A segunda fase, de compreensão e explicitação da Modelagem, abarcou três encontros, em que cinco grupos encontraram uma Função Quadrática que modelava a situação investigada.
A terceira fase, de significação e expressão da Modelagem, aconteceu nos encontros subsequentes. No primeiro encontro dessa fase, os cinco grupos foram encaminhados para uma das salas de informática e utilizaram o software Modellus, bem como um roteiro de atividades, denominado Roteiro 1 (APÊNDICE B), com o objetivo de validar seus modelos, ou seja, verificar se esses respondiam, ou não, aos seus questionamentos.
Nos outros três encontros, os alunos foram encaminhados novamente para uma das salas de informática, munidos do Roteiro 2 (APÊNDICE C) de atividades, subdividido em duas partes (A e B), a fim de investigar alguns aspectos importantes da Função Quadrática, individualmente.
As atividades realizadas pelos alunos foram identificadas pela inicial da palavra aluno (em maiúscula), acompanhada do número correspondente a ele no diário de classe. Dessa forma, A01 foi o primeiro aluno identificado na caderneta, e assim, sucessivamente, até o último.
Nos penúltimo e último encontros, cada um dos grupos fez uma explanação em forma de seminário para divulgar como encaminharam suas atividades, desde o questionamento inicial, abordando como chegaram ao modelo, até a implementação de seus respectivos modelos no software para aqueles que encontraram um modelo algébrico representativo de sua modalidade.
Tão logo findaram as apresentações, os alunos responderam individualmente a um questionário, no último encontro, que teve o objetivo de identificar contribuições e dificuldades que o software Modellus pode trazer na modelagem de fenômenos relativos ao estudo de Funções Quadráticas.
A fim de apresentar um panorama geral da pesquisa, foi construído o Quadro 3.2, apresentado a seguir, para situar o leitor sobre as etapas seguidas nesta investigação.
Quadro 3.2: Caminho metodológico da pesquisa Etapas Procedimentos Instrumentos e
Técnicas
Período
1 Intervenção de Ensino organizada conforme as três fases da Modelagem
Matemática
Registro da produção dos alunos
(documentos) Dois roteiros de atividades Diário de campo Audiogravação
julho a agosto de 2017
2 Aplicação de Questionário Avaliativo
Questionário avaliativo agosto de 2017 Fonte: Elaborado pela autora.
Observando o quadro, tem-se que a pesquisa foi desenvolvida em duas etapas.
Na primeira e segunda, constou uma intervenção de ensino, e na terceira a aplicação de um questionário. As três etapas somaram 11 encontros, de 100 minutos cada.
A primeira etapa aconteceu em 11 encontros, em que perpassaram as três fases da Modelagem propostas por Biembengut (2016): percepção e apreensão, compreensão e explicitação, significação e expressão.
Essa etapa consistiu dos registros produzidos pelos alunos (documentos) durante o processo de Modelagem, bem como de dois roteiros de atividades realizados no software Modellus. Cada roteiro conteve um passo a passo para auxiliar na exploração da atividade, uma vez que os alunos não tinham conhecimento sobre o software.
O Roteiro 1 teve por meta identificar contribuições e dificuldades que o software Modellus pode trazer na modelagem de fenômenos relativos ao estudo de Funções Quadráticas e serviu para validar os modelos algébricos encontrados pelos grupos.
O Roteiro 2 (subdivido em parte A e B), objetivou analisar as possibilidades desse software na aprendizagem de Função Quadrática, a partir dos modelos construídos. Esse roteiro de atividade passou por um “teste de aferição” aplicado com quatros alunos do curso de Bacharelado em Matemática da Universidade Estadual de Santa Cruz (Uesc).
Esse teste consistiu em verificar se as perguntas estavam coerentes gramaticalmente e em termos de compreensão, assim como o passo a passo. E foi importante para ajustar o instrumento antes de ser aplicado aos sujeitos da pesquisa mediante sugestões dadas durante o procedimento, para melhorá-lo.
O primeiro roteiro não passou por esse teste, pois seria necessário que, antes, os alunos experimentassem as três fases do processo de Modelagem proposto nesta pesquisa.
A última etapa da pesquisa foi realizada no encontro final, mediante a aplicação de um questionário individual, o qual teve o objetivo de identificar contribuições e dificuldades encontradas na utilização do software no estudo da Função Quadrática.
A seguir, estão descritos com detalhes os instrumentos e as técnicas utilizados para a produção dos dados.
3.3.1 Instrumentos utilizados na pesquisa
Para realizar a coleta dos dados, nesta pesquisa, optou-se por utilizar os seguintes instrumentos e técnicas:
a) Dois roteiros de atividades (APÊNDICES B e C) para implementação no software Modellus;
b) Diário de Campo (APÊNDICE G);
c) Audiogravações;
b) Questionário avaliativo (APÊNDICE D).
Empregou-se o termo “construção” dos dados, por entender que não estão prontos no momento da coleta, sendo necessário, para isso, construí-los.
Durante os encontros, foi utilizado o Diário de Campo, com anotações da professora/pesquisadora, elemento primordial nessa etapa da pesquisa, pois permite fazer breve descrição das ocorrências diárias, destacando pontos relevantes que não puderam ser registrados pelos alunos, bem como registrar conversas e depoimentos informais.
Nessa linha de raciocínio, Fiorentini e Lorenzato (2007, p. 119) enfatizam que o Diário de Campo é um rico instrumento de coleta de dados, pois é um mecanismo que “registra observações de fenômenos, faz descrições de pessoas e cenários, descreve episódios ou retrata diálogos”. Assim, esse instrumento constitui-se de suma importância em uma pesquisa qualitativa.
Flick (2009a) complementa que esse instrumento deve contemplar as experiências e os problemas ocorridos em decorrência do contato com o ambiente de pesquisa. Para isso, ao final das anotações diárias, foi reservado um espaço para
anotar comentários da professora/pesquisadora e esclarecimentos a respeito do que considera como erro e/ou acerto, dúvidas, dificuldades particulares, entre outros.
Para a organização do Diário de Campo, seguiu-se as recomendações de Lüdke e André (1986): foram indicados o dia, horário, local de observação e período de duração.
Com a finalidade de registrar comentários e reflexões dos alunos, durante a intervenção de ensino, foram utilizadas também Audiogravações, pois, conforme Flick (2009a) explicita, foi um meio discreto de adquirir um registro natural do que ocorreu no ambiente da pesquisa.
O Diário de Campo e as Audiogravações foram imprescindíveis para essa pesquisa, pois estabeleceram uma linha cronológica de tempo, permitindo à professora/pesquisadora situar-se diante de tantos encontros.
Ressalta-se que os dados também foram coletados mediante registros produzidos pelos alunos durante a intervenção, denominados de Documentos (incluem também os dois Roteiros), como fonte de informações apresentadas por eles, em contato com atividades de Modelagem Matemática, que evidenciaram aprendizagem de Função Quadrática.
Para Marconi e Lakatos (2003), são considerados documentos os registros, escritos ou não, elaborados diretamente pelo(s) autor(es), ou obtidos por meio de outras fontes. Gil (2002, p. 88) destaca que documentos podem ser “fichas, mapas, formulários, cadernetas, documentos pessoais, cartas, bilhetes, fotografias, fitas de vídeo e discos”.
Existe, dessa forma, uma variedade de fontes documentais que o pesquisador pode lançar mão; no entanto, esta pesquisa restringiu-se ao uso dos registros produzidos pelos alunos no decorrer das intervenções, definidos como Documentos.
A análise de documentos foi fator imprescindível para esta pesquisa, mediante o leque de informações expresso em diferentes formas, como, por exemplo, as pesquisas que cada grupo realizou durante a primeira fase de Modelagem, bem como os respectivos textos elaborados por eles; os esboços gráficos feitos para representar o movimento de cada objeto/corpo durante seu lançamento; registros dos dados quantitativos encontrados, relativos a cada modalidade; dentre outros.
Para Flick (2009a), o uso de documentos na pesquisa qualitativa não constitui mero registro de informação, mas dispositivo de comunicação que traduz a versão de
uma realidade específica. Assim, constituem em técnica que surge num determinado contexto para tornar compreensíveis as informações advindas desse contexto.
A seguir, são elencadas as questões dos Roteiros, bem como os objetivos pretendidos em cada uma.
Roteiro 1:
A primeira questão objetivava identificar, após as pesquisas realizadas e as fases da Modelagem efetuadas, se os alunos saberiam dizer efetivamente se a trajetória descrita pelo objeto/corpo descrevia uma parábola (Fig. 3.1).
Figura 3.1: Questão 1 do Roteiro de atividade 1
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
A segunda questão tinha por meta que os alunos validassem, ou não, o modelo encontrado, evidenciando os aspectos importantes para essa conclusão. Esperava- se que, em caso positivo, destacassem os questionamentos e descrevessem se os dados foram relevantes para que o modelo representasse efetivamente a situação hipotética criada. E, em caso de não validação, que explicassem ou pontuassem os motivos pelos quais o modelo não a representava (Fig. 3.2).
Figura 3.2 Questão 2 do Roteiro de atividade 1
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
1. A Que tipo de trajetória o modelo descreve?
2. O Modelo executado responde à questão inicial? Quais indícios/elementos são relevantes?
A terceira questão pretendeu averiguar se, com as fases da Modelagem percorridas, os alunos identificaram o modelo encontrado como objeto matemático Função Quadrática, foco desta pesquisa (Fig. 3.3).
Figura 3.3: Questão 3 do Roteiro de atividade 1
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
A finalidade da quarta questão foi verificar se os alunos perceberam que uma Função Quadrática é constituída por elementos fixos e variantes, as constantes a, b e c e as variáveis espaço percorrido x e altura y, bem como averiguar se eles perceberam uma relação de dependência entre as grandezas (Fig. 3.4).
Figura 3.4: Questão 4 do Roteiro de atividade 1
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
A intenção das quinta e sexta questões (Figs. 3.5 e 4.5) foi chamar a atenção dos alunos para o deslocamento e a altura máxima do modelo, respectivamente, estipulando uma prévia dos zeros, ou raízes, ponto em que a parábola intercepta o eixo y, e do valor de máximo.
3. Saberiam dizer que tipo de função o modelo representa? Por quê?
4. Nesse tipo de modelo, quais são os elementos que o caracterizam?
Figura 3.5: Questões 5 e 6 do Roteiro de atividade 1
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Roteiro 2, Parte A:
As questões da parte A desse roteiro são discutidas a seguir e estão ilustradas nas Figuras 3.6 a 3.12.
Figura 3.6: Questão a, do Roteiro de atividade 2, Parte A
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Com a questão da Figura 3.6, esperava-se que o aluno constatasse que um gráfico subiu uma unidade e/ou outro desceu uma unidade, e que coincidem com o valor do parâmetro c, objetivando estudar o deslocamento gráfico em relação ao eixo y.
5. De que ponto o objeto/corpo partiu e em que ponto chegou?
6. Qual a altura máxima atingida pelo objeto/corpo?
a) O que aconteceu com os gráficos nos dois últimos casos em comparação com o primeiro?
Figura 3.7: Questão b, do Roteiro de atividade 2, Parte A
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
A questão b (Fig. 3.7) pretendeu verificar se o aluno constatou que o parâmetro c provocava deslocamento gráfico na vertical, coincidindo com o ponto em que o gráfico intercepta o eixo y. E se observou também que, nessa situação (quando b=0), o valor de c equivale ao valor máximo da função.
Figura 3.8: Questão c, do Roteiro de atividade 2, Parte A
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Esperava-se, com a questão da Figura 3.8, que o aluno respondesse se existia ponto máximo, pois as curvas têm abertura para baixo, uma vez que os valores do parâmetro a são negativos; todos iguais a -1.
Figura 3.9: Questão d, do Roteiro de atividade 2, Parte A
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
O objetivo da questão d (Fig. 3.9) era provocar o aluno para que percebesse que o ponto máximo coincidia com o ponto em que o gráfico corta o eixo y, ou seja, o valor do parâmetro c da função.
b) Qual a influência que o parâmetro c exerce na função y= -x² + c?
c) Diga, em cada caso, se o gráfico da função apresenta ponto de máximo ou de mínimo. Por quê? Indique-o em cada caso.
d) O que se pode notar comparando o item anterior com sua respectiva função?
Figura 3.10: Questão e, do Roteiro de atividade 2, Parte A
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Na questão da Figura 3.10, a intenção era que analisasse o zero ou a raiz da função, verificando a possível quantidade em cada uma das funções, e confirmando os valores em que o gráfico corta o eixo x, ou seja, os valores de x quando o y valesse zero.
Figura 3.11: Questão f, do Roteiro de atividade 2 Parte A
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
A finalidade da questão f (Fig. 3.11) era que os alunos observassem que, a partir da função y = -x², que só tem uma raiz, se acrescentassem unidades, a função passaria a ter dois zeros e, se diminuíssem as unidades, a função passaria a não ter raízes.
Figura 3.12: Questão g, do Roteiro de atividade 2 Parte A
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Esperava-se, com a questão g (Fig. 3.12), que os alunos analisassem o intervalo de crescimento e decrescimento da função, ou seja, em que os valores de y
e) Em quantos pontos cada função corta o eixo x? Quais são eles para cada caso? Se caso necessário, identifique na tabela. Para efeito de melhor visualização, na janela “gráfico” marque pontos e espessura 3,
conforme a figura .
f) O que se pode notar comparando o item anterior com sua respectiva função?
g) À medida que os valores de x aumenta o que acontece com os valores de y? Se preciso for, verifique na tabela.
aumentam até o ponto de máximo e a partir dele os valores de y diminuem. Essa questão analisa o intervalo de crescimento e decrescimento da função quadrática.
Roteiro 2, Parte B:
As questões da parte B desse roteiro são parecidas com as da parte A, porém, exploram a função na forma canônica e o deslocamento gráfico na horizontal. Estão demonstradas nas Figuras 3.13 a 3.19 e são discutidas a seguir:
Figura 3.13: Questão a, do Roteiro de atividade 2, Parte B
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Pretendeu-se, com a questão da Figura 3.13, que o aluno constatasse que, no caso 2, houve deslocamento gráfico de uma unidade para a esquerda. E que, no caso 3, constatasse que o deslocamento foi de uma unidade para a direita.
Figura 3.14: Questão b, do Roteiro de atividade 2, Parte B
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
O objetivo da questão b (Fig. 3.14) era que o aluno respondesse que todas as funções apresentavam ponto de mínimo, uma vez que as parábolas têm abertura para cima, e os valores do parâmetro a são todos positivos, iguais a 1.
Figura 3.15: Questão c, do Roteiro de atividade 2, Parte B
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
a) O que se pode observar nos casos 2 em comparação ao caso 1? E no caso 3 também em comparação ao caso 1?
b) Diga se cada função apresenta ponto de máximo ou de mínimo. Por quê?
Indique-o em cada caso
c) Qual influência que k exerce na função y = (x - k)²? O que ele representa na função?
Na questão da Figura 3.15, a perspectiva era que o aluno percebesse que o k influenciava no deslocamento horizontal, pois é fator que determina quantas unidades o gráfico deslocaria, seja para a direita ou para a esquerda.
O k representa o valor da abscissa do ponto mínimo dessa curva; é o ponto em que o gráfico (parábola) muda de posição. E que ainda, nesse caso, o k coincide com o ponto em que o gráfico corta o eixo x (zero da função), pois o valor de y é zero.
Figura 3.16: Questão d, do Roteiro de atividade 2, Parte B
Fonte: Elaborada pela pesquisadora
A pretensão, com d (Fig. 3.16), era que o aluno colocasse cada função nas formas explicitadas, relacionando a forma em produto notável com a forma geral y = ax² + bx + c.
Figura 3.17: Questão e, do Roteiro de atividade 2, Parte B
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Com a questão e (Fig. 3.17), esperava-se que os alunos notassem que todos os valores de a são iguais a 1, 1>0. Logo, comparando com os respectivos gráficos, as parábolas têm suas concavidades voltadas para cima. Em relação ao parâmetro b, esperava-se que percebessem que, quando esse parâmetro é positivo, o gráfico corta o eixo y na subida da parábola, e quando é negativo o gráfico corta o eixo y na descida da parábola.
Quanto ao parâmetro c, o intuito era que os alunos constatassem (ou reforçassem) que o gráfico corta o eixo y nesse valor. Essa questão analisa o efeito de cada parâmetro no comportamento gráfico da função quadrática.
d) Você consegue escrever cada função de outra forma?
e) O que se pode notar comparando cada parâmetro (a, b, c) do item anterior com seus respectivos gráficos?
Figura 3.18: Questão f, do Roteiro de atividade, Parte B
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
A finalidade da questão f (Fig. 3.18) era que o aluno percebesse que, quando a parábola estivesse voltada para cima (a>0), os valores de y diminuiriam até o ponto mínimo e aumentariam a partir do ponto de mínimo, ao contrário do que foi pedido na questão g, da Parte A, ou seja, essa questão analisa o intervalo de crescimento e decrescimento da função quadrática.
Figura 3.19: Questão g, do Roteiro de atividade 2, Parte B
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
Nessa questão (Fig. 3.19), a intenção era analisar o zero ou raiz da função, verificando, ou confirmando, que são os valores em que o gráfico corta o eixo x, ou seja, os valores de x quando o y vale zero, coincidindo com o ponto de mínimo.
Na segunda e última etapa desta pesquisa, foi aplicado aos alunos um Questionário (APÊNDICE D), respondido individualmente, o qual teve a pretensão de identificar contribuições e dificuldades encontradas na utilização do software Modellus no estudo da Função Quadrática.
Questionário é um conjunto de perguntas que, segundo Gil (2002, p. 115),
“possibilita a obtenção de dados a partir do ponto de vista dos pesquisados”, e serviram como fonte complementar de informações.
Questionário é um tipo de observação direta de cunho extensivo (MARCONI;
LAKATOS, 2003) pois os pesquisados têm um tempo mais flexível para responder, por escrito, sem a que necessariamente haja a presença do pesquisador.
f) À medida que os valores de x aumenta o que acontece com os valores de y? Se preciso for, verifique na tabela.
g) Agora, encontre na tabela, em cada caso, os valores de x quando o y valer 0. Escreva esses pares em forma de coordenada. Encontre essas coordenadas em seus respectivos gráficos. Para efeito de melhor visualização, na janela “gráfico” marque pontos e espessura 3, conforme
a figura .
Para Fiorentini e Lorenzato (2007), as perguntas podem ser de três formas:
i) Fechadas: limitam os sujeitos pesquisados a responderem unicamente às alternativas propostas.
ii) Abertas: não restringem os sujeitos pesquisados a alternativas de respostas, permitindo que respondam utilizando sua maneira própria de exprimir opinião.
iii) Mistas: uma combinação das duas primeiras.
Nesta pesquisa, foram utilizadas perguntas abertas e mistas, por entender que esses tipos de questionamentos são mais recomendáveis para uma análise qualitativa de dados pois possibilitam ao respondente emitir sua opinião, obtendo informações complementares e, assim, a organização deles em categorias.
A seção seguinte está dedicada a apresentar como foram organizados e analisados os dados produzidos e coletados