John A. Fossa
N
o presente trabalho faremos uma investigação compa-rativa do conteúdo e dos recursos pedagógicos contidos em três livros-textos históricos de álgebra, escritos por Wallis, Euler e De Morgan. Também faremos algumas obser-vações sobre a importância dessa investigação para a Educação Matemática. Antes de proceder, porém, para a referida investiga-ção, será interessante fazer um pequeno esboço dos autores dos textos, situando-os dentro dos seus contextos históricos. Ao fazer isso agora, também faremos uma primeira descrição dos referidos textos, tanto historicamente, quanto bibliograficamente.Os Protagonistas
Embora fosse Catedrático da Universidade de Oxford, onde detinha a Savilian Chair de Geometria, e considerado um dos maiores matemáticos ingleses da sua época, John Wallis
(1616-1703) só teve um primeiro contato com a matemática por volta de quinze anos, quando seu irmão lhe instruiu nos rudimen-tos da aritmética.1 Não teve, no entanto, condições de continuar a estudar a matemática (então considerada uma matéria infe-rior) e, em consequência, optou para estudar as humanidades e a medicina na Universidade de Cambridge. Seu professor nessa instituição, Francis Glisson (1599-1677), apoiava as ideias revo-lucionárias de William Harvey (1578-1657) sobre a circulação do sangue e, assim, Wallis também acabou sendo um dos primeiros defensores da referida tese de Harvey. Ao final do curso de mes-trado, em 1640, foi ordenado ministro da Igreja da Inglaterra.
Foi somente em 1647 que Wallis voltou sua atenção de novo para a matemática. Estava participando nas reuniões de vários cientistas eminentes que viriam a fundar a Sociedade Real e leu, na data indicada, a Clavis mathematicae2 de William Oughtred (1574-1660). Dominou o referido livro em uma questão de sema-nas e logo passou a fazer suas próprias pesquisas matemáticas.
Paralelamente, durante a guerra civil inglesa entre os partidários do Parlamento e os do rei (1642-1651), Wallis, que fazia cálculos mentais prodigiosos com uma habilidade extraordinária, ser-viu, como criptógrafo, à causa rebelde sob o comando de Oliver Cromwell (1599-1658), decodificando as mensagens secretas dos realistas. Através da influência do seu chefe guerreiro, obteve a já mencionada Savilian Chair em Oxford.
Entre os trabalhos científicos de Wallis, o mais notável é a Arithmetica infinitorum (1656), um tratado sobre o Cálculo. Nela, não somente obteve alguns resultados muito interessantes, mas também inventou algumas técnicas que seriam desenvolvidas mais tarde por, entre outros, Isaac Newton (1643-1727). Seu Treatise of Algebra foi publicado em 1685. Embora criticado por
1 Para mais dados sobre a biografia de Wallis ver O’Connor e Robertson (2002).
2 A Chave da matemática, publicado em 1631.
seu estilo pouco inspirado, o referido livro foi de suma importân-cia para a matemática inglesa do século XVIII. Na época, ainda teve muita controvérsia3 sobre a existência de números negativos e imaginários – e, de fato, sobre a conveniência da própria álge-bra – e, nesse sentido, o Tratado de Wallis foi um grande passo para a aceitação desses números devido à desenvoltura e à clareza com que expôs o ponto de vista algébrica. Na verdade, segundo Helena M. Pycior (1997, p. 103), Wallis superou os algebristas predecessores (Oughtred e Harriot)
… because of his stubborn commitment to arithmetic as the foundation of algebra and hence to “pure algebra” – his own term, which proclaimed an algebra that was independent of and perhaps superior to geometry.
É interessante observar que o Tratado pode ser visto como um desenvolvimento de forma mais clara e mais organizada dos trabalhos (inéditos) de Thomas Harriot (1560-1621). De fato, o próprio Wallis, nas observações históricas contidas no referido Tratado, sugere, talvez por um excesso de chauvinismo, que tudo de que o matemático francês René Descartes (1596-1650) sabia de álgebra foi retirado diretamente de Harriot.
Para o presente trabalho, consultei a edição original de 16854, que foi impresso por John Playford para o livreiro da Universidade de Oxford, Richard Davis.5 Uma tradução do título inteiro do livro, na sua esplendida extensão (como foi praxe da época), é Um Tratado de Álgebra, tanto histórico quanto prático, mostrando a ori-gem, o progresso e o desenvolvimento do mesmo de tempos em tempos, e
3 Para mais detalhes, ver, por exemplo, Anjos (2012).
4 Wallis nos informa, no prefácio, que a obra foi completada em 1676, mas houve delongas no processo de publicação.
5 Citações dessa obra terão a forma (W, p. n).
pelos quais passos ela tem alcançado sua atual altura6. É dividido em cem capítulos e um prefácio e ainda é encadernado com quatro tratados adicionais, os quais, porém, não serão objetos do nosso estudo.
Nosso segundo protagonista, o matemático suíço, Leonhard Euler (1707-1783), é conhecido como o matemático mais pro-lífico de todos os tempos, apesar de haver perdido a visão por grande parte da sua carreira.7 Nasceu em Basileia e estudou na Universidade dessa cidade sob a orientação de Johann Bernoulli (1667-1748). Logo depois de concluir seus estudos, recebeu um convite de ingressar na recém-criada Academia de São Petersburgo, onde ficou de 1727 a 1741. A situação política russa, bem como alguns motivos pessoais, o levarou a aceitar o convite de Frederico, o Grande, (1712-1786) para fazer parte da Academia de Berlim. Eventualmente, porém, voltaria para a Academia de São Petersburgo à insistência de Catarina, a Grande (1729-1796). Permaneceria em São Petersburgo de 1766 ao seu falecimento em 1783.
Além de ser prolífico, Euler foi um grande inovador em várias áreas da matemática, especialmente na Teoria dos Números, no Cálculo das Variações, na Análise Infinitesimal e na aplicação de métodos matemáticas às ciências. Suas Cartas a uma Princesa de Alemanha são uma bem-conhecida exposição de assuntos matemáticos e físicos para leigos. Também escreveu uma intro-dução à aritmética e, é claro, a Vollständige Anleitung zur Algebra (Instrução completa em álgebra). Segundo o índice feito por Gustav Eneström (1852-1923), o manuscrito da referida obra foi com-pletado antes de 1768, pois uma tradução russa foi publicada nesse ano. A versão original, em alemão, saiu em dois volumes, segundo Eneström, em 1770, mas o texto que usamos traz a data
6 Isto é, Heighth, ao pé de letra “altura”. Aqui deve ser compreendido algo como
“nível de desenvolvimento”.
7 Para mais sobre o referido matemático suíço, ver Fossa (a aparecer).
de 1771. Uma tradução francesa, feita por Johann III Bernoulli (1744-1807, neto de Johann I Bernoulli (1667-1748), o professor de Euler), com “notas e suplementos”, apareceu em 1771 com o título Élémens d’algébre (Elementos de álgebra). Tivemos acesso a uma edição datada “Terceiro Ano da Era Republicano”, ou seja, 1795. A versão francesa foi traduzida para o inglês, pelo teólogo inglês John Hewlett (1762-1844), como Elements of Algebra em 1797. Para facilitar a comparação com as álgebras de Wallis e De Morgan, usamos a versão inglesa. Tivemos acesso à terceira edição,8 publicada no ano de 1822 em Londres por Longman, Hurst, Rees e Orme9. Os dois volumes do original são incluídos num só volume, composto de uma primeira parte, subdivida em quatro seções de 23, 13, 13 e 16 capítulos, e uma segunda parte de 13 capítulos. Inclui também uma tradução das notas do tradutor francês (Bernoulli) e do suplemento de La Grange (Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813, um dos mais importantes matemáticos franceses do seu tempo); ainda inclui uma pequena biografia de Euler escrita pelo político escocês Francis Horner (1778-1817).
É interessante observar que Horner foi aluno particular de Hewlett. Foi sob a direção do seu mestre que Horner, aos 17 anos, fez uma primeira tradução de grande parte do texto de Euler, sendo a mesma conferida e corrigida por Hewlett. Quando o que foi inicialmente concebido como um exercício estudantil virou um projeto de publicação, Hewlett teve de assumir o pro-jeto de finalizar a tradução e editar o texto, assistido nesta tarefa pelo matemático inglês Peter Barlow (1776-1862), quem contri-buiu também com algumas notas. Ao pedido de Hewlett, Horner produziu o já mencionado ensaio biográfico sobre Euler.
8 Citações dessa obra terão a forma (E, p. n).
9 A editora foi fundada como The Longman Company em 1724 por Thomas Longman (1699-1755). Mudou de nome várias vezes, sendo conhecida hoje como Longman ou Pearson Longman. É atualmente uma divisão de Pearson Education.
Nosso terceiro e último protagonista é Augustus De Morgan (1806-1871). Filho de um oficial do exército inglês, nasceu em Madura, na Índia, onde seu pai estava servindo.10 Curiosamente, teve, como Euler, problemas com a visão, perdendo o uso do olho direito enquanto ainda criança. Mesmo assim, se distinguiu nos estu-dos com o algebrista George Peacock (1791-1858) na Universidade de Cambridge e foi escolhido, aos 21 anos, o primeiro professor de matemática na recém-fundada University College London. Apesar da sua grande habilidade, teve uma carreira conturbada devido à inflexibilidade com que mantinha seus princípios. Foi impedido, por exemplo, de obter um MA de Cambridge porque recusou a se submeter a um teste religioso da Igreja de Inglaterra, mesmo sendo membro da referida Igreja. Ainda se demitiu da sua cadeira na University College duas vezes, ambas devido a conflitos com seus princípios (a primeira vez foi em 1831, mas foi recontratado em 1836, e se demitiu de novo em 1866). Mas, houve sucessos tam-bém. De fato, foi, por exemplo, o primeiro presidente da Sociedade Matemática de Londres, sendo eleito ao posto em 1865.
Era interessado, junto com o matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865), na tentativa de desenvolver uma álgebra de três dimensões (isto é, com elementos da forma a+bi+cj) e manteve uma correspondência com Hamilton sobre isto, bem como outros assuntos científicos. Em 1849, deu uma interpretação geométrica aos números complexos numa obra inti-tulada Trigonometry and Double Algebra (Trigonometria e álgebra dupla). Foi um colaborador assíduo à Sociedade para a Difusão de Conhecimento Útil e escreveu sobre vários tópicos relacionados ao Cálculo. No entanto, a sua contribuição maior à matemática foi suas investigações sobre a lógica.11 Seus Elements of Algebra (Elementos de álgebra) foram publicados em 1835. Para o presente
10 Para mais detalhes sobre a vida de De Morgan, ver O’Connor e Robertson (1996).
11 Para mais detalhes, ver Sousa (2012).
trabalho, utilizamos a segunda edição, publicada em 1837 por Taylor e Walton,12 a editora da Universidade de Londres. A tradução do título por extenso dessa obra é Elementos de álgebra, preliminares ao Cálculo Diferencial e aptos para classes avançadas de escolas em que são ensinados os princípios da Aritmética. Contém um prefácio, uma introdução substancial e 13 capítulos, cada um dos quais é muito maior do que os capítulos nas obras corresponden-tes de Wallis e Euler.