Sistemas Multiagentes
3.2 Teoria Moderna de Portfólio
contratante dos serviços de administração de portfólio.
• Bolsas de valores: Entidade constituída com o intuito de facilitar a negociação de ativos financeiros, geralmente ações de empresas, embora freqüentemente re- alizem negócios também com outros ativos. Em geral, apenas algumas poucas instituições podem operar em uma bolsa, outros que desejam realizar negócios devem utilizar os serviços de uma instituição autorizada. Muito similares, as bolsas de mercadorias são especializadas em transações de preço futuro de com- moditiescomo petróleo, café, ouro entre outras (FLEURIET, 2004). Ao contrário
das bolsas de mercadores que funcionam primordialmente como um mecanismo de transferência de risco de preço entre produtor e especulador, as bolsas de va- lores fornecem um meio de captação de recursos para as empresas e uma opção de investimento para poupadores.
• Pregão: Período do dia durante o qual podem ser realizados negócios em uma bolsa de valores.
• Corretora: Empresa habilitada para realizar negócio junto a uma bolsa de valo- res e que geralmente presta serviço de intermediação de negócios junto a bolsa de valores para terceiros. Esta é co-responsável pelas compromissos assumidos por seus clientes.
• Ordem de compra (ou venda): Especificação para comprar (ou vender) um determinado ativo alvo em uma bolsa de valores.
• Ordem limitada: Ordem que especifica um preço máximo aceitável (em caso de compra) ou um preço mínimo aceitável (em caso de venda).
• Ordem de mercado: Ordem que não especifica limite de preço, sendo que o negócio é realizado a preço especificado pelo mercado1
• Taxas de corretagem: Taxas cobradas por corretoras para realizar negócios em uma bolsa de valores, que podem ser definidas como percentuais aplicados sobre o volume do negócio ou através de valores fixos por transação.
3.2 Teoria Moderna de Portfólio
A teoria moderna de portfólio (Modern portfolio theory) (MARKOWITZ, 1952) explica
como investidores racionais poderiam utilizar a diversificação de ativos para otimizar seus portfólios. Tal teoria modela o retorno de um ativo como uma variável aleatória
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e o retorno de um portfólio como uma soma ponderada dos retornos dos ativos que o compõem. Conseqüentemente, o retorno de um portfólio é também uma variável aleatória para a qual pode-se definir um valor esperado e uma variância.
3.2.1 Risco e Retorno
Admite-se por hipótese que os investidores são avessos ao risco e desejam sempre retornos maiores. Desta forma, caso sejam oferecidos dois ativos com o mesmo retorno esperado um investidor irá optar sempre pelo ativo com menor risco. De modo análogo, dados dois ativos com mesmo nível de risco um investidor irá optar sempre por aquele que apresentar o maior retorno esperado. Pode-se afirmar então que um investidor racional só aceitará um risco maior se isto levar a maior retorno. Há então uma solução de compromisso entre risco e retorno, que irá diferir entre investidores de acordo com características individuais de aversão ao risco.
A quantificação do risco de um dado investimento é, em geral, mais difícil que a medição do seu retorno. Markowitz (MARKOWITZ, 1952) propôs a modelagem do retorno como uma variável aleatória e a definição do risco como o desvio padrão associado ao retorno. Desta forma, um ativo A com variações maiores na sua série de retornos que um outro ativo B, será apontado como de risco mais elevado, pois o desvio padrão do ativo A será maior que o observado para o ativo B. Assume-se que a preferência em termos de risco e retorno de um investidor pode ser descrita através de uma função de utilidade onde apenas o retorno esperado e o risco, medido como o desvio padrão, são relevantes para determinar a utilidade. Conseqüentemente, o investidor seria indiferente a outras características da distribuição de retornos, como por exemplo, sua curvatura.
Considerando que Rp refere-se ao retorno de um portfólio p e Ri representa o
retorno de um determinado ativo i, o retorno esperado de um portfólio composto por n ativos pode ser descrito pela equação 3.1
E(Rp) = n
∑
i=1
ωiE(Ri) (3.1)
A expressão ωi representa o peso do ativo i no portfólio p, isto é, a razão entre
o valor total do ativo i e o valor total do portfólio e pode ser calculada através da equação 3.2, onde vk refere-se ao valor monetário alocado ao ativo k, o qual pertence
ao portfólio. Desta forma, 0 ≤ ωi≤1, para qualquer ativo i pertencente ao portfólio.
ωi= vi
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Naturalmente, o somatório dos pesos relativos de todos os ativos de um portfólio será igual a 1, isto é ∑ni=1ωi= 1. O risco de um portfólio, definido como o desvio padrão do retorno do portfólio (FRANCIS, 1983), σp, é função dos riscos dos ativos
que o compõem e da correlação entre tais ativos. O risco de um portfólio,σp, pode ser
expresso pela equação 3.3.
σp=r
∑
i
∑
jωiωjσiσjρi j (3.3)
Na equação 3.3, o símbolo ρi jrepresenta o coeficiente de correlação entre os ativos
i e j. O coeficiente de correlação traz uma medida normalizada da covariância entre duas variáveis aleatórias e quaisquer que sejam tais variáveis x e y, pode-se demons- trar que −1 ≤ ρxy≤1 ((DOUGHERTY, 1990) pg. 245). Considerando um portfólio
composto por dois ativos a e b pode-se expressar o retorno do seguinte modo:
E(Rp) = ωaE(Ra) + ωbE(Rb) (3.4)
Enquanto o risco para o mesmo portfólio seria representado por:
σp=
q
ωa2σa2+ ωb2σb2+ 2ωaσaωbσbρab (3.5)
Já para um portfólio composto por três ativos a, b e c, o risco seria expresso pela equação 3.6:
σp=
q
ωa2σa2+ ωb2σb2+ ωc2σc2+ 2ωaσaωbσbρab+ 2ωbσbωcσcρbc+ 2ωaσaωcσcρac
(3.6) Desta forma, à medida que o número de ativos (n) aumenta, o cálculo do risco torna-se mais complexo e o número de termos de covariância ρ aumenta de forma combinatória.
3.2.2 Relevância da Diversificação
Um investidor pode reduzir o risco de um portfólio simplesmente escolhendo ativos não perfeitamente correlacionados, isto é, ativos a e b onde ρab é menor que 1 (um).
Pode-se demonstrar que se dois ativos quaisquer de um portfólio tem uma correlação menor que 1, a variância do portfólio será menor que a soma ponderada das variâncias dos ativos. O teorema e sua demonstração são apresentados em seguida, para o caso de dois ativos com coeficiente de correlação (ρab) menor que 1. Desta forma, pode-se re-
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obtendo desta forma maior diversificação de portfólio (MARKOWITZ, 1952).
Teorema 1: O risco de um portfólio composto por dois ativos será menor que a soma ponderada dos riscos dos ativos, desde que a correlação entre estes ativos seja menor que 1.
Demonstração: O risco de um portfólio p (σp) formado por dois ativos (a e b)
pode ser expresso conforme a equação 3.5. Como ωae ωbrepresentam a fração corres-
pondente aos ativos a e b do portfólio, temos que 0 < ωa<1 e 0 < ωb< 1. Considerando
que ρab<1 e σa≥0, σb≥0 (ativos com risco diferente de zero) podemos escrever a
inequação 3.7: σp2< ωa2σa2+ ωb2σb2+ 2ωaσaωbσb (3.7) Logo: σp< q (ωa∗σa+ ωb∗σb)2= ωa∗σa+ ωb∗σb (3.8)
Assim, demonstra-se que o risco de um portfólio p com ativos não perfeitamente cor- relacionados menor que um (ρab<1) será menor que a soma ponderada dos riscos dos ativos. A extensão da demonstração para vários ativos pode ser encontrada em (MAR- KOWITZ, 1952) e (HORNE, 1995). De fato, em ativos com correlação negativa perfeita
(isto é,ρab = −1) é possível obter risco zero, mesmo com ativos de risco. Por outro
lado, quando há correlação positiva perfeita (ρab = 1), o risco do portfólio resume- se a uma função linear dos riscos dos ativos componentes 2. Estas situações corres- pondem aos extremos que podem ser observada em termos de correlação entre ativos (−1 ≤ ρab≤1) e raramente são observadas na realidade.
3.2.3 Fronteira Eficiente
Na figura 2, apresenta-se um gráfico de risco (eixo x) e retorno esperado (eixo y) onde os ativos individuais são representados por pontos cinzas. Os portfólios sempre irão dominar os ativos individuais (i.e, apresentar um risco menor para um mesmo nível de retorno) devido as características de redução de risco da diversificação ((FRANCIS,
1983) pág. 577. A curva apresentada na figura 2 representa o conjunto dos portfólios que apresentam o menor risco possível para um dado nível de retorno e é chamada de fronteira eficiente (FRANCIS, 1983).
Na teoria de portfólio, assume-se a existência de um ativo livre de risco (rf) que
paga uma taxa de retorno livre de risco fixa. Como um ativo livre de risco tem por definição sempre o mesmo retorno, o desvio padrão e logo seu risco é igual a zero. Em
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Figura 2: Gráfico risco versus retorno da fronteira eficiente
termos práticos, utiliza-se como uma realização do conceito de ativo livre de risco um ativo de renda fixa emitido por país com longo histórico positivo de honrar seus com- promissos. Geralmente, títulos do tesouro americano são aceitos como ativos livres de risco. Este ativo é representado pelo ponto no eixo vertical rf na figura 2. Quando o
ativo livre de risco é combinado com qualquer outro ativo, o retorno esperado E(Rp)
e o risco σp expressos nas equações 3.4 e 3.5 pode ser simplificado respectivamente
pelas equações 3.9 e 3.10, respectivamente.
E(Rp) = (1 − ωx)rf+ ωxE(Rx) (3.9)
σp= ωxσx (3.10)
3.2.3.1 Índice de Sharpe
William F. Sharpe propôs em um método simples para avaliar portfólios baseado na razão entre a diferença do seu retorno esperado e o retorno do ativo livre de risco com o risco do portfólio, esta razão ficou conhecida como índice de Sharpe (SHARPE,
1994). Tal índice pode ser calculado segundo a equação 3.11. É fácil ver que um portfólios com maior índice de Sharpe tem retorno maior que os portfólios de mesmo risco. Quanto maior o índice de Sharpe de um portfólio3, mais desejável é tal portfó-
3Como o retorno do ativo livre de risco é geralmente baixo em relação aos demais ativos, assumiu-se