questões. Então, ao fim do encontro, a professora pediu que salvassem a atividade feita no Modellus em seu HD33 da seguinte forma:
Número de identificação do grupo. Roteiro 1.
No sétimo encontro, os alunos entraram no laboratório de informática e se acomodaram em grupos, como de costume, cada um em um computador. A professora explicou que projetaria as questões do Roteiro de Atividade 1, efetuado no encontro anterior, no quadro branco, com o intuito de discuti-las, sistematizando o que foi respondido por eles.
Para isso, foram escolhidos aleatoriamente dois dos modelos construídos pelos alunos, e também projetados no quadro. O único requisito de escolha foi um com o termo c≠0 e outro com c=0.
Então, foi escolhido o modelo que representava a situação do salto em piscina, pois o corpo saltava de uma altura de 10 m (c=10), e do futebol, em que a bola partia do chão, ou seja, 0 m de altura (c=0); são, portanto, pontos diferentes, em que a parábola corta y. Com esses modelos, foram analisados os objetivos de cada questão, bem como institucionalizado o conceito de Função Quadrática.
Em seguida, a professora mencionou que, a partir daquele momento, fariam outra atividade relacionada a esse conteúdo matemático, individualmente. Para isso, foi distribuído o Roteiro de Atividade 2, dividido em duas partes (A e B), cada qual a ser efetuada em um encontro, para coletar informações que evidenciassem a construção de conhecimento e de aprendizagem de Função Quadrática, explorando seus diferentes parâmetros.
No entanto, foi explicado aos alunos que seria preciso dividir a turma em duas.
Uma parte ficaria nesse mesmo dia e a outra no encontro seguinte. Isso porque, a partir daquele momento, realizariam atividades individualmente e o único laboratório disponível para o horário continha apenas 11 computadores.
Aos 11 alunos no laboratório, cada um disposto em um computador, foi entregue a parte A do segundo roteiro. No software, cada qual investigou um modelo quadrático na forma y= -x² + c para três casos, quando c= 0, c=1 e c=-1.
Assim como o primeiro roteiro, esse também foi composto de um passo a passo explicando o procedimento a ser adotado para facilitar o trabalho, não somente dos
33 Sigla em inglês de Hard Disc. É um disco rígido que serve para armazenar arquivos. A vantagem do HD externo é ser portátil e possuir grande capacidade de armazenamento.
alunos como também da professora que, por sua vez, leu cada um com os alunos e projetou o software na lousa, assim como também auxiliou cada um individualmente conforme as dúvidas iam surgindo em como manuseá-lo.
Na medida em que iam terminando de responder a atividade, os alunos a salvavam no HD, na professora (identificada pelo número do aluno no diário de classe.
Roteiro 2, Parte A), e iam sendo dispensados. Todos os alunos presentes finalizaram a tarefa sem intercorrências.
No oitavo encontro, estava presente o restante da turma em outro laboratório de informática, maior que o utilizado no encontro anterior. Os procedimentos adotados foram os mesmos utilizados anteriormente com os 11 alunos. No entanto, eles requisitavam, o tempo todo, a presença da professora, demonstrando mais dificuldade do que a turma que havia feito a atividade no encontro anterior.
Nesse encontro, os alunos também foram orientados individualmente, e os alunos componentes dos grupos que não participaram da implementação do modelo no software estavam presentes nesse dia. Ao final da tarefa, o procedimento para salvar a atividade no HD foi o mesmo do encontro anterior.
Para realizar a parte B do segundo roteiro, que aconteceu no nono encontro, a professora encaminhou os alunos a um dos laboratórios de informática, que comportou a todos.
Antes, foram apresentadas as questões da parte A no datashow, respondidas nos dois últimos encontros, uma de cada vez, para discussão com os alunos. A cada questão exposta, foi dada a palavra a quem quisesse discuti-la.
Conforme um aluno expunha sua opinião sobre a reposta, outro fazia contribuições. E assim foi até a última questão, em que a professora sistematizou cada resposta, expondo os objetivos de cada uma. Buscou-se não delongar muito tempo, pois nesse mesmo encontro ainda seria respondida a parte B desse mesmo roteiro.
Ao final da sistematização, cada aluno, disposto em um computador, recebeu a parte B do Roteiro de Atividade 2, para que investigassem outro modelo quadrático na forma y = (x - k)² para os casos em que k=0, k=1 e k=-1. Assim como na parte A, essa também tinha um passo a passo para o aluno.
Como já estavam mais familiarizados com o software, os alunos não sentiram muita dificuldade em manipulá-lo, por isso a professora não precisou projetá-lo no quadro e nem fazer a leitura do passo a passo. Assim, limitou-se às orientações individuais.
As questões da parte B desse Roteiro são parecidas com as da parte A, porém, é explorada a função na forma canônica e o deslocamento gráfico na vertical.
Ao término da atividade, os alunos salvaram no HD da professora, assim como foi feito na parte A, seguindo a instrução: número do aluno identificado no diário de classe. Roteiro 2, Parte B. Como não houve tempo para socializar as respostas, a atividade ficou para o encontro seguinte.
No décimo encontro, os alunos foram reunidos em sala de aula, e a professora sistematizou a atividade realizada no encontro anterior. Para isso, utilizou uma lousa digital da escola.
As questões da parte B foram então apresentadas na lousa, uma de cada vez, para discussão com os alunos. Da mesma maneira feita para a parte A, a cada questão exposta, foi dada a palavra a quem quisesse discuti-la.
Enquanto um ia expondo sua opinião sobre a resposta, outro ia fazendo contribuições. E assim foi, até a última questão, em que a professora sistematizou cada resposta, explanando os objetivos de cada uma. Buscou-se não delongar muito tempo, pois nesse mesmo encontro ainda seriam apresentados os seminários.
Ao final da sistematização, os grupos organizaram-se para a apresentação, a fim de expor seus processos de construção sobre o objeto matemático estudado, mostrando os registros feitos. Os grupos que se apresentaram nesse dia foram os dois de futebol e o de basquete. Porém, para subsidiar a análise, um grupo da modalidade futebol foi descartado, nesta pesquisa, por ter como um de seus componentes o aluno que não assentiu participar, mas o outro grupo dessa modalidade foi considerado.
O grupo do futebol iniciou o seminário abordando suas principais características e apontando os personagens envolvidos. Em seguida, os alunos fizeram um breve levantamento histórico desse esporte nos jogos olímpicos. Posteriormente, relataram algumas influências físicas e matemáticas e elencaram os dados colhidos e sua questão investigada.
Mostraram, em slides, dois modelos algébricos encontrados e executados no software Modellus, em que nenhum dos dois representava a questão investigada pelo grupo e explicaram o motivo.
O grupo de basquetebol elencou os objetivos do trabalho; definiu o que é um arremesso; destacou alguns elementos envoltos no arremesso em que esse descreve um movimento tipo oblíquo. Os alunos descreveram alguns dados sobre a modalidade
em forma de tabela, bem como um desenho que mostrava o percurso da bola sintetizando a situação hipotética criada.
Em seguida, apresentaram a questão investigada e os dados necessários para respondê-la. Transcreveram o desenho em forma de um esboço gráfico, associando- o com os eixos ortogonais x e y no plano cartesiano. E, por fim, evidenciaram o modelo algébrico encontrado mostrando que respondiam à questão proposta.
Após cada apresentação, os alunos entregaram à professora os registros de suas produções (Documentos) feitas durante a intervenção. Como o tempo da aula já estava findando, as outras apresentações ficaram para outro dia.
O último encontro começou com a professora chamando a atenção dos alunos para as apresentações restantes. Os grupos que se apresentariam se organizaram da seguinte forma: salto com vara, vôlei e salto em piscina. O grupo responsável pela modalidade arremesso de peso não apresentou, uma vez que alegou ter feito a apresentação em um programa on-line e não tinha sinal de internet naquele momento, então, ficaram de enviar o material para o e-mail da professora.
O grupo do salto com vara fez breve explanação sobre o esporte, explicando como acontece o salto, suas principais características, seu surgimento, bem como apresentaram o atual recordista, que é um brasileiro. Elencaram os dados principais encontrados a respeito dessa modalidade e explicaram verbalmente porque não encontraram um modelo algébrico.
A apresentação do grupo 4 (G4 - vôlei) começou com uma abordagem histórica sobre o esporte e os elementos que o fundamentam. Em seguida, os alunos fizeram breve explanação sobre quais maneiras podiam relacioná-lo com a Matemática.
Apresentaram os principais dados envolvidos em um saque, bem como o modelo algébrico encontrado. Explicaram de que maneira encontraram esse modelo e como respondia à situação proposta.
Ao término das apresentações, foi entregue, a cada participante da pesquisa, o questionário avaliativo (APÊNDICE D) para que o respondessem individualmente.
O próximo capítulo será dedicado a apresentar como foram organizados e analisados os dados produzidos e coletados.
5 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS
Este capítulo dedica-se a apresentar a análise dos dados produzidos e os resultados obtidos na pesquisa, mediante a intervenção de ensino com alunos do 1o ano do Ensino Médio.
A fim de atingir o objetivo geral desta pesquisa, que é investigar as possíveis contribuições da Modelagem Matemática à aprendizagem de Função Quadrática no software Modellus, foram definidas três categorias de análise, a priori, baseadas nas fases da Modelagem Matemática sugeridas por Biembengut (2016), com o intuito de acompanhar como cada uma delas contribuiu para a aprendizagem desse conteúdo, e uma categoria respaldada em evidências que se destacaram no material coletado nos roteiros, ou seja, a posteriori.
Assim, o capítulo está estruturado em quatro seções, de acordo com a nomeação das categorias: 5.1 Percepção e Apreensão apresenta a primeira categoria de análise e está associada aos primeiros contatos e impressões dos alunos, em relação aos dados pesquisados, que evidenciam o reconhecimento da modalidade pesquisada tanto com a Matemática quanto com outra área do conhecimento, como também fragmentos de relação com o conteúdo matemático.
A seção 5.2 Compreensão e Explicitação abarca a segunda categoria e busca evidenciar resquícios de compreensão do conceito de Função Quadrática e como cada grupo construiu seus respectivos modelos. A seção 5.3 Significação e Expressão expõe a terceira categoria e aborda como os grupos interpretaram seus modelos, mostrando se e como executaram a validação deles.
A seção 5.4 Elementos Influentes no Estudo da Função Quadrática, que apresenta a última categoria, está dividida em duas subcategorias, oriundas dos dados coletados no Roteiro 2, e enumeradas mediante vestígios de contribuição ao estudo da Função Quadrática.
5.1 Percepção e Apreensão
Nessa categoria, foram observados, pelos extratos das pesquisas realizadas nos grupos, indicativos que caracterizam a relação de sua respectiva modalidade
olímpica tanto com outra área do conhecimento quanto com a Matemática, com conteúdo específico de Função Quadrática, ou elementos que direcionam para essa disciplina.
Esse momento foi bem significativo, pois os alunos perceberam o vínculo da Matemática não somente com um tema do cotidiano, mas também com a disciplina Física, uma vez que os dados encontrados eram relativos a conteúdos dessa disciplina, como a força empregada pelo corpo, aceleração da gravidade, dentre outros.
Assim, as discussões em grupo eram sobre como relacionar essas informações da Física com a Matemática. Os seis grupos obtiveram informações explícitas que atrelaram a sua modalidade com elementos da Física. Dois grupos apresentaram em suas pesquisas associação entre sua respectiva modalidade e elementos da matemática; e um explicitou elo com o conteúdo Função Quadrática.
Essas informações, obtidas pelos grupos evidenciam relação com outra área do conhecimento, mas ainda não há formalização com o conteúdo Função Quadrática.
Essas fazem parte do levantamento de dados obtidos na primeira fase da Modelagem.
As Figuras 5.1 e 5.2 enunciam a relação estabelecida entre a modalidade basquete e a Física, obtida pelo grupo 1 (G1 - basquete).
Observa-se, na Figura 5.1, que o grupo elenca alguns elementos da Física que interferem no percurso da bola até chegar na cesta. Essa constatação continua no Extrato 2 (Fig. 5.2).
Figura 5.1: Extrato 1 do G1 referente à modalidade basquete
Fonte: Dados da pesquisa.
O extrato da Figura 5.2, destacada pelos alunos em suas pesquisas, explica que o grupo 1 (G1 – basquete) compreendeu que a velocidade da bola, ao ser arremessada, combinada com o ângulo de seu lançamento, determina o que é denominado na Física como lançamento oblíquo, em que há um deslocamento do objeto tanto para cima quanto para frente. Nesse caso, a velocidade da bola é
decomposta em duas: uma velocidade na vertical (para cima) e outra na horizontal (para frente).
Figura 5.2: Extrato 2 do G1 referente à modalidade basquete (continuação)
Fonte: Dados da pesquisa.
As Figuras 5.3, 5.4 e 5.5 ilustram que o grupo 2 (G2 – futebol) encontrou uma conexão entre sua modalidade e a Física, no momento de percepção e apreensão, na primeira fase da Modelagem, em sala de aula, dos diversos dados e informações sobre o tema.
Dentre suas pesquisas, estão destacadas elementos da Física interferentes na modalidade no que tange ao desempenho do atleta em um drible, em uma cobrança de pênalti ou de uma falta, respectivamente em cada uma das figuras.
A Figura 5.3 explicita a relação entre o drible, executado pelo jogador em cima de seu oponente pela disputa da bola, com dois mecanismos da Física: inércia e força.
Figura 5.3: Extrato 1 do G2 referente à modalidade futebol
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 5.4: Extrato 2 do G2 referente à modalidade futebol
Fonte: Dados da pesquisa.
A Figura 5.5 explica, com outras palavras, que o movimento da bola, em uma cobrança de falta, pode descrever uma trajetória oblíqua, em que a bola sobe, pela força aplicada pelo jogador, ao mesmo tempo em que se desloca para frente e é puxada para baixo pela força gravitacional.
Figura 5.5: Extrato 3 do G2 referente à modalidade futebol
Fonte: Dados da pesquisa.
As informações obtidas durante essa fase de familiarização com a temática, não tem um critério de escolha, ou seja, os alunos coletam todas as informações e destacam aquelas que acreditam ser as mais relevantes.
Nos casos dos extratos das Figuras 5.3, 5.4 e 5.5, o Grupo 2 (G 2 – futebol) ressalta elementos da Física, os quais foram importantes para a construção de seus modelos na segunda fase da Modelagem, mesmo que ainda não estivessem conscientes disso.
No caso do grupo 3 (G3 - saltos ornamentais), as Figuras 5.6, 5.7 e 5.8 mostram alguns elementos da Física atuantes nessa modalidade.
Na Figura 5.6 estão destacadas duas forças atuantes no corpo do atleta dessa modalidade: a força da água e a força gravitacional, a primeira empurra-o para cima e a segunda para baixo.
Figura 5.6: Extrato 1 do G3 referente à modalidade salto ornamental
Fonte: Dados da pesquisa.
Essas informações fizeram parte das pesquisas realizadas pelo grupo 3 (G3 – salto ornamental), em que a força gravitacional foi elemento importante na construção de seu modelo na Fase 2 da Modelagem.
Figura 5.7: Extrato 2 do G3 referente à modalidade salto ornamental
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 5.8: Extrato 3 do G3 referente à modalidade salto ornamental
Fonte: Dados da pesquisa.
Esses dois últimos extratos (5.7 e 5.8) os alunos fazem estimativas de quanto deva ser a velocidade com que o corpo do atleta atinge ao chegar na superfície da água, com destaque para a plataforma de 10 m (Fig. 5.8), inferindo que quanto maior a altura maior a velocidade.
Em relação ao grupo 4 (G4 – vôlei), a Figura 5.9 evidencia que, dentre as informações pesquisadas, houve um entendimento de que a Física influencia na trajetória de um saque que, pelo desenho exposto, descreve uma parábola.
Figura 5.9: Extrato 1 do G4 referente à modalidade vôlei
Fonte: Dados da pesquisa.
No entanto, não disponibilizaram dados que comprovassem de que maneira acontece a integração entre essa modalidade esportiva com a Física, como nos
grupos 1 (G1 – basquete), 2 (G2 – futebol) e 3 (G3 – salto ornamental), nem fica claro se o grupo percebeu que a trajetória é parabólica.
Pelos extratos do grupo 5 (G5 - salto com vara), percebe-se que os dados coletados direcionam para uma relação da modalidade com a Física, conforme explicitam as Figuras 5.10, 5.11, 5.12 e 5.13, adiante. Essas informações foram obtidas no intuito do grupo buscar familiarizar-se com o tema, salto com vara, em que não há um critério de escolha.
Fica explícito nas Figuras 5.10, 5.11, 5.12 e 5.13 que, apesar de serem informações que conduzem ao entendimento para a Física, nenhum dos extratos relaciona a modalidade com o movimento oblíquo, ou seja, não é evidenciado, nas pesquisas, que o movimento feito pelo corpo em um salto com vara descreva uma parábola.
Figura 5.10: Extrato 2 do G5 referente à modalidade salto com vara
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 5.11: Extrato 3 do G5 referente à modalidade salto com vara
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 5.12: Extrato 4 do G5 referente à modalidade salto com vara
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 5.13: Extrato 5 do G5 referente à modalidade salto com vara
Fonte: Dados da pesquisa.
O grupo 6 (G6 - arremesso de peso) mostra, pela Figura 5.14, que há relação intrínseca entre o ângulo de lançamento e a velocidade aplicada no ato, no entanto, não fica evidente se a trajetória desse objeto, ao ser lançado, descreve um movimento oblíquo.
Figura 5.14: Extrato 1 do G6 referente à modalidade arremesso de peso
Fonte: Dados da pesquisa.
Os extratos apresentados demonstram a integração do ensino de Matemática com outra área do conhecimento, enfatizada pelos PCNEM como importante para o desenvolvimento de competências, possibilitadas por uma aprendizagem de
Matemática de maneira contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos (BRASIL, 2000).
Assim também o conceito seres-humanos-com-mídias, apresentado por Borba (2001), desponta nessa fase pela associação entre a Modelagem e a internet, sendo essa última uma mídia primordial na obtenção dos dados relativos a cada modalidade.
A internet possibilitou aos alunos acesso a informações essenciais sobre sua temática que, de outra forma, seria praticamente impossível, corroborando com Bassanezi (2015) que afirma ser, a internet, nos dias atuais, a primeira fonte de informações e que essas vão sendo complementadas, se houver necessidade.
Acredita-se que esse fator tenha corroborado para que os alunos não se interessassem em buscar outras fontes de informação, confiando somente naquelas encontradas na internet
O grupo 1 (G1 – basquete) demonstra ter estabelecido conexão com a Matemática, segundo o extrato da Figura 5.15.
Figura 5.15: Extrato 3 do G1 referente à modalidade basquete
Fonte: Dados da pesquisa.
Na Figura 5.15, o grupo 1 (G1 – basquete) destaca a importância da Estatística, encontrada em suas pesquisas, a fim de estudar melhores estratégias de jogo como, por exemplo, na escolha do jogador e busca de melhores jogadas. Esse é um conteúdo matemático bastante encontrado em diferentes esportes.
O grupo 2 (G2 – futebol) também elenca, pelas Figuras 5.16, 5.17, 5.18 e 5.19 algumas informações, obtidas durante suas pesquisas, relativas à Matemática inserida no futebol.
Figura 5.16: Extrato 4 do G2 referente à modalidade futebol
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 5.17: Extrato 5 do G2 referente à modalidade futebol
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 5.18: Extrato 6 do G2 referente à modalidade futebol
Fonte: Dados da pesquisa.
Figura 5.19: Extrato 7 do G2 referente à modalidade futebol
Fonte: Dados da pesquisa.
Na primeira fase, os grupos 1 (G1 – basquete) e 2 (G2 – futebol) depararam- se, em suas pesquisas, com informações relativas a diferentes conteúdos matemáticos contidos em suas respectivas modalidades, como Estatística (média de gols, por exemplo) e elementos geométricos (como cálculo da área do campo, ângulo na cobrança de escanteio). Essas evidências mostram quão abrangente um tema pode ser, conforme afirma Biembengut (2016).
O grupo 3 (G3 - salto ornamental) enuncia, por meio de suas pesquisas, já na primeira fase da Modelagem, a percepção do conteúdo matemático Função Quadrática, conforme explicitado na Figura 5.20. Explica que, ao saltar, como no caso dessa modalidade, o centro de gravidade do atleta descreve uma parábola.
Figura 5.20: Extrato 4 do G3 referente à modalidade salto ornamental
Fonte: Dados da pesquisa.
No extrato da Figura 5.20, fica evidenciada, nesta pesquisa, a perspectiva contextual da Modelagem proposta por Kaiser e Sriraman (2006), uma vez que o propósito é estimular a aprendizagem de conteúdo matemático de forma contextualizada, ou seja, a partir de situações que façam sentido para o aluno.
A identificação dessa perspectiva é fortalecida em alguns diálogos entre a professora (P) e os alunos, na primeira fase da Modelagem em sala de aula.
P: eu estou gostando de ver
A15: eu estou gostando também... tá bem legal.
O diálogo aconteceu no segundo encontro, ocasião em que os grupos buscavam interação com a modalidade olímpica e a aluna A15 (integrante do G2 - futebol) demonstrou empolgação com a atividade.
Nessa mesma fase da Modelagem, outras alunas declararam estar motivadas com o desenvolvimento da atividade proposta, como segue em outra conversa.
A5: Eu... Eu gostei... (risos)
A6: Também gostei. Na vida, a gente só vê professor de Matemática...
só com lista de exercício, prova... isso é legal... gostei.
Percebe-se, pelas falas, que a atividade de Modelagem provocou motivação em aprender, por estar apoiada em uma situação real, a qual eles são posto a investigar, comungando com o estudo de Pagung (2016) e Pires (2009). Essa motivação, característica da perspectiva contextual de Kaiser e Sriraman (2006), proporcionou maior envolvimento com a atividade proposta.
Os procedimentos adotados pelos alunos foram suficientes para desenvolver a primeira etapa da Modelagem, mas foi dificultoso atender a todos os grupos, pois eles ainda estavam se adaptando a uma nova maneira de ensinar e aprender, processo em que a base está centrada mais nas ações dos alunos.