Livro de Pesquisa Operacional - EAD_UFMS

Anderson Lopes Belli Castanha

Eduardo Breviglieri Pereira de Castro

Fernando Haddad

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Carlos Eduardo Bielschowsky

DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE POLÍTICAS EM EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Hélio Chaves Filho

SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL

Celso Costa

COMISSÃO EDITORIAL DO PROJETO PILOTO UAB/MEC

Marina Isabel Mateus de Almeida (UFPR) Teresa Cristina Janes Carneiro (UFES)

DESIGNER INSTRUCIONAL

Denise Aparecida Bunn Fabiana Mendes de Carvalho

Patrícia Regina da Costa

PROJETO GRÁFICO

Annye Cristiny Tessaro Mariana Lorenzetti

DIAGRAMAÇÃO

Annye Cristiny Tessaro

REVISÃO DE PORTUGUÊS

Claudia Leal Estevão Brites Ramos

ORGANIZAÇÃO DE CONTEÚDO

Anderson Lopes Belli Castanha Eduardo Breviglieri Pereira de Castro

A p r e s e n t a ç ã o . . . 0 7

UNIDADE 1 – Introdução à Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional...11

Alguns conceitos iniciais para a Programação Linear...13

Modelagem de um Problema de Mix de Produção...17

Solução gráfica do Problema de Mix de Produção...22

Solucionando Problemas de Otimização com o uso de Planilhas Eletrônicas...29

Solução do Problema de Mix de Produção no Excel...31

O Algoritmo Simplex de Otimização...37

R e s u m o . . . 4 7 Atividades de aprendizagem...48

UNIDADE 2 – Problemas de Mistura O Problema da Dieta...51

Solucionando o Problema da Dieta com o uso da Planilha Eletrônica...56

Problema sugerido...62

Problema de Composição de Tintas...65

Solucionando o Problema de Composição de Tintas com o uso do Excel...67

Problema de Mix de Investimentos...72

O Problema de Mix de Investimentos Solucionado na Planilha Eletrônica...74

Problema Sugerido de Mix de Mídias...79

R e s u m o . . . 8 0 Atividades de aprendizagem...81

Solucionando o Problema de Produção de Laticínios com o uso da

Planilha Eletrônica...88

Problema de Produção de Vidros...93

Solucionando o Problema de Produção de Vidros com o uso do Excel...95

Resumo...100

Atividades de aprendizagem...100

UNIDADE 4 – Problemas de Transportes Problemas de Transporte...103

Problema de Escoamento da Produção #1...105

A resolução do Problema de Transporte através de Planilha Eletrônica...107

Problema de Escoamento de Produção #2...110

Solucionando o Problema de Transporte com o uso do Excel...113

Resumo...116

Atividades de aprendizagem...116

UNIDADE 5 – Outras Aplicações em Pesquisa Operacional Ampliando o uso da Pesquisa Operacional...121

Programação Inteira...122 Programação Não-Linear...124 Resumo...125 Atividades de aprendizagem...125 Referências...126 Minicurrículos...128

Caríssimo aluno,

Neste momento você inicia seus estudos sobre Pesquisa Operacional. Em uma definição bastante simples, a Pesquisa Operacional é um método de tomada de decisão com suporte científi-co utilizado em problemas nos quais tentamos buscar a melhor solu-ção possível. Mesmo nesta simplificasolu-ção, podemos destacar sua prin-cipal importância nos dias atuais: buscar a melhor solução possível.

Na vida do Administrador, existe uma quase obsessão dentro das organizações: operar com o menor custo. Paralelo a isso, o Admi-nistrador também persegue nas empresas o melhor lucro, certo? E por outro lado, ele se depara em seu cotidiano com questões que envol-vem limitações de insumos, de capacidade e de tantos outros recursos; ainda mais em tempos modernos!

Ora, como alcançar o menor custo ou o maior lucro com recur-sos escasrecur-sos é um problema típico de Pesquisa Operacional. E, da mesma forma que este, pode-se imaginar, ou ainda, vivenciar diversas outras situações similares com impactos consideráveis no campo de atuação das organizações. Separamos algumas destas situações para apresentar a você neste curso!

O estudo de Pesquisa Operacional também cresce em importân-cia nos dias atuais devido à facilidade do contato com ferramentas informatizadas. Hoje, com a ajuda de um microcomputador e de softwares cada vez mais interativos e populares, podemos solucionar grande parte dessas situações problemáticas habituais do mundo dos negócios.

Neste material, procuramos elaborar justamente isso: aplicações que você – futuro administrador – poderá utilizar em situações profis-sionais com a ajuda de suporte computacional. Para isso, nós utiliza-mos como ferramenta nesta apostila a planilha eletrônica do Microsoft®

Excel. Se você se sentir um pouco enferrujado, existem diversos

em: 5 maio 2009. Outra fonte importante é o site da própria Microsoft® <www.microsoft.com.br>. Acesso em: 5 maio 2009.

Sugerimos ainda que, já no decorrer desta etapa de seus estudos, você desenvolva grande interação com o seu professor e com o seu tutor. Não hesite em expor suas dúvidas, seja de forma presencial ou nos fóruns por meio do ambiente virtual. Esta articulação nos parece essencial em seu processo de aprendizagem.

O material está dividido em 5 Unidades. Na primeira Unidade, apresentamos a introdução do tema, com uma abordagem mais teóri-ca, discorrendo sobre os conceitos básicos de Pesquisa Operacional. Nas Unidades seguintes focamos em aplicações de Pesquisa Operacional. Assim, na segunda Unidade, desenvolvemos os chama-dos Problemas de Mistura. Na terceira Unidade, os Problemas de Ca-pacidade. E, na quarta Unidade, apresentamos os Problemas de Trans-porte. Por último, tecemos comentários sobre outros métodos utiliza-dos em PO.

Introdução à

Pesquisa Operacional

_{Pesquisa Operacional}

Introdução à

Objetivo

Nesta Unidade de estudo, vamos conhecer as definições e principais

conceitos acerca da Pesquisa Operacional. Estes fundamentos teóricos

nos darão suporte às etapas subsequentes. Veremos também como

escrever um Problema Linear – chamaremos esta ação de modelar – e

como solucioná-lo usando técnicas gráficas e computacionais. Devemos

nos recordar das equações e inequações matemáticas e dos gráficos de

equações, pois estes serão conhecimentos básicos necessários nesta Unidade.

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional. O que é isso? Embora possa ser definida de diversas formas, o conceito de Pesquisa Operacional foi apresenta-do, de forma clara, por Colin (2007) como o uso de métodos matemá-ticos necessários para resolver problemas nos quais existam o desejo constante por otimização, ou seja, o melhor resultado possível e, prin-cipalmente, orientados para aplicações práticas.

O dia-a-dia do Administrador está repleto de problemas que ne-cessitam de decisões de otimização, tais como maximizar lucro e minimizar o custo, não é mesmo? Então, nestas aplicações o uso da Pesquisa Operacional se destaca na construção de soluções melhores possíveis – as chamadas Soluções Ótimas.

A Pesquisa Operacional, ou somente PO, nasceu na Inglaterra no esforço de guerra, da tentativa de alocar eficientemente os recursos escassos, como nos conta Colin (2007). Tais problemas de operações militares durante a guerra tinham semelhanças suficientes com os en-contrados nas empresas no pós-guerra para animar seus administrado-res a investir neste conhecimento. E foi principalmente pelo impacto financeiro positivo obtido com sua utilização, que a PO alcançou mai-or aceitação em decisões gerenciais.

Saiba mais...

Para conhecer mais sobre o desenvolvimento de Pesquisa Operacional visite a página da Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional no site: <http://www.sobrapo.org.br/sitesobrapo.htm>. Acesso em: 4 maio 2009, e clique em “O que é PO?”

A Pesquisa Operacional abrange diversas técnicas – Programa-ção Linear, ProgramaPrograma-ção Não Linear, ProgramaPrograma-ção Inteira, Progra-mação Dinâmica, PrograProgra-mação Hierárquica etc., mas nos

concentra-Verifique no seu Excel se o Solver está habili-tado. Acesse o Excel do Office 2003, no menu ferramentas clique em Suplemen-tos. Marque o Solver e Clique Ok. Se for preciso instalar, clique na opção sim. Depois, você encontrará o Solver no menu ferra-mentas. Atenção! Nem todas as instalações do Office disponibilizam automaticamente o Solver. Se este for o seu caso, será necessá-rio utilizar o cd de instalação.

remos aqui na Programação Linear; tradicional e poderosa o suficien-te para apresentar soluções às diversas questões de otimização na área gerencial. Grandes empresas utilizam ou já utilizaram esta técnica ge-rando economias consideráveis.

A definição de Mix de Produção – o que e o quanto produzir de cada produto, dados os respectivos custos e lucros – é um dos exem-plos de aplicação de PO. Você já pensou nesta questão? Ou nesta: se uma empresa tem vários depósitos e atende várias cidades, quantos e de onde saem os produtos para cada cidade de forma a transportar e atender todos pelo menor custo? Estas são aplicações típicas de PO. Basta você transformar estes problemas em um Modelo que represen-te a realidade, utilizar um software adequado (para facilitar a parrepresen-te matemática nós utilizaremos uma planilha de cálculo, tipo Excel atra-vés da ferramenta Solver) e encontrar uma possível melhor solução.

Em uma orientação prática, a ênfase neste material pretende fa-miliarizar você aluno, com as aplicações mais usuais de Pesquisa Operacional. E, principalmente, familiarizar a Modelagem*, ou seja, como escrever um problema real em uma linguagem matemática. A intenção é apresentar problemas simples, mas de aplicações práticas. Aprendendo a modelar os problemas básicos propostos, você poderá avançar para aplicações mais complicadas.

GLOSSÁRIO

*Modelagem – é o processo de escre-ver algum aspecto da realidade através de simbologia. No caso da PO, as simbologias são as equações e inequações mate-máticas. A Modela-gem sempre simpli-fica a realidade. Fonte: elaborado pelos autores.

Alguns conceitos iniciais para a

Programação Linear

Como vocês já estudaram em matemática, uma função é chama-da de linear se ela mantém uma relação linear entre suas variáveis, assim:

y = f(x

1, x2, x3,... xn) y = c

1.x1 + c2.x2 + c3.x3 + ... + cn.xn

Vamos agora imaginar esta situação na prática: quando você re-aliza uma compra no supermercado, o valor final que você irá pagar – “y” – no caixa, ou seja, “f(x

1, x2, x3,... xn)”, será a quantidade do item 1 (x

1) vezes o preço do item 1 (c1) mais a quantidade do item 2 (x2) vezes o preço do item 2 (c

2) e assim por diante... O (c) como preço é a constante conhecida.

Ou seja, o “y” (valor a pagar) mantém uma relação linear com seus argumentos itens de compra “x

1, x2, x3,... xn”, e com suas cons-tantes conhecidas “c

1, c2 , c3 ... cn”, preços dos itens de compra. Por outro lado, uma função não-linear seria do tipo:

y = f(x 1, x2, x3) = c1.x1 3 _{+ c} 2.x2 2 _{+ c} 3.x3

Observe que em uma função não-linear você encontra pelo me-nos uma variável elevada a uma potência não unitária (2, 3 etc.). No exemplo, x

1 está elevado ao cubo (três) e x2 está elevado ao quadrado (dois), ou seja, está caracterizada a não-linearidade da função.

Assim, um Problema de Programação Linear (PPL) é um pro-blema no qual todas as equações, por exemplo, (f(x

1, x2, x3) = A) e inequações, por exemplo, (f(x

1, x2, x3) > A) são lineares.

Dito isso, alguns conceitos iniciais são necessários para você compreender melhor a Pesquisa Operacional. Então veja bem: estamos preocupados com problemas de otimização e para isso vamos

formu-lar Modelos objetivando a melhor solução possível em processos de tomada de decisão, alocando de forma otimizada recursos escassos para produzir/realizar/investir em alguma coisa. Aqui podemos identi-ficar algumas palavras chaves: um objetivo, um modelo, otimização, a decisão, os recursos. Vamos ver alguns conceitos (COLIN, 2007; BRONSON, 1986):

Problema de Otimização: Em um Problema de Otimização, a pessoa que irá tomar a decisão busca maximizar ou minimizar uma quantidade especificada, por exemplo, maximizar lucro ou minimizar custos. Em um problema de cálculo do quanto produzir de cada item em uma fábrica – um Problema de Mix de Produção* – o objetivo seria maximizar o lucro buscando a melhor quantidade de cada produto a ser produzida.

Modelo: Podemos chamar de Modelo aquilo que representa-mos em uma situação real, como um problema de gestão, por exemplo, de modo simplificado por meio de equações e inequações matemáticas de forma a modelar a realidade. A

Sofisticação do Modelo* dependerá do nível de tomada de decisão que pretendemos. Por exemplo, em um Problema de

Mix de Produção, o Modelo representaria todos os custos de

produção: a capacidade de produção de cada item, a sua quan-tidade disponível, a sua demanda e o seu lucro.

Variáveis de Decisão: São as variáveis utilizadas no Mode-lo que podem ser escolhidas e controladas pela pessoa que irá tomar a decisão. A melhor solução possível – a Solução Ótima – é uma combinação de resultados das Variáveis de Decisão. No Problema de Mix de Produção, uma variável de decisão seria a quantidade do produto versus o que eu deve-ria produzir.

Parâmetros: São as variáveis utilizadas no Modelo que não podem ser controladas pela pessoa que irá tomar a decisão. São valores muitas vezes pré-determinados e a solução en-contrada é considerar fixos estes valores. No Problema de

Mix de Produção, um Parâmetro seria a capacidade máxima

de uma máquina de produzir um determinado produto x –

GLOSSÁRIO

*Mix de Produção – conjunto dos produ-tos produzidos por uma unidade de operação, fábrica ou empresa. Fonte: elaborado pelos au-tores. *Sofisticação do Modelo – é o quan-to o Modelo simpli-fica ou se aproxima da realidade. Quan-to maior a sofistica-ção, mais próximo da realidade, mais perfeito é um Mode-lo. Ao contrário, quanto mais simples for o Modelo, mai-or será a probabili-dade de erro na so-lução.) Fonte: elabo-rado pelos autores.

(Você consegue pensar em mais coisas que você poderia maximizar ou minimizar?)

este valor é pré-determinado para aquela máquina por ques-tões técnicas ou de segurança, e não é possível produzir mais do que aquilo que foi especificado.

Função-Objetivo: É a função que expressa o principal obje-tivo da pessoa interessada na decisão. Como vimos, procura-remos maximizar ou minimizar o resultado desta função. Maximizar quando a função se referir a lucro, receita, ganhos, bem-estar etc. Minimizar quando a função se referir a custos, riscos, perdas etc. No nosso exemplo, poderia ser maximizar lucro.

Restrições: Estamos buscando decisões de como melhor uti-lizar recursos escassos, não é isso? Pois então, recursos es-cassos são limitados, e, essas limitações restringem nossas opções de decisão: são as Restrições do Problema! Como vimos na conceituação dos Parâmetros, a capacidade máxi-ma de umáxi-ma máquina tem que ser respeitada: isto é umáxi-ma Res-trição de Capacidade, ou seja, é uma limitação que devemos obedecer.

Solução Viável: Diz-se que uma solução é viável quando os valores das Variáveis de Decisão desta solução resolvem o problema, atendendo as restrições, mas não necessariamente oferecendo o melhor resultado possível. Por exemplo, em um Problema de Mix de Produção, uma Solução Viável seria uma solução que resolve as Restrições de Capacidade, que aten-de a aten-demanda, mas não fornece o maior lucro possível para a empresa.

Solução Inviável: Diz-se que uma solução é inviável quan-do pelo menos um valor das Variáveis de Decisão desta solu-ção não atende a pelo menos uma Restrisolu-ção do Problema, assim, ela não satisfaz as necessidades impostas. Neste caso, no Problema de Mix de Produção, uma Solução Inviável não satisfaz as restrições que podem ser de capacidade ou de de-manda, por exemplo.

Solução Ótima: É a Solução Viável que maximiza ou minimiza o resultado da Função-Objetivo. Ela, por ser viá-vel, atende e satisfaz todas as Restrições do Problema e retorna à empresa o melhor resultado possível.

(Reflita sobre o assun-to. Isto seria de se esperar? Pense como ficaria se, ao invés de lucro, fosse o custo? Pesquise sobre Econo-mias de Escala.)

Propriedades – divisibilidade, aditividade, proporcionalidade e certeza: Você se lembra que já comen-tamos sobre os Problemas de Programação Linear? Pois al-gumas características são necessárias para estes tipos de pro-blemas. São elas:

Divisibilidade: indica que as Variáveis de Decisão podem ser fracionadas, isto é, elas não precisam assumir valores inteiros. Certeza: presume que todos os Parâmetros são conhecidos com certeza. Isto nem sempre é verdade, mas podemos utili-zar Parâmetros fixos e analisar os resultados para conferir o efeito de alguma incerteza.

Aditividade: indica que a relação entre uma variável e outra é sempre de adição ou de subtração e nunca de outras opera-ções: o lucro máximo de uma empresa será o lucro obtido pela produção da quantidade x

1 do produto 1 mais o lucro obtido pela quantidade x

2 do produto 2 mais o lucro obtido pela quantidade x

3 do produto 3 e assim por diante. Nunca seria assim: o lucro máximo de uma empresa é o lucro obtido pela produção da quantidade x

1 do produto 1 vez o lucro obtido pela quantidade x

2 do produto 2, ok?

Proporcionalidade: diz respeito à contribuição de uma vari-ável de decisão na Função-Objetivo ou das restrições serem proporcionais ao valor daquela variável. Exemplificando: se o lucro associado à produção de uma unidade do produto 1 é de R$ 1,00; o lucro obtido pela produção de 100 unidades será de R$ 100,00 e o lucro para 100.000 unidades será de R$ 100.000,00. Desta forma, o lucro unitário não se altera conforme a quantidade produzida.

Modelagem de um Problema de

Mix

de Produção

Neste momento, vamos tentar modelar matematicamente um pro-blema real. A chamada Modelagem é um processo de entendimento e interpretação do problema e requer muita atenção. Vamos ao nosso exemplo:

A empresa Manufactura Ltda busca o maior lucro possível fabricando dois tipos de produtos que denominaremos pro-duto A e propro-duto B. Cada propro-duto A dá um lucro para a fá-brica de R$ 50,00 reais e cada produto B, um lucro de R$ 40,00. Entretanto, o produto A leva 30 minutos para ser mon-tado, e o produto B, apenas 20 minutos. Depois de monta-dos, os produtos têm de ser embalados. Devido às dimensões e outros fatores, o produto A precisa de apenas 5 minutos para este procedimento, ao passo que o produto B necessita de 10 minutos para a embalagem. A mão-de-obra utilizada na empresa é constituída de funcionários que realizam igual-mente as duas atividades, em uma jornada de 8 horas de tra-balho. Assim, o tempo dos funcionários é alocado parcial-mente para a montagem e parcialparcial-mente para a embalagem dos produtos. A empresa estabeleceu que, por dia, a monta-gem não deveria ocupar mais do que 6 horas (360 minutos,) e a embalagem não deveria gastar mais do que 2 horas (120 minutos). Outra restrição, obtida pela experiência da empre-sa, estabeleceu que não mais do que 20 produtos A produzi-dos por dia são absorviproduzi-dos pelo mercado consumidor.

Agora se pergunte: o que a empresa deseja? Vamos lá! Maximizar o lucro? Veja só: A empresa Manufactura Ltda busca o maior lucro possível fabricando dois tipos de produtos, que denominaremos pro-duto A e propro-duto B. Como os dados são referentes ao período de um dia, para simplificar vamos maximizar o lucro diário!

Quais os produtos que a empresa Manufactura produz? A e B, não é? Então, como podemos representar o lucro diário da empresa

Manufactura? Seria assim, veja:

Lucro Dia = (Lucro do Produto A x Quantidade diária de A) + (Lucro do Produto B x Quantidade diária de B)

Você concorda? Então vamos escrever matematicamente recor-dando que: cada item A dá um lucro para a fábrica de R$ 50,00 reais e cada item B, um lucro de R$ 40,00.

Lucro Dia = R$ 50,00 x Quantidade de A + R$ 40,00 x Quantidade de B.

Vamos chamar o lucro dia de “z”; a quantidade diária de A de x 1 e a quantidade diária de B de x

2. Substituindo a expressão acima, teremos: z = 50 x₁ + 40 x₂

E a empresa objetiva o que mesmo? Maximizar o lucro diário! Assim, temos a nossa Função-Objetivo:

Max z = 50 x₁ + 40 x₂

Tudo tranquilo até aqui? Então, quais são as Variáveis de Deci-são? São as quantidades de A e de B a serem produzidas por dia, ou seja, x

1 e x2. São estas as variáveis que o responsável pela tomada de decisão pode controlar e alterar para obter o melhor lucro. Mas a

Manufactura pode produzir, em um dia, o quanto quiser de A e de B,

à vontade? Não, não pode. Produzir nesta empresa como nas demais, está sujeito às restrições. Assim, uma restrição salta aos olhos: a expe-riência obtida pela empresa estabelece que não mais do que 20 itens A produzidos por dia são absorvidos pelo mercado consumidor. Ou seja, a quantidade de A por dia tem que ser menor ou igual a 20! Matema-ticamente temos:

Restrição 1: x

Mas vamos lá, continuemos com a Modelagem identificando mais restrições.

O dia trabalhado dentro da Manufactura tem 8 horas e a empre-sa deixa 6 horas para montar e 2 horas para embalar, não é isso? Relembre: A empresa estabeleceu que, por dia, a montagem deveria ocupar não mais do que 6 horas (360 minutos), e a embalagem não deveria gastar mais do que 2 horas (120 minutos).

Mas quantos minutos o item A gasta para ser montado? O item A leva 30 minutos para ser montado! E o B? O Item B, apenas 20 minutos. Se a empresa estabelece que, por dia, apenas 6 horas de trabalho podem ser destinadas à montagem, ou seja, 360 minutos de monta-gem; quantos itens A e B são possíveis montar em 1 dia?

Para cada A = 30 min., então x₁ Unidades de A vão gastar: 30x

1 min.

Para cada B = 20 min., então x₂ Unidades de B vão gastar: 20x₂ min.

Ok? Estes dois tempos somados – o que se gasta montando A e

o que se gasta montando B – não podem ultrapassar 6 horas ou 360 minutos por dia de montagem. Repare que se a empresa quiser montar mais do A, terá que reduzir o B para dar tempo e vice-versa. Isto é uma Restrição de Capacidade. E a decisão é justamente tentar otimizar a relação entre A e B: o quanto eu produzo de A e de B para ocupar o tempo todo e gerar mais lucro:

Restrição 2: 30x₁ + 20 x₂≤ 360

Para esta restrição, uma Solução Viável seria x₁ = 10 Uni-dades e x₂ = 2 Unidades. Assim, teríamos 30 x 10 + 20 x 2 = 340 minutos, respeitando as 6 horas disponíveis. Uma

Solu-ção Inviável seria x₁ = 10 Unidades e x₂ = 4 Unidades. As-sim, teríamos 30 x 10 + 20 x 4 = 380 minutos, o que excede as 6 horas disponíveis.

Se você repetir o raciocínio para a área de embalagem vai verifi-car que é muito parecido: o item A precisa de apenas 5 minutos para este procedimento, enquanto que o Item B necessita de 10 minutos para a embalagem. Ou seja, na embalagem:

Para cada A = 5 min., então x₁ Unidades de A vão gastar: 5x₁ min.

Para cada B = 10 min., então x₂ Unidades de B vão gastar: 10x₂ min.

E como a Manufactura só disponibiliza 120 minutos por dia para embalar, temos:

Restrição 3: 5x₁ + 10 x₂≤ 120

Uma última restrição é uma condição física inerente ao proble-ma: os valores de x1 e x2 devem ser positivos. Isto é, não podemos fabricar uma quantidade negativa de um produto. Esta restrição, cha-mada de não-negatividade, é bastante comum em problemas de Pro-gramação Linear. Então temos:

Restrição 4: x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0

Assim, terminamos de modelar nosso problema e resumimos todo o texto em poucas equações:

Encontrar: z, x₁ e x₂ Maximizar: z = 50x₁ + 40x₂ Restrito a: 30x₁ + 20x₂ ≤ 360 5x₁ + 10 x₂ ≤ 120 x₁ ≤ 20 x₁ ≥ 0 e x₂ ≥ 0

A esta formulação chamamos de Forma Canônica* do problema. Seguindo uma sequência, proposta por Bronson (1986), resumi-mos, a seguir, o que fizemos:

GLOSSÁRIO

*Forma Canônica – tipo de representa-ção formal de um Modelo por meio de um sistema de equa-ções e inequaequa-ções. Fonte: elaborado pelos autores.

Passo 1: Identifique o objetivo do problema, que pode ser maximizar (lucro, receita, ganhos, etc.) ou minimizar (cus-tos, perdas, riscos, etc.). Formule este objetivo em uma equa-ção com as Variáveis de Decisão:

z = c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + ... + c_nx_n

Passo 2: Identifique todas as exigências, restrições e limita-ções estipuladas pelo problema. Formule estas restrilimita-ções matematicamente. Geralmente, você irá encontrar equações e inequações do tipo:

a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n ≥ d₁ e/ou b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + ... + b_nx_n≤≤≤≤≤ d₂ e/ou b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + ... + b_nx_n = d₂

Passo 3: Expresse as condições implícitas no problema. As condições de não-negatividade:

x

Os eixos cartesianos (horizontal e vertical) delimitam uma região no plano para as soluções de nosso problema. (Procure na Internet mais sobre algoritmos e Simplex. Pesquise sobre George Dantzig, o criador do método Simplex.)

Solução gráfica do Problema

de

Mix

de Produção

Um problema de Programação Linear é geralmente solucionado com a aplicação de algoritmos*, como o Simplex, que será explicado mais detalhadamente ao final deste capítulo. Entretanto, para uma com-preensão mais clara do problema e do tipo de solução que pode ser encontrada, pode-se dar uma interpretação gráfica a ele.

Para tanto, é importante que o problema escolhido como exem-plo possua apenas duas Variáveis de Decisão, para permitir a visualização num único plano. Assim, utilizaremos o problema de Mix de Produção, que possui esta característica (apresentando as variáveis x

1 e x2) e que pode ser descrito, em sua Forma Canônica, como: Encontrar: z, x 1 e x2 Maximizar: z = 50x₁ + 40x₂ Restrito a: 30x 1 + 20x2 ≤ 360 5x₁ + 10 x₂ ≤ 120 x 1≤ 20 x₁ ≥ 0 e x₂ ≥ 0

Note bem. A construção da solução começa estabelecendo-se dois eixos cartesianos, um para cada variável do problema. Neste caso específico, o eixo horizontal é reservado para a Variável de Decisão x₁ e o eixo vertical para a outra Variável de Decisão x₂. A região deste gráfico que contém as soluções possíveis para o problema é denomi-nada Região Viável. Se não houvesse Restrições, esta região seria todo o plano infinito cortado pelos eixos x₁ e x₂. Entretanto, como você já sabe, o Problema de Programação Linear se caracteriza essencialmen-te pelas Restrições impostas, e são estas Restrições que diminuirão o plano para uma região viável com limites bem definidos.

GLOSSÁRIO

*Algoritmo – pro-cedimentos de lógi-ca computacional ou não que descre-vem os passos para a resolução de um problema proposto. Fonte: elaborado pelos autores.

Vamos lembrar que a Solução Ótima procurada deve estar ape-nas na região onde x₁ e x₂ assumem valores positivos. São as Restri-ções de não-negatividade do problema, que já foram citadas e são re-presentadas pelas inequações da última linha do problema:

x₁ ≥ 0 e x₂ ≥ 0

Veja que, graficamente, isto limita o espaço de soluções possí-veis à região do gráfico mostrada na Figura 1:

Figura 1: O espaço de soluções possíveis

Fonte: elaborada pelos autores

Da mesma forma, podemos introduzir as outras Restrições do Problema. Assim, a restrição x

1≤ 20, estabelece que somente são viá-veis as soluções no gráfico à esquerda da reta definida pela equação x

1 = 20. A Região Viável é assim reduzida para (ver Figura 2):

Figura 2: Região Viável para uma das Restrições

Agora verifique a última Restrição do problema. Note que a inequação 5x₁ + 10x₂ ≤ 120, é semelhante à anterior. Usando a mesma abordagem, obtemos os dois pontos x₁ = 0; x₂ = 12 e x₂ = 0; x₁ = 24. Traçando a nova reta com este dois pontos, obteremos uma nova Re-gião Viável para esta outra Restrição, como pode ser observado na Figura 4.

A restrição 30x₁ + 20x₂ ≤ 360 é apenas um pouco mais compli-cada de ser traçada, mas também não apresenta nenhum problema de determinação. Podemos começar considerando o valor de x₁ igual a zero para descobrirmos em que ponto a reta corta o eixo x₂. Fazendo as contas, verificamos x₁ = 0, x₂ = 18. Depois, da mesma maneira, vamos considerar o valor de x₂ igual a zero e determinaremos então o ponto em que a reta corta o eixo x₁. Neste caso, veja que x₂ = 0, x₁ = 12. Com estes dois pontos, a reta pode ser traçada, obtendo-se o gráfico da Figura 3. Note que para esta restrição, a Região Viável é o triângu-lo ressaltado em cinza delimitado pela reta e petriângu-los dois eixos.

Mas o que significa isso? Com a interpretação gráfica podemos observar que quaisquer dos dois valores de x₂ e x₁ dentro desta região, determinam um ponto que é uma solução possível para o problema e sa-tisfaz a Restrição determinada pela inequação 30x₁ + 20x₂ ≤ 360.

Figura 3: Região Viável para uma segunda Restrição

Figura 4: Região Viável para a terceira Restrição

Fonte: elaborada pelos autores

Desta forma, é possível obter as Regiões Viáveis para cada uma das Restrições. Entretanto, é claro que o problema proposto exige que todas as Restrições sejam satisfeitas ao mesmo tempo, e assim, deve-mos compor um gráfico que sobreponha cada uma delas e que nos permita visualizar a região viável global.

A composição das Restrições pode ser vista na Figura 5 e na Figura 6. A região mais escura do gráfico representa a área que pode conter soluções que satisfazem a todas as Restrições do Mix de Produ-ção: é a nossa Região Viável procurada. Lembre-se que o Ponto Óti-mo de produção, aquele que maximizará o lucro da empresa

Manufactura Ltda, deverá estar contido nesta área.

Figura 5: Composição das Regiões Viáveis para as três Restrições

Agora que já conhecemos a Região Viável para as soluções do problema, podemos passar para o próximo passo, que é exatamente determinar o Ponto Ótimo, ou a Solução Ótima que maximize os lu-cros da empresa. Observe que a função que fornece o lucro é dada por z = 50x₁ + 40x₂. Note que, graficamente, para cada valor de “z” pode-se traçar uma reta diferente. Mas quais são os aspectos destas diferen-tes retas? Vamos traçar qualquer uma delas no gráfico e ver o que podemos concluir.

Considere, por exemplo, a reta que contém o ponto x₁ = 0; x₂ = 5. Se substituirmos estes dois valores na equação, obteremos um valor de z = 200. Veja:

z = (50 x 0) + (40 x 5) = 200

Conhecendo o valor de “z”, podemos então tentar obter as coor-denadas para x₁ e x₂ de outro ponto desta mesma reta. Por conveniên-cia, vamos estabelecer que o novo valor de x₂ seja igual a zero. Assim, só nos restará obter o valor de x₁. Substituindo x₂ = 0 na equação para obtermos o novo ponto, teremos:

200 = 50x₁ + (40 x 0) → x₁ = 4

O novo ponto possui então as coordenadas x₁ = 4; x₂ = 0. Agora já é possível traçar esta primeira reta que liga os dois pontos x₁ = 0; x₂ = 5 e x₁ = 4; x₂ = 0. Na Figura 7 você pode ver o seu traçado.

Figura 6: Região Viável para todas as Restrições

Observe que, por estar contida dentro da Região Viável, qual-quer ponto desta reta representa uma Solução Viável para o problema com um lucro para a empresa de R$ 200,00 (z = 200). Entretanto, como você pode claramente inferir, esta ainda não é a Solução Ótima. Mas já conhecemos, pelo menos, os aspectos que as diversas retas têm representando os diversos lucros (diferentes valores para “z”).

Figura 7: Reta da função lucro para z = 200

Fonte: elaborada pelos autores

Note que quando o valor de “z” aumenta, por exemplo, quando z = 400, a reta se move de forma paralela à apresentada na figura. Desta forma, a reta mais alta que toca na figura em apenas um ponto é a Solução Ótima.

Seguindo este raciocínio, podemos garantir que para todo e qual-quer valor de “z”, há uma reta única com a mesma inclinação daquela primeira reta que acabamos de determinar. Isso porque os coeficientes de x

1 e x2 são sempre constantes e iguais a 50 e 40, respectivamente. Portanto, todas as retas de “z” serão paralelas umas as outras. Resta então uma única questão a se responder: quais destas retas indicam o valor máximo do lucro?

Olhando novamente o gráfico, percebemos que à medida que x 1 e x

2 aumentam seus valores, a reta da equação de “z” se afasta da origem. Se continuarmos traçando retas paralelas e lembrando que es-tas rees-tas devem possuir pelo menos um ponto dentro da Região Viável, veremos que a reta que procuramos é aquela que passa pelo ponto ex-tremo representado pela interseção das restrições cujas inequações são:

30x₁ + 20x₂ ≤ 360 e 5x₁ + 10 x₂ ≤ 120

Este ponto, como podemos observar na Figura 8 e na Figura 9, tem como coordenadas x₁ = 6; x₂ = 9. Se substituirmos estes dois valo-res na equação de “z” temos:

z = (50 x 6) + (40 x 9) = 660

Este é o lucro máximo que pode ser obtido para o problema pro-posto. Assim resolvemos o problema de Mix de Produção. Para maximizar seus lucros, cada empregado da empresa deve então pro-duzir lotes de 6 itens de A e 9 itens de B. Cada lote resultará em um lucro de R$ 660,00.

Figura 8: Reta da função lucro máximo e respectivos valores de x₁ e x₂

Fonte: elaborada pelos autores

Figura 9: Reta da função lucro máximo para z = 660

(Procure na Internet por outras ferramentas computacionais para a solução de Problemas de Programação Linear. Uma dica é o site da Lindo System: <www.lindo.com>. Acesso em: 4 maio 2009.)

Solucionando Problemas

de Otimização com o uso

de Planilhas Eletrônicas

Como você pode imaginar, na prática cotidiana das empresas, o cálculo de um problema de otimização é realizado com o auxílio de ferramentas computacionais e, não com o método gráfico visto an-teriormente.

Existem dois tipos, básicos, de programas desenvolvidos para esta finalidade. Softwares dedicados, geralmente utilizados quando o Modelo matemático vai ser usado frequentemente, dentro de uma roti-na operacioroti-nal da empresa; e softwares mais flexíveis, que devem ser usados quando o Modelo será trabalhado poucas vezes. Neste último caso, uma boa opção é se servir de algoritmos de solução de proble-mas (Solvers) que fazem parte das ferramentas disponíveis em planilhas eletrônicas de uso generalizado, como o Lotus123 ou o Microsoft®

Excel. Assim, e considerando a ampla difusão do Excel entre os

usuá-rios brasileiros – você provavelmente já utiliza o Excel –, os exemplos desta apostila serão baseados no Solver disponível na versão padrão desta planilha eletrônica.

Para construir uma planilha eletrônica de fácil utilização e com-preensão você precisará considerar algumas características importantes:

Em primeiro lugar, sugere-se que, antes de partir para a efeti-va utilização do software, o problema seja bem estudado e os dados bem organizados. Isto é fundamental para a constru-ção do Modelo matemático.

Outra sugestão é que se estruture a planilha de forma que haja uma leitura fácil de quais células contêm as Variáveis de Decisão, a Função-Objetivo, os coeficientes das Restrições e assim por diante.

Finalmente, é importante que haja comunicabilidade com o usuário, na forma de títulos explicativos que exponham

cla-ramente o que cada região da planilha contém e, qual sua função no problema.

Seguindo estas diretrizes, podemos passar então à solução de um primeiro exemplo de Problema de Otimização através do Excel, ou de Mix de Produção, cuja formulação já foi vista anteriormente.

Solução do Problema de

Mix

de Produção no

Excel

Novamente, como no item de interpretação gráfica de um Pro-blema de Programação Linear, antes de partir para a construção da planilha eletrônica, vamos relembrar o Modelo determinado para o problema de Mix de Produção, em sua Forma Canônica:

Encontrar: z, x 1 e x2 Maximizar: z = 50x₁ + 40x₂ Restrito a: 30x 1 + 20x2≤ 360 5x₁ + 10 x₂ ≤ 120 x 1≤ 20 x₁ ≥ 0 e x₂ ≥ 0

A Figura 10 mostra como uma planilha poderia ser construída para conter o Modelo matemático deste problema.

Figura 10: Planilha construída para resolução do problema

Veja que procuramos separar as regiões horizontalmente e explicitá-las de modo que facilmente se perceba onde se encontram cada parte do Modelo. A linha 2 foi escolhida para descrever a Fun-ção-Objetivo do problema. A linha 5 para o número de itens fabrica-dos. Na linha 8, colocamos o lucro unitário que a empresa obtém para cada um dos itens. Finalmente, as linhas 12, 13 e 14 são reservadas para a entrada das Restrições do Problema.

Para facilitar ainda mais a visualização do problema, alguns blo-cos foram sombreados em cinza claro. Serão estas células que terão seus conteúdos modificados pelo Solver do Excel. As outras células utilizadas, em fundo branco, contêm valores numéricos ou fórmulas que devem ser introduzidas diretamente pelo usuário.

Vamos começar inserindo, na célula D2, a fórmula da função que desejamos maximizar. No caso, o lucro total da produção, repre-sentado pela soma dos lucros conseguidos com cada item; estes calcu-lados pela multiplicação dos seus lucros unitários (células D8 e E8) pelas respectivas quantidades produzidas (células D5 e E5). Assim, na célula D2, digitamos:

= (D5*D8) + (E5*E8)

O próximo passo é inserir os valores dos lucros unitários de cada item produzido pela empresa nas células D8 e E8. No nosso exemplo, D8 deve conter o valor 50, e E8 o valor 30.

Em seguida, devemos preencher os blocos de células reservados para os coeficientes das Restrições (lado esquerdo e direito das inequações). Na planilha, os coeficientes são inseridos nas células D12, D13, D14, E12, E13 e E14. Os valores para o lado direito das Restri-ções ficam nas células I12, I13 e I14. Veja um exemplo na Figura 11:

Figura 11: Esquema de alocação das Restrições na planilha

(O Solver faz através de seu algoritmo o que foi visto na abordagem gráfica anteriormente.)

Assim que acabar de digitar os coeficientes, você pode prosse-guir inserindo as fórmulas do lado esquerdo das Restrições do Modelo no bloco de células reservado para tal. Em nossa planilha de exemplo, este bloco de células trata-se das células G12, G13 e G14. Assim, G12 deve conter:

= (D12*D5)+(E12*E5)

que representa a soma das multiplicações dos coeficientes em D12 e E12 pelas respectivas quantidades produzidas de cada item, contidas nas células D5 e E5. Da mesma forma, as outras inequações são inseridas em G13:

= (D13*D5)+(E13*E5) e, em seguida, na célula G14:

= D5

Assim, finalizamos a entrada de dados na planilha. Tudo o que resta agora é recorrer ao Solver do Excel para a realização dos cálcu-los. Para isso, basta ir até o menu do Excel, escolher ferramentas, e clicar na opção Solver. Veja a Figura 12:

Figura 12: Localização do Solver no menu do Excel

Uma janela para entrada de Parâmetros se abrirá. É preciso ago-ra informar ao Solver em que posições na planilha se encontago-ram as células contendo a Função-Objetivo, as Variáveis de Decisão (que no

Solver do Excel são chamadas de “células variáveis”) e os lados

es-querdo e direito das Restrições. Veja na Figura 13 a posição de cada um dos blocos de células e o aspecto final da tela de entrada de dados do

Solver, para o Modelo do problema do Mix de Produção a ser calculado.

Caso você encontre dificuldades no uso do Solver, consul-te o seu tutor sobre os passos necessários para entrada dos dados e a execução dos cálculos.

Figura 13: Tela do Solver

Fonte: elaborada pelos autores

Na janela de Parâmetros do Solver existe também o botão op-ções que dá acesso à janela da figura a seguir. Para os exemplos que utilizaremos nesta apostila, devemos presumir que o Modelo é linear e que as soluções deverão ser sempre não negativas. Assim, selecione essas duas opções de Parâmetros, no local indicado pela seta na Figu-ra 14. Note que existem outFigu-ras opções na tela do Solver que não se aplicam aos problemas que estamos tratando neste curso.

Depois de preencher as opções como indicado, pressione a tecla

ok. A janela se fechará e a tela anterior será mostrada. Agora para

executar o algoritmo de otimização, basta clicar no botão resolver e instantaneamente o Excel calculará a solução. Se você aceitar o cálcu-lo, o programa retornará automaticamente para a planilha, onde po-dem ser observados os resultados.

Note que as células sombreadas em cinza claro tiveram seus va-lores modificados, como esperado. De principal importância, são as células D2, que contém a Função-Objetivo a ser maximizada (lucro máximo que pode ser obtido pela empresa) e as células D5 e E5, mos-trando a quantidade de itens que devem ser fabricados para que se obtenha este lucro máximo. Além disso, as células (G12 a G14) mos-tram agora os valores obtidos com a solução para cada uma das Res-trições. Veja na Figura 15 que todos estes valores se encontram dentro dos limites desejados.

Como vimos anteriormente, o lucro máximo para este Problema de Mix de Produção é de R$ 660,00, obtido com a fabricação diária de 6 itens A e 9 itens B por cada funcionário da empresa.

Figura 14: Tela de opções do Solver

Figura 15: Planilha resolvida para o problema de Mix de Produção

O Algoritmo

Simplex

de Otimização

Vimos no item anterior como um Problema de Programação Li-near pode ser resolvido com o uso de uma planilha eletrônica. Mas você pode ter curiosidade em saber como o programa acha a Solução Ótima. Para isso, ele utiliza um algoritmo numérico mais antigo e mais conhecido como Simplex.

Saiba mais...

Para obter mais informações sobre o método Simplex escolha um dos livros indicados em nossa bibliografia para consultá-lo.

O Simplex pode ser divido, de maneira bastante simplificada, em três passos distintos, são eles:

Inicialização: preparação dos dados de entrada.

Iteração: repetição dos procedimentos de busca de uma solução. Regra de Parada: verificação se a solução obtida é a Solução Ótima.

Vejamos agora como o algoritmo funciona, descrevendo detalhadamente o processo para o exemplo de Mix de Produção. A solução manual que propomos é feita utilizando um quadro, ou

tableau*, do Simplex. Este quadro tem como única função auxiliar a realização dos cálculos e das iterações de forma mais amigável.

Começamos por transformar o Problema de Programação Line-ar, dado em sua forma padrão, numa disposição que seja mais adequa-da à entraadequa-da dos valores no quadro do Simplex. É o primeiro passo do

Simplex: a Inicialização. Para isso, tomamos todas as equações e

inequações do problema e movemos os termos de tal forma que eles se apresentam como uma série de equações cujos termos à direita sejam

GLOSSÁRIO

*Tableau – termo em francês para quadro, ou ainda ta-bela, tradicional-mente utilizado em PO para denominar as tabelas do méto-do Simplex. Fonte: elaborado pelos au-tores.

apenas constantes positivas. Veja a seguir. O problema de Mix de Pro-dução, que é dado por:

Maximizar: z = 50x₁ + 40x₂ Restrito a: 30x₁ + 20x₂ ≤ 360 5x₁ + 10 x₂≤ 120 x₁ ≤ 20 x₁≥ 0 e x₂≥ 0 se transforma em: z – 50 x 1 – 40 x2 = 0 0 + 30 x₁ + 20 x₂ + f₁ = 360 0 + 5 x 1 + 10 x2 + f2 = 120 0 + 1 x₁ + 0 x₂ + f₃ = 20

Note que as Restrições x₁ ≥ 0 e x₂ ≥ 0 (Restrições de não-negatividade) foram excluídas do problema pois são consideradas pa-drão pelo método. Além disso, foram criadas novas variáveis f₁, f₂ e f₃, denominadas Variáveis de Folga, para transformar as desigualdades das Restrições em igualdades. Estas variáveis são somadas ou subtra-ídas conforme as desigualdades originais sejam elas do tipo “maior ou igual” ou do tipo “menor ou igual”: Assim:

Desigualdades do tipo “≤” → soma → + f n Desigualdades do tipo “≥” → subtração → – f_n

Transformado o sistema de equações, passa-se ao preenchimen-to do tableau do Simplex. Os coeficientes das variáveis do sistema são colocados de forma matricial, um em cada célula da tabela (tableau). Do lado de fora da tabela, devemos numerar cada linha inserindo uma coluna com um índice para indicar cada linha; e inserindo outra colu-na à direita, para indicar a qual variável o lado direito da equação (LD) está associado. Veja o modelo no Quadro 1 abaixo:

A primeira linha (sem numeração) indica a variável cujos coefi-cientes estão dispostos no quadro e o valor do lado esquerdo das equa-ções. A numeração das linhas está à esquerda, fora da tabela. A linha “0” representa a equação da Função-Objetivo. As linhas 1, 2 e 3 re-presentam as equações das Restrições. O quadro reserva ainda uma coluna denominada Quociente, cuja função será demonstrada ao lon-go da resolução do problema. À direita, fora da tabela, escrevemos a indicação da variável associada ao valor do lado direito das equações. Montado o quadro, você pode passar ao segundo passo do mé-todo Simplex: a Iteração.

Primeira iteração: Inicie o processo verificando, na linha “0”, qual é o menor coeficiente que pode ser encontrado. Veja o Quadro 2 a seguir. É o coeficiente de x

1, igual a –50.

Quadro 1: Tableau # 1 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

Quadro 2: Tableau # 2 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

A coluna que possui este coeficiente passa a ser denominada coluna-pivô, e é definida como a coluna cujo coeficiente da linha “0” é o menor de todos. Veja o Quadro 3 a seguir:

O próximo passo é calcular os Quocientes em que os coeficites forem estritamente positivos, ou seja, vamos calcular as razões en-tre os valores do Lado Direito (LD) das equações e cada respectivo coeficiente da coluna-pivô. Por exemplo, para a linha “1”, o valor do Quociente é igual a 360 divididos por 30, o que dá como resultado um valor igual a 120. Fazendo o mesmo cálculo para as linhas “2” e “3”, obtemos o Quadro 4:

Quadro 3: Tableau # 3 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

Quadro 4: Tableau # 4 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

Os valores dos quocientes calculados vão indicar agora uma li-nha que é denominada lili-nha-pivô. O critério de escolha desta lili-nha é: aquela que apresentar o menor Quociente calculado. No nosso exem-plo, é a linha “1”, pois o menor Quociente é igual a 12. Veja o Quadro 5 abaixo:

Quadro 5: Tableau # 5 do Simplex

Determinada a coluna-pivô e a linha-pivô, encontramos o coefi-ciente-pivô, que está na interseção entre a linha-pivô e a coluna-pivô. No Quadro 6, podemos visualizar que o coeficiente-pivô é igual a 30.

Quadro 6: Tableau # 6 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores.

Aplicamos, então, um algoritmo para modificação das linhas, utilizando o coeficiente-pivô encontrado. Este algoritmo é, na verda-de, uma maneira simples de utilizar o método de eliminação na resolu-ção de sistemas de equaresolu-ção.

Veja na Figura 16 o procedimento:

Figura 16: Algoritmo para modificação da linhas no Simplex

Fonte: elaborada pelos autores.

Veja que aparece no algoritmo uma linha-pivô modificada. Esta linha é obtida modificando-se a linha-pivô através da divisão de seus valores pelo valor do coeficiente-pivô. Veja o caminho para obtê-la no nosso exemplo e o aspecto do tableau (Quadro 7) após a modificação:

Linha-Pivô Modificada

[0 30 20 1 0 0 360] / 30 = [0 1 0,666 0,033 0 0 12]

Note que pegamos a linha 1 e dividimos todos os seus valores por 30 e reescrevemos esta linha com os novos valores calculados (resultados da divisão por 30).

Obtida a nova linha-pivô, continuamos então, aplicando o resto do algoritmo. Veja o que acontece com a linha “0”:

Nova Linha “0” [1 –50 –40 0 0 0 0] – (–50) [ 0 1 0,666 0,033 0 0 12 ] Nova Linha “0” [1 –50 –40 0 0 0 0] + [0 50 33,333 1,666 0 0 600] Nova Linha “0” [1 0 –6,666 1,666 0 0 600]

Perceba que para obtermos a nova linha “0” multiplicamos a linha “1” por “–50” e a somamos com a linha “0” original.

Da mesma forma, a linha “2” se transforma, ao aplicarmos o algoritmo: Nova Linha “2” [0 5 10 0 1 0 120] – (5) [0 1 0,666 0,033 0 0 12] Nova Linha “2” [0 5 10 0 1 0 120] – [0 5 3,333 0,166 0 0 60] Nova Linha “2” [0 0 6,666 –0,166 1 0 60] E, para a linha “3”:

Quadro 7: Tableau # 7 do Simplex

Nova Linha “3” [0 1 0 0 0 1 20] – (1) [0 1 0,666 0,033 0 0 12] Nova Linha “3” [0 1 0 0 0 1 20] – [0 1 0,666 0,033 0 0 12] Nova Linha “3” [0 0 –0,666 –0,033 0 1 8]

O tableau assume o aspecto apresentado no Quadro 8:

Quadro 8: Tableau # 8 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

Atenção! Veja que o coeficiente-pivô pertence à coluna da vari-ável x1 e à linha da varivari-ável de folga f1. No algoritmo Simplex, quan-do escolhemos o coeficiente-pivô, verificamos a variável relacionada à coluna-pivô e denominamos essa variável como Variável-Entrante. A variável relacionada à linha-pivô é, por sua vez, denominada como Variável-Sainte. O que fazemos então é substituir no quadro, a Variá-vel-Sainte pela Variável-Entrante:

Figura 17: Substituição da Variável-Sainte pela Variável-Entrante

Fonte: elaborada pelos autores

Finalmente, podemos preencher o quadro do Simplex com as novas linhas calculadas e com a nova Variável-Entrante. Veja no Qua-dro 9 o seu novo aspecto:

Neste ponto, devemos aplicar o terceiro passo do Simplex: a Regra de Parada.

No quadro, ela se traduz pela existência ou não de um coeficien-te negativo da linha “0”. Se tal coeficiencoeficien-te existir, significa que a Fun-ção-Objetivo ainda pode ser melhorada, ou seja, a solução ainda não representa a Solução Ótima. Neste caso, outra iteração deve ser calcu-lada. Olhando o quadro anterior, você pode observar que na linha “0” o novo coeficiente de x2 é negativo, igual a –6,666. Então, no nosso exemplo, devemos realizar outra iteração. Vamos a ela.

Segunda iteração: Seguindo o mesmo processo visto ante-riormente, olhe a linha (0), e procure o menor coeficiente do novo quadro do Simplex que acabamos de obter. Agora, o menor coeficiente é igual a –6,666, estabelecendo a coluna de x2 como a nova coluna-pivô. Lembre-se que isto transforma x2 na nova Variável-Entrante. Veja o Quadro 10 a seguir:

Quadro 9: Tableau # 9 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

Quadro 10: Tableau # 10 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

Seguindo o algoritmo, verifica-se que esta coluna apresenta dois coeficientes positivos, então calculamos os Quocientes para cada uma destas duas linhas. Assim, obtemos:

Lembra-se do próximo passo? A linha-pivô é a que apresenta o menor Quociente.

Neste caso é a linha “2”, para o Quociente igual a 9. A escolha desta linha determina também qual a Variável-Sainte. Neste caso, f2. Veja o Quadro 12:

Quadro 11: Tableau # 11 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

Quadro 12: Tableau # 12 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

Continuando, determinamos o novo coeficiente-pivô de valor igual a 6,666, interseção da linha-pivô com a coluna-pivô.

Procede-se então à modificação da linha-pivô, dividindo-se os seus valores pelo valor do coeficiente-pivô, igual a 6,666. Assim, ob-temos o Quadro 14 a seguir:

Quadro 13: Tableau # 13 do Simplex

Finalmente, aplicando o algoritmo do método de eliminação, ob-teremos o novo tableau do Simplex, mostrado a seguir no Quadro 15. A Variável-Sainte f2 já está substituída pela Variável-Entrante x2. Perceba que agora não há mais nenhum coeficiente negativo na linha “0”. Isto indica que a Função-Objetivo não pode ser melhorada e esta nova solução representa a Solução Ótima.

Quadro 14: Tableau # 14 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores.

Quadro 15: Tableau # 15 do Simplex

Fonte: elaborado pelos autores

Os resultados da solução podem ser obtidos diretamente do

tableau. Fica clara agora a função da coluna mais à direita do quadro.

Ela facilita a associação dos valores constantes na coluna LD às Vari-áveis de Decisão. Veja a figura a seguir. O valor de x1 é igual a 6, o de x2 é igual a 9, e a Função-Objetivo (o lucro máximo da empresa) assume o valor de 660. Resultados já encontrados na solução gráfica e pelo Solver do Excel.

Figura 18: Resultados encontrados para z, x1 e x2

RESUMO

Nesta Unidade, estudamos as definições e principais con-ceitos acerca da Pesquisa Operacional, que é um método de tomada de decisão com suporte científico utilizada em proble-mas nos quais tentamos buscar a melhor solução possível. En-tre as diversas técnicas que a PO utiliza, nós nos concentramos na Programação Linear – lembrando que uma função é chamada de linear se ela mantém uma relação linear entre suas variáveis.

Em seguida, vimos que um Modelo de Programação Li-near é uma representação de um problema real em termos de equações e inequações lineares, ou seja, em linguagem mate-mática. Neste Modelo, existem Variáveis de Decisão, Restri-ções e uma Função-Objetivo, que é o que tentamos otimizar.

Logo depois, apresentamos a você um exemplo de Mo-delagem de um problema típico em Administração, o Mix de Produção. Você teve que interpretar o problema, identificar a Função-Objetivo e identificar as Restrições deste problema, entre outros passos.

Passamos então a uma solução não computacional, a so-lução gráfica. Traçamos em um gráfico as retas corresponden-tes a cada uma das Restrições e você pôde visualizar a área do gráfico representando o espaço onde as soluções possíveis para o problema se encontram. Traçando em seguida a reta da Fun-ção-Objetivo sobre a área delimitada pelas Restrições, você obteve a melhor solução para o problema.

Entendido o processo gráfico, apresentamos o método

Simplex, que é a base da maioria dos algoritmos utilizados em

PO. Este é um método matemático para a solução de sistemas de equações através de operações com matrizes, os chamados

tableaux. Como na prática existem softwares para realizar

auto-maticamente o que o método Simplex indica, apresentamos na sequência a ferramenta Solver do Excel, com um exemplo que você foi trabalhando desde a Modelagem do problema. Mostra-mos ainda as telas da planilha nas quais tiveMostra-mos que reproduzir o problema proposto com as equações, Restrições e assim por diante, dando entrada de dados no software, passo a passo.

Atividades de aprendizagem

1. Apresente três possíveis problemas de otimização que possam ser resolvidos pela Programação Linear. Formule as Funções-Ob-jetivo e as possíveis Restrições.

Problemas de Mistura

_{Problemas de Mistura}

UNIDADE

2

Objetivo

Nesta Unidade, apresentaremos os chamados Problemas de Mistura que

é quando, em termos simples, precisamos lidar com composições a

partir de escolhas de ingredientes. Veremos também algumas aplicações

e como modelá-las. Você utilizará os conhecimentos da primeira

Unidade e solucionará os problemas computacionalmente. Por fim,

O Problema da Dieta

Na Unidade anterior, estudamos como modelar e resolver um Problema de Programação Linear com o uso da Pesquisa Operacional. Nesta Unidade aprofundaremos os conhecimentos com os Problemas de Mistura: situações em que o Administrador pode determinar a me-lhor quantidade de ingredientes, respeitando, por exemplo, restrições acerca da disponibilidade destes e otimizando o seu objetivo final.

Um exemplo clássico de Problema de Mistura é o Problema da Dieta. Neste situação, o objetivo é determinar a quantidade ideal de alimentos que deve ser ingerida para satisfazer as necessidades nutricionais, com o menor custo possível.

Imaginemos, por exemplo, que um município queira estabelecer o

mix ideal de alimentos para compor o cardápio da merenda oferecida nas

escolas. Vamos supor que, nutricionalmente, o cardápio deva fornecer certa quantidade mínima de calorias, de vitaminas A e C, de ferro e de cálcio. Entretanto, para o município é importante minimizar o custo da refeição, pois assim, um número maior de crianças poderá ser atendido.

Consideremos, para fins didáticos, que o município tenha dispo-níveis para aquisição os seguintes alimentos: carne, arroz, feijão, cou-ve e banana. Além disso, deseja-se manter certa quantidade mínima de cada um dos produtos na dieta. Afinal, mesmo que os cálculos indi-quem, por exemplo, que apenas o arroz satisfaz as necessidades nutricionais, não é verossímil que crianças possam comer apenas ar-roz em uma única refeição. Desta forma, foram consideradas as se-guintes porções mínimas para cada item:

Carne: 50g Arroz: 100g Feijão: 80g Couve: 20g Banana: 50g

O preço para cada um desses itens é, respectivamente: Carne: R$ 8,00 / kg Arroz: R$ 2,00 / kg Feijão: R$ 2,00 / kg Couve: R$ 1,00 / kg Banana: R$ 4,00 / kg

Para facilitar a entrada de dados, consideremos o preço dos ali-mentos para porções de 100g, pois a maior parte das tabelas nutricionais é apresentada contendo porções dessa quantidade. Assim, os valores monetários são: Carne: R$ 0,8 / 100g Arroz: R$ 0,2 / 100g Feijão: R$ 0,2 / 100g Couve: R$ 0,1 / 100g Banana: R$ 0,4 / 100g

Da mesma forma, com relação as quantidades mínimas de cada alimento, todos os cálculos serão realizados para porções de 100 g. Assim, devemos proceder a uma normalização dos valores, conside-rando a porção, ou seja,

Quantidade mínima de Carne: 50g / 100g = 0,5 porção Quantidade mínima de Arroz: 100g / 100g = 1 porção Quantidade mínima de Feijão: 80g / 100g = 0,8 porção Quantidade mínima de Couve: 20g / 100g = 0,2 porção Quantidade mínima de Banana: 50g / 100g = 0,5 porção

As restrições neste problema referem-se às quantidades míni-mas de nutrientes a serem ingeridas e às quantidades mínimíni-mas estipu-ladas para cada um dos itens. As necessidades são dados conhecidos,

obtidos, por exemplo, da Organização Mundial da Saúde. Desta for-ma, estabelecemos as seguintes Restrições:

Consumo diário mínimo de Energia: 2000cal Consumo diário mínimo de Vitamina A: 750mcg Consumo diário mínimo de Vitamina C: 70mg Consumo diário mínimo de Ferro: 10mg Consumo diário mínimo de Cálcio: 650mg

A Tabela 1 organiza todos estes valores para facilitar a visualização:

Em termos de formulação matemática, as restrições tomam a for-ma das seguintes inequações:

225 x_carne + 360 x_arroz + 325 x_feijão + 30 x_couve + 90 x_banana ≥ 2000 7 x_carne + 5 x_feijão + 150 x_couve≥ 750

5 x_feijão + 145 x_couve + 4 x_banana ≥ 70

3 x_carne + 1,5 x_arroz + 7,5 x_feijão + 2 x_couve + 0,5 x_banana≥ 10 10 x

carne + 10 xarroz + 85 xfeijão + 235 xcouve + 10 xbanana≥ 650 x_carne ≥ 0,5

x arroz≥ 1

Tabela 1: Dados do Problema da Dieta

Fonte: elaborada pelos autores

Propriedade Energia Vitamina A Vitamina C Ferro Cálcio Porção Mínima Unidade cal mcg mg mg mg 100g Valor Diário 2000 750 70 10 650 – Carne 225 7 0 3 10 0,5 Arroz 360 0 0 1,5 10 1 Feijão 325 5 5 7,5 85 0,8 Couve 30 150 145 2 235 0,2 Banana 90 0 4 0,5 10 0,5

x_feijão ≥ 0,8 x_couve ≥ 0,2 x_banana ≥ 0,5 em que:

x

carne = quantidade de carne x_arroz = quantidade de arroz x

feijão = quantidade de feijão x_couve = quantidade de couve x

banana = quantidade de banana

A Modelagem do problema prossegue com a determinação da Função-Objetivo. Nesse problema, ela é representada por “z”, custo da merenda, calculado pela quantidade de cada alimento multiplicado pelo seu valor.

z = 0,8 x_carne + 0,2 x_arroz + 0,2 x_feijão + 0,1 x_couve + 0,4 x_banana Sintetizando, o Modelo matemático completo para descrição do Problema da dieta é escrito como:

Encontrar: z, x_carne, x_arroz, x_feijão, x_couve, x_banana Minimizar: z = 0,8 x

carne + 0,2 xarroz + 0,2 xfeijão + 0,1 xcouve + 0,4 xbanana Restrito a: 225 x_carne + 360 x_arroz + 325 x_feijão + 30 x_couve + 90 x_banana≥ 2000

7 x

carne + 5 xfeijão + 150 xcouve≥ 750 5 x_feijão + 145 x_couve + 4 x_banana ≥ 70

3 x_carne + 1,5 x_arroz + 7,5 x_feijão + 2 x_couve + 0,5 x_banana≥ 10 10 x_carne + 10 x_arroz + 85 x_feijão + 235 x_couve + 10 x_banana ≥ 650 x_carne≥ 50

x_arroz ≥ 100 x_feijão≥ 80 x_couve ≥ 20 x_banana≥ 50

cujas Restrições abaixo representam:

Energia: 225 x_carne + 360 x_arroz + 325 x_feijão + 30 x_couve + 90 x_banana≥ 2000 Vitamina A: 7 x_carne + 5 x_feijão + 150 x_couve ≥ 750

Vitamina C: 5 x_feijão + 145 x_couve + 4 x_banana≥ 70

Ferro: 3 x_carne + 1,5 x_arroz + 7,5 x_feijão + 2 x_couve + 0,5 x_banana ≥ 10 Cálcio: 10 x_carne + 10 x_arroz + 85 x_feijão + 235 x_couve + 10 x_banana≥ 650 Porção mínima de carne: x_carne ≥ 50

Porção mínima de arroz: x_arroz≥ 100 Porção mínima de feijão: x_feijão ≥ 80 Porção mínima de couve: x_couve ≥ 20 Porção mínima de banana: x_banana ≥ 50

Lembre-se de que, as Variáveis de Decisão representadas pelas quantidades de alimentos ingeridos devem ser não-negativas. Entre-tanto, note que para este exemplo, os valores já são positivos, pois as Restrições de quantidade mínima para cada item já implicam nesta não-negatividade.

Solucionando o Problema da Dieta

com o uso da Planilha Eletrônica

Com as fórmulas determinadas anteriormente, podemos partir para a construção da planilha eletrônica. A Figura 19 mostra uma op-ção de como ela poderia ser elaborada para conter o Modelo matemá-tico para o Problema da Dieta.

Perceba que o aspecto geral da planilha é idêntico ao do proble-ma de Mix de Produção visto no Capítulo I. A linha 2 perproble-manece como a escolhida para descrever a Função-Objetivo do problema. A linha 5 agora é reservada para a quantidade de porções de 100 g a ser incluída no cardápio e, a linha 8, o custo unitário da porção de cada um dos itens alimentícios. Em relação à planilha de Mix de Produção, acres-centamos mais sete linhas para as Restrições, porque agora elas são em número de 10. Assim, as linhas 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20 são reservadas para a entrada destas Restrições.

Figura 19: Planilha para resolução do Problema da dieta

Iniciamos a entrada de dados inserindo, na célula D2, a fórmula da Função-Objetivo, que neste problema, desejamos minimizar. Em outros termos, trata-se do custo total da refeição, representado pela soma dos custos com cada item alimentício (carne, arroz, feijão, cou-ve e banana). Estes custos por item, por sua cou-vez, são calculados pela multiplicação dos seus custos unitários (contidos nas células D8 a H8) pelas respectivas quantidades de porções de 100 g (presentes nas cé-lulas D5 a H5). Assim, na célula D2, devemos digitar:

= (D5*D8)+(E5*E8)+(F5*F8)+(G5*G8)+(H5*H8)

O próximo passo é inserir os valores dos custos unitários de cada item alimentício nas células (D8 a H8). Neste caso, a célula D8 deve conter o valor 0,8 (referindo-se ao preço de R$ 0,8 pela porção de 100g de carne) e assim por diante:

Célula D8 → 0,8 Célula E8 → 0,2 Célula F8 → 0,2 Célula G8 → 0,1 Célula H8 → 0,4

Seguindo com a entrada de dados, vamos preencher os blocos de células reservados para os coeficientes das Restrições (lado esquer-do e direito das inequações). Na nossa planilha, os coeficientes são inseridos nas células que formam o bloco que se inicia na célula D12 e vai até a célula H21. Os valores para o lado direito das Restrições ficam nas células da coluna L, indo de (L12 a L21). Veja na Figura 20 o esquema do preenchimento utilizado, estando indicado pelas setas a entrada de dados da Restrição referente à quantidade de Vitamina A:

Ao acabar de digitar os coeficientes e os valores do lado direito das Restrições, o próximo passo é inserir as fórmulas do lado esquer-do das Restrições esquer-do problema, no bloco de células reservaesquer-do para tal. Veja que na planilha são as células da coluna J, ou seja, de (J12 a J21). Assim: J12 → = (D12*D5)+(E12*E5)+(F12*F5)+(G12*G5)+(H12*H5) J13 → = (D13*D5)+(E13*E5)+(F13*F5)+(G13*G5)+(H13*H5) J14 → = (D14*D5)+(E14*E5)+(F14*F5)+(G14*G5)+(H14*H5) J15 → = (D15*D5)+(E15*E5)+(F15*F5)+(G15*G5)+(H15*H5) J16→ = (D16*D5)+(E16*E5)+(F16*F5)+(G16*G5)+(H16*H5) J17 → = (D17*D5)+(E17*E5)+(F17*F5)+(G17*G5)+(H17*H5) J18 → = (D18*D5)+(E18*E5)+(F18*F5)+(G18*G5)+(H18*H5) J19 → = (D19*D5)+(E19*E5)+(F19*F5)+(G19*G5)+(H19*H5) J20 → = (D20*D5)+(E20*E5)+(F20*F5)+(G20*G5)+(H20*H5) J21 → = (D21*D5)+(E21*E5)+(F21*F5)+(G21*G5)+(H21*H5) As células contêm a soma das multiplicações dos coeficientes da coluna D, pelas respectivas quantidades totais de cada item alimen-tício, contidas nas células (D5 a H5).

Tudo isso é necessário ser digitado na planilha. O passo seguin-te, se você se lembrar bem, é recorrer ao Solver do Excel para a reali-zação dos cálculos. Então, acesse o menu do Excel, escolha Ferra-mentas, e clique na opção Solver.

Figura 20: Esquema de entrada dos dados na Planilha da Dieta