atraves de uma repre- sentac~ao de interfaces, usando dois procedimentos diferentes para gerar as superfcies; um deles corresponde a um mapeamento SOS id^entico ao considerado por de Salles e neste trabalho.

A natureza da interface resultante do mapeamento e uma interessante quest~ao em aberto, pois existem varias formulas para se mapear sistemas din^amicos em superfcies e, na maioria dos casos, o resultado e completamente desconhecido a priori. A raz~ao para

isso e que algumas vezes as interfaces geradas possuem tens~ao supercial e espera-se que pertencam a classes de universalidade conhecidas, enquanto em outros casos as superfcies n~ao apresentam tens~ao supercial, o que ocorre com o DKCA.

Na proxima subsec~ao, abordamos com maiores detalhes os dois esquemas utilizados para se atualizar o DKCA, e mostramos uma maneira alternativa para se estudar o espalhamento de danos. Na subsec~ao seguinte, compararemos os resultados numericos e discutiremos os valores obtidos com as previs~oes teoricas para os expoentes, propostas por Bhattacharyya [21] e Dickman and Mu~noz [41].

3.2.1 Esquemas de Atualizac~ao

Como vimos, ha dois diferentes esquemas para se atualizar o DKCA: o simetrico, proposto originalmente por Domany e Kinzel [46], e o n~ao-simetrico, usado por Nagy et al. [124]

para simplicar o algoritmo. No esquema simetrico, o processo e denido nos pontos espaco-temporais nos quais 

i(

t) possui i+t par. Como antes, o estado do stio i no

tempot+1 depende de  i 1(

t) e i+1(

t) atraves das probabilidades condicionais denidas

no captulo 1 (denic~oes 1.7). Vimos tambem que, no esquema n~ao-simetrico, o processo e denido em todos os pontos, e o estado do stio i no tempo t+ 1 depende de 

i 1( t) e  i( t), ao inves de i 1( t) e i+1(

t), como no esquema simetrico. Portanto, a probabilidade

de transic~ao passa a ser P[ i(

t+1)j i 1(

t); i(

t)], e esta assume os mesmos valores que no

caso simetrico.

E facil ver que os dois esquemas s~ao conectados por uma mudanca simples na indexac~ao dos pontos espaco-temporais (veja a Figura 3.7). Consideremos, por exemplo, uma

historiah

S no esquema simetrico (isto e, uma sequ^encia de congurac~oes f S i ( t)gparat = 0;:::;t 0, com t 0 nito), iniciando-se em

t= 0 com um numero nito de stos ativos. Dada

uma congurac~ao inicial, a probabilidade de que uma historia ocorra eP[h S

j f S(0)

g].

Figura 3.7: Representac~ao espacial do DKCA, nos esquemas simetrico (esquerda) e n~ao-simetrico

(direita), mostrando que padr~oes espaco-temporais s~ao id^enticos nos dois esquemas, i.e., historias correspondentes s~ao id^enticas.

Uma historia h

NS no esquema n~ao simetrico pode ser denida da mesma maneira e ha

uma correspond^encia biunvoca entre as historias nos dois esquemas, dada por

 NS i ( t) S 2i t( t): (3.9)

Desde que as probabilidades de transic~ao s~ao as mesmas nos dois esquemas, as pro- babilidades de historias correspondentes tambem ser~ao. Estendendo-se a analise para fronteiras periodicas, notamos que, se o esquema simetrico esta denido em um anel deL

stios, ent~ao o esquema n~ao-simetrico correspondente possui 2Lstios; para o mapeamento

denido acima, i S = 2

i NS

t (mod 2L).

Uma consequ^encia imediata desta correspond^encia e que todas as propriedades de escala (e.g., expoentes crticos), bem como propriedades n~ao universais (e.g., fronteiras entre as fases congelada, ativa, e caotica no diagrama p

1 p

2) s~ao id^enticas nos dois esquemas.

Naturalmente, historias correspondentes nos dois esquemas parecem diferentes: o esquema n~ao simetrico equivale a um referencial em rotac~ao no qual as dist^ancias s~ao reescaladas por um fator de 1/2. Logo, para p

1=1 =2 e p

2=1, uma interface entre domnios de 1's e

0's executa uma caminhada aleatoria sem tend^encia no esquema simetrico, enquanto no esquema n~ao-simetrico tal caso corresponde a uma interface com media velocidade igual a 1/2. O \cone de luz"i=t no esquema simetrico se torna o par de linhas i= 0 ei=t

no esquema n~ao-simetrico. Veremos que essas diferencas entre os referenciais implica em importantes consequ^encias para a din^amica da superfcie no esquema n~ao-simetrico. Apos a aplicac~ao da representac~ao de superfcies, detalhada na sec~ao anterior, as diferencas entre os dois esquemas de atualizac~ao cam explcitas. Na Figura 3.8, mostramos a evoluc~ao espaco-temporal do aut^omato e os pers gerados pela representac~ao de interfaces, na regi~ao de criticalidade (p

2 = 0 :5;p

1 = 0

:75), em cada esquema. E evidente como

diferentes esquemas levam a pers totalmente diferentes. (Na gura foi escolhida a condic~ao inicial com apenas um stio ativo para realcar a evoluc~ao dos aut^omatos e dos pers.)

Figura 3.8: Representac~ao de interfaces gerada pelos padr~oes espaco-temporais do DKCA, utilizando

diferentes esquemas de atualizac~ao: o esquema simetrico e mostrado na esquerda e o n~ao-simetrico na direita. Paineis superiores: padr~oes espaco-temporais do aut^omato. Stios com a cor negra est~ao ativos e o tempo cresce no sentido vertical para cima. Paineis inferiores: representac~ao de interfaces aplicada aos padr~oes mostrados acima. Aqui o eixoy corresponde a alturah(i;t)dos pers e o eixoxcorresponde

as posic~oes na rede. A cor de preenchimento e trocada a cada 50 passos de tempo para evidenciar a evoluc~ao temporal da rugosidade. O tamanho do sistema eL=500 para o esquema simetrico e L=250

para o n~ao-simetrico; 900 passos de tempo s~ao mostrados. Ambos os sistema est~ao muito proximos a criticalidade (p

2=0.5, p

1=0.75), na fase ativa.

Espalhamento de Danos

Ja mostramos na sec~ao anterior como podemos usar o metodo do expoente de crescimento para estudar a propagac~ao de danos no DKCA. No momento em que o dano e feito, o sistema se encontra no estado quase-estacionario e a alterac~ao aleatoria nos stios introduzida pelo dano muito provavelmente perturba o valor estacionario da densidade de partculas e das func~oes de correlac~ao. Isso introduz uma assimetria indesejavel entre as replicas, uma vez que a din^amica de espalhamento de danos estara misturada a relaxac~ao do sistema de volta ao estado estacionario (na replica alterada). Am de evitar tais complicac~oes e visando preservar a densidade quase-estacionaria de stios ativos no

momento em que o dano e feito, introduzimos o \dano por rotac~ao", que consiste em criar uma replica cuja congurac~ao foi girada 180o em relac~ao ao aut^omato original, em um

determinado tempot

0 apos o sistema ter chegado ao estado quase-estacionario.

Portanto, %(i;t 0) = (i+L=2;t 0) ;

sujeita a condic~oes periodicas de contorno. Isso representa um dano inicial grande ( com dist^ancia de Hamming'2(1 ), onde e a densidade estacionaria de partculas), que

e estatisticamente uniforme ao longo do sistema.

3.2.2 Prescric~oes Teoricas

Uma das primeiras analises teoricas para os expoentes crticos na classe de universalidade da percolac~ao direcionada foi apresentada por Kertez and Wolf [90], para um modelo de crescimento polinuclear. Descric~oes teoricas para o comportamento de escala observado em transic~oes de fase com estados absorventes em modelos de crescimento foram propostas por Bhattacharyya [21], e Dickman and Mu~noz [41]. Bhattacharrya prop^os um tratamento analtico em analogia com o processo de deposic~ao aleatoria (DA). Esclarecemos que esta descric~ao n~ao e geral e so e valida na criticalidade.

Considerando um estado inicial desordenado, o processo de crescimento pode ser descrito por uma equac~ao contnua de crescimento similar a da deposic~ao aleatoria,

@h(~x ;t) @t

=F +(x;t) (3.10)

onde F e o numero medio de partculas depositadas e (x;t) corresponde ao rudo. A

diferenca entre a representac~ao de interfaces para o DKCA e a deposic~ao aleatoria esta exatamente nas propriedades do rudo(x;t).

Enquanto na DA o rudo e descorrelacionado espacialmente e temporalmente (rudo branco), as correlac~oes no tempo e espaco presentes no DKCA aparecem como utuac~oes no rudo durante o crescimento da interface na representac~ao de superfcies. Para valores de (p

1 ;p

2) distantes da criticalidade (na fase ativa), o comprimento de correlac~ao  e o

tempo de correlac~ao  do DKCA s~ao nitos, o que signica que o rudo no processo de

deposic~ao e correlacionado dentro de uma faixa pequena de dist^ancias. Nesse limite, a autocorrelac~ao do rudo decai exponencialmente [13]:

<(x;t);(x 0 ;t 0) >e jx x 0 j= e jt t

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