Simetrias

A simetria, na linguagem corrente não escolarizada, é um conceito vago que significa harmonia de proporções, qualquer coisa de indefinido que torna os objetos e as figuras visualmente agradáveis (Veloso, 2012). Em Portugal, tem-se adotado a designação simetria axial para a transformação reflexão (Bastos, 2006; Veloso, 2012). Por isso, o ponto P´=Rl(P)

costuma chamar-se ponto simétrico de P em relação ao eixo de reflexão.

No entanto, o ponto P´= Rl(P) deve chamar-se de ponto transformado (ou imagem) de

P por meio da reflexão de eixo l (Veloso, 2012). Para Breda et al. (2011) e Veloso (2012), uma isometria S é uma simetria para a figura plana F se fixa (deixa invariante) essa figura, isto é, se S(F)=F. Portanto, quando se fala de simetria fala-se de simetria de uma figura (Breda et al., 2011; Cabrita et al., 2008; Veloso, 2012). Assim, encontrar as simetrias de uma figura plana corresponde a encontrar as isometrias do plano que fixam ou deixam invariante

essa figura, isto é, consiste em procurar cada uma das isometrias do plano – translação, rotação, reflexão e reflexão deslizante – bem como composições destas (Veloso, 2012).

Qualquer que seja a figura, existe sempre uma transformação geométrica que a deixa invariante, a identidade. Uma vez que a composição de duas simetrias de uma dada figura F é ainda uma simetria de F e que a transformação inversa de uma simetria de F é ainda uma simetria de F, o conjunto constituído por todas as simetrias de F munido da operaçãoo composição de funções, constitui o grupo das simetrias de F (Breda et al., 2011; Veloso, 2012).

De acordo com Breda et al. (2011) e Veloso (2012), quando a reflexão numa reta l faz parte do grupo de simetrias de uma figura F, diz-se que a figura possui simetria axial e que l é um eixo de simetria dessa figura. Ainda para estes autores, uma figura F possui simetria de rotação de ordem n (n >1) quando o grupo de simetrias dessa figura possui n rotações com centro num mesmo ponto (centro de rotação) e de amplitudes , k = 1, ..., n. Ainda neste âmbito, os mesmos autores defendem que uma figura possui simetria central se a rotação de amplitude 180o faz parte do grupo de simetrias dessa figura. Por sua vez, diz-se que uma figura tem simetria de translação quando é possível deslocar todos os seus pontos segundo um mesmo vetor, não nulo, e ela permanecer invariante.

Face à enorme variedade de exemplos de simetrias, artísticas ou não, este trabalhio centra-se apenas nos grupos de simetrias discretos: os grupos de padrões do plano, os grupos das figuras que se repetem numa só direção e os grupos finitos. Segundo Bellingeri et al. (2003) e Veloso (2012) os grupos discretos dividem-se em três grandes categorias:

(1) frisos – grupos infinitos que contêm translações numa só direção; (2) rosáceas – grupos finitos que não contêm translações;

(3) “papel de parede”– grupos infinitos que contêm translações em direções diferentes.

Serão objeto de estudo as simetrias em composições de isometrias, em frisos e em rosáceas. As opções curriculares tomadas têm em vista o estudo de transformações geométricas que torne possivel a sua exploração, em conformidade com o estabelecido no PMEB (Ponte et al., 2007).

Frisos

Em Matemática, o termo padrão é usado quando se pretende procurar ordem ou estrutura, e por isso os termos regularidade, repetição e simetria estão muitas vezes presentes (Vale, 2012). Os padrões, pela sua natureza constituem o contexto privilegiado para trabalhar a Matemática, e a forma de encorajar os alunos a explorar ideias importantes como sejam a conjetura e a generalização (NCTM, 2007; Vale, 2009).

A exploração de padrões, mais do que uma característica da Matemática é uma componente transversal que permite estabelecer conexões entre vários conceitos matemáticos. São vários os investigadores que reconhecem a importância da descoberta de padrões como uma atividade que proporciona experiências de aprendizagens significativas e motivantes para os alunos (Beker & Rivera, 2005; Vale et al., 2006; Vale & Barbosa, 2009; Vale, 2009).

No que respeita ao PMEB (2007), a palavra padrão aparece várias vezes tanto no contexto numérico como no contexto geométrico. No tema Geometria, é feita referência aos padrões geométricos no 1º ciclo, onde é sugerido que os alunos devem desenhar figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical, construir frisos, identificar simetrias e construir pavimentações com polígonos. No 2º ciclo, as orientações sugerem que os alunos devem completar, desenhar e explorar padrões geométricos que envolvam simetrias, identificar as simetrias de frisos e rosáceas bem como construi-los. Para o 3º ciclo, refere que os alunos devem explorar aspetos relacionados com simetrias, bem como usar transformações geométricas para construir frisos, rosáceas e pavimentações.

A palavra padrão no campo geométrico está associada à repetição, de forma regular, de uma figura inicial, denominada de motivo ou elemento do padrão, obedecendo a uma determinada disposição que caracteriza o padrão (Veloso, 2012).

Palhares (2004) define friso da seguinte forma: ”Se considerarmos uma figura, seja

ela qual for, e a repetirmos sucessivamente, por aplicação tanto de como por , obtemos uma sucessão de figuras na mesma direção. Se a isto impusermos que nunca exista uma primeira ou uma última, esta sucessão de figuras permanece invariante face à aplicação

de (ou de ). A este tipo de figura global chama-se um friso. Trata-se de uma figura

que permanece invariante por efeito de uma translação em particular (ou da sua inversa)

”(p.341).

Segundo Breda et al. (2011), “Um friso é uma figura que tem por grupo de simetrias

translações deste grupo constituem um subgrupo cíclico infinito, ou seja, as translações têm todas a mesma direção” (p. 101).

Veloso (2012) define friso como “qualquer figura plana cujo conjunto de simetrias

verifique a seguinte condição: existe uma simetria de translação T de módulo mínimo ≠ 0, tal que as simetrias de translação da figura são todas as potências de expoente inteiro de T. Daqui resulta imediatamente que as simetrias de translação de um friso têm todas uma única direcção” (p.75).

Da combinação das quatro simetrias possíveis nos frisos, podem definir-se sete tipos de frisos diferentes (Martin, 1982; Breda et.al., 2011; Cabrita et al., 2008; Veloso, 2012). Têm sido propostas diferentes notações para os frisos (Veloso, 2012), sendo a adotada por Breda et al. (2011) a que é utilizada no livro de referência de Washburn and Crown e que se descreve a seguir. A cada tipo de friso é atribuído um conjunto de quatro símbolos pxyz, do seguinte modo (Breda et al., 2011; Veloso, 2012):

(1) A primeira letra é sempre p

(2) x = m, se o friso tiver simetrias de reflexão de eixo vertical

x = 1, se o friso não tiver simetrias de reflexão de eixo vertical (3) y = m, se o friso tiver uma simetria de reflexão de eixo horizontal

y = a, se o friso tiver simetrias de reflexão deslizante y = 1, se não se verificar nenhum dos dois casos anteriores (4) z = 2, se o friso tiver simetrias de meia volta

z = 1, se o friso não tiver simetrias de meia volta

O Fluxograma de Washburne and Crowe, e que se encontra ilustrado na figura 17 permite determinar o tipo de um dado friso.

Fig. 20 – Exemplo de um friso do tipo p1a1(Breda et al., 2011:104) Fig. 19 – Exemplo de um friso do tipo p112 (Breda et al.,2011:103)

A seguir apresenta-se um exemplo de cada tipo de friso (imagens retiradas de Breda et

al. , 2011) e faz-se uma breve descrição da sua construção.

 Friso do grupo p111 (figura 18): É o friso mais simples e contém apenas simetrias de translação. É gerado pela translação, , ou seja, é o conjunto constituído por

, por e por todas as translações obtidas por composição destas.

 Friso do grupo p112 (figura 19): O grupo é gerado pela translação e pela rotação de centro em P e amplitude 180º. O friso pode ser obtido pelas translações segundo e segundo e por todas as tanslações que são composição destas.

 Friso do grupo p1a1 (figura 20): O grupo é gerado pela reflexão deslizante de eixo c e segundo . O friso pode ser obtido pelas translações segundo e segundo

e por todas as translações que são composição destas.

Fig. 21 – Exemplo de um friso do tipo p1m1(Breda et al., 2011:104)

Fig. 22 – Exemplo de um friso do tipo pm11(Breda et al., 2011:106)

Fig. 23 – Exemplo de um friso do tipo pma2(Breda et al., 2011:107)

 Friso do grupo p1m1: O grupo é gerado pela reflexão de eixo c e pela translação segundo (figura 21). O friso pode ser obtido pelas translações segundo e segundo e por todas as tanslações que são composição destas.

 Friso do grupo pm11 (figura 22): O grupo é gerado pela reflexão de eixo l e pela translção segundo . Assim, as simetrias deste tipo de friso são para além da reflexão de eixo l e das translações segundo e segundo , e por todas as isometrias que são composições destas.

 Friso do grupo pma2 (figura 23): O grupo é gerado pela rotação de centro m e amplitude 180º, pela reflexão de eixo l e pela translação segundo . As simetrias deste tipo de friso são para além da rotação de centro m e amplitude 180º, da reflexão de eixo l e das translações segundo e segundo e por todas as isometrias que são composições destas.

Fig. 24 – Exemplo de um friso do tipo pmm2 (Breda et al., 2011:105)

Fig. 25 – Exemplo de uma rosácea com grupo de simetria C10 (Breda et al., 2011:100)

Fig. 26 – Exemplo de uma rosácea com grupo de simetria D5 (Breda et al., 2011:100)

 Friso do grupo pmm2 (figura 24): O grupo é gerado pelas reflexões de eixo l e eixo

c e pela translação segundo . As isometrias que fazem parte deste grupo são as

translações segundo e segundo , reflexões de eixo l e eixo c e todas as obtidas por composição destas. É de observar que do grupo de simetrias deste grupo fazem parte rotações de amplitude 180º (meias voltas).

Rosáceas

Breda et al. (2011) e Veloso (2012) definem uma rosácea como uma figura plana, cujo conjunto de simetrias é finito e não tem simetrias de translação nem de reflexão deslizante. Tem por grupo de simetria o grupo cíclico Cn (n  1, n rotações) ou o grupo diedral Dn (n  1,

n rotações e n reflexões).

Uma forma simples de obter uma rosácea com grupo de simetrias cíclico Cn (figura

25), é partir da divisão de um círculo em n setores congruentes.

Para construir uma rosácea com grupo de simetrias Dn (figura 26), divide-se um