Simetria intervalar e a Teoria dos Conjuntos

Verificado o perfil pós-tonal recorrente nas obras de Villa-Lobos aqui selecionadas, utilizamos em nossa análise alguns conceitos e termos provenientes da Teoria dos Conjuntos, método desenvolvido originalmente por Allen Forte e aprimorado por teóricos como Joseph Straus (2005) e João Pedro Oliveira (2007). Abaixo explicamos de maneira breve alguns dos principais termos utilizados em nosso estudo oriundos da Teoria dos Conjuntos.

Classe de altura: seguindo as premissas propostas por Straus (2005), as convencionais doze alturas da coleção cromática foram tratadas aqui independentes de posição de oitava ou timbre, desconsideradas também diferenças de nomenclatura (Dó# e Réb, por exemplos, representam a mesma altura). Cada uma das doze alturas ganhou um correspondente numérico (2005: 5-6) sendo Dó = 0, Réb e Dó# = 1, Ré = 2, Mib e Ré# = 3, Mi = 4, Fá = 5, Fá# e Solb = 6, Sol = 7, Láb e Sol# = 8, Lá = 9, Sib e Lá# = 10 e Si = 11 (Tab. 1 - 1).

Dó=0 Dó#/Réb=1 Ré=2 Mib/Ré#=3 Mi=4 Fá=5

Solb/Fá#=6 Sol=7 Láb/Sol#=8 Lá=9 Sib/Lá#=10 Si=11 Tab. 1 - 1: classes de conjuntos

Classe de intervalo: cada intervalo entre classes de altura (desconsiderado direção – ascendente ou descendente – e diferenças de oitava) e sua respectiva inversão tem o mesmo correspondente numérico, sendo segundas menores (2ªm) e sétimas maiores (7ªM) atribuídos à classe de intervalo UM (1); segundas maiores (2ªM) e sétimas menores (7ªm) = DOIS (2); terças menores e sextas maiores = TRÊS (3); terças maiores (3ªM) e sextas

menores (6ªm) = QUATRO; quartas justas (4ªJ) e quintas justas (5ªJ) = CINCO; e o trítono = SEIS (6) (Tab. 1 - 2).

2ªm/7ªM=1 2ªM/7ªm=2 3ªm/6ªM=3 3ªM/6ªm=4 4ªJ/5ªJ=5 Trítono=6 Tab. 1 - 2: classes de intervalos

Classe de conjunto e a tabela de Allen Forte: cada grupo de classes de altura é classificado em nosso estudo de acordo com a disposição intervalar entre seus membros (desconsiderado diferenças de oitava), transcritos para os seus números correspondentes e disposto no modo mais simplificado (sempre entre colchetes, ex.: o conjunto formado por Sol, Láb e Si é representado pela nomenclatura [7,8,11]). Segundo a tabela de Forte, diferentes grupos de classes de altura com a mesma disposição intervalar, seja no modo regular em diferentes transposições ou invertido, são relacionados por um mesmo conjunto ordinário, apresentado em seu modo mais simples – a “forma primária” (esta sempre entre parênteses, ex.: o conjunto (014) é a forma primária do conjunto [7,8,11]) (2005: 57-59). Estas formas primárias estão numeradas na tabela Forte segundo um índice de complexidade intervalar que começa no tricorde simples 3-1 e se encerra no conjunto 9-12.

Um exemplo desta convenção segundo Forte é a terminologia utilizada para os convencionais acordes Maior e menor, ambos atribuídos como o tricorde 3-11, representados pela forma primária (037). Os dois acordes têm a mesma disposição intervalar (terça maior e terça menor), sendo um conjunto invertido em relação ao outro (terça menor sobre uma terça Maior em uma tríade Maior e terça Maior sobre uma terça menor em uma tríade menor), por isso recebem a mesma numeração na tabela Forte. O mesmo acontece com as tradicionais escalas Maior e menor (incluindo também os modos eclesiásticos), que são classificadas indistintamente como sendo a mesma classe de conjunto 7-35, pois seguem a mesma sequência intervalar da coleção diatônica.

Tabela estendida de Larry Solomon (2005): complementando esta lista de conjuntos proposta originalmente por Allen Forte, utilizamos também uma

versão estendida proposta por Larry Solomon21 _{(2005). Nesta outra tabela,}

Solomon propõem que os conjuntos originais de Forte devem ser distinguidos de suas inversões através do acréscimo das letras A (conjunto original) ou B (conjunto invertido) em seu índice numérico. Essa diferenciação foi muito relevante em nosso estudo, pois, mesmo se tratando de um trabalho da análise de obras que seguem a um contexto harmônico pós-tonal, ainda são reiterados em Villa-Lobos algumas disposições herdadas da tradição tonal como o “acorde” e a “escala” (ainda que não orientados pelas convencionais diretrizes da tonalidade), e, seguindo essa atribuição, se tornaram indispensáveis as distinções entre conjuntos ordinários e suas inversões, principalmente no que refere aos números correspondentes aos acordes Maior (3-11B) e menor (3- 11A), assim como para as coleções Harmônica Maior (7-32B) e harmônica menor (7-32A).

Esta tabela estendida de Solomon (2005) se tornou indispensável em nossa pesquisa também por conter a classificação dos conjuntos de dez e onze classes de altura (muito recorrentes nos dois Choros analisados), lembrando que Forte em sua lista original apenas considerou conjuntos entre três e nove classes de alturas (tabela reproduzida na integra por Straus (2005)). Segundo esta versão ampliada de Solomon existem seis possibilidades de conjuntos de dez classes de alturas (10-1, 10-2, 10-3, 10-4, 10-5 e 10-6)22 _{e apenas um conjunto}

com onze classes de alturas (11-1), todos regidos por simetria intervalar por reflexão. Veremos ao longo deste trabalho mais detalhes sobre cada um destes conjuntos, um dos assuntos principais tratados nesta pesquisa.

Transposição (Tn) e Inversão (TnI): Todos os conjuntos de classes de alturas que correspondem à mesma forma primária podem ser relacionados pela distância intervalar entre seus membros correspondentes por transposição (Tn)

21 _{Essa tabela expandida de Solomon (2005) está disponível na integra em Anexo I.}

22 _{A expansão da Tabela Forte proposta por Lerry Solomon (2005) (recorrente também em} Tymoczko (2007)) é construída a partir dos mesmos princípios originais, mas inclui uma numeração para os conjuntos de alturas com dez e onze classes de altura, considerando que a tabela Forte lista apenas conjuntos com no mínimo três e no máximo de nove classes de altura. Solomon apresenta seis espécies com dez alturas: 10-1 (0123456789), 10-2 (012345678A), 10- 3 (012345679A), 10-4 (012345689A), 10-5 (012345789A) e 10-6 (012346789A); um conjunto com onze alturas 11-1 (0123456789A); e a própria coleção cromática como um conjunto 12-1. Todos esses conjuntos têm eixos de simetria e aparecem com frequência na obra de Villa-Lobos. Trataremos mais detalhadamente as características particulares desses conjuntos complexos de dez e onze alturas a seguir.

ou por inversão (TnI) (STRAUS: 38-52). Essa medida pode ser feita entre conjuntos com disposição intervalar no mesmo sentido, o que equivale a tradicional transposição (Tn), ou calculado entre conjuntos com disposição intervalar invertida (TnI), sendo a nomenclatura “n” referente ao número de semitons que representa a classe de intervalo que separa as duas estruturas.

Utilizamos as medidas de transposição (Tn) para avaliar processos de simetria intervalar por translação, enquanto que as medidas de inversão (TnI) surgiram em nossa pesquisa para aferir processos de simetria intervalar por translação concatenados à reflexão. Para calcular a distância intervalar entre conjuntos relacionados por transposição, basta subtrair o número representante de cada classe de altura do primeiro conjunto pelo seu correspondente no segundo. O processo de inversão é bem semelhante, precisando primeiro inverter as classes de alturas de um dos conjuntos em torno de zero (Dó=0) antes da subtração pelo segundo. Abaixo (Fig.1 - 7) temos dois exemplos, o primeiro demonstrando o cálculo da distância intervalar entre os conjuntos [0,1,3] (Dó, Réb, Mib) e [2,3,5] (Ré, Mib, Fá) por transposição T2 ((2-0=2) (5-3=2)) e o

segundo referente ao intervalo entre conjuntos [0,2,5] (Dó, Ré, Fá) e [3,6,8] (Mib, Solb, Láb) por inversão T4I ((12-3=9-5=4) (12-6=6-2=4) (12-8=4-0=4)).

Fig.1 - 7: relações de transposição (Tn) e inversão (TnI) entre conjuntos

Multiplicação intervalar: seguindo a proposta de estudo de João Pedro Oliveira (2005), um conjunto poder ser convertido ou relacionado a outro pelo fator de multiplicação (Mn) aplicado aos itens numéricos correspondentes à sua

estrutura intervalar. Constatamos que esse procedimento tem estreita relação com práticas composicionais que envolvem simetria intervalar e ciclos intervalares. Abaixo (Fig.1 - 8) temos o exemplo de um conjunto [0,1,3] (Dó, Réb, Mib; estrutura intervalar <1,2> (2ªm, 2ªM)) em que ao ser submetido ao fator de multiplicação intervalar M2 ((1x2=2) (2x2=4)) é convertido no conjunto [0,2,6] (Dó,

Ré, Fá#; estrutura intervalar <2,4> (2ªM, 3ªM)).

Fig.1 - 8: relação de multiplicação intervalar (Mn) entre conjuntos

1.4. Interação entre coleções por eixo de reflexão invariante,