Terceira oficina: origami-tessellations

Os padrões empregados nos projetos de dobradura são essencialmente definidos por meio de simetrias. Dessa forma, nos exercícios aplicados nas oficinas, foram utilizados quatro tipos básicos de simetria bidimensional: translação, reflexão, rotação e deslizamento de reflexão.

Na simetria de translação, um motivo é repetido em uma linha reta, sem sobreposição, em uma direção; na reflexão, o motivo também é repetido em uma direção, mas cada repetição é uma imagem espelhada do padrão anterior; no caso da rotação, o motivo é repetido ao redor de um ponto comum. E a simetria deslizamento de reflexão é a mais complexa; nesta, o motivo é transladado e refletido, não necessariamente em linha reta.

A Figura 68 apresenta uma simetria deslizamento de reflexão. Como podemos observar neste exemplo, há um deslizamento no motivo X (diagonais do quadrado), à esquerda. À direita temos uma das formas que este tessellation pode assumir.

Figura 68: Exemplo de simetria deslizamento de reflexão.

Fonte: JACKSON, 2011. Adaptada pela autora.

Como se pode observar, o diagrama à esquerda da Figura 68 é constituído de dobras valley fold (linhas horizontais e verticais em azul) e dobras mountain fold (diagonais dos quadrados em vermelho). As referidas dobras estão disponibilizadas no anexo K.

Nesta oficina, os alunos puderam desenvolver "curvas simples", em apenas uma direção, que serviram de exemplo para coberturas de grandes vãos. Neste exercício, foram utilizados dois tipos de diagramas forma-X e dobra-V detalhados a seguir:

A partir do diagrama da Figura 69, obtemos uma forma básica classificada por Paul Jackson (2011) como forma-X. Com esta dobradura, desenvolvemos uma seção cilíndrica. O diagrama é feito em uma folha quadrada que é dividida verticalmente (dobras valley folds em azul) e diagonalmente (dobras mountain folds em vermelho) em oitavos.

Figura 69: Exemplo de uma forma-X.

Fonte: JACKSON, 2011. Adaptada pela autora.

Como podemos observar na Figura 69, à direita, para se obter a forma tridimensional equivalente ao diagrama à esquerda, o ponto central de todo X deve ser convexo - ou seja, subir em direção a você.

Podemos criar várias coberturas para vãos, utilizando-se a dobra-V que é criada a partir de pregas em V. No exemplo a seguir, temos apenas uma linha de dobra-V e o ângulo entre os traçados de cada V é de 90º. Mas podemos criar vãos mais abertos ou mais fechados, variando os ângulos que definem os Vs. De acordo com o diagrama à esquerda, Figura 70, o quadrado foi dividido em 16 partes iguais (linhas verticais de dobras mountain fold e valley fold, alternadas) e os Vs são definidos com dobras

mountain fold. A seguir, temos, na Figura 71, outro exemplo de dobra-V apenas com

uma linha, mas com um acréscimo de uma dobra mountain fold horizontal. Neste caso, os Vs ficam mais evidentes na estrutura. Como mostra o diagrama à esquerda, o quadrado também foi dividido em 16 partes iguais (linhas verticais de dobras mountain

fold e valley fold, alternadas), mas neste caso, os Vs são definidos com dobras valley.

Figura 70: Exemplo de dobra-V com 90°.

Fonte: JACKSON, 2011. Adaptada pela autora.

Figura 71: Exemplo de uma variação da dobra-V com 90°.

Fonte: JACKSON, 2011. Adaptada pela autora.

O próximo exemplo, Figura 72, mostra como criar um teto plano por meio do uso de duas linhas de dobras-V. Como podemos observar as duas linhas de dobras-V correspondem à imagem de espelho uma da outra. Como dito antes, uma variação no ângulo que define o V pode estender o vão e deixa-lo mais aberto. A Figura 73, a

seguir, mostra três linhas de dobras-V definidas com o ângulo de 60 º. Esta estrutura assemelha-se aos vãos de forma-X.

Figura 72: Dobra-V com duas linhas.

Fonte: JACKSON, 2011. Adaptada pela autora.

Como se pode perceber na Figura 73, conforme o diagrama à esquerda, como nos exemplos anteriores, o quadrado também foi dividido em 16 partes iguais (linhas verticais de dobras mountain fold e valley fold, alternadas), e as três linhas de Vs correspondem à dobra mountain fold.

Figura 73: Dobra-V com três linhas.

Fonte: JACKSON, 2011. Adaptada pela autora.

A criação de "curvas complexas", em duas direções, foi outro exercício desenvolvido nesta oficina. Os alunos construíram uma parábola hiperbólica básica a partir de um diagrama constituído por quadrados concêntricos e suas duas diagonais. Como vemos na Figura 74, faz-se necessário que os referidos quadrados sejam demarcados com dobras mountain fold e valley fold alternadamente.

Figura 74: Parábola.

Fonte: JACKSON, 2011. Adaptada pela autora.

Os exemplos que se seguem apresentam variações desta forma, que também poderiam ser exploradas na oficina. Com o mesmo princípio, partimos de um pentágono ou um hexágono e obtemos paraboloides hiperbólicas, como mostra a Figura 75.

Figura 75: Variação da Parábola.

Fonte: JACKSON, 2011. Adaptada pela autora.

Uma forma mais complexa constituída por quatro paraboloides hiperbólicas pode ser obtida a partir do seguinte procedimento: partindo-se de um quadrado dividido em quatro, marcam-se as diagonais de cada um destes e subdividi-os em 16 quadrados concêntricos. A Figura 76 ilustra esta variação.

Figura 76: Quarto parábolas.

Fonte: JACKSON, 2011. Adaptada pela autora.

Os exercícios desta oficina encontram-se disponibilizados no apêndice E.

Ankon Mitra (2009) apresenta uma sistematização para a criação de tessellations constituídos por quatro paralelogramas. Em sua pesquisa temos conceitos que podem ser bastante uteis para a presente tese. O primeiro é a ‘Hinge Line’ “[...] local de pontos ou nós, onde 4 ou mais linhas de vinco/dobras se encontram”, “[...]pode ser qualquer linha reta, ziguezague, curvilínea, parabólica, elíptica ou circular”135

(MITRA, 2009, 32). (Figura 77).

Figura 77: Hinge Line.136

Fonte: MITRA, 2009.

O segundo conceito é o ‘kernel’ que corresponde a dois triângulos que formam uma unidade elementar, este sempre se encontra entre duas hinge lines, a Figura 78 apresenta seis exemplos de kernels.

135

Do original: “[…] locus of points or nodes where 4 or more crease/fold lines meet.” […] can be any straight, zigzagging, curvilinear, parabolic, elliptical or circular. (Mitra, 2009, p.32).

136 _{Em uma Hinge Line as “ Green and brown lines indicate the creases/fold lines. The red circles mark} the nodes/points created by the creases. The grey dotted lines are the hinge lines. Note that from each node originate atleast four creases/fold-lines.” (Mitra, 2009, p.32).

Figura 78: Kernels.

Fonte: MITRA, 2009. Adaptado pela autora.

O terceiro conceito é o ‘String’ definido como sendo uma faixa contínua de

kernels conectados, enclausurados entre duas hinge lines, como se pode observar na

Figura 79.

Figura 79: String.

Fonte: MITRA, 2009.

O apêndice E expõe os exercícios explorados na terceira oficina e o anexo L apresenta tabelas com várias possibilidades de criação de padrões de repetições a partir de kernels e strings, desenvolvidas por Mitra (2009), em sua pesquisa acima citada.