Já vimos como De Morgan apresentou o simbolismo algé-brico e sua aplicação a equações no capítulo introdutório ao seu trabalho. Embora tanto (especialmente) Wallis, quanto Euler, têm feito várias antecipações desses assuntos, cada um dedica uma parte dos seus respectivos livros à mencionada matéria.
No caso de Wallis, trata-se do Capítulo XXVI, em que apre-senta o sistema de Oughtred através de um grande número de exemplos. De fato, ele se limita a transcrever os exemplos com pouca ou nenhuma explicação, confiando que o leitor entenderá tudo ao trabalhar os exemplos por si mesmo. Nisso, sua atitude é decididamente mais “histórica” do que “prática”. Ilustramos com um dos seus exemplos mais claros (W, p. 72, itálico no original):
If a Line biſected be augmented, the Square of the Biſegment, together with a Rectangle of the whole augmented and of the Augment is equal to the Square of the Biſegment ſo augmented.
“Zq” quer dizer “Z quadrado”. Observamos como Wallis não identifica as variáveis e assim dificulta a compreensão, especial-mente para o iniciante.
Euler dedica muito mais espaço para o referido material.
De fato, destina a isso duas seções (Seção II, de 13 capítulos, e Seção III, de mais 13 capítulos). Na primeira dessas seções trata das operações aritméticas com expressões algébricas (mas não de equações) e a simplificação dos resultados. É especialmente cuidadoso com a divisão, pois, ele explica, essa operação envolve maiores dificuldades, várias das quais são relacionadas com o fato que a divisão nem sempre é exata, resultando, assim, em um quo-ciente e um resto. Na maior parte, a discussão procede baseada no senso comum e a analogia com a aritmética.
Ao aplicar a divisão de polinômios a aritmética, porém, Euler obtém resultados paradoxais referentes a séries infinitas. Assim, a partir do resultado
Euler afirma que podemos continuar a divisão até a infini-dade, em qual caso o resto, ou seja o termo do erro, desaparece.
Colocando, então, a = 1, obtemos
= 1+1+1+1+1+...
O resultado é perfeito, para Euler, pois considera como um número infinito. Seu raciocínio, no entanto, fica ainda mais opaco para o caso a = 2. Nesse caso, temos
–1 = 1+2+4+8+16+32+64+...
Observa que se paramos a divisão em qualquer etapa finita e levamos em conta o termo de erro, sempre obtemos a inócua equação –1 = –1 e isso mostra, segundo Euler, que a série infinita
também é exata. A confusão, como sabemos hoje, devia-se ao fato que não se apreciava, na época, as diferenças entre séries conver-gentes e diverconver-gentes.
A segunda das duas referidas seções, Seção III, trata de razão e proporção e é aqui que Euler aborda, de modo extensivo, equações lineares em uma variável. De fato, vemos que todos os autores mais antigas dão uma atenção especial ao assunto de razão e proporção. Isso é porque, antes do advento de funções como um conceito fundamental da matemática, costumava-se a elabo-rar equações precisamente nesse contexto. Acontece mesmo com Euler (ver, por exemplo, seu tratamento de um corpo caindo num campo gravitacional (E, p. 162)), embora ele fosse grande defen-sor do conceito de função.
Observe inicialmente que dois termos, a e b, em “razão arit-mética” têm a diferença d e, portanto, a = b+d. Em consequência, se quaisquer dois desses valores são conhecidos, o terceiro pode ser calculado. Também observa que a+c e b+c terão a mesma dife-rença. As referidas consequências são justificadas por considerar a equação como tendo uma incógnita e resolvendo para o mesmo usando as propriedades da igualdade. Situações mais complexas são introduzidas, usando a relação fundamental de proporção aritmética, que a soma dos termos médios é igual à soma dos ter-mos extreter-mos, e a relação fundamental de proporção geométrica, que o produto dos termos médios é igual à produto dos termos extremos. Finalmente, considera progressões aritméticas e pro-gressões geométricas, suas somas e o n-ésimo termo das mesmas, sempre manipulando algebricamente as relevantes equações.
As propriedades da igualdade são explicitadas retoricamente, baseadas no entendimento intuitivo da definição de igualdade e a analogia com a aritmética. Embora sua formulação retórica lembra as “Noções Comuns” de Euclides nos seus Elementos, o mesmo não parece ser um elemento pedagógico da sua apresen-tação, pois seu suposto leitor, representado pelo seu ex-alfaiate,
não pode ser considerado um estudante, mesmo ocasional, de Euclides. Enquanto a discussão tende a fluir de forma bastante natural na maior parte da discussão sobre as referidas equações, há certos momentos em que variáveis são substituídas, não por números, mas por expressões algébricas complexas. Isso é feito sem qualquer explicação maior e, assim, poderá causar entraves para o iniciante.
A possibilidade de “questões absurdas”, ou seja, problemas mal formulados, é reconhecida ligeiramente por Euler no contexto do cálculo do número de termos em uma progressão aritmética finita. No caso, o resultado precisa ser um número inteiro posi-tivo. Assim, se fosse, por exemplo, uma fração, isso indicaria algo errado na formulação do problema.
Aproveitamos o presente contexto para abordar mais dois assuntos que não se limitam a ele. Ao abordá-los aqui, no entanto, dispensaremos de maiores comentários sobre esses assuntos em outros lugares do texto. O primeiro desses assuntos é a questão de erros. Os textos de Euler frequentemente apresentam pequenos erros de composição gráfica, especialmente em relação de fórmu-las ou contas. Isto provavelmente se deve à falta de “provas” que poderiam ser corrigidas pelo próprio Euler.26 Escolhemos três erros ao acaso e comparamos o texto inglês com vários outros tex-tos. O resultado foi surpreendente. Em parágrafo 262 (E, p. 78), achamos a seguinte soma de expressões algébricas:
A edição de São Petersburgo de 1771 simplesmente não con-tém a referida soma. O mesmo acontece no texto francês e na
26 O presente autor pode atestar da sua própria experiência que a correção de pro-vas nem sempre garante a eliminação dos erros corrigidos!
reedição do texto original na Opera omnia de 1911. O mesmo acontece com outro exemplo dado no texto inglês. Concluímos que esses dois exemplos provavelmente fossem acrescentados no texto inglês.
O segundo erro que analisaremos se encontra no parágrafo 277 (E, p. 82), onde temos o seguinte exemplo de multiplicação:
O resultado correto, a4 + 4b4 , é dado em todos os outros três textos verificados, no entanto o texto francês tem ab4 por 4b4 na penúltima linha.
Finalmente, no parágrafo 393 (E, p. 129), encontra-se “12–7
= 2–4”, enquanto todos os outros três textos têm a equação cor-reto “12–7 = 9–4”. Assim, nos casos investigados é Euler que teve razão, sendo os erros inseridos no texto inglês e, num só caso, no texto francês. Talvez uma investigação sistemática de todos os erros encontrados nos vários textos seria interessante, contudo, isso não é consoante com os propósitos do presente trabalho e, portanto, não será feita aqui.
O segundo assunto que queremos abordar no presente con-texto é o tratamento de espécies de moeda usadas nos problemas.
No parágrafo 419 (E, p. 136-137), por exemplo, Euler calcula o preço de um cavalo, dado que o referido preço é determinado por uma certa progressão aritmética. O preço é dado como 1648 pence, ou seja, 6l. 17s. 4d. O que chama a atenção é que se usa a moeda inglês aqui num texto escrito em alemão e publicado na
Rússia. Em qualquer caso, temos que l. é a abreviação de libra, originalmente uma medida de peso entre os romanos; s. é a abre-viação de shilling, que provém de um termo antigo inglês/nórdico significando “divisão”; d. é a abreviação de denarius, uma subdivi-são da libra romana. Embora usam a abreviação d. para o termo latino, é falado em tradução penny (basicamente “centavo”) com as formas plurais equivalentes pennies ou pense. Houve, na época, 20 shillings em uma libra e 12 pense em um shilling. Assim, 1648 pence é, de fato, 6l. 17s. 4d.
Nos dois textos alemães, o preço do cavalo é dado como 1648 copeques (Copeten), ou seja, 16 rubros e 48 copeques. Vale men-cionar que foi Pedro, o Grande, que havia feito, de então faz pouco tempo, uma reforma monetária padronizando o conteúdo de prata do rubro e de cobre do copeque e, o que é mais impor-tante para nós, fazendo que um rubro contivesse 100 copeques.
No texto francês, o preço do cavalo é 1648 sous, ou 82 livres e 8 sous. O sistema monetário francês é parecido como o da Inglaterra – de fato, aquele era o modelo para este –, sendo que houve 12 deniers em um sou (ou sol) 20 sous em uma livre.
Interessantemente, então, no texto francês o preço do cavalo é dado em que corresponde ao shillings no texto inglês. Isto levanta uma questão econômica interessante: o cavalo custava mais caro em São Petersburgo (em 1771), Lyon (em 1795) ou Londres (em 1822)? Deixamos a resposta aos cuidados do leitor. Observamos apenas que é o número 1648 que é central em todas as versões do problema, pois é ele que é a soma da dada progressão aritmética.
Outro problema, no parágrafo 439 (E, p. 145), calcula o preço de uma casa como sendo 23970 coroas (crowns). De novo, os dois textos alemães usam rubros, mas o texto francês usa écus. Uma coroa é equivalente a 5 libras, enquanto um écu valia, na referida época, 6 livres. Assim, nesse caso, os dois textos usam unidades correspondentes dos dois sistemas. De novo, deixaremos as ques-tões econômicas sobre os valores relativos dos vários preços ao
cargo do leitor, observando somente que, do ponto de vista mate-mático, o número 23970 foi determinado como sendo o décimo segundo número 365-gonal.
Talvez o aspecto mais importante de toda essa discussão não é tanto as engrenagens econômicas das equivalências (ou não equivalências) entre os vários sistemas monetários usados, mas os esforços dos tradutores a produzir textos significativos para os seus leitores.