matematica livro 7º ano.pdf

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1. Introdução

... 3

2. Apresentação do Projecto

... 4

2.1Manual... 4

2.2Livro de Apoio ... 6

2.3Caderno de Tarefas ... 7

2.4O meu portefólio de Matemática... 8

3. Estrutura do Caderno de Apoio ao Professor

... 11

4. Números e operações

... 12

4.1Teste de diagnóstico de conhecimentos 1A ... 12

4.2Teste de diagnóstico de conhecimentos 1B ... 14

Soluções dos testes de diagnóstico de conhecimentos ... 16

4.3Proposta de planificação ... 17

4.4Propostas de resolução +RRC... 20

4.5Sugestões de exploração das Tarefas de investigação... 23

4.6Tarefa de ligação (outros percursos)... 25

Proposta de resolução da Tarefa de ligação ... 26

5. Geometria – Triângulos e quadriláteros

... 27

5.6Tarefas de ligação (outros percursos)... 38

Proposta de resolução das Tarefas de ligação ... 40

6. Geometria – Semelhança

... 41

6.1Teste de diagnóstico de conhecimentos 3 ... 41

Soluções do teste de diagnóstico de conhecimentos ... 43

(3)

7. Álgebra – Sequências e regularidades

... 52

7.4Sugestões de exploração das Tarefas de investigação ... 59

8. Álgebra – Funções

... 62

8.4Sugestões de exploração da Tarefa de investigação... 69

8.5Tarefas de ligação (outros percursos)... 70

Proposta de resolução das Tarefas de ligação ... 72

9. Álgebra – Equações

... 74

10. Organização e tratamento de dados

... 86

10.3Proposta de planificação... 91

10.5Sugestões de exploração das tarefas de investigação ... 94

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1. Introdução

Caros colegas,

O novo Programa de Matemática do Ensino Básico nasceu da necessidade de uma intervenção urgente, que corrigisse os principais problemas existentes no ensino da Matemática, determinando-se que em vez de um programa radicalmente novo se procedesse a um reajustamento, tomando como ponto de partida o ante-rior. Assumindo que constituiu, na época em que foi elaborado, um passo em frente na actualização das orien-tações para o ensino da Matemática em Portugal, procura-se agora aperfeiçoá-lo e actualizá-lo à realidade dos nossos dias.

Os autores do programa, por solicitação da DGIDC, apresentaram dois possíveis percursos temáticos de aprendizagem. Cada um destes percursos é apresentado esquematicamente sob a forma de sequência de tópicos e subtópicos matemáticos, distribuídos por anos de escolaridade em cada ciclo, indicando as balizas temáticas do trabalho a realizar. Deste modo, cabe às escolas introduzirem as alterações que melhor se adaptam às caracte-rísticas dos alunos, às suas condições e ao contexto social e escolar, ou mesmo conceber outros percursos.

O projecto Xis movimentou uma vasta equipa de colaboradores, investigadores, revisores pedagógicos e científicos, que em conjunto com os autores traçaram as linhas orientadoras de um projecto em que um dos objectivos principais é proporcionar ao professor todas as possibilidades de exploração no campo pedagógico e científico, independentemente do percurso adoptado.

A Sociedade Portuguesa de Matemática foi escolhida por esta equipa como entidade certificadora do manual, atestando a sua correcção científica e concordância com os conteúdos curriculares.

As nossas equipas incluem profissionais diversos e competentes. No entanto, sabemos que o contributo de todos é essencial e que é necessário um esforço conjunto.

Colega: contamos consigo e estamos sempre disponíveis para as suas solicitações.

Paula Pinto Pereira Pedro Pimenta

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Para evitar que o Manual possa condicionar o professor no momento de definir o seu percurso, optámos por estruturá-lo de acordo com os grandes temas do Programa. Dividimos, assim, o Manual em quatro volu-mes, correspondendo cada volume a um tema: Números e operações; Geometria; Álgebra; e Organização e tratamento de dados. Cada tema subdivide-se nos tópicos do Programa respectivos.

O desenvolvimento da capacidade dos alunos de resolver problemas, raciocinar e comunicar foi tido em consideração transversalmente, nos quatro volumes, encontrando-se em particular nas rubricas RRC e +RRC.

2. Apresentação do Projecto

O projecto Xis 7 é composto por: Manual; Livro de Apoio; Caderno de Tarefas; O meu portefólio de

Matemática e Caderno de Apoio ao Professor. É, ainda, apoiado por uma forte componente multimédia.

2.1 Manual

Apresentam-se em seguida os percursos temáticos de aprendizagem sugeridos pelos autores do programa, por solicitação da DGIDC. No entanto, saliente-se que estes percursos não têm carácter vinculativo; cada escola pode optar por criar um percurso alternativo.

PERCURSO A

Semelhança (Geometria)

PERCURSO B

Tratamento de dados (Organização e tratamento de dados)

Números inteiros (Números e operações) Números inteiros (Números e operações) Sequências e regularidades (Álgebra) Triângulos e quadriláteros (Geometria) Funções (Álgebra) Sequências e regularidades (Álgebra) Triângulos e quadriláteros (Geometria) Funções (Álgebra) Tratamento de dados (Organização e tratamento de dados)

Equações (Álgebra) Equações (Álgebra) Semelhança (Geometria)

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• Recorda: esta rubrica permite recordar conhecimentos adquiridos no 2.º Ciclo.

• Recorda, aplicando: tarefas envolvendo os conteúdos da rubrica «Recorda».

• Tarefa inicial: tarefa introdutória que permite fazer a exploração de novos conteúdos.

• Os conteúdos são apresentados em dupla página: a uma página de desenvolvimento de conteúdos cor-responde uma página de tarefas intermédias; as tarefas intermédias terminam sempre com um exercício RRC – Raciocinar, resolver, comunicar.

• Síntese: sistematização dos conceitos mais importantes do tópico/capítulo estudado.

• Tarefas finais: aqui encontram-se mais tarefas, para o aluno consolidar os conhecimentos adquiridos.

• +RRC: no final de cada capítulo (que corresponde a um tópico do Programa), encontra-se uma secção pensada para conduzir o aluno a desenvolver as suas capacidades de raciocínio matemático, resolução de problemas e comunicação matemática.

• Tarefas de investigação: tarefas que permitem valorizar as actividades experimentais, a criatividade, a interdisciplinaridade e a utilização das tecnologias da informação e comunicação.

• Teste final: surge no fim de cada tópico/capítulo.

• Teste global: surge no fim de cada tema/volume do Manual.

• Tarefas de ligação: visam a conexão com os conteúdos que se vão estudar em seguida; no Manual apre-sentam-se sempre, em alternativa, tarefas pensadas para o professor que segue o percurso A e tarefas para o que segue o percurso B.

Recorda Tarefas de ligação Percurso A Percurso B Síntese Recorda, aplicando (conteúdos da rubrica recordar) Tarefa inicial (introdução dos conteúdos do tópico) Desenvolvimento dos conteúdos RRC Tarefas intermédias (relativas ao conteúdo desenvolvido na página ao lado) RRC Teste f inal Teste global Tarefas de investigação +RRC (raciocinar, resolver,

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2.2 Livro de Apoio

Para colmatar o problema da introdução do novo Programa a alunos do 7.º ano que no 2.º Ciclo estuda-ram pelo Progestuda-rama anterior e, consequentemente, não aprendeestuda-ram alguns conteúdos, elaborámos um Livro

de Apoio que integra todos os conteúdos de transição. Este recurso será particularmente útil até 2012.

Tal como no Manual, estruturámos o Livro de Apoio por tema:

Livro de Apoio Geometria • Ângulos: amplitude e medição – Distinguir ângulos complementares e suplementares e identiﬁcar ângulos verticalmente opostos e ângulos alternos internos Números e operações Números naturais

• Números primos e compostos • Decomposição em factores primos

• Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de dois números • Potências de base 10 • Multiplicação e divisão de potências OTD • Tabelas de frequências relativas

• Gráﬁcos circulares, de linha e diagramas de -folhas

• Extremos e amplitude

Figuras no plano Representação

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Note-se que:

• as tarefas iniciais permitem recordar os conteúdos de transição, e outros, estudados no 2.º Ciclo; • as tarefas globais permitem avaliar os conhecimentos adquiridos ao longo do tópico respectivo; • as fichas contêm uma pequena síntese e um exercício resolvido, de forma a promover a autonomia; • todas as páginas têm picotado, de forma a poderem, se assim se entender, ser retiradas, permitindo a sua

organização de acordo com o percurso escolhido pelo professor e a construção de um portefólio; • pode ser usado qualquer que seja o percurso seguido pelo professor.

2.3 Caderno de Tarefas

O Caderno de Tarefas está estruturado da seguinte forma:

Caderno de Tarefas Geometria Tarefa inicial Triângulos e quadriláteros 1. Ângulos de um triângulo 2. Congruência de triângulos

3. Relação entre os ângulos

e os lados de um triângulo. Eixos de simetria de um triângulo 4. Quadriláteros. Diagonais e eixos de simetria 5. Área de um paralelogramo Tarefa global Semelhança 6. Figuras semelhantes. Polígonos semelhantes. Razão de semelhança 7. Escalas. Método da quadrícula. Método da homotetia 8. Semelhança de triângulos

9. Relação entre perímetros

e áreas de triângulos semelhantes. Aplicações da semelhança de triângulos Tarefa global Números e operações Tarefa inicial Números inteiros 1. Multiplicação e divisão de números inteiros 2. Potências em que

a base é um número inteiro e o expoente é um número natural

3. Raiz quadrada e raiz

cúbica Tarefa global Álgebra Tarefa inicial Sequências e regularidades

1. Sequências. Termo geral

de uma sequência numérica. Funções

2. Correspondências.

Noção de função. Domínio e contradomínio de uma função 3. Tabelas e gráficos cartesianos. Formas de representação de funções. Sequências e funções 4. Funções de proporcionalidade directa. Relação entre o gráfico e a expressão analítica de uma função de proporcionalidade directa 5. Outros gráficos Tarefa global Equações 6. Expressões algébricas. Simplificação de expressões algébricas. Equações: termos e conceitos 7. Equações equivalentes e classificação de equações 8. Equações com parênteses. Resolução de equações. Resolução de problemas utilizando equações Tarefa global Organização e tratamento de dados Tarefa inicial Tratamento de dados 1. Dados agrupados em classes. Histogramas 2. Mediana e quartis. Diagramas de extremos e quartis. Amplitude e amplitude interquartis 3. Comparação entre

média, moda e mediana. Simetria e enviesamento Tarefa global

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2.4 O meu portefólio de Matemática

O principal objectivo de O meu portefólio de Matemática é conduzir os alunos à organização, à reflexão, à identificação das suas dificuldades e, consequentemente, a formas de as superar.

O meu portefólio de Matemática contém, para cada tópico/capítulo:

• listas para organização do estudo e reflexão sobre os conhecimentos adquiridos; • uma proposta de reflexão sobre a forma como se estudou e as atitudes na sala de aula; • uma síntese com espaços para preencher.

Contém, ainda, auxiliares para a organização do estudo antes dos testes, uma tabela de raízes quadradas e uma tabela de raízes cúbicas.

O aluno poderá organizá-lo, por exemplo, de acordo com o percurso escolhido pelo professor.

Como forma de enriquecer o portefólio, o professor poderá, através da proposta de alguns trabalhos de pesquisa/investigação, etc., motivar o aluno e, simultaneamente, desenvolver a sua capacidade de comunicar, o que pode ser feito em estreita colaboração com a disciplina de Língua Portuguesa. Oportunamente, por exemplo após o estudo de um capítulo, o professor poderá sugerir ao aluno que:

1. em trabalho de grupo, faça uma pesquisa sobre aspectos do dia-a-dia relacionados com o que aprendeu sobre o capítulo; prepare uma apresentação digital, ou um cartaz, com as conclusões do trabalho; 2. recorde uma aula sobre o capítulo e a descreva a um amigo através de uma carta, referindo o que sentiu; 3. escreva um artigo que pudesse sair num jornal relatando como foi a aula de que mais gostou sobre o

capítulo, explicitando o que aprendeu e por que motivo essa foi a aula preferida;

4. imagine uma entrevista a um matemático que se dedicou ao estudo de determinado assunto;

5. em trabalho de grupo, procure, em revistas ou jornais, gráficos que mostrem a correspondência entre duas variáveis, indicando, justificando, se alguma dessas correspondências é uma função e, em cada caso, a variável dependente e a variável independente; no final, o grupo deverá preparar uma apresenta-ção com as conclusões do trabalho;

6. elabore um trabalho de investigação sobre os matemáticos que se dedicaram ao longo dos tempos ao estudo de determinado assunto e faça uma banda desenhada imaginando um diálogo entre esses mate-máticos.

O professor poderá, se assim o definir com os alunos, considerar O meu portefólio de Matemática um ele-mento da avaliação. Na tabela que se segue encontra-se uma proposta dos critérios de avaliação a considerar na análise do portefólio.

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% CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO ALUNO PROF. 10 APRESENTAÇÃO Aspecto gráfico Caligrafia legível Margens suficientes Imagens adequadas

Apresenta trabalhos limpos

Utiliza as TIC

15 ORGANIZAÇÃO

Tem índice

Tem separadores

Identifica os separadores

Respeita a sequência dada

É fácil de consultar por outros

15 CRIATIVIDADE

É imaginativo na apresentação

Tem trabalhos originais

Utiliza ilustrações diversas

15 CORRECÇÃO

LINGUÍSTICA

Organiza correctamente o discurso

Utiliza vocabulário adequado

Escreve sem erros

15 JUSTIFICAÇÃO DOS DOCUMENTOS

Justifica adequadamente a escolha dos documentos seleccionados

Todos os documentos têm data e indicam a fonte

10 RESPONSABILIDADE

Realiza as tarefas a que se propôs

Cumpre os prazos

Aceita e cumpre as regras de trabalho

10 PERSEVERANÇA

Revela empenho

Procura superar as dificuldades

Leva as tarefas até ao fim

10 AUTONOMIA

Propõe tarefas por sua iniciativa

Executa bem as tarefas sem ajuda

Coloca questões

100% Total

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Poderá ainda ser pedido aos alunos que auto-avaliem o seu próprio portefólio, para o que se poderá recor-rer à tabela seguinte:

AUTO-AVALIAÇÃO DO PORTEFÓLIO

ITENS SIM NÃO

ORGANIZAÇÃO

Índices globais e parciais

Separadores identificados

Apresentação gráfica adequada

Aspecto limpo e cuidado

Documentos datados

Documentos identificados

CONTEÚDO

Articulação da informação/tema

Justificação da escolha dos documentos

Organização lógica da informação

Elaboração de hipóteses

Apresentação de conclusões

Várias versões do projecto

Relatórios

Diários de bordo

Correcção linguística

Exposição clara e coerente

Identificação de dificuldades

Formas de superação

Reflexão sobre dúvidas

AVALIAÇÃO

Auto-avaliação

Hetero-avaliação

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3. Estrutura do Caderno de Apoio ao Professor

Para cada tópico do Programa/capítulo do Manual, neste Caderno de Apoio ao Professor apresentam-se:

A actividade lectiva do professor será ainda apoiada em AULA DIGITAL.

Propostas de planiﬁcação

Inclui abordagem metodológica das tarefas «Recorda, aplicando» Testes de diagnóstico de conhecimentos/Auto-avaliação (apresentam-se, em geral, dois testes, um com os conteúdos de transição e outro sem esses conteúdos para aplicar até 2012)

Tarefas de ligação para percursos alternativos e respectivas propostas de resolução

Propostas de resolução e metodologia de desenvolvimento da rubrica +RRC do Manual

Sugestões de exploração das tarefas de investigação do Manual

Manual Livro de Apoio Caderno de Tarefas

O meu portefólio de Matemática Caderno de Apoio ao Professor

Preparação de aulas para quadro interactivo

Apresentações em PowerPoint Testes interactivos do Professor

Applets (geometria dinâmica)

Ligações à Internet Avaliação interactiva Animações interactivas Contos Jogos educativos Testes interactivos Ligações à Internet Recursos do projecto

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4. Números e operações

4.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1A

Parte 1

Nos itens que se seguem, só uma das alíneas corresponde à resposta correcta. Indica-a.

1. O número 11 é primo porque:

A. é divisível por 1. C. é um número ímpar.

B. é divisível por 11. D. tem como únicos divisores 1 e 11.

2. A Matilde tem um jogo que traz fichas com um número variável de pintas, que se repetem por

algumas delas. Separou algumas das fichas por quatro grupos, como mostra a figura. Em que grupo de fichas a soma das pintas é um divisor de 42?

A. B. C. D.

3. Uma decomposição em factores de 230 é:

A. 23 × 2 B. 2 × 3 × 0 C. 23 × 10 D. 115 × 5

4. Factorizando 132, obtemos:

A. 22_{× 3 × 11} _{B. 4}_{× 3 × 11} _{C. 2}3_{× 5} _{D. 2 + 2}_{× 3 × 11}

5. Sabendo que

D10 = {1, 2, 5, 10} e D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} ,

podemos afirmar que o m.d.c. (10, 24) é:

A. 2 B. 10 C. 1 D. 24 6. 103_é: A. 1 B. 10 C. 100 D. 1000 7. 53_{× 2}3_é: A. 73 _{B. 10}6 _{C. 10}3 _{D. 7}6 COTAÇÃO 6 6 6 6 6 6 6

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8. Na tabela abaixo, está representado (não completamente) o índice do jornal O Primeiro de Janeiro

do dia 8 de Outubro de 2009.

Responde às questões seguintes utilizando apenas números que fazem parte do índice do jornal.

8.1 Dá exemplo de um número com dois algarismos que seja: a) número primo;

b) número composto; c) divisível por 2 e 5;

d) divisível por 3, mas que não seja divisível por 5.

8.2 Decompõe em factores primos o número da página que corresponde à informação «Última». 8.3 Qual é o número da página referente ao tema «Televisão», sabendo que é um múltiplo de 8 e

se encontra entre 27 e 38?

9. O Nuno esteve a decompor alguns números em factores primos. Enquanto fez uma paragem para

o lanche, o seu irmão mais novo apagou alguns desses números. Para que o Nuno não tenha de se zangar com o pequeno traquina, completa os espaços apagados.

10. Calcula o valor da seguinte expressão numérica e apresenta os cálculos que efectuares.

(–2) + (–5) – [(–1) – (–1)]

11. Escreve na forma de uma única potência:

a) 23_{× 2}2_{× 3}5 _{b) 6}4_{: 6}2_{: 3}2 Hoje/O Primeiro de Janeiro

Porto Casos

do dia Opinião Regiões Nacional Interna-cional Socie-dade Econo-mia Cultura e espectá-culos Televisão Farmá-cias Meteoro-logia Última 2 7 9 11 15 17 20 23 27 38 39 40 450 2 225 3 25 5 1 135 45 3 3 1 555 3 37 1 450 = 555 = 135 =

Pontuação Os teus conhecimentos são: Então:

90%-100% Excelentes _{Continua a estudar para manteres ou melhorares} o teu desempenho.

70%-89% Bons

50%-69% Razoáveis Continua a trabalhar, pois podes melhorar. 20%-49% Pouco satisfatórios

Tens de estudar muito para melhorar o teu desempenho. 0%-19% Insatisfatórios 2 2 3 3 6 3 15 10 14 AUTO-AVALIAÇÃO

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4.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 1B

* Parte 1

1. Dos números 16, 21, 32 e 100, qual deles é divisível por 3?

A. 16 B. 21 C. 32 D. 100

2. O número 153 é:

A. divisível por 5. C. divisível por 3 e por 2.

B. divisível por 10. D. divisível por 3, mas não por 2.

3. O número

A. 1350 B. 1351 C. 133 D. 250

é divisível por 2, 3, 5 e 6.

4. Só uma das seguintes afirmações é falsa. Qual? A. Todos os múltiplos de 10 são múltiplos de 5. B. Todos os múltiplos de 8 são múltiplos de 80. C. Todos os múltiplos de 7 são múltiplos de 1. D. Todos os divisores de 7 são divisores de 49.

5. As temperaturas mínimas registadas durante uma semana, numa cidade no norte da Europa, são

as seguintes:

Ordena as temperaturas por ordem decrescente:

A. Quarta-feira; Domingo; Sábado; Quinta-feira; Sexta-feira; Terça-feira; Segunda-feira. B. Segunda-feira; Sexta-feira; Domingo; Quarta-feira; Sábado; Quinta-feira; Terça-feira. C. Terça-feira; Quinta-feira; Sábado; Quarta-feira; Domingo; Sexta-feira; Segunda-feira. D. Domingo; Sexta-feira; Segunda-feira; Quarta-feira; Sábado; Quinta-feira; Terça-feira.

6. O resultado da expressão (–9) + (+5) é: A. 4 B. – 4 C. –14 D. 14 7. 23_é: A. 2 x 3 B. 4 C. 2 + 2 + 2 D. 8 6 6 6 6 6 6 6

Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Sábado Domingo

–10 o_C ₊₅o_C ₀o_C ₊₃o_C _–4o_C ₊₂o_C _–1o_C

COTAÇÃO

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8. O David tem 40 bombons e o César tem 36 rebuçados. Qual o maior número de sacos surpresa

que se podem fazer, se estes tiverem de ter o mesmo número de bombons e rebuçados? Explica como chegaste à tua resposta, usando palavras, esquemas ou cálculos.

9. Durante a noite, três pastores fazem vigia aos seus

rebanhos, pois as ovelhas estão a ser atacadas por lobos. Um dos pastores faz a vigia de dois em dois dias, o outro de três em três dias e o terceiro de cinco em cinco dias. No primeiro dia, ficaram os três de vigia. Daqui a quantos dias tornam a estar os três de vigia no mesmo dia? Explica como che-gaste à tua resposta, usando palavras, esquemas ou cálculos.

10. O João vive num prédio com 20 pisos, em que o piso –1 e o piso –2 correspondem às garagens.

O João entra no elevador no piso 6.

10.1 Em que botão do elevador deve carregar para subir nove andares? 10.2 E para descer sete andares?

10.3 Se carregar no botão +2, quantos andares desce? 10.4 E se carregar no botão –2, quantos andares desce?

11. Calcula o valor da seguinte expressão numérica e apresenta todos os cálculos que efectuares.

2 + (+3) – (–3) – (+8)

12. Um autocarro partiu da central de camionagem com 21 pessoas. No seu percurso, passou por

quatro paragens, onde entraram e/ou saíram algumas pessoas.

Sabe-se que, na primeira paragem, saíram oito pessoas e entraram duas. Na segunda paragem, saíram cinco pessoas e entrou uma. Na terceira paragem saíram duas pessoas e entraram quatro e, finalmente, na quarta saíram seis passageiros, tendo os restantes passageiros seguido viagem. Qual o número de pessoas que seguiu viagem? Explica a tua resposta usando cálculos, esquemas ou palavras.

70%-89% Bons

Tens de estudar muito para melhorar o teu desempenho. 0%-19% Insatisfatórios AUTO-AVALIAÇÃO 13 15 2 2 2 2 10 12

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Teste de diagnóstico

de conhecimentos 1A

Parte 1 1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. D 7. C Parte 2 8.1 a) 2, 7, 11, 17, 23 b) 9, 15, 20, 27, 38, 39, 40 c) 20, 40 d) 9, 27, 39 8.2 23_{× 5} 8.3 32 9. Por exemplo: 10. –7 11. a) 65 b) 22

Teste de diagnóstico

de conhecimentos 1B

Parte 1 1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. B 7. D Parte 2 8. Determinam-se os divisores de 36 e de 40. O m.d.c. (36; 40) = 4.

9. No trigésimo dia. Determinam-se os múltiplos

de 2, 3 e 5. O m.m.c. (2,3,5) = 30. 10. 10.1 15 10.2 –1 10.3 4 10.4 8 11. 0 12. 21 – 8 + 2 – 5 + 1 – 2 + 4 – 6 = 7

7 pessoas seguiram viagem.

Soluções

450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1 135 3 45 3 15 3 5 5 1 555 3 185 5 37 37 1 450 = 2 × 32_{× 5}2 555 = 3 × 5 × 37 135 = 33_{× 5}

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4.3 Proposta de planificação

Capacidades transversais

Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática.

Objectivos específicos

• Descrever e explicar, oralmente e por escrito as estratégias matemáticas que utilizam e os resultados a que chegam.

• Justificar os raciocínios elaborados e as conclusões obtidas.

• Argumentar e discutir estratégias de resolução, tendo sempre como ponto de vista a clarificação e orga-nização do pensamento matemático.

• Desenvolver destrezas de cálculo numérico mental e escrito.

• Resolver problemas, raciocinar e comunicar em conteúdos numéricos. • Apreciar ordens de grandeza e avaliar a razoabilidade de um resultado. • Compreender e ser capaz de usar propriedades dos números inteiros.

• Ter presente e usar adequadamente as convenções matemáticas (diferença entre valores, respeitando a sua ordem na questão) e incluindo a terminologia e notações, tais como ºC (graus Celsius).

• Valorização do cálculo mental.

• Avaliar a razoabilidade de um resultado.

Avaliação

• Formativa de conhecimentos.

• Observação directa do interesse e empenho dos alunos.

(19)

LIÇÃO ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA TEMPO 1 Teste de diagnóstico de conhecimentos

• Raciocinar, Resolver e Comunicar: Tarefas 1 e 2.

• O modelo de diagnóstico proposto pressupõe dois momentos distintos de avaliação: através de uma avaliação individual de conhecimentos e através de duas tarefas que proporcionam o diagnóstico das potencialidades da turma como grupo de trabalho. Estes dois momentos distintos permitem ao professor traçar o perfil da turma e efectuar uma previsão de maior ou menor investimento de trabalho, tendo como finalidade a procura de um equilíbrio de partes.

45’ 45’

3

4

2 Tarefa A – «O que nos dizem os números 81, 225 e 625?»:

• explicação da tarefa;

• execução da tarefa em trabalho de grupo; • discussão em grande grupo.

Tarefa B – «Temperaturas»: • explicação da tarefa; • execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo.

Pretende-se com o desenvolvimento da tarefa proporcionar aos alunos um momento de reflexão e análise onde o tema transversal assume grande importância, dando, de forma diferente, continuidade ao processo de diagnóstico de conhecimentos, onde a participação oral assume um papel importante. Sempre que necessário, os alunos devem recorrer à rubrica «Recorda», ou efectuar uma análise da mesma em conjunto com o professor, de forma a prevenir dificuldades que se venham a registar na sua execução. Nesta fase, o professor deve considerar a necessidade da utilização do Livro

de Apoio, para consolidação de aprendizagens,

ou de recorrer ao apoio digital, aproveitando os recursos disponíveis.

Antecipação de dificuldades

O professor pode certificar-se de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: divisores; múltiplos; números primos; decomposição em factores primos; regras das potências e adição e subtracção de números inteiros; adição e subtracção de números inteiros relativos.

Recursos possíveis de utilização

Manual. Caderno de Tarefas. 5’ 25’ 15’ 5’ 25’ 15’

Tarefa 1 – «Quem ganhou o concurso?»: • explicação da tarefa;

• execução e discussão da tarefa em trabalho de grupo;

• discussão em grande grupo.

Pode ser feita uma leitura em grande grupo, pensando principalmente em alunos com mais dificuldades, acompanhada por alguns comentários que o professor considere mais pertinentes, ou por algumas questões cujas respostas revelem se os alunos estão, ou não, a entender o que lhes é proposto.

Multiplicação de números inteiros com sinais diferentes.

Multiplicação de números inteiros com sinais iguais. Tarefas intermédias e remissões de final de página.

Adição e subtracção de números inteiros relativos.

Manual.

Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas. 5’ 25’ 15’ 45’ Tarefas de investigação:

«Sistema numérico do povo Yoruba.» «Código numérico.»

Qualquer uma destas tarefas pode ser efectuada nesta altura e pretende-se, com a sua diversidade, que os alunos escolham aquela com que sentem mais afinidade. Relativamente a estas tarefas pode sugerir-se a elaboração de um relatório de aula que será apresentado por um grupo de alunos logo no início da aula seguinte, de forma a promover a comunicação e partilha de conhecimentos. Divisão de números inteiros com sinais diferentes. Divisão de números inteiros com sinais iguais. Tarefas intermédias e remissões de final de página.

Computador.

Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL

Caderno de Tarefas.

45’

(20)

7

_LIÇÃO _{ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA} _TEMPO

8 Potência de uma potência e potência de expoente nulo.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Raiz quadrada.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. A matéria deve ser intercalada e faseada com a resolução das tarefas intermédias ou finais para que o ritmo da aula seja diversificado.

Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas. 10’ 30’ 10’ 30’ 9 e 10 80’ 15’ 80’ 10’ 30’ 30’ 10’ 5 Apresentação dos relatórios das tarefas

de investigação realizadas na aula anterior. Tarefa de investigação: «Multiplicação e divisão de números inteiros numa folha de cálculo».

Computador. Caderno de Tarefas. 30’ 60’ Tarefa 2: • explicação da tarefa;

• execução e discussão da tarefa em trabalho de grupo; • discussão em grande grupo.

Potência em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. No caso de serem diagnosticadas muitas dificuldades na execução da tarefa 2, sugere-se a utilização do

Livro de Apoio, para recordar as regras operatórias.

Tarefas indicadas no Manual. Livro de Apoio. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas. 5’ 25’ 15’ 10’ 30’ 6

Sinal de uma potência. Tarefas intermédias.

Regras para multiplicar e dividir potências. Tarefas intermédias e remissões de final de página. A matéria deve ser intercalada e faseada com a resolução das tarefas intermédias ou finais para que o ritmo da aula seja diversificado.

Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas. 7 10’ 30’ 10’ 30’

Raciocinar, resolver e comunicar. Discussão da tarefa na turma.

Tarefa de investigação: «Área de um quadrado no Geogebra».

Manual.

Computador.

11 Quadrados perfeitos.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Raciocinar, resolver e comunicar.

Discussão da tarefa na turma.

Tarefas indicadas no Manual.

Raiz cúbica e cubos perfeitos.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Algumas propriedades das operações com raízes quadradas.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Raciocinar, resolver e comunicar.

Discussão da tarefa na turma.

Tarefas indicadas no Manual.

Caderno de Tarefas. 12 e 13 10’ 40’ 30’ 40’ 30’ Tarefas de ligação:

«Áreas de quadriláteros» (Percurso A). «Potências e regularidades» (Percurso B). E ainda… Cacifos (outros percursos).

Com esta tarefa suplementar, que aqui é proposta e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagens adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior, pretende fornecer-se uma alternativa ou complemento às tarefas propostas no Manual, recorrendo à utilização de padrões. Estas tarefas podem ser enquadradas ou direccionadas de forma adequada para o tema que a seguir se irá explorar.

Avaliação global de conhecimentos. O teste global de conhecimentos deve ser efectuado individualmente. A sua discussão e correcção devem ser efectuadas em grande grupo, imediatamente a seguir à sua resolução. 14 e 15 45’ 45’ 45’ 70’ 15’

(21)

4.4 Propostas de resolução +RRC

A rubrica «+RRC, Raciocinar, Resolver e Comunicar», surge no desenvolvimento do tema, em momentos de reflexão e análise, e no final das tarefas intermédias, assumindo um espaço próprio no final de cada tema.

Os autores, neste espaço, sugerem a execução de uma diversidade de tarefas que estão ligadas ao desenvol-vimento de raciocínios e à busca de estratégias eficientes de resolução, para que os alunos desenvolvam algum desembaraço a lidar com problemas matemáticos e que efectuem generalizações a partir de casos particulares ou contra-exemplos. É importante que os alunos percebam quando é que um problema tem solução ou não, se existem dados suficientes para a sua resolução e que estratégias podem ser desenvolvidas com vista a atin-gir este objectivo.

1. A fuga da prisão

Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio, utilizando os números naturais. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.

Estratégia de resolução possível:

No total existem três fugas. Em cada uma, fogem quatro presos, num total de 12.

Ainda se pode planear uma outra fuga, como se propõe a seguir:

O mínimo de prisioneiros que devem permanecer na prisão será 18, para que o guarda continue a ser enganado. O «segredo» está no facto de os números dos cantos serem contados duas vezes, motivo pelo qual o guarda é sempre enganado.

2 5 1.ª fuga 2 5 5 2 5 2 3 3 2.ª fuga 3 3 3 3 3 3 4 1 3.ª fuga 4 1 1 4 1 4 4 0 5 1 0 4 1 4 4 0 5 0 0 5 0 4

(22)

2. Três marinheiros, um bando de macacos e um monte de cocos

Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio, utilizando algumas das operações com

números naturais.

Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo. Estratégia de resolução possível:

Atendendo a que o aluno sabe com quantos cocos cada marinheiro ficou no final das divisões, deve, a partir daí, desenvolver uma estratégia que lhe permita saber quantos cocos os três marinheiros apanharam inicialmente. O número total de cocos da divisão final é igual à soma do número de cocos de dois dos mari-nheiros da terceira divisão. Esta relação repete-se pelas restantes divisões.

3. Pulgas e mais pulgas…

Objectivo principal: Aplicar as potências de expoente natural na resolução de um problema de contagem. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.

Os alunos devem efectuar uma primeira leitura para se inteirarem do assunto do problema e adaptarem uma estratégia possível de resolução. Em seguida, devem fazer uma segunda leitura para que apliquem essa estratégia. Obviamente, após a discussão das várias produções dos alunos, o professor deve apontar as potên-cias como possível estratégia de resolução, no caso de esta não ter surgido como proposta dos alunos. Existem 16 pulgas e eu, pois existem 25_{pulgas, mas só 2}4_{é que coçam outras pulgas, pois as últimas não coçam pulga}

nenhuma.

4. Quadrados

Objectivo principal: Recorrer às regularidades, para encontrar quadrados perfeitos. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.

Estratégia possível de resolução:

a) Esta questão parece ter várias soluções possíveis. No entanto, não é possível, retirando o mesmo número

de quadrículas de cada canto do quadrado, voltar a construir um quadrado. O número de quadrículas retiradas é múltiplo de 4. Para que fosse possível construir um quadrado, a diferença entre 144 e um mul-típlo de 4 menor que 144 teria de ser um quadrado perfeito. Neste caso particular, isso nunca se verifica.

Extensão para a questão:

Se a questão fosse: «A partir de uma folha de papel com 12 x 12 quadrículas, o Artur pretende saber se, retirando dos quatro lados da folha o mesmo número de quadrículas, ainda consegue construir um qua-drado.»

Marinheiro 1 Marinheiro 2 Marinheiro 3 Macacos Total

Primeira divisão 26 26 26 1 79

Segunda divisão 17 17 17 1 52

Terceira divisão 11 11 11 1 34

(23)

b) A partir da extensão proposta anteriormente, os alunos chegam aos valores 23 e 21, para que depois

possam efectuar uma generalização: tem de se subtrair um número ímpar de quadrículas inferior ao número ímpar que se subtraiu anteriormente.

c) Nesta alínea pretende-se que o aluno generalize o raciocínio em sentido contrário, ou seja, de 11 para 12

adicione 23 quadrículas e, por isso, de 12 para 13 adicione 25 quadrículas.

5. Soma de ímpares

Objectivo principal: Recorrer a padrões para o enquadramento de valores entre raízes quadradas. Organização da turma: Trabalho individual.

a) O aluno, depois de analisar os exemplos dados, deve evidenciar uma estratégia de resolução da questão.

Por exemplo, pode contabilizar o número de quadrículas existentes na última figura (36) ou o número de quadrículas de um dos lados do último quadrado (6) e calcular a sua área (6 × 6). Pode também fazer 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11, se for sensível ao exemplo apresentado.

b) Nesta alínea já se apela directamente à lei de formação: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15

c) Mudando o exemplo, mas recorrendo a raciocínios análogos, pretende-se que o aluno responda que

mantendo a lei de formação terá 13 + 15 + 17 + 19 = 64

6. Os guardanapos da Matilde

Objectivo principal: Recorrer aos padrões para o enquadramento de valores entre raízes quadradas. Organização da turma: Trabalho individual.

Os alunos devem começar por verificar quantas molas é necessário usar em cada uma das situações. Repa-re-se que todos os casos representam algumas das situações possíveis para se colocar guardanapos a secar, mas podem explorar-se outras possibilidades e efectuar uma relação entre eficácia e menor gasto de molas. Nas situações 1, 2, 3 e 4 são necessárias 6, 31, 30 e 60 molas, respectivamente.

(24)

4.5 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação

Sistema numérico do povo Yoruba e Código numérico

Nas tarefas «Sistema numérico do povo Yoruba» e «Código numérico» pretende-se que o aluno, após ter conhecimento dos conceitos, os articule com outros conceitos matemáticos e não matemáticos, presentes no seu dia-a-dia. Nestas tarefas também se pretende que o aluno veja os diferentes aspectos com que se apresenta a matemática e tenha apreço pelo seu contributo para a cultura e para o desenvolvimento da sociedade con-temporânea.

Sistema numérico do povo Yoruba Proposta de resolução:

1. 45 = 20 × 2 + 5

2. Por exemplo, 108 = 20 × 5 + 10 – 2 ou 108 = 20 × 6 – 10 – 2

Para a resolução da questão 3. é importante que o professor averigúe se a turma percebeu a introdução à questão. Para que valores se devem usar os múltiplos de 20? E de 400? E de 8000? Este raciocínio deve ser feito em conjunto com os alunos, sem no entanto requerer que se estipulem padrões rígidos de comportamento dos valores. 3. 1524 = (400 × 5) – (20 × 9) + 4 e 15067 = (800 × 2) – (400 × 2) – (7 × 20) + 7 4. (10 – 1) × 1 = (10 – 1) (10 – 1) × 2 = (1× 20) – 2 (10 – 1) × 3 = (2 × 20) – 10 – 3 (10 – 1) × 4 = (2 × 20) – 4 (10 – 1) × 5 = (3 × 20) – 10 – 5 (10 – 1) × (10 – 4) = (3 × 20) – 5 – 1 (10 – 1) × (10 – 3) = (4 × 20) – 10 – 5 – 2 (10 – 1) × (10 – 2) = (4 × 20) – 5 – 3 (10 – 1) × (10 – 1) = (5 × 20) – 10 – 5 – 4 (10 – 1) × 10 = (5 × 20) — 5 – 5

5. Seria importante que os alunos indicassem algumas das muitas regularidades que se podem estabelecer

entre números pares, números ímpares e, ainda, no seu conjunto. Esta questão é obviamente de resposta livre e será muito importante tentar estabelecer um clima de comunicação e participação, para que ela possa realmente ser desenvolvida e explorada ao máximo.

(25)

6. Entre 11 e 20, os números não mantêm a mesma regularidade; no entanto, pode estabelecer-se entre

eles outro tipo de regularidade que seria importante também tentar encontrar na discussão em grande grupo.

7. É naturalmente importante pensarmos que um número resulta da composição ou decomposição de

outros números de forma a estabelecer relações entre a sua formação. No entanto, estas representações tornam-se desvantajosas pela sua extensão e complexidade de escrita. Estas são algumas razões que se podem apontar como exemplo; no entanto, o professor deve avaliar a pertinência de outras que lhe sejam sugeridas.

Código numérico Proposta de resolução

Esta é uma das tarefas em que se recomenda a utilização da máquina calculadora elementar, para que os alunos se familiarizem com a sua utilização. Na realidade, os códigos numéricos constituem uma realidade do dia-a-dia de um cidadão e com esta tarefa pensamos contribuir para o enriquecimento de uma cultura mate-mática.

1. Verifica se o ISBN do Caderno de Exercícios Xis7 está correcto.

ISBN 978-9-72-47-4095-9 O aluno deve concluir que o ISBN está correcto.

2. Determina o dígito de verificação do livro com o ISBN 978-9-72-47-2239-A

R: A = 9

3. Supõe que acabaste de editar um livro na Leya e te pedem que completes o seguinte ISBN, com o qual

o teu manual será comercializado. Que sugestão darias à editora? ISBN 978-9-72 – AB-CDEF-G

É uma resposta aberta. O aluno poderá construir um ISBN para uma pretensa publicação e seria interes-sante a partilha dos vários registos, para que todos vissem se foram ou não bem construídos.

Multiplicação e divisão de números inteiros numa folha de cálculo e Área de um quadrado no Geogebra

Estas tarefas são de natureza diferente, que recorrem à utilização do computador e software específico da matemática. Com estas tarefas pretende-se que os alunos vejam a aplicabilidade dos conceitos, façam conjec-turas e aprendam a gerir estes recursos, recorrendo a eles para situações semelhantes onde o tempo de cons-trução da tarefa com material de escrita e de desenho convencional comprometeria o tempo necessário para a sua exploração e reflexão.

(26)

4.6 Tarefa de ligação (outros percursos)

Os cacifos

Numa empresa existem mil empregados e mil cacifos, numerados de 1 a 1000. Os cacifos encontram-se todos fechados.

O primeiro empregado a entrar na empresa abre todos os cacifos.

O segundo empregado fecha todos os cacifos, cujos números são múltiplos de 2. O terceiro empregado «muda o estado» (se está aberto, fecha; se está fechado, abre) dos cacifos cujo número é um múltiplo de 3.

Este processo repete-se sucessivamente até ao milésimo empregado, que «muda o estado» dos cacifos cujo número é um múltiplo de 1000.

No fim, quais são os cacifos que ficaram abertos?

Para resolver a questão, começa por percorrer as seguintes etapas:

• Faz uma simulação para um número de 25 empregados, preenchendo a seguinte tabela.

1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F 21 F 22 F 23 F 24 F 25 F

Conteúdos utilizados: Múltiplos e divisores de um número. Organização da turma: Trabalho em pequeno grupo. Sugestões de ligação com os restantes temas:

A partir do preenchimento do quadro, esta tarefa pode servir de ligação a um tema de: • Álgebra (padrões, sequências de figuras);

• Geometria (eixo de simetria do quadrilátero; triângulos semelhantes);

• Organização e tratamento de dados (tabelas de frequência absoluta, através da contagem do número de letras A e F).

• Indica quantos divisores têm os números marcados nos cacifos que ficam abertos. • Formula uma conjectura que relacione esses números com o seu número de divisores. • Indica os cacifos que ficaram abertos.

(27)

Cada um desses números tem um número ímpar de divisores. O aluno pode formular a seguinte conjectura:

«Os inteiros com um número ímpar de divisores são os quadrados perfeitos.»

Os cacifos que ficaram abertos depois da vigésima quinta mudança foram os cacifos com os números 1, 4, 9, 16 e 25, que representam quadrados perfeitos. Como tal, os cacifos que ficaram abertos depois da milésima mudança foram todos aqueles que representam quadrados perfeitos até 1000, inclusive.

Proposta de resolução da Tarefa de ligação

1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F 21 F 22 F 23 F 24 F 25 F A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A F A F F A A A F F F A A A F F F A A A F F F A A A A A A A A F F A F A F F A A A A A F F A F A F A A A F A A F A F A A A A A F F F A F F F A A F A A A A F A A A F A F F F A A F F A F A A A A A A A A F A F A F A A F F F A A A A A A F A F A F A F A F F A A A A A A A F A A A F A F A F F F A A A A A F A A A A A F A F F F A A A A F A A A A A A A F F F A A A F A A A A A A A A F F A A F A A A A A A A A F F A F A A A A A A A A F F F A A A A A A A A F A A A A A A A A A F F A A A A A A A F F A A A A A A F F A A A A A F F A A A A F F A A A F F A A F F A F F F A

(28)

5. Geometria – Triângulos e quadriláteros

5.1 Teste de diagnóstico de conhecimentos 2A

Parte 1

1. O que representa a figura seguinte?

A. A recta AB : AB .

B. A semi-recta com origem em A e que passa por B : A·B .

C. O segmento AB : [AB] .

D. A semi-recta com origem em B e que passa por A : AB· .

2. Qual é a posição relativa das duas rectas representadas na figura? A. Concorrentes.

B. Perpendiculares. C. Paralelas.

D. Coincidentes.

3. Estima a amplitude do ângulo assinalado na figura. A. 15º C. 120º

B. 90º D. 45º

4. Qual dos seguintes ângulos representa um ângulo obtuso?

A. B. C. D.

5. Classifica o triângulo seguinte, quanto aos ângulos. A. Recto.

B. Obtusângulo. C. Agudo. D. Rectângulo.

6. Um polígono com cinco lados designa-se por: A. heptágono. B. pentágono. C. hexágono. D. triângulo. COTAÇÃO 5 5 5 5 a b A B 5 5

(29)

Parte2

7. Considera os ângulos a , b e c assinalados no triângulo representado na figura. 7.1 Que designação têm os ângulos a , b e c em

relação ao triângulo?

7.2 Ordena, por ordem crescente, os ângulos, tendo

em consideração a sua amplitude.

7.3 Como classificas o triângulo quanto aos ângulos? 7.4 Este polígono é regular? Justifica.

8. Na figura está representado um polígono regular com sete lados. 8.1 Classifica o polígono quanto aos lados.

8.2 Quantos vértices tem o polígono? 8.3 Quantas diagonais tem o polígono?

8.4 Como se designa o ângulo b em relação ao polígono? 8.5 Sabendo que o ângulo b tem de amplitude 52º, qual

é a amplitude do ângulo a ?

8.6 Um dos lados do polígono mede 2 cm. Qual é o seu perímetro? 9. Calcula a área, em cm2_{, dos seguintes polígonos:}

70%-89% Bons

Tens de estudar muito para melhorar o teu desempenho. 0%-19% Insatisfatórios AUTO-AVALIAÇÃO 5 5 5 5 5 5 8 5 7 8 12 a b _c a _b 3 cm 5 cm 4 cm 2 cm 3 cm COTAÇÃO

(30)

5.2 Teste de diagnóstico de conhecimentos 2B

* Parte 1

1. O que representa a figura seguinte?

A. A recta AB: AB .

B. A semi-recta com origem em A e que passa por B : A·B .

C. O segmento AB : [AB] .

D. A semi-recta com origem em B e que passa por A : AB· .

2. Qual a posição relativa das duas rectas representadas na figura? A. Concorrentes.

B. Perpendiculares. C. Paralelas.

D. Coincidentes.

3. A posição relativa das rectas representadas na figura é: A. e e f são perpendiculares.

B. e e f são paralelas.

C. e e f são não complanares. D. e e f são concorrentes.

4. Um polígono com cinco lados chama-se: A. heptágono.

B. pentágono. C. hexágono. D. triângulo.

5. O polígono representado na figura tem A. 7 vértices, 7 lados, 7 ângulos e 28 diagonais. B. 5 vértices, 5 lados, 6 ângulos e 12 diagonais. C. 5 vértices, 5 lados, 5 ângulos e 10 diagonais. D. 6 vértices, 6 lados, 5 ângulos e 10 diagonais.

COTAÇÃO 6 6 6 6 6 A B b c f e

(31)

Parte 2

6. Determina a área da região colorida, sabendo que ABCD é um quadrado de lado 2 cm e

DF— = 8 cm .

7. Na figura ao lado está representado um polígono regular com oito lados. 7.1 Classifica o polígono quanto aos lados.

7.2 Quantos vértices têm o polígono? 7.3 Quantas diagonais tem o polígono?

7.4 Um dos lados do polígono mede 2cm. Qual é o seu perímetro?

8. A figura representa uma pirâmide quadrangular regular. Indica, para cada uma das seguintes

afir-mações, se são verdadeiras ou falsas, justificando as falsas.

A. A pirâmide quadrangular tem oito arestas e seis faces.

B. As rectas que passam em FD e DC são rectas perpendiculares. C. As rectas que passam em AD e BC são rectas paralelas. D. As rectas que passam em FE e AC são rectas paralelas.

E. E é o ponto de intersecção das rectas que passam por BD e FE . F. As faces laterais da pirâmide são triângulos escalenos.

70%-89% Bons

Tens de estudar muito para melhorar o teu desempenho. 0%-19% Insatisfatórios AUTO-AVALIAÇÃO 15 5 5 7 8 5 5 5 5 5 5 D C F A B E B F C D A E COTAÇÃO

(32)

Teste de diagnóstico

de conhecimentos 2A

Parte 1 1. B 2. A 3. D 4. C 5. B 6. B Parte 2 7.

7.1 Ângulos internos do triângulo. 7.2 c < a < b

7.3 Triângulo acutângulo.

7.4 Não, porque os ângulos e lados que o formam

são todos diferentes.

8. Heptágono. 8.1 Sete vértices. 8.2 28 diagonais. 8.3 Ângulo interno. 8.4 128º 8.5 14 cm 9. Aquadrado= 9 cm2 Arectângulo= 10 cm2 Atriângulo= 6 cm2

Teste de diagnóstico

de conhecimentos 2B

Parte 1 1. A 2. C 3. B 4. B 5. C 6. 16 cm2 Parte 2 7. 7.1 Octógono. 7.2 Oito vértices. 7.3 40 diagonais. 7.4 16 cm. 8.

A. Falsa. A pirâmide quadrangular tem oito arestas e

cinco faces.

B. Falsa. As rectas que passam em FD e DC são

rectas concorrentes.

C. Verdadeira.

D. Falsa. As rectas que passam em FE e AC são

rectas perpendiculares.

E. Verdadeira.

F. Falsa. As faces laterais da pirâmide são triângulos

isósceles.

(33)

5.3 Proposta de planificação

Capacidades transversais

Resolução de problemas, raciocínio, comunicação matemática.

Objectivos específicos

• Reconhecer as figuras geométricas básicas.

• Traduzir informação apresentada numa forma de representação para outra.

• Explorar uma figura geométrica, tendo como vista o relacionamento de algumas das suas características. • Relacionar figuras geométricas já conhecidas para explorar outras que serão leccionadas no tema em

questão.

• Desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capaz de os usar. • Compreender e usar as relações de congruência de triângulos.

• Compreender a noção de demonstração e ser capaz de fazer raciocínios dedutivos.

Avaliação

• Formativa de conhecimentos.

• Observação directa do interesse e empenho dos alunos.

• Avaliação formativa e contínua durante todo o processo de aprendizagem.

LIÇÃO ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA TEMPO

1

2

• Teste de diagnóstico de conhecimentos. • Raciocinar, Resolver e Comunicar: Tarefas 2 e 4.

O modelo de diagnóstico proposto pressupõe dois momentos distintos de avaliação: através de uma avaliação individual de conhecimentos e através de duas tarefas que proporcionam o diagnóstico das potencialidades da turma como grupo de trabalho. Estes dois momentos distintos permitem ao professor traçar o perfil da turma e efectuar uma previsão de maior ou menor investimento de trabalho, tendo como finalidade a procura de um equilíbrio de partes.

Tarefa A – «Elementos de um polígono»: • explicação da tarefa;

• execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo.

Pretendese que esta tarefa seja realizada individualmente ou em grupo de pares, mas que no final seja discutida em grande grupo, para que o professor proporcione um momento de comunicação na aula e diagnostique os conhecimentos da turma em relação à matéria em questão.

Tarefa B – «Relação entre áreas»: • explicação da tarefa;

• execução da tarefa individual; • discussão em grande grupo.

O professor pode certificarse de que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre:

polígonos; diagonais de um polígono; ângulos; posição relativa de rectas.

Manual. Caderno de Tarefas. 45’ 45’ 5’ 20’ 15’ 5’ 20’ 15’

(34)

LIÇÃO ESTRATÉGIAS/TAREFAS PROPOSTAS PARA A AULA TEMPO 3

4 Ângulos de um triângulo.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Ângulos externos de um triângulo.

Tarefas intermédias e remissões de final de página.

Tarefas indicadas no Manual. AULA DIGITAL Caderno de Tarefas. 5’ 20’ 15’ 15’ 25’ 15’ 25’ 15’ 65’ 6 Tarefas de ligação:

«As piscinas do João e da Margarida» (Percurso A) «Uma visita ao Jardim Zoológico» (Percurso B)

E ainda… «Uma outra visão de padrão» (outros percursos) «Ângulos e polígonos» (outros percursos)

A tarefa suplementar aqui proposta e que efectua uma conexão entre algumas aprendizagens

adquiridas ao longo do tema e no ciclo anterior pretende ser uma alternativa ou complemento às tarefas propostas no Manual, recorrendo à utilização de padrões. No caso dos ângulos e polígonos é uma tarefa que só pode ser desenvolvida no caso de o aluno já ter leccionado as equações, por isso, também é adaptável a outro percurso, caso seja necessário.

Teste final (avaliação de conhecimentos). Tarefa 1:

• explicação da tarefa; • execução da tarefa individual;

• discussão em pequeno ou grande grupo.

A tarefa deve ser efectuada em pequeno ou grande grupo, consoante a natureza das turmas.

As indicações dadas pelo professor pretendem garantir que o aluno não se desvie dos objectivos desta tarefa e, como tal, o professor deve colocar regularmente a pergunta «porquê» a seguir aos comentários dos alunos, de modo a «provocar o raciocínio», levandoos a analisar e reflectir sobre o seu trabalho e a procurar significado para as suas conclusões.

O professor deve certificarse que o aluno possui os conhecimentos suficientes sobre: polígonos; diagonais de um polígono; relação entre ângulos; perímetros e áreas de polígonos; relações

geométricas; áreas de polígonos.

Manual. Caderno de Tarefas. 5 15’ 25’ 45 15’ 15’ 25’ 15’ 25’ 45’ 45’ 45’ 45’ 45’ 45’ 45’ 45’ 11 e 12 10 9 8 7 Área de um paralelogramo.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – Paralelogramos; construção de um paralelogramo dinâmico.

Raciocinar, resolver e comunicar.

Tarefa de investigação – «Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono».

Quadriláteros.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Diagonais e eixos de simetria.

Relação entre os ângulos e os lados de um triângulo. Eixos de simetria de um triângulo. Tarefas intermédias e remissões de final de página.

Não existência de um critério LLA.

Tarefas intermédias e remissões de final de página. Tarefa de investigação – «Ângulos no geoplano».

Geoplano.

Congruência de triângulos.

(35)

5.4 Propostas de resolução +RRC

1. Dominó

Objectivo principal: Desenvolver uma estrutura de raciocínio e pensamento geométrico. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.

Cortando 32 pedaços de papel, o aluno pode distribuí-los por um tabuleiro desenhado numa folha com quadrículas. Chegará, assim, à conclusão que essa situação não é possível, pois sobram sempre duas quadrícu-las pretas. Nesta altura, as suas tentativas devem ser suspensas, pensando que no tabuleiro nunca existem duas quadrículas pretas lado a lado, o que impedirá a colocação da última peça, dado que esta, tal como as outras, necessita de uma quadrícula branca e outra preta.

2. Uma dança de ângulos

Objectivo principal: Amplitude de ângulos. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível:

Os alunos devem efectuar uma primeira leitura para se inteirarem do assunto do problema. Pretende-se que numa segunda leitura cheguem à conclusão que se trata de dois ângulos de 45o_{e outros dois de 60}o_{; um}

ângulo giro, 360o_.

3. Ângulos e quadriláteros

Objectivo principal: Amplitude de ângulos internos. Organização da turma: Trabalho individual.

Os padrões surgem novamente, para que se construam processos de resolução aplicáveis a situações mais complexas.

Nas figuras 3 e 4 contaram-se os ângulos criados com a divisão efectuada, que não são ângulos internos do quadrilátero. Para que se determine a soma das amplitudes dos quatro ângulos internos, basta unir dois vérti-ces não adjacentes do quadrilátero e verificar que se originam dois triângulos.

A partir deste raciocínio, o aluno deve conseguir dizer que a soma dos ângulos internos de um pentágono = 540o_{; hexágono = 720}o_{; dodecágono = 1800}o_.

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4. Descobre o ângulo

Objectivo principal: Amplitude de ângulos suplementares. Organização da turma: Trabalho individual.

Este exercício torna-se muito simples se o aluno observar que tem dados a mais. Na realidade, o ângulo de 59o _{é completamente desnecessário na resolução do exercício, assim como as rectas a vermelho e a azul}

--escuro: 180o_{– 53}o_{= 123}o_.

5. Polígono concâvo

Objectivo principal: Soma dos ângulos internos de um polígono côncavo. Diagonais. Organização da turma: Trabalho individual ou em pequeno grupo.

Dividir o polígono em 14 triângulos e fazer 14 × 180º = = 2520o_{. Essa divisão tem formas distintas de ser efectuada}

e é importante que o aluno veja qual a melhor estratégia de resolução. Repare-se que os vértices dos triângulos devem ser vértices dos polígonos, para que a soma dos ângulos internos dos triângulos corresponda à soma dos ângulos internos do polígono.

Seguidamente, e antes de desenhar todas as diagonais possíveis do polígono, era importante que o aluno propusesse uma forma de as contabilizar sem as desenhar, isto é, o polígono tem 16 vértices. Ao unirmos cada um dos vértices aos restantes 13 vértices (retiram-se os dois vértices que se encontram sobre o mesmo lado do vértice assinalado), teremos 16 × 13 = 208 diagonais. Como cada diagonal foi contada duas vezes, teremos 104 diagonais. Obviamente, dado o número de diagonais, o ponto 3 não necessita de ser integralmente res-pondido.

Este exercício pode ser efectuado depois da tarefa de investigação «Ângulos no geoplano».

6. Muitos polígonos

Objectivo principal: Classificação de polígonos. Organização da turma: Trabalho individual. Estratégia de resolução possível:

Observando a figura, o aluno chegará à conclusão que:

AGKM = MKJB = FLND = LHCN trapézios rectângulos; CHFD = AGJB trapézios isósceles; ECD =

= ABE triângulos isósceles; JGE = EFH triângulos isósceles; AED = BEC triângulos isósceles; ADC = DCB = = CBA = BAD triângulos rectângulos.

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5.5 Sugestões de exploração das Tarefas de investigação

Ângulos no geoplano

1. Pretende-se que o aluno veja algumas formas de dividir em partes iguais um ângulo recto, para que

depois veja qual a amplitude dos ângulos que obteve em cada um dos casos.

2. O aluno, desta forma, vai criar uma unidade de medida, que lhe permitirá medir a amplitude aproximada

de cada um dos ângulos desenhados na grelha.

3. Neste item, o aluno vai assumir como referência a amplitude de um ângulo recto para que assim possa

determinar a amplitude dos ângulos desenhados na grelha e confirmar as sugestões de medidas efectua-das em 3.

4. Neste item, o aluno já terá de propor uma resolução de estratégias, que poderá ser diferente de aluno

para aluno originando, assim, procedimentos diferentes.

Soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono

Polígono Número de lados Soma das amplitudes dos ângulos internos

Triângulo 3 S3= 180o Quadrilátero 4 S4= 2 × 180o= 360o Pentágono 5 S5= 3 × 180o= 540o Hexágono 6 S6= 4 × 180o= 720o Heptágono 7 S7= 5 × 180o= 900o Decágono 10 S10= 8 × 180o= 1440o

A partir de exemplos concretos, espera-se que o aluno consiga fazer uma generalização que lhe permita determinar a soma da amplitude dos ângulos internos de um qualquer polígono.

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Paralelogramos

Com software geométrico, pretende explorar-se as propriedades dos quadriláteros, efectuando relações entre as mesmas.

Essa exploração conduz ao preenchimento das seguintes tabelas.

Pretende-se, desta forma, proporcionar ao aluno contacto com software geométrico, ao mesmo tempo que lhe propomos que investigue algumas das propriedades dos quadriláteros.

Lados Ângulos Paralelogramo não rectângulo Iguais dois a dois Iguais dois a dois

Rectângulo Iguais dois a dois Rectos

Losango Todos iguais Iguais dois a dois

Quadrado Todos iguais Rectos

As diagonias bissectam-se sempre

As diagonais têm sempre o mesmo comprimento

As diagonais são sempre perpendiculares Paralelogramo não rectângulo Sim Não Não

Rectângulo Sim Sim Não

Losango Sim Não Sim