Realizamos simulac~oes utilizando substratos unidimensionais com ateL= 10
5 sitos, mas
na maioria das amostras usamosL= 10
3. Os resultados correspondem a uma media sobre
20 amostras para cada par de valores dos par^ametros, onde cada uma delas possui uma sequ^encia de deposic~ao propria para os agregados. O numero de agregados depositados em cada amostra foi de N = 10
8, mas em alguns casos utilizamos ate 109 partculas.
Calculamos a rugosidade, w(L;t), de nida por
w 2 (L;t) = 1 L L X i=1 hi(t) h(t) 2 ; (5.2)
em func~ao dos par^ametros do modelo, como mostrados nas Figuras 5.6 e 5.7, considerando a percolac~ao de stios e o modelo de Eden, respectivamente. Note que a rugosidade
de saturac~ao e atingida apos cerca de N 10
7 partculas depositadas. A dimens~ao
fractal do per l nal e estimada utilizando-se o expoente de Hurst,H, tal qual detalhado
no Ap^endice C. O expoente de Hurst esta associado a dimens~ao fractal via a relac~ao D= 2 H, onde d= 2 e a dimens~ao de imers~ao dos per s. Alem do metodo da analise
de utuac~oes sem tend^encia (apresentada no Ap^endice C e introduzida por Moreira et al
[121]), utilizamos o metodo do semivariograma, que usa a func~ao correlac~ao de alturas e e o metodo usualmente empregado nos experimentos.
100
102
104
106
108
numero de particulas depositadas
0 0 1 10 100 w(L,t) Nmax = 01 Nmax = 05 Nmax = 10 Nmax = 50 Nmax = 100 Nmax = 500 Nmax = 1000 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 slope Df = 1.5
Figura 5.6: Rugosidade dos per s simulados, considerando varios valores para Mmax eDf=3:0. Note
a variac~ao da inclinac~ao das curvas de rugosidade entre as linhas pontilhadas mostradas. A inclinac~ao de uma dada curva e medida xando-se a escala de medida (regua) e fazendo a media das inclinac~oes obtidas considerando-se diferentes pontos iniciais entre as duas linhas pontilhadas.
O metodo do semivariograma estima a variabilidade espacial atraves do calculo da semi- vari^ancia em func~ao da dist^ancia entre os pontos considerados. Essa func~ao e de nida como, () = 12 [h(x) h(x+)] 2 ; (5.3)
onde representa a dist^anica entre os pontos, h(x) a altura na posic~ao x e os h:::i
representam uma media sobre todo o domnio de h(x). Esse metodo e especialmente util
nos casos onde os dados n~ao s~ao regularmente espacados, e por esta raz~ao, e largamente utilizado para estimar a dimens~ao fractal em per s de solos [138].
Nas Figuras 5.6 e 5.7, mostramos a evoluc~ao da rugosidade para os per s simulados, considerando os algoritmos de percolac~ao e do modelo de Eden, respectivamente, e varios
0.10 0.20 0.30 0.40 β 100 102 104 106 108 agregados depositados 10-2 10-1 100 101 102 Rugosidade M max = 1 M max = 10 M max = 50 M max = 100 M max = 500 M max = 1000
Figura 5.7: Rugosidade dos per s simulados, considerando varios valores para Mmax e Df =3:0, para
o modelo de Eden. As caractersticas observadas s~ao as mesmas encontradas com o modelo de percolac~ao de ligac~oes.
valores para a massa maxima permitida para os aglomerados. Pode-se observar que a curva correspondente a Mmax = 1 comporta-se exatamente como a DARS (apresentada
no captulo 4), independentemente do algoritmo utilizado, como esperado.
A faixa de valores obtidos paraHe mostrada na Figura 5.8, para o algoritmo de percolac~ao
de ligac~oes, onde tambem mostramos a depend^encia do expoente de crescimento, w, com
os par^ametros do modelo. Pode-se concluir que o aumento da massa maxima permitida tem efeitos similares ao decrescimo da dimens~ao de fragmentac~ao: ambos introduzem correlac~oes n~ao lineares no sistema (indicadas pelo valor do expoente w), alterando a
classe de universalidade da deposic~ao. Por outro lado, a dimens~ao fractal n~ao mostra uma depend^encia t~ao forte com os valores dos par^ametros. Para o modelo de Eden os resultados s~ao similares, como mostrado na Figura 5.9.
1 10 100 1000 Mmax 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 H 10-1 100 101 Df 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 H 1 10 100 1000 Mmax 0.15 0.25 0.35 0.45 β 10-1 100 101 Df 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 β A B C D Mmax = 100 Mmax = 100 Df = 3.0 Df = 3.0
Figura 5.8: Sumario dos expoentes crticos medidos, considerando-se os agregados gerados pela
percolac~ao de ligac~oes. A) e C): Comportamento de expoente de Hurst com os par^ametros do modelo. Note que n~ao existe nenhuma depend^encia forte do valor do expoente com os par^ametros. A faixa dos valores experimentais e 0:3 <H <0:7. B) e D): Comportamento de expoente de crescimento com os
par^ametros do modelo. Aqui existe uma depend^encia do valor de
w com o raio maximo das partculas:
a medida que o raio aumenta, o expoente de crescimento tambem aumenta, ate atingir o valor esperado para a deposic~ao n~ao linear. A depend^encia de
w como a dimens~ao de fragmentac~ao e exatamente o
inverso. 1 10 100 1000 Mmax 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 H 1 10 100 1000 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 β A B Df = 3.0 Df = 3.0
Figura 5.9: Sumario dos expoentes obtidos considerando-se os agregados gerados pelo modelo de Eden.
Pode-se veri car que as caractersticas observadas nesse caso s~ao analogas as veri cadas no caso da percolac~ao de stios ( gura 5.8).
Conclus~oes e Perspectivas
Neste trabalho apresentamos um estudo teorico e simulacional do crescimento de interfaces rugosas auto-a ns e analisamos as superfcies obtidas utilizando conceitos fractais. Entre as contribuic~oes originais, destacamos o metodo do expoente de crescimento para detecc~ao de transic~oes de fase, capaz de determinar com alta precis~ao as linhas de transic~ao tanto para transic~oes contnuas quanto descontnuas. A grande vantagem deste metodo e a possibilidade de detecc~ao de transic~oes de fase sem a necessidade de se calcular potenciais termodin^amicos, par^ametros de ordem ou func~oes resposta, o que diminui consideravelmente o custo computacional.
Na sec~ao 3.1 mostramos como o metodo pode ser usado para se obter o diagrama de fases a partir da representac~ao de interfaces do DKCA. Na transic~ao, veri camos que o valor do expoente
w depende do esquema de atualizac~ao utilizado:
w = 0
:83(2) para o
esquema simetrico e w = 0
:61(2) para o n~ao simetrico. O metodo tambem foi aplicado
para se obter a fronteira entre as fases caotica e n~ao-caotica no DKCA. Finalmente, tr^es prescric~oes diferentes para a evoluc~ao conjunta de dois aut^omatos foi considerada, e cada uma delas resulta em uma fronteira de fases diferente, como mostrado no diagrama de fases completo para o DKCA (Figura 3.6).
A vantagem do metodo do expoente de crescimento para se determinar o diagrama de fases do DKCA e que n~ao ha a necessidade do sistema alcancar o estado quase-estacionario, como nos metodos utilizados por Martins et al [115] e Zebende and Penna [188], o que
economiza consideravel tempo de computac~ao. Alem disso, o expoente de crescimento pode detectar a fronteira caotica/n~ao-caotica muito mais claramente que o metodo usual da dist^ancia de Hamming, que apresenta utuac~oes muito grandes na transic~ao. Esse metodo tambem pode ser utilizado para detectar transic~oes de fase em outros modelos onde a representac~ao de interfaces pode ser aplicada [10, 41, 142].
Outro trabalho original foi a determinac~ao dos expoentes de escala na representac~ao de interfaces para o aut^omato de Domany-Kinzel que, por pertencer a classe de universalidade da percolac~ao direcionada, possui grande relev^ancia para diversas areas. Na sec~ao 3.2
estudamos as superfcies geradas pelos padr~oes espaco-temporais do DKCA ao longo de suas linhas crticas. Os expoentes crticos, cuja previs~ao teorica apontava para a classe de universalidade da percolac~ao direcionada, foram medidos utilizando as relac~oes tipo lei de pot^encia validas na criticalidade. Exceto no ponto terminalp
2 = 1, todos os expoentes de
escala con rmaram as previs~oes da classe DP, no esquema simetrico, e a lei de escala w = =z foi observada. Emp
2 = 1, con rmamos os valores da classe CDP para os expoentes.
Desde que as utuac~oes em regi~oes descorrelacionadas s~ao efetivamente superpostas, n~ao e surpreendente que os valores aparentes de
w e
s~ao menores no esquema n~ao-simetrico.
Na transic~ao caotica/n~ao-caotica os expoentes medidos concordam com os valores da classe DP.
Ja na sec~ao 3.4 zemos um estudo analtico das propriedades quase-estacionarias para o DKCA. Por envolver somente iterac~oes, a analise numerica de sistemas com tempo discreto e mais simples, se comparada a processos com tempo contnuo onde ha a necessidade de integrar equac~oes diferenciais. Essa observac~ao e evidente na aproximac~ao de um stio, mas em nveis superiores essa vantagem e compensada pelo fato de haver varias transic~oes possveis partindo de uma dada con gurac~ao, di cultando a obtenc~ao dos fatores combinatorios (e.g., (N;Z;L)), que limitam severamente a analise.
Um resultado interessante do estudo apresentado e o comportamento de escala ao longo da linha crtica: ele e o mesmo tanto para sistemas com tempo contnuo (como o processo de contato ou o intimamente relacionado processo de Malthus-Verhulst), quanto para aqueles com tempo discreto. Em particular, o par^ametro de ordem QS decresce proporcionalmente a1=L
1=2em ambos os casos, enquanto o tempo de vida do estado QS cresce com L
1=2.
Embora a universalidade do comportamento de escala global ja poderia ter sido antecipado com base no teorema central do limite, a similaridade estende-se para detalhes da forma da func~ao de escala que governa a distribuic~ao de probabilidades QS, e tambem para os momentos associados. Portanto, a situac~ao e analoga a encontrada numericamente em estudos de transic~oes de fase para um estado absorvente: n~ao somente os expoentes crticos, mas tambem os momentos e o par^ametro de ordem assumem valores universais no ponto crtico [40].
No captulo 4 utilizamos o metodo do expoente de crescimento em simulac~oes, e aproxi- mac~oes de campo medio, considerando um stio e um par, para construir o diagrama de fases do BPCA, parap
3 = 1 e p
3 = 0. O metodo e capaz de detectar as transic~oes contnuas
e descontnuas do modelo, bem como pode ser usado nas transic~oes de espalhamento de danos. Os valores obtidos para os expoentes indicam que todas as transic~oes contnuas pertencem a classe de universalidade da percolac~ao direcionada, enquanto os expoente medido na transic~ao descontnua concordam com a previs~ao da classe de percolac~ao direcionada compacta. Na aproximac~ao de campo medio, encontramos uma linha de pontos tricrticos no espaco de fases, considerando um stio e um par, que denota a grande complexidade do diagrama de fases do BPCA. Alem disso, parap
3 = 0, encontramos uma
transic~ao caotica reentrante, que foi con rmada pelas simulac~oes. Essas duas particulari- 106
dades foram observadas pela primeira vez em modelos utilizando aut^omatos celulares. O modelo de gerac~ao de per s auto a ns de solos e outra contribuic~ao original e que possui aplicabilidade bem mais extensa do que o originalmente proposto; de fato, qualquer sistema onde ha uma distribuic~ao no tamanho das partculas e diferentes morfologias para cada uma delas pode ser simulado com o algoritmo proposto, como por exemplo, na deposic~ao de polmeros.
Dessa forma, vimos no captulo 5 um modelo inedito para simular a estrutura de solos e sua rugosidade super cial. Dois par^ametros foram usados para controlar os per s simulados: o tamanho maximo das partculas e a dimens~ao de fragmentac~ao. As principais inovac~oes do modelo s~ao a possibilidade de se gerar morfologias aleatorias para os agregados, utilizando modelos de morfog^enese previamente escolhidos, e a distribuic~ao de tamanhos de agregados segundo uma lei de pot^encia em relac~ao ao raio medio dos agregados. Essas duas caractersticas n~ao haviam sido estudadas por nenhum outro modelo descrito na literatura, e por si so s~ao capazes de reproduzir a variabilidade observada em solos naturais.
Os resultados obtidos mostram boa concord^ancia do expoente de Hurst com os valores experimentais. Tambem observa-se uma forte depend^encia do expoente de crescimento com os par^ametros do modelo: a medida que Mmax cresce (ou a dimens~ao de fragmen-
tac~ao diminui), o valor do expoente wafasta-se da classe EW ( = 1=4), e aproxima-se da
classe KPZ ( = 1=3). Desse modo, o aumento do raio medio das partculas depositadas
corresponde a introduc~ao de correlac~oes n~ao-lineares no sistema. Esses resultados s~ao observados independentemente do algoritmo de morfog^enese considerado.
Perpectivas
Nossas perspectivas se concentram na simulac~ao do aut^omato de Domany-Kinzel emd =
2, trabalho que ja se encontra em curso, na realizac~ao de simulac~oes para identi car a superfcie crtica no espaco tridimensional de par^ametros do BPCA e a simulac~ao do modelo de per s de solos sobre um substrato bidimensional.
Apesar de apresentar uma aplicabilidade maior, a simulac~ao de sistemas bidimensionais demanda recursos computacionais mais robustos, como ja destacamos no texto. Em particular, no DKCA bidimensional a atualizac~ao de cada stio depende do estado de seus quatro vizinhos no instante de tempo anterior. Dessa forma, se consideramos regras totalsticas e p
0 = 0, existem tr^es par^ametros independentes e, a exemplo do BPCA, o
diagrama de fases e tridimensional. Para contornar essa di culdade, pretendemos estudar o caso ondep
3=1 p
1, o que reduz o diagrama de fase apenas a um plano; esse escolha e
feita a partir de criterios de simetria. E interessante notar que na classe de universalidade DP, 1 ' 0:55;0:27 e 0 para d = 2;3 e 4, respectivamente. Logo, esperamos que a
cuspide no valor de w seja bem menos pronunciada em d = 2 e que w decresca na
transic~ao de fases em d= 3.
Outras perspectivas possveis se concentram na aplicac~ao do metodo do expoente de crescimento em outros modelos, onde poderia ser aplicado para a determinac~ao de tran- sic~oes de fase. Resultados preliminares de simulac~oes mostram que o metodo pode ser aplicado com sucesso na detecc~ao da transic~ao de fases no modelo de Ising; dessa forma, o metodo poderia ser aplicado tambem no modelo de Blume-Capel (que e uma extens~ao do modelo de Ising), onde ha uma controversia a respeito da localizac~ao das linhas de transic~ao do diagrama de fases [99].
Para o BPCA, nossas expectativas se concentram na determinac~ao simulacional da su- perfcie crtica no espaco tridimensional de par^ametros, o que permitiria a veri cac~ao da linha de pontos tricrticos. Caso seja con rmada por simulac~oes, esta transic~ao colocaria por terra uma conjectura apresentada por Hinrichsen [82], na qual o autor a rma que, em d = 1, n~ao seria possvel a exist^encia de uma transic~ao descontnua entre uma fase
absorvente e uma ativa.
Para o modelo de solos, nossas expectativas se concentram na simulac~ao da deposic~ao de agregados com d = 3 sobre substratos bidimensionais, o que seria bem mais verossmel
do ponto de vista experimental. Outra perspectiva e simular o efeito da chuva sobre os per s gerados, a m de veri car a depend^encia do expoente de Hurst com o volume de chuva, conforme veri cado experimentalmente por Vivas Miranda [172]. De fato, esse era o objetivo inicial do interc^ambio realizado pelo autor e e uma das perspectivas desejaveis
a que nos referimos inicialmente. Dentro dessa mesma categoria esta nossa expectativa da simulac~ao de outros sistemas utilizando nosso modelo, como por exemplo a deposic~ao de polmeros, onde poderia-se um algoritmo de morfog^enese apropriado.
Ap^endice A
Historico: o Nascimento de uma Nova
Ci^encia
E um fato notorio que as teses apresentadas no ramo da Fsica Teorica di cilmente fornecem um estudo historico da disciplina e do tema abordado, com indicac~ao cronologica e sistematica das contribuic~oes relevantes e principais implicac~oes da area do conhecimento em quest~ao para o restante da comunidade cient ca e a sociedade em geral. Esta abordagem, que denominaremos por \vis~ao historica", desempenha uma func~ao essencial no ^ambito da divulgac~ao cient ca, pois permite que o leitor possa situar o trabalho no contexto cient co geral e a abrang^encia de seu principais resultados. Na maioria das vezes, estes fatores cam ocultos por textos demasiado tecnicos, restritos a um pequeno numero de leitores especializados, e que levam ao extremo o ideal de concis~ao e de especi cidade da ci^encia.
Neste trabalho, ousaremos apresentar um ap^endice contendo um Historico da Fsica Esta- tstica, com o intuito de destacar seu papel fundamental na consolidac~ao e formac~ao de paradigmas. A partir de sua origem, logo apos o estabelecimento da Termodin^amica e da Teoria Cinetica dos Gases, iremos estudar seus principais fundamentos e recordar a participac~ao dos personagens mais importantes para sua formac~ao. A seguir, mostraremos a profunda mundanca loso ca desencadeada pela compreens~ao e aplicac~ao de seus princ- pios, sua relac~ao com o advento da Fsica Qu^antica e da Teoria At^omica da Materia, para ent~ao chegarmos ao seu apogeu: a a rmac~ao da Mec^anica Estatstica como disciplina capaz de tratar com sucesso fen^omenos crticos e transic~oes de fase, estendendo sua abrang^encia a quase todos fen^omenos naturais, no equilbrio ou fora dele.
Finalmente, mostraremos o cenario de orescimento de uma nova ci^encia: o estudo do Caos e da Geometria Fractal, e com isto esperamos esbocar o atual \estado-da-arte" dentro da Mec^anica Estatstica de Fora do Equilbrio. Estas disciplinas t^em causado um forte impacto em diversas areas da ci^encia, ao ponto de muitos considerarem que ha uma mudanca de paradigma em curso. Neste trabalho, defendemos uma incipiente \Teoria do Crescimento Fractal", que possui natureza intrinsecamente interdisciplinar, e
apresentamos uma sntese de suas origens, o alcance de suas aplicac~oes e sua generalidade na ultima sec~ao do captulo.
Desse modo, acreditamos que ao nal desta vis~ao historica sera possvel identi car as principais motivac~oes desta Tese, destacar sua relev^ancia e inser-la no contexto cient co atual.
Para a elaborac~ao deste captulo, utilizamos diversas fontes que n~ao ser~ao citadas repetida- mente, em prol de uma leitura com maior uidez; porem, e mister que sejam devidamente reconhecidas, antes de comecarmos a reproduzi-las: a principal refer^encia nas duas pro- ximas sec~oes foi a obra de Stephen G. Brush [25] que fornece uma vis~ao completa do surgimento da Termodin^amica e da Fsica Estatstica e o papel da ultima na consolidac~ao da Teoria At^omica da Materia; alem dessa, outra fonte rica em detalhes para estas sec~oes foi a biogra a de Einstein escrita por Albert Pais [133], principalmente no perodo inicial do seculo XX. Outras obras utilizadas nesta etapa foram: os textos brilhantes de Herbert B. Callen [29], Dietrich Stau er e H. Eugene Stanley [163], Lev Davidovitch Landau [98] e H. E. Stanley [158], e em menor parte as obras de Reif [143], S.K. Ma [106], Michael Plischke e Birger Bergensen [141], R. K. Pathria [134], entre outros.
Ja na ultima sec~ao as principais refer^encias s~ao em geral obras bem mais recentes como os trabalhos de Paul Meakin [117], Albert Lazlo Barabasi e H. E. Stanley [13], Tamas Vicsek [170], Annick Lesne [102] e Hermann Haken [71], os textos de divulgac~ao cient ca de Roger Penrose [137] e James Gleick [64], e ainda colet^aneas de artigos como as de Fereydoon Family e Tamas Vicsek [54] e Leo P. Kadano [86], entre varios outros trabalhos e obras relevantes, que ser~ao devidamente citados nos proximos captulos, quando os estudaremos mais detalhadamente.
Pre^ambulo: o Papel da Teoria na Consolidac~ao, Quebra e Formac~ao de Para-
digmas
Antes de iniciarmos a discuss~ao, e necessario que se esclareca o conceito de paradigma; segundo uma corrente de historiadores da ci^encia, articulada por Alexander Koyre, Tho- mas Kuhn, Imre Lakatos, entre outros, a origem e destino de uma hipotese cient ca n~ao depende tanto de sua adequac~ao a dados experimentais, sendo mais importante sua relac~ao com a teoria ja estabelecida, com o nucleo de um programa cient co em curso, ou com a crenca metafsica do mundo em um dado momento - o