Uma proposição para matrizes de distâncias

Um ponto prático do sistema de alocação de Belo Horizonte é a consideração das distâncias dos alunos até a escola. No sistema de cadastro da cidade essa informação é crucial, e para a analogia dos modelos aqui propostos, sugere-se que as distâncias podem moldar preferências tanto das escolas quanto dos pais e alunos.

Exemplo. 11: Suponha a seguinte matriz de distâncias em quilômetros dos alunos até as escolas:75

Cada escola possui apenas uma vaga e a matriz de distâncias determina as preferências de alunos e escolas, quanto menor a distância, mais preferida é a escola (ou o aluno, na perspectiva da escola). Dado isso, as preferências de alunos e escolas estão representadas abaixo:

Alunos: P(i1) = s1, s2, s3, s4 P(i2) = s1, s2, s3, s4 P(i3) = s3, s2, s4, s1 P(i4) = s1, s2, s3, s4 Escolas: P(s1) = i2, i1, i4, i3 P(s2) = i3, i1, i2, i4 P(s3) = i3, i1, i2, i4 P(s4) = i3, i2, i1, i4 Q = (q1 = 1, q2 = 1, q3 = 1, q4 = 1)

Aplicando-se o algoritmo deferred acceptance com os alunos propondo temos os seguintes 4 passos:

Passo 1. Os alunos i1, i2 e i4 propõem todos para a escola s1. O aluno i3 propõe para a escola

s3. A escola s1 de acordo com sua ordem de prioridades (dada pelas distâncias) “segura” a proposta do aluno i2 e rejeita as ofertas dos demais.

Passo 2. Os alunos i1 e i4 propõem para a segunda opção: a escola s2, que é a segunda melhor escola para os dois alunos. Como s2 recebe duas propostas, de acordo com seu ordenamento de prioridades, ela “segura” o aluno i1 e rejeita a oferta de i4.

75 _{No anexo D apresenta-se um diagrama de pontos de escolas e alunos no plano que gera a matriz de distâncias}

Passo 3. O aluno i4 propõe para a escola s3 que já havia recebido proposta de i3. A escola s3 analisa a nova oferta e decide continuar com o aluno i3 e rejeitar i4 (dado que i4 é o de menor prioridade, maior distância).

Passo 4. O aluno i4 propõe para a escola s4, que ainda não havia recebido propostas e o algoritmo se encerra. As escolas matriculam os alunos que estavam segurando até este momento.

Ao final do algoritmo tem-se que a matriz de alocação final é:

Analisando-se o caso em que as escolas propõem primeiro no algoritmo deferred acceptance, tem-se o algoritmo em 4 passos:

Passo 1. A escola s1 propõe vaga ao aluno i2 e as escolas s2, s3 e s4 propõem todas elas para o aluno i3. Como o aluno i3 recebeu três ofertas ele poderá escolher a que ele mais prefere, no caso é s3. As escolas s2 e s3 são rejeitadas por i3.

Passo 2. A escola s2 propõe vaga para o aluno i1, que ainda não havia recebido proposta e então “segura” a oferta, e a escola s4 propõe ao aluno i2 que já possui a oferta de s1. Como

i2 recebeu mais de uma oferta, ele analisa e mantém a proposta de s1 (mais preferida) e rejeita a de s4.

Passo 3. A escola s4 propõe ao aluno i1 que está “segurando” oferta de s2. Entre s2 e s4, o aluno i1 prefere s2, e s4 é novamente rejeitada, sendo necessário mais um passo.

Passo 4. A escola s4 propõe ao aluno i4, que não havia recebido propostas até então, o aluno

i4 aceita a oferta recebida e o algoritmo termina. Os alunos se matriculam na oferta que estavam segurando até o momento.

Observa-se que a alocação acima é a mesma da matriz M que foi obtida com os alunos propondo no algoritmo deferred acceptance. O ocorrido parece não ser por acaso tal como a proposição P.1 abaixo revela:

P.1. Em escolas com uma vaga, para matrizes de preferências dadas pela matriz de distâncias onde não ocorra dois ou mais alunos equidistantes de uma mesma escola ou não haja duas ou mais escolas a uma mesma distância para um dado aluno, tem-se que o matching estável proposto pelo algoritmo deferred acceptance (escolas propondo ou alunos propondo) será único.

A proposição acima pode ser provada por contradição:

Prova: Suponha que μ seja o casamento dado pelo algoritmo deferred acceptance com os alunos

propondo e μ’ seja o matching dado pelo algoritmo das escolas propondo. Suponha que μ ≠ μ’, se isso ocorre, para casos de escola com apenas uma vaga, há pelo menos dois alunos, digamos que i e i’, cuja escola proposta por μ é diferente de μ’ (μ(i) ≠ μ’(i) e μ(i’) ≠ μ’(i’)). Considere-se ainda que μ(i) = s e μ’(i) = s’, e de contraparte, para que o anterior ocorra, que μ(i’) = s’ e μ’(i’) = s. Se μ ≠ μ’, sabe-se por T.2 que s s’ e que s’ s. Como as preferências foram dadas pelas menores distâncias (quanto mais próximo melhor) isso equivale a dizer que para i as distâncias são A < B, e para o i’, são de D < C, em que A, B, C, D são valores de R para as distâncias. A representa a distância do aluno i até a escola s, B é a distância de i até a escola s’, o C representa a distância de i’ até a escola s e D é a distância de i’ até a escola s’. Por T.3, sabe-se que para s: i’

i e para s’: i i’, como a matriz de distâncias é a mesma, isso equivale a dizer que para s:

C < A e para s’: B < D, o que é uma contradição, pois viola a transitividade.

Pela transitividade e pelas três primeiras proposições para as distâncias, tem-se que: D < C < A < B. No entanto, a última assertiva de que B < D se constitui uma contradição às afirmações anteriores. Tem-se, portanto, que μ ≠ μ’ gera uma contradição sob as condições impostas em P.1. Não é possível, com preferências dadas por uma matriz de distância para alunos e escolas,

Como foi mostrado para dois alunos e escolas quaisquer em que (i, i’) ∈ I e (s, s’) ∈ S, para

matchings não idênticos, pelo menos um par de alunos e escolas do tipo acima ocorre e isso

fornece a contradição necessária para a prova, com isso tem-se a prova de P.1. ■

Nota-se que a proposição P.1 fala de escolas com apenas uma vaga, isso faz com que o matching da proposição não seja diferente do caso one-to-one. Generalizar essa proposição e a prova para o caso many-to-one exige que preferências coincidentes sejam estritas para alunos e escolas. Ou seja, a regra de desempate deve ser a mesma para alunos e escolas. Essa extensão pode ser feita em trabalhos futuros.

Pode se imaginar dois ou mais alunos que estão equidistantes da mesma escola, por exemplo, dois irmãos que moram na mesma residência. Sendo assim, o critério de desempate deve priorizar um dos irmãos e ao mesmo tempo esse irmão priorizado deve também ter que priorizar essa escola um pouco mais do que o irmão preterido (o critério de desempate deve funcionar tal como se a distância para um dos irmãos fosse reduzida em pequena fração para gerar o desempate).

Para uma mesma série o empate acima não é comum (teriam de ser irmãos gêmeos ou um dos irmãos estar atrasado nos estudos). Ainda assim, para bancos com muitos alunos, a probabilidade que pelo menos um caso ocorra é grande, sendo necessário um critério para desempatar.

Um ponto importante da proposição é que ela faz com que o matching do DA, considerando apenas as distâncias como critério de escolha, seja o mesmo. Esse matching não é o que minimiza a distância média dos alunos (ver exemplo no anexo D), no entanto, ele apresenta resultados de distâncias estáveis, de modo que não há inveja justificada.