3.1 Modelagem Utilizando Equa¸c˜ oes Emp´ıricas
3.2.4 Testes estat´ısticos e An´ alise dos Resultados
Para se verificar a confiabilidade das curvas geradas, ´e preciso verificar a consistˆencia estat´ıstica da regress˜ao. Para a regress˜ao realizada pelo M´etodo dos M´ınimos Quadrados, isto pode ser feito analisando o coeficiente de determina¸c˜ao (R2) que acompanha cada curva.
Os Coeficientes de Correla¸c˜ao e de Determina¸c˜ao
O coeficiente de correla¸c˜ao ou aderˆencia (R) ´e uma medida da excelˆencia do ajuste. Sejam duas vari´aveis x e y, o coeficiente de correla¸c˜ao mede o grau e o sentido (positivo = crescente ou negativo = decrescente) da rela¸c˜ao linear entre as vari´aveis.
Para um ponto qualquer (xi, yi), a diferen¸ca entre o valor observado e o valor m´edio (¯y)
´
e dada por:
yi− ¯y (3.68)
Que pode ser escrita em termos do valor estimado pelo modelo na observa¸c˜ao i, ˆyi:
yi− ¯y = (yi− ˆyi) + ( ˆyi− ¯y) (3.69)
Para que os valores de varia¸c˜ao sejam sempre positivos, tomemos os valores quadr´aticos: SQtot = n X i=1 (yi− ¯y)2 (3.70) SQexp = n X i=1 ( ˆyi− ¯y)2 (3.71) SQres = n X i=1 ( ˆyi− yi)2 (3.72)
• SQtot ´e a soma dos quadrados totais - representa a varia¸c˜ao da vari´avel resposta;
• SQexp´e a soma dos quadrados explicada - varia¸c˜ao da vari´avel resposta que ´e explicada
pelo modelo;
• SQres ´e a soma dos quadrados dos res´ıduos - varia¸c˜ao da vari´avel resposta que n˜ao ´e
explicada pelo modelo. Representa-se ent˜ao:
SQtot = SQexp+ SQres (3.73)
74 R2 = SQexp SQtot = SQtot− SQres SQtot = 1 − SQres SQtot (3.74) Observa-se que:
• O coeficiente de determina¸c˜ao ´e adimensional e seu valor est´a no intervalo de 0 a 1; • Quanto mais pr´oximo R2 for da unidade, mais explicativo ´e o modelo utilizado.
• Quanto menor for a soma dos quadrados dos res´ıduos, mais confi´avel ´e a predi¸c˜ao feita pelo modelo.
• O coeficiente de determina¸c˜ao representa a porcentagem dos dados que ´e mais pr´oxima `
a curva de melhor ajuste, ou seja, ´e uma medida do quanto a curva de regress˜ao representa os dados observados.
• O coeficiente de determina¸c˜ao diz o quanto melhor ´e a equa¸c˜ao de regress˜ao em detri- mento da m´edia aritm´etica para predi¸c˜ao de y.
Assim, um valor de coeficiente de determina¸c˜ao de 0, 50 indica que 50% da varia¸c˜ao total nos valores da vari´avel resposta (perfil sˆonico) pode ser predita pelas vari´aveis regressoras (demais curvas dos perfis). Bucheb e Rodrigues (1997) consideram valores de R2 acima de
0, 36 s˜ao considerados satisfat´orios para gera¸c˜ao de curvas sint´eticas.
Os resultados obtidos
Anteriormente, foram testadas e modeladas diversas equa¸c˜oes de modelos emp´ıricos e estat´ısticos para o perfil sˆonico no po¸co 1-BLV-001-BA, que j´a possuia o perfil sˆonico, o que permitiu verificar a qualidade do m´etodo utilizado.
Em termos de coeficiente de determina¸c˜ao (R2), verifica-se que as cada modelo possui
uma eficiˆencia menor ou maior, a depender do(s) perfil(s) utilizados no modelo, o intervalo utilizado e a linearidade (ou n˜ao) do mesmo. Com base nos gr´aficos das p´aginas 67 a 72, algumas conclus˜oes podem ser obtidas:
• O relacionamento entre o perfil sˆonico e o perfil c´aliper n˜ao deve ser obtido por mo- delo univari´avel, seja linear ou potˆencia, pois a dispers˜ao ´e muita e os valores de R2
raramente se mostraram superiores a 0, 500, muito embora o aumento do diˆametro do po¸co tenda a aumentar o tempo de trˆansito da onda ac´ustica.
• O mesmo comportamente se verifica para o perfil de raios gama. Os valores de coefici- ente de regress˜ao variaram de 0, 097 para o modelo potˆencia univari´avel na Forma¸c˜ao Sergi at´e o m´aximo de 0, 516 no modelo linear univari´avel na Forma¸c˜ao Itaparica.
• Como era esperado, as curvas el´etricas ILD e SFLA exibem um comportamento de- crescente, tipo de equa¸c˜oes na forma de potˆencia de expoente negativo. Assim, embora os modelos lineares n˜ao se adaptem ao formato da curva, os modelos potˆencia se ajus- taram muito bem, tanto graficamente quanto em termos estat´ısticos: na Forma¸c˜ao Itaparica, verifica-se na imagem da p´agina 69 (curva laranja), que a curva do modelo potˆencia se ajusta bem aos dados de resistividade menores do que 30 ohm · m, re- tornando o valor de R2 = 0, 700, uma predi¸c˜ao satisfat´oria. Comparando este caso
com o modelo emp´ırico de Smits (p´agina 48), observa-se a semelhan¸ca dos termos que multiplicam a vari´avel ILD ou SF LA, e tamb´em nos valores dos expoentes. Embora parecidos, os dados utilizados por Waxman e Smits (1968) s˜ao de outros po¸cos, com outras litologias e fatores ambientais. Ainda assim, pode-se concluir que o relaciona- mento entre o tempo de trˆansito sˆonico e a resistividade das forma¸c˜oes pode ser bem ajustado por um modelo semelhante ao utilizado neste trabalho.
• De forma geral, os modelos univari´aveis relacionando o perfil de densidade com o perfil sˆonico resultam em dados muito dispersos e baixos valores de coeficiente de deter- mina¸c˜ao. Este resultado tamb´em foi encontrado ao utilizar-se a Equa¸c˜ao de Gardner et al. (1974). Percebe-se que nem estes modelos conseguiram ajustar bem o relaciona- mento entre a densidade das forma¸c˜oes e o tempo de trˆansito. Deve-se, portanto, ficar atento na gera¸c˜ao de perfis para a constru¸c˜ao de sismogramas sint´eticos.
• Conforme se esperava, tendo em vista a semelhan¸ca do princ´ıpio de funcionamento dos perfis sˆonico e neutrˆonico, a modelagem utilizando o neutrˆonico como vari´avel regressora apresentou bons resultados. Tanto para o modelo linear quanto o modelo potˆencia apresentam valores altos de R2 (pr´oximos a 0, 800 e at´e atingindo o m´aximo
de 0, 922). No entanto, devido ao comportamento semelhante, o relacionamento linear obteve melhores resultados.
• Os modelos multivari´aveis, sejam eles lineares ou de potˆencia, apresentam valores R2 > 0, 800 - o que significa alta correla¸c˜ao entre o modelo e o perfil sˆonico original.
Observa-se nos gr´aficos que seja qual for o intervalo utilizado, os modelos multivari´aveis trazem os dados de sˆonico modelado bem pr´oximos ao sˆonico real. O grande lance do modelo multivari´avel ´e que ele pode associar aos perfis de melhor correla¸c˜ao (como o neutrˆonico) coeficientes maiores em rela¸c˜ao aos demais perfis. Assim, o peso de cada vari´avel ser´a dado por sua rela¸c˜ao de ajuste com os dados.
A figura 3.44 a seguir mostra em forma de perfil a semelhan¸ca do sˆonico real com os sˆonicos sint´eticos que melhor modelaram o perfil sˆonico para o primeiro po¸co, tomando-se apenas o intervalo 2 (Forma¸c˜ao Itaparica), somente a t´ıtulo de ilustra¸c˜ao. Observa-se a semelhan¸ca dos valores sint´eticos com o sˆonico original, e fica determinado que essas curvas ser˜ao as utilizadas para a modelagem de tempos de trˆansito nos outros po¸cos.
76 Figura 3.44: Gr´ afico com as curv as do sˆonico - tan to aquelas mo deladas com maior v alor de R 2 quan to o sˆonico original . O in terv alo utilizado foi o corresp onden te `a forma¸ c˜ao Itaparica.
Modelagem Para os Demais Po¸cos
As equa¸c˜oes modeladas no cap´ıtulo 3 para o perfil sˆonico no po¸co 1-BLV-001-BA encontram-se sumarizadas nas tabelas das p´aginas seguintes, onde constam tamb´em o seu r´otulo, a p´agina onde aparecem, e seu valor de coeficiente de determina¸c˜ao (R2).
Neste momento, as equa¸c˜oes que forneceram as melhores respostas (medidas em termos do coeficiente de determina¸c˜ao (R2) ser˜ao utilizadas para a modelagem do perfil sˆonico
sint´etico para os po¸cos 7-BLV-004-BA e 7-BLV-005-BA. Dessa forma, os modelos escolhidos para a gera¸c˜ao das curvas para os demais po¸cos foram:
• O modelo univari´avel linear - com o perfil neutrˆonico como vari´avel regressora. • O modelo multivari´avel linear - com os demais perfis como vari´aveis regressoras. • O modelo multivari´avel n˜ao-linear - com os demais perfis como vari´aveis regressoras.
78
Modelos Emp´ıricos
R´otulo, P´agina Equa¸c˜ao Forma¸c˜ao R2 Observa¸c˜ao
3.2, 29 ∆t = φ · ∆tf luido+ (1 − φ) · ∆tmatriz Candeias 0,833 Equa¸c˜ao de Wyllie - porosidade φn
Candeias 0,442 Equa¸c˜ao de Wyllie - porosidade φd
Itaparica 0,799 Equa¸c˜ao de Wyllie - porosidade φn
Itaparica 0,057 Equa¸c˜ao de Wyllie - porosidade φd
Sergi 0,922 Equa¸c˜ao de Wyllie - porosidade φn
Sergi 0,489 Equa¸c˜ao de Wyllie - porosidade φd
3.4, 36 ∆t =h∆t φ
f luido+ (1−φ)2 ∆tmatriz
i−1
Candeias 0,829 Equa¸c˜ao de Raymer - porosidade φn
Candeias 0,387 Equa¸c˜ao de Raymer - porosidade φd
Itaparica 0,789 Equa¸c˜ao de Raymer - porosidade φn
Itaparica 0,057 Equa¸c˜ao de Raymer - porosidade φd
Sergi 0,914 Equa¸c˜ao de Raymer - porosidade φn
Sergi 0,039 Equa¸c˜ao de Raymer - porosidade φd
3.6, 42 ∆t =
0,23 ρb
4
Candeias 0,344 Equa¸c˜ao de Gardner Itaparica 0,056 Equa¸c˜ao de Gardner Sergi 0,382 Equa¸c˜ao de Gardner 3.7, 48 ∆t = 91Rt−0,15 Candeias 0,596 Equa¸c˜ao de Smits
Itaparica 0,640 Equa¸c˜ao de Smits Sergi 0,513 Equa¸c˜ao de Smits
Modelos Estat´ısticos - Forma¸c˜ao Candeias
R´otulo, P´agina Equa¸c˜ao Forma¸c˜ao R2 Observa¸c˜ao
3.20, 62 ∆t = 10, 534 + 7, 069 · CAL Candeias 0,450 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.21, 63 ∆t = 9, 075 · CAL0,950 Candeias 0,468 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.22, 63 ∆t = 41, 174 + 0, 687 · GR Candeias 0,362 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.23, 63 ∆t = 15, 861 · GR0,400 Candeias 0,362 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.24, 63 ∆t = 83, 294 − 0, 248 · ILD Candeias 0,203 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.25, 63 ∆t = 110, 830 · ILD−0,152 Candeias 0,627 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear 3.26, 63 ∆t = 81, 313 − 0, 054 · SF LA Candeias 0,117 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.27, 63 ∆t = 108, 940 · SF LA−0,124 Candeias 0,603 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear 3.28, 63 ∆t = 207, 316 − 51, 334 · RHOB Candeias 0,442 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.29, 63 ∆t = 321, 795 · RHOB−1,549 Candeias 0,421 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.30, 63 ∆t = 54, 659 + 1, 146 · N P HI Candeias 0,833 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.31, 63 ∆t = 40, 699 · N P HI0,225 Candeias 0,421 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.32, 63 ∆t = 38, 926 + 0, 486 · CAL + 0, 007 · GR − 0, 026 · ILD + 0, 004 · SF LA + 4, 422 · RHOB + 1, 139 · N P HI
Candeias 0,736 Regress˜ao Multivari´avel Linear
3.33, 63 ∆t = 45, 290 · CAL0,136 · GR−0,025 ·
ILD−0,094· SF LA0,042· RHOB−0,052·
N P HI0,167
Candeias 0,796 Regress˜ao Multivari´avel N˜ao-Linear
3.34, 63 ∆t = 45, 907 − 0, 008 · GR − 0, 019 · ILD + 3, 553 · RHOB + 1, 175 · N P HI
Candeias 0,835 Regress˜ao Multivari´avel Linear
3.35, 63 ∆t = 69, 343 · GR−0,039 · ILD−0,058·
RHOB−0,093· N P HI0,170
Modelos Estat´ısticos - Forma¸c˜ao Itaparica
R´otulo, P´agina Equa¸c˜ao Forma¸c˜ao R2 Observa¸c˜ao
3.36, 64 ∆t = 51, 467 + 2, 098 · CAL Itaparica 0,451 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.37, 64 ∆t = 33, 684 · CAL0,332 Itaparica 0,457 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.38, 64 ∆t = 64, 514 + 0, 264 · GR Itaparica 0,519 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.39, 64 ∆t = 48, 166 · GR0,125 Itaparica 0,489 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.40, 64 ∆t = 83, 700 − 0, 932 · ILD Itaparica 0,400 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.41, 64 ∆t = 102, 690 · ILD−0,162 Itaparica 0,639 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.42, 64 ∆t = 82, 654 − 0, 715 · SF LA Itaparica 0,392 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.43, 64 ∆t = 100, 410 · SF LA−0,147 Itaparica 0,705 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear 3.44, 64 ∆t = 128, 798 − 20, 699 · RHOB Itaparica 0,057 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.45, 64 ∆t = 138, 645 · RHOB−0,647 Itaparica 0,054 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear 3.46, 64 ∆t = 64, 088 + 0, 614 · N P HI Itaparica 0,799 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.47, 64 ∆t = 53, 187 · N P HI0,128 Itaparica 0,763 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.48, 64 ∆t = 99, 39 − 0, 346 · CAL + 0, 036 · GR − 0, 605 · ILD + 0, 245 · SF LA − 11, 576 · RHOB + 0, 542 · N P HI
Itaparica 0,859 Regress˜ao Multivari´avel Linear
3.49, 64 ∆t = 104, 713 · CAL−0,011· GR−0,003·
ILD−0,028· SF LA0,056· RHOB−0,385·
N P HI0,081
Itaparica 0,865 Regress˜ao Multivari´avel N˜ao-Linear
3.50, 65 ∆t = 103, 473−0, 037·GR−0, 302·ILD− 14, 390 · RHOB + 0, 466 · N P HI
Itaparica 0,827 Regress˜ao Multivari´avel Linear
3.51, 65 ∆t = 97, 051 · GR0,009 · ILD−0,077 ·
RHOB−0,399· N P HI0,082
Itaparica 0,861 Regress˜ao Multivari´avel N˜ao-Linear
Modelos Estat´ısticos - Forma¸c˜ao Sergi
R´otulo, P´agina Equa¸c˜ao Forma¸c˜ao R2 Observa¸c˜ao
3.52, 65 ∆t = 19, 933 + 5, 102 · CAL Sergi 0,519 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.53, 65 ∆t = 14, 408 · CAL0,692 Sergi 0,467 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.54, 65 ∆t = 66, 276 + 0, 183 · GR Sergi 0,102 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.55, 65 ∆t = 51, 451 · GR0,097 Sergi 0,097 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.56, 65 ∆t = 88, 804 − 2, 794 · ILD Sergi 0,430 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.57, 65 ∆t = 100, 700 · ILD−0,212 Sergi 0,552 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.58, 65 ∆t = 88, 196 − 2, 209 · SF LA Sergi 0,468 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.59, 65 ∆t = 104, 752 · SF LA−0,216 Sergi 0,682 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.60, 65 ∆t = 232, 777 − 63, 214 · RHOB Sergi 0,489 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.61, 65 ∆t = 394, 389 · RHOB−1,831 Sergi 0,471 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear 3.62, 65 ∆t = 61, 331 + 0, 696 · N P HI Sergi 0,922 Regress˜ao Univari´avel Linear 3.63, 65 ∆t = 53, 741 · N P HI0,143 Sergi 0,813 Regress˜ao Univari´avel N˜ao-Linear
3.64, 66 ∆t = 67, 077+0, 766·CAL−0, 032·GR− 0, 547 · ILD + 0, 019 · SF LA − 3, 122 · RHOB + 0, 819 · N P HI
Sergi 0,943 Regress˜ao Multivari´avel Linear
3.65, 66 ∆t = 42, 462 · CAL0,278 · GR0,009 ·
ILD−0,057· SF LA0,022· RHOB−0,329·
N P HI0,095
Sergi 0,895 Regress˜ao Multivari´avel N˜ao-Linear
3.66, 66 ∆t = 82, 501 − 0, 023 · GR − 0, 438 · ILD − 6, 641 · RHOB + 0, 875 · N P HI
Sergi 0,939 Regress˜ao Multivari´avel Linear
3.67, 66 ∆t = 105, 925 · GR0,041· RHOB−0,713·
N P HI0,092
80