Resolução de Problemas como investigação

A primeira vista, investigar é procurar o que não se sabe. Não obstante, segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 13), para os matemáticos profissionais “investigar é descobrir relações existentes entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos,

procurando identificar suas respectivas propriedades”. Usualmente, essas investigações desenvolvem-se em torno de um ou mais problemas, podendo-se mesmo dizer que o primeiro passo de qualquer investigação é identificar o problema a ser resolvido.

No entanto, em contextos de ensino-aprendizagem, investigar não significa necessariamente, conforme os autores referidos acima (p. 9),

ligar com problemas muitos sofisticados na fronteira do conhecimento. Significa tão só, que formulamos questões que nos interessam, para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso.

Em referência ao contexto da sala de aula de Matemática, Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 22) afirmam que “as investigações matemáticas constituem uma das atividades que os alunos podem realizar e que se relacionam, de muito perto, com a resolução de problemas”. Em uma experiência de investigação, os alunos podem assumir o papel de um matemático que, diante de uma situação, objeto, fenômeno ou mecanismo suficientemente rico e complexo, tenta compreendê-lo, descobrir padrões, relações, semelhanças e diferenças de forma, com o fim de chegar a uma generalização. Nas palavras dos autores (p. 23),

o conceito de investigação matemática, como uma atividade de ensino- aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor.

Assim como a Resolução de Problemas, as investigações matemáticas envolvem processos cognitivos complexos e requerem elevado grau de empenho e criatividade dos discentes. Entretanto, diferem em alguns aspectos. Enquanto os problemas matemáticos tendem a caracterizar-se por se assentarem em dados e objetivos bem concretos, as investigações têm um ponto de partida muito menos definido.

Na Resolução de Problemas, tal como entendido inicialmente, o objetivo é encontrar um caminho para atingir um ponto não imediatamente acessível. É, portanto, um processo convergente. Todavia, como nos asseguram Fonseca, Brunheira e Ponte (1999), em uma investigação matemática o objetivo consiste em explorar todos os caminhos interessantes que surgem a partir de uma dada situação. Trata-se de um processo divergente: sabe-se qual é o ponto de partida, porém não se sabe qual será o ponto de chegada.

No processo da investigação matemática, diferentemente do que ocorre na resolução de problemas, é possível distinguir atividades como a definição do objetivo (O que se pretende saber?); a idealização e realização de experiências (O que acontece neste ou naquele caso específico?); a formulação de conjecturas (Que regra geral se pode propor?) e o teste das conjecturas (Quais serão as experiências fundamentais para verificar a validade desta conjectura? Será possível prová-la?).

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 20), a realização de uma investigação matemática envolve quatro momentos principais. O primeiro momento compreende o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. O terceiro inclui a realização de testes e o eventual refinamento das conjecturas. O último momento diz respeito à argumentação, à demonstração e à avaliação do trabalho realizado. De acordo com os autores referidos acima, esses momentos, muitas vezes, surgem simultaneamente: a formulação das questões e a conjectura inicial, ou a conjectura e o seu teste. Cada um deles pode incluir diversas atividades, como se indica no quadro a seguir.

Quadro 3 Momentos na realização de uma investigação

Exploração e formulação

de questões • _• Reconhecer uma situação problemática _{Explorar a situação problemática}

• Formular questões

Conjecturas • Organizar dados

• Formular conjecturas (e fazer afirmações sobre uma conjectura)

Testes e reformulações • Realizar teste

• Refinar uma conjectura Justificação e avaliação • Justificar uma conjectura

• Avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio

Fonte: Ponte; Brocardo; e Oliveira (2003).

O sucesso de uma investigação depende, tal como qualquer outra proposta do professor, de um cenário de pesquisa, do ambiente de aprendizagem que se cria em sala de aula. Ao se propor uma tarefa de investigação, espera-se também que os alunos possam utilizar os vários processos que caracterizam a atividade investigativa em Matemática. Alguns destes processos são, como referido anteriormente, a exploração e formulação de questões; a formulação de conjecturas; o teste e a reformulação de conjecturas; e, ainda, a justificação de conjecturas e a avaliação do trabalho.

Um cenário de investigação é aquele que convida os estudantes a formular questões e a procurar explicações. Segundo Skovsmose (2008), o convite é simbolizado por seus “Sim, o que acontece se...?”. Dessa forma, os alunos se envolvem no processo de exploração. Para o autor, o “Por que isto...? ” dos alunos indica que eles estão encarando o desafio e buscando explicações. Quando os mesmos assumem o processo de exploração e explicação, o cenário para a investigação passa a constituir um novo ambiente de aprendizagem, em que eles são responsáveis por esse processo. A possibilidade de um cenário dar suporte a uma abordagem de investigação é, na visão de Skovsmose, uma questão empírica que deve ser respondida por meio da prática dos professores e alunos envolvidos.

Referindo-se à investigação na Educação Matemática, Skovsmose (2008, p. 15) espera que “a busca de um caminho entre os diferentes ambientes de aprendizagem possa proporcionar novos recursos para levar os alunos a agir e a refletir, oferecendo, dessa maneira, uma Educação Matemática de dimensão crítica”.

Entretanto, o autor (p. 15) alerta que “o que pode servir perfeitamente como um cenário para investigação a um grupo de alunos numa situação particular pode não representar um convite para um outro grupo de alunos”. Acredita, ainda, que, com os cenários de investigação, o aluno, conduzido pelo professor, tem contato com os conceitos principais da Matemática.

Aprender Matemática, afirma-nos Braumann (2002), não se reduz à compreensão da Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (no nível adequado a cada grau de ensino). Só deste modo se pode, realmente, dominar os conhecimentos adquiridos.