2 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIDADANIA: CONSTRUÇÃO
3.2 Tipos de Problemas
De acordo com Sternberg (2008), os problemas podem ser classificados segundo a clareza de caminhos para uma solução. Os problemas bem-estruturados têm caminhos claros – ainda que não necessariamente fáceis – que conduzem a suas soluções; estes problemas também são chamados bem-definidos. Os problemas mal-estruturados carecem de caminhos claros e prontamente disponíveis para suas soluções; denominam-se também problemas mal- definidos. Em relação a estes problemas, grande parte da dificuldade está em construir um plano para seguir sequencialmente uma série de passos que se aproximem cada vez mais de sua solução.
Trigo (1996, p. 33-34) considera que os problemas bem-estruturados são aqueles que, de modo geral, aparecem nas instruções ou nos livros-texto de Matemática; nestes problemas, a informação que possibilita sua resolução é parte do enunciado, as regras para encontrar a solução são claras e existem critérios bem definidos para resolvê-los. Os problemas mal- estruturados, por sua vez, seriam aqueles que, em geral, encontram-se no cotidiano. Frequentemente possuem pouca ou demasiada informação e, para resolvê-los, faz-se necessário reformulá-los, fornecer ou eliminar algumas informações na fase de resolução.
A esse respeito, Huete e Bravo (2006) afirmam que os problemas bem-estruturados podem ser resolvidos com a aplicação de algum algoritmo conhecido e existem critérios para verificar se a solução está isenta de erros. Já os problemas mal-estruturados necessitam de uma clara formulação, de um procedimento que garanta uma solução, sem que existam critérios definidos para determinar quando se obteve uma solução. Geralmente, quem enfrenta esse tipo de problema necessita reformular o enunciado e desenvolver uma série de estratégias para alcançar a solução.
Devido a seu caráter relativo, existem diferentes maneiras de classificar problemas, no entanto, na área específica da Matemática, respeitando o nível etário a que se propõem, Charles e Lester (1984) apresentam-nos cinco tipificações de problemas. O primeiro tipo, chamado de problema de um passo, pode ser resolvido através da aplicação direta de uma das quatro operações básicas da aritmética, enquanto o segundo, denominado problema de dois ou mais passos, pode ser resolvido pela aplicação direta de duas ou mais dessas quatro operações básicas.
O terceiro tipo é o problema de processo e só se pode resolver por meio da utilização de uma ou mais estratégias de resolução, não se podendo resolver com o uso de processos
mecânicos. Constituem os problemas considerados não rotineiros, e algumas das estratégias de resolução que podem ser empregadas para resolver os mesmos são: descobrir um padrão; construir uma tabela; dramatizar o problema; fazer um desenho, um diagrama ou um gráfico; formular e/ou testar uma conjectura; trabalhar do fim para o princípio; selecionar a notação apropriada; reformular o problema; simplificar o problema; identificar a informação pretendida, a informação dada e a informação de que se necessita.
O quarto tipo é o problema de aplicação: para resolvê-lo faz-se necessário recolher dados e tomar decisões acerca de situações da vida real. Sua resolução passa, muitas vezes, pela utilização de uma ou mais operações e de uma ou mais estratégias de resolução. Frequentemente este tipo de problema admite mais de uma solução.
Constituindo o quinto e último tipo, estão os problemas do tipo puzzle (quebra-cabeça ou desafio). Estes podem permitir o envolvimento dos estudantes em situações que são potencialmente enriquecedoras; podem suscitar o seu interesse e habituá-los a “olhar” para os problemas sob diversos pontos de vista e, em geral, demandam uma forma não-tradicional ou não-rotineira de pensar.
Os problemas matemáticos podem também ser classificados a partir de sua natureza ou do contexto no qual se resolvem os mesmos, a partir dos seus componentes sintáticos, das relações matemáticas ou das suas estruturas lógicas. De acordo com Huete e Bravo (2006, p. 139), atualmente se percebem duas tendências de classificação: as que têm correspondência com a composição do problema, geralmente são os bem-estruturados, e as que têm correspondência com a dimensão subjetiva quanto às relações exigidas ao pensamento da pessoa que resolve são geralmente associadas aos problemas mal-estruturados.
Também bordando a classificação dos problemas matemáticos, Polya (1978) apresenta-nos duas categorias. Na primeira, são identificados aqueles problemas em que se pede que alguma coisa seja encontrada. Neles são fornecidos algumas condições ou alguns dados, e a ideia do problema é determinar o valor de alguma incógnita. A segunda categoria é relacionada aos problemas em que alguma coisa deve ser provada.
Na tentativa de “eleger” bons problemas tendo em vista o processo do ensino- aprendizagem de Matemática, Ramos et al. (2007, p. 6) salientam que é importante que o problema tenha enunciado acessível e de fácil compreensão; exercite o pensar matemático do aluno; exija criatividade na resolução; possa servir de “trampolim” para a introdução ou consolidação de importantes ideias e/ou conceitos matemáticos; e, sobretudo, não seja demasiadamente fácil ou muito difícil e sim, natural e interessante. Apontando que o ensino da Matemática torna-se muito mais interessante à medida que se utiliza de bons problemas, ao
invés de se basear apenas em exercícios que remetem à reprodução de fórmulas e se distanciam da realidade do aluno, os autores referidos acima dividiram os problemas matemáticos em quatro tipos:
• Problemas de sondagem: para a introdução natural e intuitiva de um novo conceito;
• Problemas de aprendizagem: para reforçar e familiarizar o aluno com um novo conceito;
• Problemas de análise: para a descoberta de novos resultados derivados de conceitos já aprendidos e mais fáceis que os problemas de sondagem;
• Problemas de revisão e aprofundamento: para revisar os tópicos já vistos e aprofundar alguns conceitos.
Resnick e Collins (1996), por seu lado, com o intuito de classificar os diversos tipos de problemas encontrados nos livros de Matemática, caracterizam seis diferentes tipos; são eles: