Teste Bootstrap-BDS

Um dos testes mais populares de dependência serial não-linear é o teste BDS, assim nomeado em referência aos autores que inicialmente o propuseram (BROCK et al., 1996)). O teste tem como hipótese nula a inexistência de dependência serial não-linear da série

analisada48_{. O teste é não-paramétrico, portanto não possuindo hipótese alternativa}

parametricamente definida.

O procedimento para apurar a estatística do teste BDS se inicia com a filtragem de

qualquer dependência linear da série original analisada (no presente caso, uma série {rt} de

retornos semanais). O procedimento de filtragem aqui utilizado é o de estimação de um modelo

48 _{Além deste uso, o teste BDS também é bastante popular para verificar se os resíduos de regressões de séries}

temporais seguem um processo de ruído branco. Esta utilização ocorre principalmente em modelos de séries de tempo estimadas para previsão. Para uma visão geral do uso dos testes BDS e Ljung-Box com esta finalidade, recomenda-se ao leitor o livro de Tsay (2002).

ARMA(p,q) a partir da série original, como recomendado por Barnett e He (2001). A escolha das ordens p e q estimadas se dá a partir do Critério de Informação de Akaike (doravante AIC),

comumente utilizado para este fim. A série de resíduos do ARMA(p,q) estimado, {et}, é o alvo

do teste. Espera-se que, estando correta a especificação do modelo estimado, a série {et} não

possua qualquer componente de dependência linear.

A partir da série filtrada, procede-se ao teste BDS propriamente dito. Para precisá-

lo, algumas definições prévias são úteis49_{. A primeira é a probabilidade de que duas observações}

distintas da série {et} estejam próximas. Proximidade aqui é definida como estar a uma distância

menor do que ε:

𝑃 = Pr(|𝑒 − 𝑒 | < 𝜀) , 𝑠 ≠ 𝑡 (52)

Defina-se também uma 2-history como um vetor com dois elementos: o primeiro é

um par de observações distintas da série (et, es); e o segundo é um par de elementos do período

anterior ao do primeiro elemento (et-1, es-1). A probabilidade de todos os elementos desta 2-

history estarem próximos entre si é:

𝑃 = Pr(|𝑒 − 𝑒 | < 𝜀, |𝑒 − 𝑒 | < 𝜀) , 𝑠 ≠ 𝑡 (53)

Caso a série {et} seja iid, os eventos contidos em Pa e Pb serão independentes, de

modo que 𝑃 = 𝑃 . Não há aqui perda de generalidade, já que raciocínio análogo é válido para

uma m-history (um vetor com m elementos, {(et,es), (et-1,es-1), ... , (et-m+1,es-m+1)), de modo que

𝑃 = 𝑃 . Logo, espera-se que 𝑃 − 𝑃 = 0. A estimativa da probabilidade que dois vetores de

tamanho m estejam a uma distância menor que ε pode ser feita pelo que se chama de Integral de Correlação, definida como:

𝐶 _, (𝜀) = 2

(𝑇 − 𝑚 + 1)(𝑇 − 𝑚) 𝐼 𝑒 , 𝑒 (54)

𝐼 = 1, 𝑠𝑒 𝑒 − 𝑒 < 𝜀

0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. (55)

Aqui, T é o tamanho da amostra analisada e m é a dimensão do teste. Cm,T(ε) pode

ser interpretado como a probabilidade de que os pares de observações da m-history analisada

(es-j, et-j) estejam a uma distância menor do que ε entre si. Logo, sob a hipótese nula da série

filtrada ser iid, será verdadeira a equação abaixo:

𝐸 𝐶 , (𝜀) = 𝐸 𝐶 , (𝜀) (56)

de modo análogo à afirmação anterior que 𝑃 = 𝑃 . Brock et al. (1996) propõem uma estatística

para testar a relação da equação (56). Ela possui distribuição normal padrão assintoticamente e é definida como: 𝐵𝐷𝑆 _, (𝜀) = √𝑇 − 𝑚 + 1𝐶 , (𝜀) − 𝐶 , (𝜀) 𝜎 _, (𝜀) ~ 𝑁(0,1) (57) 𝜎 _, (𝜀) = 4 𝑘 (𝜀) + 2 ∑ 𝑘 (𝜀) 𝐶 _, (𝜀) + (𝑚 − 1) 𝐶 _, (𝜀) − 𝑚 𝑘 (𝜀) 𝐶 _, (𝜀) ₍₅₈₎ 𝑘 (𝜀) = 6 𝑇(𝑇 − 1)(𝑇 − 2) ℎ (𝑒 , 𝑒 , 𝑒 ) (59) ℎ (𝑖, 𝑗, 𝑘) =1 3[𝐼 (𝑖, 𝑗)𝐼 (𝑗, 𝑘) + 𝐼 (𝑖, 𝑘)𝐼 (𝑘, 𝑗) + 𝐼 (𝑗, 𝑖)𝐼 (𝑖, 𝑘)] (60)

Aqui, 𝜎 , (𝜀) é a estimativa do desvio padrão assintótico de 𝐶 , (𝜀) − 𝐶, (𝜀) .

O teste BDS é bicauldal, o que significa valores de BDSm,T(ε) maiores do que |1,96| indicam rejeição

da hipótese nula a 5%.

A distribuiçao assintótica da estatística de teste, no entanto, pode ser imprecisa para amostras finitas (DE GOOIJER, 2017). Uma alternativa comumente utilizada para calcular o p-valor do teste é utilizar a técnica de bootstrapping para estimar a distribuição da estatística. De Gooijer (2017) descreve o cálculo do p-valor da distribuição com bootstrap em função desta variável:

- Passo 1.1: computar Cm,T,e(ε), para a série {et}.

- Passo 1.2: permutar a série original {et} de modo a obter uma nova série, {ẽt}.

Calcular Cm,T,ẽ(ε) para {ẽt}.

- Passo 1.3: repetir o passo 1.2 mil vezes, de modo a obter uma distribuição bootstrap da estatística de teste.

- Passo 1.4: calcular o p-valor da estatística-teste com base na distribuição obtida no Passo 1.3, da seguinte forma:

𝑝̂ _, ( ) =

1 + ∑ 𝐼(𝑒, ẽ)

1001 (61)

𝐼(𝑒, ẽ) = 1, 𝑠𝑒 𝐶 , ,ẽ(𝜀) ≥ 𝐶 , , (𝜀)

0, caso contrário. (62)

I(e,ẽ) pode ser interpretado como a probabilidade do valor do teste BDS estar na região crítica da distribuição do BDS da série permutada. Note que, apesar do teste BDS ser bicaudal, só é necessário determinar se𝐶 _{, ,ẽ}(𝜀) ≥ 𝐶 _{, ,} (𝜀) , já que a única incógnita da

estatística teste que se altera sob permutação é 𝐶 , (𝜀) (DE GOOIJER, 2017).

Apesar do teste possuir hipótese alternativa não-paramétrica e possuir bom poder contra uma variedade de alternativas (BROCK et al., 1996), o BDS possui algumas limitações. A primeira é que o resultado do teste é sensível às escolhas arbitrárias de m e ε adotadas. O valor de m está relacionado à ordem do padrão não-iid que se deseja captar com o teste: quanto maior o valor de m, maior a ordem do padrão captado. Valores altos de ε tenderão a classificar todos os pares de pontos analisados como próximos (pela regra da equação (55)), enquanto valores muito baixos tenderão a excluir os pares analisados da categoria de próximos (KOCENDA, 2001).

Neste estudo, a estatística é avaliada para valores de m entre dois e cinco no teste BDS para todo o período analisado, e m=2 para os subperíodos de 104 semanas avaliados em rolling window (ver seção 3.8). Os valores m entre dois a cinco são prática comum na literatura de finanças, e o valor menor utilizado para as subamostras reflete o fato de que a quantidade de m-histories avaliadas diminui conforme aumenta o valor de m, podendo tornar a amostra demasiadamente pequena nestas subamostras. Além disso, o foco no teste BDS é identificar padrões de ordem baixa, que indiquem previsibilidade dos retornos identificável pelos agentes sem dificuldade acentuada. Quanto ao valor ε, o escolhido para este estudo é de um desvio

padrão da distribuição de {et}, como usualmente utilizado em estudos da área de finanças.

Outra limitação do teste está relacionada ao procedimento de filtragem da série original. Presume-se que o modelo ARMA(p,q) estimado capta a dependência linear do

processo gerador teórico da série de retornos {rt}, contudo este processo não é conhecido. Além

disso, não há um único critério dominante para escolha das ordens p e q. Por isso, o filtro do modelo está sujeito a imprecisões em sua estimação. Apesar disso, este procedimento de filtragem da série e o critério de informação utilizado no presente estudo são bastante difundidos na literatura, o que leva a crer que esta questão não deve influir em grande monta na precisão do teste.

Assim, tomando como premissa que o processo de filtragem ARMA(p,q) adotado

capta corretamente dependências lineares do processo gerador teórico de {rt}, e que os valores

de m e ε captam corretamente algum comportamento não-iid do processo gerador teórico da

série de resíduos {et}, as hipóteses nula e alternativa testadas podem ser interpretadas como

segue:

H0: a série de retornos é não-linearmente independente;

Ha: a série de retornos é não-linearmente dependente e/ou não-identicamente

distribuída.

Caso 𝑝̂ _, ( ) < 5%, rejeita-se H0. Caso contrário, não se rejeita H0.

3.5.3 Teste de Razão de Variância Automática com wild bootstrapping (WBAVR)