5. Geometria – Triângulos e quadriláteros
5.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 2B
Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a.
1. O que representa a figura seguinte?
A. A recta AB: AB .
B. A semi-recta com origem em A e que passa por B : A·B .
C. O segmento AB : [AB] .
D. A semi-recta com origem em B e que passa por A : AB· .
2. Qual a posição relativa das duas rectas representadas na figura? A. Concorrentes.
B. Perpendiculares. C. Paralelas.
D. Coincidentes.
3. A posição relativa das rectas representadas na figura é: A. e e f são perpendiculares.
B. e e f são paralelas.
C. e e f são não complanares. D. e e f são concorrentes.
4. Um polígono com cinco lados chama-se: A. heptágono.
B. pentágono. C. hexágono. D. triângulo.
5. O polígono representado na figura tem A. 7 vértices, 7 lados, 7 ângulos e 28 diagonais. B. 5 vértices, 5 lados, 6 ângulos e 12 diagonais. C. 5 vértices, 5 lados, 5 ângulos e 10 diagonais. D. 6 vértices, 6 lados, 5 ângulos e 10 diagonais.
COTAÇÃO 6 6 6 6 6 A B b c f e
Parte 2
6. Determina a área da região colorida, sabendo que ABCD é um quadrado de lado 2 cm e
DF— = 8 cm .
7. Na figura ao lado está representado um polígono regular com oito lados. 7.1 Classifica o polígono quanto aos lados.
7.2 Quantos vértices têm o polígono? 7.3 Quantas diagonais tem o polígono?
7.4 Um dos lados do polígono mede 2cm. Qual é o seu perímetro?
8. A figura representa uma pirâmide quadrangular regular. Indica, para cada uma das seguintes afir-
mações, se são verdadeiras ou falsas, justificando as falsas.
A. A pirâmide quadrangular tem oito arestas e seis faces.
B. As rectas que passam em FD e DC são rectas perpendiculares. C. As rectas que passam em AD e BC são rectas paralelas. D. As rectas que passam em FE e AC são rectas paralelas.
E. E é o ponto de intersecção das rectas que passam por BD e FE . F. As faces laterais da pirâmide são triângulos escalenos.
Pontuação Os teus conhecimentos são: Então:
90%-100% Excelentes Continua a estudar para manteres ou melhorares o teu desempenho.
70%-89% Bons
50%-69% Razoáveis Continua a trabalhar, pois podes melhorar. 20%-49% Pouco satisfatórios
Tens de estudar muito para melhorar o teu desempenho. 0%-19% Insatisfatórios AUTO-AVALIAÇÃO 15 5 5 7 8 5 5 5 5 5 5 D C F A B E B F C D A E COTAÇÃO
Teste de diagnóstico
de conhecimentos 2A
Parte 1 1. B 2. A 3. D 4. C 5. B 6. B Parte 2 7.7.1 Ângulos internos do triângulo. 7.2 c < a < b
7.3 Triângulo acutângulo.
7.4 Não, porque os ângulos e lados que o formam
são todos diferentes.
8. Heptágono. 8.1 Sete vértices. 8.2 28 diagonais. 8.3 Ângulo interno. 8.4 128º 8.5 14 cm 9. Aquadrado= 9 cm2 Arectângulo= 10 cm2 Atriângulo= 6 cm2
Teste de diagnóstico
de conhecimentos 2B
Parte 1 1. A 2. C 3. B 4. B 5. C 6. 16 cm2 Parte 2 7. 7.1 Octógono. 7.2 Oito vértices. 7.3 40 diagonais. 7.4 16 cm. 8.A. Falsa. A pirâmide quadrangular tem oito arestas e
cinco faces.
B. Falsa. As rectas que passam em FD e DC são
rectas concorrentes.
C. Verdadeira.
D. Falsa. As rectas que passam em FE e AC são
rectas perpendiculares.
E. Verdadeira.
F. Falsa. As faces laterais da pirâmide são triângulos
isósceles.
5.3
Proposta de planificação
Capacidades transversaisResolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática.
Objectivos específicos
• Reconhecer as figuras geométricas básicas.
• Traduzir informação apresentada numa forma de representação para outra.
• Explorar uma figura geométrica, tendo como vista o relacionamento de algumas das suas características. • Relacionar figuras geométricas já conhecidas para explorar outras que serão leccionadas no tema em
questão.
• Desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capaz de os usar. • Compreender e usar as relações de congruência de triângulos.
• Compreender a noção de demonstração e ser capaz de fazer raciocínios dedutivos.
Avaliação
• Formativa de conhecimentos.
• Observação directa do interesse e empenho dos alunos.
• Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem.
LIÇÃO ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA TEMPO
1
2
• Teste de diagnóstico de conhecimentos. • Raciocinar, Resolver e Comunicar: Tarefas 2 e 4.
O modelo de diagnóstico proposto pressupõe dois momentos distintos de avaliação: através de uma avaliação individual de conhecimentos e através de duas tarefas que proporcionam o diagnóstico das potencialidades da turma como grupo de trabalho. Estes dois momentos distintos permitem ao professor traçar o perfil da turma e efectuar uma previsão de maior ou menor investimento de trabalho, tendo como finalidade a procura de um equilíbrio de partes.
Tarefa A – «Elementos de um polígono»: • explicação da tarefa;
• execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo.
Pretendese que esta tarefa seja realizada individualmente ou em grupo de pares, mas que no final seja discutida em grande grupo, para que o professor proporcione um momento de comunicação na aula e diagnostique os conhecimentos da turma em relação à matéria em questão.
Tarefa B – «Relação entre áreas»: • explicação da tarefa;
• execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo.
Antecipação de dificuldades
O professor pode certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre:
polígonos; diagonais de um polígono; ângulos; posição relativa de rectas.
Recursos possíveis de utilização
Manual. Caderno de Tarefas. 45’ 45’ 5’ 20’ 15’ 5’ 20’ 15’
LIÇÃO ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA TEMPO 3
4 Ângulos de um triângulo.
Tarefas intermédias e remissões de final de página. Ângulos externos de um triângulo.
Tarefas intermédias e remissões de final de página.
Recursos possíveis de utilização
Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas. 5’ 20’ 15’ 15’ 25’ 15’ 25’ 15’ 65’ 6 Tarefas de ligação:
«As piscinas do João e da Margarida» (Percurso A) «Uma visita ao Jardim Zoológico» (Percurso B)
E ainda… «Uma outra visão de padrão» (outros percursos) «Ângulos e polígonos» (outros percursos)
A tarefa suplementar aqui proposta e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagens
adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior pretende ser uma alternativa ou complemento às tarefas propostas no Manual, recorrendo à utilização de padrões. No caso dos ângulos e polígonos é uma tarefa que só pode ser desenvolvida no caso de o aluno já ter leccionado as equações, por isso, também é adaptável a outro percurso, caso seja necessário.
Teste final (avaliação de conhecimentos). Tarefa 1:
• explicação da tarefa; • execução da tarefa individual;
• discussão em pequeno ou grande grupo.
A tarefa deve ser efectuada em pequeno ou grande grupo, consoante a natureza das turmas.
As indicações dadas pelo professor pretendem garantir que o aluno não se desvie dos objectivos desta tarefa e, como tal, o professor deve colocar regularmente a pergunta «porquê» a seguir aos comentários dos alunos, de modo a «provocar o raciocínio», levandoos a analisar e reflectir sobre o seu trabalho e a procurar significado para as suas conclusões.
Antecipação de dificuldades
O professor deve certificarse que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: polígonos; diagonais de um polígono; relação entre ângulos; perímetros e áreas de polígonos; relações
geométricas; áreas de polígonos.
Recursos possíveis de utilização
Manual. Caderno de Tarefas. 5 15’ 25’ 45 15’ 15’ 25’ 15’ 25’ 45’ 45’ 45’ 45’ 45’ 45’ 45’ 45’ 11 e 12 10 9 8 7 Área de um paralelogramo.
Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – Paralelogramos; construção de um paralelogramo dinâmico.
Recursos possíveis de utilização
Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL
Caderno de Tarefas.
Raciocinar, resolver e comunicar.
Tarefa de investigação – «Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono».
Recursos possíveis de utilização
Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL
Caderno de Tarefas.
Quadriláteros.
Tarefas intermédias e remissões de final de página. Diagonais e eixos de simetria.
Tarefas intermédias e remissões de final de página.
Recursos possíveis de utilização
Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL
Caderno de Tarefas.
Relação entre os ângulos e os lados de um triângulo. Eixos de simetria de um triângulo. Tarefas intermédias e remissões de final de página.
Recursos possíveis de utilização
Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL
Caderno de Tarefas.
Não existência de um critério LLA.
Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – «Ângulos no geoplano».
Recursos possíveis de utilização
Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL
Geoplano.
Caderno de Tarefas.
Congruência de triângulos.
Tarefas intermédias e remissões de final de página.
Recursos possíveis de utilização
Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL
5.4
Propostas de resolução +RRC
1. Dominó
Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio e pensamento geométrico. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.
Estratégia de resolução possível:
Cortando 32 pedaços de papel, o aluno pode distribuí-los por um tabuleiro desenhado numa folha com quadrículas. Chegará, assim, à conclusão que essa situação não é possível, pois sobram sempre duas quadrícu- las pretas. Nesta altura, as suas tentativas devem ser suspensas, pensando que no tabuleiro nunca existem duas quadrículas pretas lado a lado, o que impedirá a colocação da última peça, dado que esta, tal como as outras, necessita de uma quadrícula branca e outra preta.
2. Uma dança de ângulos
Objectivo principal: Amplitude de ângulos. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível:
Os alunos devem efectuar uma primeira leitura para se inteirarem do assunto do problema. Pretende-se que numa segunda leitura cheguem à conclusão que se trata de dois ângulos de 45oe outros dois de 60o; um
ângulo giro, 360o.
3. Ângulos e quadriláteros
Objectivo principal: Amplitude de ângulos internos. Organização da turma: Trabalho individual.
Estratégia de resolução possível:
Os padrões surgem novamente, para que se construam processos de resolução aplicáveis a situações mais complexas.
Nas figuras 3 e 4 contaram-se os ângulos criados com a divisão efectuada, que não são ângulos internos do quadrilátero. Para que se determine a soma das amplitudes dos quatro ângulos internos, basta unir dois vérti- ces não adjacentes do quadrilátero e verificar que se originam dois triângulos.
A partir deste raciocínio, o aluno deve conseguir dizer que a soma dos ângulos internos de um pentágono = 540o; hexágono = 720o; dodecágono = 1800o.
4. Descobre o ângulo
Objectivo principal: Amplitude de ângulos suplementares. Organização da turma: Trabalho individual.
Estratégia de resolução possível:
Este exercício torna-se muito simples se o aluno observar que tem dados a mais. Na realidade, o ângulo de 59o é completamente desnecessário na resolução do exercício, assim como as rectas a vermelho e a azul -
-escuro: 180o– 53o= 123o.
5. Polígono concâvo
Objectivo principal: Soma dos ângulos internos de um polígono côncavo. Diagonais. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.
Estratégia de resolução possível:
Dividir o polígono em 14 triângulos e fazer 14 × 180º = = 2520o. Essa divisão tem formas distintas de ser efectuada
e é importante que o aluno veja qual a melhor estratégia de resolução. Repare-se que os vértices dos triângulos devem ser vértices dos polígonos, para que a soma dos ângulos internos dos triângulos corresponda à soma dos ângulos internos do polígono.
Seguidamente, e antes de desenhar todas as diagonais possíveis do polígono, era importante que o aluno propusesse uma forma de as contabilizar sem as desenhar, isto é, o polígono tem 16 vértices. Ao unirmos cada um dos vértices aos restantes 13 vértices (retiram-se os dois vértices que se encontram sobre o mesmo lado do vértice assinalado), teremos 16 × 13 = 208 diagonais. Como cada diagonal foi contada duas vezes, teremos 104 diagonais. Obviamente, dado o número de diagonais, o ponto 3 não necessita de ser integralmente res- pondido.
Este exercício pode ser efectuado depois da tarefa de investigação «Ângulos no geoplano».
6. Muitos polígonos
Objectivo principal: Classificação de polígonos. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível:
Observando a figura, o aluno chegará à conclusão que:
AGKM = MKJB = FLND = LHCN trapézios rectângulos; CHFD = AGJB trapézios isósceles; ECD =
= ABE triângulos isósceles; JGE = EFH triângulos isósceles; AED = BEC triângulos isósceles; ADC = DCB = = CBA = BAD triângulos rectângulos.
5.5
Sugestões de exploração das Tarefas de investigação
Ângulos no geoplano
1. Pretende-se que o aluno veja algumas formas de dividir em partes iguais um ângulo recto, para que
depois veja qual a amplitude dos ângulos que obteve em cada um dos casos.
2. O aluno, desta forma, vai criar uma unidade de medida, que lhe permitirá medir a amplitude aproximada
de cada um dos ângulos desenhados na grelha.
3. Neste item, o aluno vai assumir como referência a amplitude de um ângulo recto para que assim possa
determinar a amplitude dos ângulos desenhados na grelha e confirmar as sugestões de medidas efectua- das em 3.
4. Neste item, o aluno já terá de propor uma resolução de estratégias, que poderá ser diferente de aluno
para aluno originando, assim, procedimentos diferentes.
Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono
Polígono Número de lados Soma das amplitudes dos ângulos internos
Triângulo 3 S3= 180o Quadrilátero 4 S4= 2 × 180o= 360o Pentágono 5 S5= 3 × 180o= 540o Hexágono 6 S6= 4 × 180o= 720o Heptágono 7 S7= 5 × 180o= 900o Decágono 10 S10= 8 × 180o= 1440o
A partir de exemplos concretos, espera-se que o aluno consiga fazer uma generalização que lhe permita determinar a soma da amplitude dos ângulos internos de um qualquer polígono.
Paralelogramos
Com software geométrico, pretende explorar-se as propriedades dos quadriláteros, efectuando relações entre as mesmas.
Essa exploração conduz ao preenchimento das seguintes tabelas.
Pretende-se, desta forma, proporcionar ao aluno contacto com software geométrico, ao mesmo tempo que lhe propomos que investigue algumas das propriedades dos quadriláteros.
Lados Ângulos Paralelogramo não rectângulo Iguais dois a dois Iguais dois a dois
Rectângulo Iguais dois a dois Rectos
Losango Todos iguais Iguais dois a dois
Quadrado Todos iguais Rectos
As diagonias bissectam-se sempre
As diagonais têm sempre o mesmo comprimento
As diagonais são sempre perpendiculares Paralelogramo não rectângulo Sim Não Não
Rectângulo Sim Sim Não
Losango Sim Não Sim
Número da figura ( n) Número total de quadrados cinzentos ( c) 1 8 2 3 4 … … 10