Para obter mais informações sobre o método Simplex escolha um dos livros indicados em nossa bibliografia para consultá-lo.
O Simplex pode ser divido, de maneira bastante simplificada, em três passos distintos, são eles:
Inicialização: preparação dos dados de entrada.
Iteração: repetição dos procedimentos de busca de uma solução. Regra de Parada: verificação se a solução obtida é a Solução Ótima.
Vejamos agora como o algoritmo funciona, descrevendo detalhadamente o processo para o exemplo de Mix de Produção. A solução manual que propomos é feita utilizando um quadro, ou
tableau*, do Simplex. Este quadro tem como única função auxiliar a realização dos cálculos e das iterações de forma mais amigável.
Começamos por transformar o Problema de Programação Line- ar, dado em sua forma padrão, numa disposição que seja mais adequa- da à entrada dos valores no quadro do Simplex. É o primeiro passo do
Simplex: a Inicialização. Para isso, tomamos todas as equações e
inequações do problema e movemos os termos de tal forma que eles se apresentam como uma série de equações cujos termos à direita sejam
GLOSSÁRIO
*Tableau – termo em francês para quadro, ou ainda ta- bela, tradicional- mente utilizado em PO para denominar as tabelas do méto- do Simplex. Fonte: elaborado pelos au- tores.
apenas constantes positivas. Veja a seguir. O problema de Mix de Pro- dução, que é dado por:
Maximizar: z = 50x1 + 40x2 Restrito a: 30x1 + 20x2 ≤ 360 5x1 + 10 x2≤ 120 x1 ≤ 20 x1≥ 0 e x2≥ 0 se transforma em: z – 50 x 1 – 40 x2 = 0 0 + 30 x1 + 20 x2 + f1 = 360 0 + 5 x 1 + 10 x2 + f2 = 120 0 + 1 x1 + 0 x2 + f3 = 20
Note que as Restrições x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0 (Restrições de não- negatividade) foram excluídas do problema pois são consideradas pa- drão pelo método. Além disso, foram criadas novas variáveis f1, f2 e f3, denominadas Variáveis de Folga, para transformar as desigualdades das Restrições em igualdades. Estas variáveis são somadas ou subtra- ídas conforme as desigualdades originais sejam elas do tipo “maior ou igual” ou do tipo “menor ou igual”: Assim:
Desigualdades do tipo “≤” → soma → + f n Desigualdades do tipo “≥” → subtração → – fn
Transformado o sistema de equações, passa-se ao preenchimen- to do tableau do Simplex. Os coeficientes das variáveis do sistema são colocados de forma matricial, um em cada célula da tabela (tableau). Do lado de fora da tabela, devemos numerar cada linha inserindo uma coluna com um índice para indicar cada linha; e inserindo outra colu- na à direita, para indicar a qual variável o lado direito da equação (LD) está associado. Veja o modelo no Quadro 1 abaixo:
A primeira linha (sem numeração) indica a variável cujos coefi- cientes estão dispostos no quadro e o valor do lado esquerdo das equa- ções. A numeração das linhas está à esquerda, fora da tabela. A linha “0” representa a equação da Função-Objetivo. As linhas 1, 2 e 3 re- presentam as equações das Restrições. O quadro reserva ainda uma coluna denominada Quociente, cuja função será demonstrada ao lon- go da resolução do problema. À direita, fora da tabela, escrevemos a indicação da variável associada ao valor do lado direito das equações. Montado o quadro, você pode passar ao segundo passo do mé- todo Simplex: a Iteração.
Primeira iteração: Inicie o processo verificando, na linha “0”, qual é o menor coeficiente que pode ser encontrado. Veja o Quadro 2 a seguir. É o coeficiente de x
1, igual a –50.
Quadro 1: Tableau # 1 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Quadro 2: Tableau # 2 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
A coluna que possui este coeficiente passa a ser denominada coluna-pivô, e é definida como a coluna cujo coeficiente da linha “0” é o menor de todos. Veja o Quadro 3 a seguir:
O próximo passo é calcular os Quocientes em que os coeficien- tes forem estritamente positivos, ou seja, vamos calcular as razões en- tre os valores do Lado Direito (LD) das equações e cada respectivo coeficiente da coluna-pivô. Por exemplo, para a linha “1”, o valor do Quociente é igual a 360 divididos por 30, o que dá como resultado um valor igual a 120. Fazendo o mesmo cálculo para as linhas “2” e “3”, obtemos o Quadro 4:
Quadro 3: Tableau # 3 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Quadro 4: Tableau # 4 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Os valores dos quocientes calculados vão indicar agora uma li- nha que é denominada linha-pivô. O critério de escolha desta linha é: aquela que apresentar o menor Quociente calculado. No nosso exem- plo, é a linha “1”, pois o menor Quociente é igual a 12. Veja o Quadro 5 abaixo:
Quadro 5: Tableau # 5 do Simplex
Determinada a coluna-pivô e a linha-pivô, encontramos o coefi- ciente-pivô, que está na interseção entre a linha-pivô e a coluna-pivô. No Quadro 6, podemos visualizar que o coeficiente-pivô é igual a 30.
Quadro 6: Tableau # 6 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores.
Aplicamos, então, um algoritmo para modificação das linhas, utilizando o coeficiente-pivô encontrado. Este algoritmo é, na verda- de, uma maneira simples de utilizar o método de eliminação na resolu- ção de sistemas de equação.
Veja na Figura 16 o procedimento:
Figura 16: Algoritmo para modificação da linhas no Simplex
Fonte: elaborada pelos autores.
Veja que aparece no algoritmo uma linha-pivô modificada. Esta linha é obtida modificando-se a linha-pivô através da divisão de seus valores pelo valor do coeficiente-pivô. Veja o caminho para obtê-la no nosso exemplo e o aspecto do tableau (Quadro 7) após a modificação:
Linha-Pivô Modificada
[0 30 20 1 0 0 360] / 30 = [0 1 0,666 0,033 0 0 12]
Note que pegamos a linha 1 e dividimos todos os seus valores por 30 e reescrevemos esta linha com os novos valores calculados (resultados da divisão por 30).
Obtida a nova linha-pivô, continuamos então, aplicando o resto do algoritmo. Veja o que acontece com a linha “0”:
Nova Linha “0” [1 –50 –40 0 0 0 0] – (–50) [ 0 1 0,666 0,033 0 0 12 ] Nova Linha “0” [1 –50 –40 0 0 0 0] + [0 50 33,333 1,666 0 0 600] Nova Linha “0” [1 0 –6,666 1,666 0 0 600]
Perceba que para obtermos a nova linha “0” multiplicamos a linha “1” por “–50” e a somamos com a linha “0” original.
Da mesma forma, a linha “2” se transforma, ao aplicarmos o algoritmo: Nova Linha “2” [0 5 10 0 1 0 120] – (5) [0 1 0,666 0,033 0 0 12] Nova Linha “2” [0 5 10 0 1 0 120] – [0 5 3,333 0,166 0 0 60] Nova Linha “2” [0 0 6,666 –0,166 1 0 60] E, para a linha “3”:
Quadro 7: Tableau # 7 do Simplex
Nova Linha “3” [0 1 0 0 0 1 20] – (1) [0 1 0,666 0,033 0 0 12] Nova Linha “3” [0 1 0 0 0 1 20] – [0 1 0,666 0,033 0 0 12] Nova Linha “3” [0 0 –0,666 –0,033 0 1 8]
O tableau assume o aspecto apresentado no Quadro 8:
Quadro 8: Tableau # 8 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Atenção! Veja que o coeficiente-pivô pertence à coluna da vari- ável x1 e à linha da variável de folga f1. No algoritmo Simplex, quan- do escolhemos o coeficiente-pivô, verificamos a variável relacionada à coluna-pivô e denominamos essa variável como Variável-Entrante. A variável relacionada à linha-pivô é, por sua vez, denominada como Variável-Sainte. O que fazemos então é substituir no quadro, a Variá- vel-Sainte pela Variável-Entrante:
Figura 17: Substituição da Variável-Sainte pela Variável-Entrante
Fonte: elaborada pelos autores
Finalmente, podemos preencher o quadro do Simplex com as novas linhas calculadas e com a nova Variável-Entrante. Veja no Qua- dro 9 o seu novo aspecto:
Neste ponto, devemos aplicar o terceiro passo do Simplex: a Regra de Parada.
No quadro, ela se traduz pela existência ou não de um coeficien- te negativo da linha “0”. Se tal coeficiente existir, significa que a Fun- ção-Objetivo ainda pode ser melhorada, ou seja, a solução ainda não representa a Solução Ótima. Neste caso, outra iteração deve ser calcu- lada. Olhando o quadro anterior, você pode observar que na linha “0” o novo coeficiente de x2 é negativo, igual a –6,666. Então, no nosso exemplo, devemos realizar outra iteração. Vamos a ela.
Segunda iteração: Seguindo o mesmo processo visto ante- riormente, olhe a linha (0), e procure o menor coeficiente do novo quadro do Simplex que acabamos de obter. Agora, o menor coeficiente é igual a –6,666, estabelecendo a coluna de x2 como a nova coluna-pivô. Lembre-se que isto transforma x2 na nova Variável-Entrante. Veja o Quadro 10 a seguir:
Quadro 9: Tableau # 9 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Quadro 10: Tableau # 10 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Seguindo o algoritmo, verifica-se que esta coluna apresenta dois coeficientes positivos, então calculamos os Quocientes para cada uma destas duas linhas. Assim, obtemos:
Lembra-se do próximo passo? A linha-pivô é a que apresenta o menor Quociente.
Neste caso é a linha “2”, para o Quociente igual a 9. A escolha desta linha determina também qual a Variável-Sainte. Neste caso, f2. Veja o Quadro 12:
Quadro 11: Tableau # 11 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Quadro 12: Tableau # 12 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Continuando, determinamos o novo coeficiente-pivô de valor igual a 6,666, interseção da linha-pivô com a coluna-pivô.
Procede-se então à modificação da linha-pivô, dividindo-se os seus valores pelo valor do coeficiente-pivô, igual a 6,666. Assim, ob- temos o Quadro 14 a seguir:
Quadro 13: Tableau # 13 do Simplex
Finalmente, aplicando o algoritmo do método de eliminação, ob- teremos o novo tableau do Simplex, mostrado a seguir no Quadro 15. A Variável-Sainte f2 já está substituída pela Variável-Entrante x2. Perceba que agora não há mais nenhum coeficiente negativo na linha “0”. Isto indica que a Função-Objetivo não pode ser melhorada e esta nova solução representa a Solução Ótima.
Quadro 14: Tableau # 14 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores.
Quadro 15: Tableau # 15 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Os resultados da solução podem ser obtidos diretamente do
tableau. Fica clara agora a função da coluna mais à direita do quadro.
Ela facilita a associação dos valores constantes na coluna LD às Vari- áveis de Decisão. Veja a figura a seguir. O valor de x1 é igual a 6, o de x2 é igual a 9, e a Função-Objetivo (o lucro máximo da empresa) assume o valor de 660. Resultados já encontrados na solução gráfica e pelo Solver do Excel.
Figura 18: Resultados encontrados para z, x1 e x2
RESUMO
Nesta Unidade, estudamos as definições e principais con- ceitos acerca da Pesquisa Operacional, que é um método de tomada de decisão com suporte científico utilizada em proble- mas nos quais tentamos buscar a melhor solução possível. En- tre as diversas técnicas que a PO utiliza, nós nos concentramos na Programação Linear – lembrando que uma função é chamada de linear se ela mantém uma relação linear entre suas variáveis.
Em seguida, vimos que um Modelo de Programação Li- near é uma representação de um problema real em termos de equações e inequações lineares, ou seja, em linguagem mate- mática. Neste Modelo, existem Variáveis de Decisão, Restri- ções e uma Função-Objetivo, que é o que tentamos otimizar.
Logo depois, apresentamos a você um exemplo de Mo- delagem de um problema típico em Administração, o Mix de Produção. Você teve que interpretar o problema, identificar a Função-Objetivo e identificar as Restrições deste problema, entre outros passos.
Passamos então a uma solução não computacional, a so- lução gráfica. Traçamos em um gráfico as retas corresponden- tes a cada uma das Restrições e você pôde visualizar a área do gráfico representando o espaço onde as soluções possíveis para o problema se encontram. Traçando em seguida a reta da Fun- ção-Objetivo sobre a área delimitada pelas Restrições, você obteve a melhor solução para o problema.
Entendido o processo gráfico, apresentamos o método
Simplex, que é a base da maioria dos algoritmos utilizados em
PO. Este é um método matemático para a solução de sistemas de equações através de operações com matrizes, os chamados
tableaux. Como na prática existem softwares para realizar auto-
maticamente o que o método Simplex indica, apresentamos na sequência a ferramenta Solver do Excel, com um exemplo que você foi trabalhando desde a Modelagem do problema. Mostra- mos ainda as telas da planilha nas quais tivemos que reproduzir o problema proposto com as equações, Restrições e assim por diante, dando entrada de dados no software, passo a passo.
Atividades de aprendizagem
1. Apresente três possíveis problemas de otimização que possam ser resolvidos pela Programação Linear. Formule as Funções-Ob- jetivo e as possíveis Restrições.