que ´e a igualdade desejada.
Notamos que os coeficientes de Bi,r−2(t) e Bi+1,r−2(t) da rela¸c˜ao de re- corrˆencia acima s˜ao positivos para t ∈ (xi, xi+1) e que sua soma ´e igual a 1.
Consequentemente, a f´ormula (4) representa Bi,r−1(t) como combina¸c˜ao con- vexa deBi,r−2(t) eBi+1,r−2(t).
A f´ormula (4) ´e a parte fundamental para o c´alculo dos valores dasB-splines.
B00(t) ց
B01(t)
ր ց
B10(t) B02(t)
ց ր ց
B11(t) B03(t)
ր ց ր
B20(t) B12(t)
ց ր ց
B21(t) B13(t)
ր ց ր
B30(t) B22(t)
ց ր
B31(t) ր
B40(t)
A primeira coluna desta tabela ´e preenchida usando-se a defini¸c˜ao deBi,0(t), Bi,0(t) =
½ 1
xi+1−xi para t∈[xi, xi+1) 0 para t6∈[xi, xi+1) .
As pr´oximas colunas s˜ao preenchidas consecutivamente usando os dados da an- terior e a rela¸c˜ao de recorrˆencia (4).
1.11 Melhor aproxima¸ c˜ ao em espa¸ cos lineares
2) ρ(f, g) =ρ(g, f) (simetria),
3) ρ(f, g)≤ρ(g, h) +ρ(h, g) para todo f, g, h∈F.
Espa¸co linear, quando ´e introduzida uma distˆancia, ´e chamadoespa¸co linear m´etrico. Formularemos o problema de aproxima¸c˜ao em um espa¸co linear m´etrico F.
Sejamϕ0, . . . , ϕnelementos arbitr´arios linearmente independentes deF. De- notemos por Ωn o conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares de{ϕk}n0, i.e.,
Ωn :=
( n X
k=0
akϕk : (a0, . . . , an)∈IRn )
. A quantidade
ρ(f, ϕ) := inf{ρ(f, ϕ) : ϕ∈Ωn}
´e chamada a melhor aproxima¸c˜ao de f por elementos de Ωn. Se existe um elementoϕf de Ωn para o qual a igualdade acima ´e atingida, i.e., para o qual
ρ(f, ϕf) = inf{ρ(f, ϕ) : ϕ∈Ωn},
este elementoϕf ´e chamadoelemento da melhor aproxima¸c˜ao def.
Depois dessa formula¸c˜ao do problema de aproxima¸c˜ao, surgem as seguintes quest˜oes b´asicas:
Existe o elemento da melhor aproxima¸c˜ao?
Se tal elemento existe, ´e ´unico?
Como pode ser constru´ıdo o elemento da melhor aproxima¸c˜ao?
Existe uma grande classe de espa¸cos lineares m´etricos, onde a resposta da quest˜ao sobre a existˆencia do elemento da melhor aproxima¸c˜ao pode ser encon- trada. Esses espa¸cos s˜ao chamadosespa¸cos lineares normados. Vamos relembrar brevemente a defini¸c˜ao de espa¸co normado.
SejaFum espa¸co linear dado. Dizemos que emF ´e introduzida uma norma, se, para todo elementof deF, ´e colocado em correspondˆencia um n´umerokfk (chamado normadef) e essa correspondˆencia satisfaz `as seguintes exigˆencias:
1) kfk ≥0 (a igualdade vale se, e somente se,f = 0);
2) kλfk=|λ|kfkpara todoλ;
3) kf+gk ≤ kfk+kgkpara todof, g∈F.
Um espa¸co linear onde ´e introduzida uma norma, ´e chamado de espa¸co linear normado.
Toda normak · kgera uma distˆancia da seguinte maneira:
ρ(f, g) :=kf−gk.
N˜ao ´e dificil verificar que a distˆanciaρ(f, g) assim definida realmente satisfaz `as propriedades listadas acima. Deixaremos essa verifica¸c˜ao como exerc´ıcio.
Toda norma emF pode ser considerada como fun¸c˜ao def, definida emF.
Teorema 20 A norma ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua com rela¸c˜ao `a distˆancia, gerada por ela.
Demonstra¸c˜ao. Primeiro, provaremos a desigualdade
|kfk − kgk| ≤ kf−gk. De fato,
kfk=kf−g+gk ≤ kf−gk+kgk
e, da´ı segue quekfk − kgk ≤ kf −gk. Analogamente, kgk − kfk ≤ kg−fk= kf−gk. Consequentemente, |kfk − kgk| ≤ρ(f, g). ´E claro que seρ(f, g)→0, ent˜aokfk → kgk, e isto mostra quekfk´e uma fun¸c˜ao cont´ınua def.
Consideraremos o espa¸co linear
IRn={f = (f1, . . . , fn) : f1, . . . , fn ∈IR}.
de vetores reais. Toda norma emIRn ´e de fato uma fun¸c˜ao de nvari´aveis: as coordenadasf1, . . . , fn def.
Teorema 21 Toda norma emIRn´e uma fun¸c˜ao cont´ınua com rela¸c˜ao `as coor- denadas do elemento.
Demonstra¸c˜ao. Denotemos por
ek = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0), k= 1, . . . , n,
os vetores base em IRn. Entao, todo vetor f = (f1, . . . , fn) de IRn pode ser escrito da formaf =f1e1+· · ·fnen e, consequentemente,
| kfk − kgk | ≤ kf −gk=k
n
X
i=1
(fi−gi)eik ≤
n
X
i=1
|fi−gi|keik. Ent˜ao,kfk → kgk quandofi→gi, i= 1, . . . , n. O teorema est´a provado.
Em um espa¸co linear F podem ser introduzidas normas de maneiras dife- rentes. Por exemplo, emIRn usam-se frequentemente as normas:
kfk∞ := max
1≤i≤n|fi|, kfk1 := |f1|+· · ·+|fn|, kfk2 :=
à n X
i=1
fi2
!1/2
.
A ´ultima norma ´e chamada de Euclides, pois ela determina a distˆancia de Eu- clides
d(f, g) :=kf−gk2= ( n
X
k=1
(fk−gk)2 )1/2
.
Defini¸c˜ao 7 Dizemos que duas normas ν(f)eµ(f)s˜ao equivalentes emF, se existem n´umeros positivos me M, tais que
mµ(f)≤ν(f)≤M µ(f) para todo f ∈F.
Teorema 22 Quaisquer duas normas emIRn s˜ao equivalentes.
Demonstra¸c˜ao. ´E suficiente provar que toda normaν ´e equivalente `a norma de Euclidesk · k2. Para isso, introduzimos a esfera com raio um emIRn,
S:=
(
(f1, . . . , fn) :
n
X
i=1
fi2= 1 )
.
S ´e um conjunto limitado. Al´em disso, de acordo com o Teorema 2, ν(f) = ν(f1, . . . , fn) ´e fun¸c˜ao cont´ınua de fi, −∞< fi <∞. Pelo teorema de Wei- erstrass, ν(f) atinge o seu valor m´ınimo emS. Consequentemente, existe um elementof∗deS, tal que
m:= inf{ν(f) : (f1, . . . , fn)∈S}=ν(f∗).
Obviamente m ≥ 0. Al´em disso, m > 0. De fato, a hip´otese m = 0 imlpica em ν(f∗) = 0 e, consequentemente, f∗ = 0, i.e., f1∗ = · · · = fn∗ = 0, uma contradi¸c˜ao com o fato quef∗∈S.
Ent˜ao,ν(f)≥m >0 para todaf ∈S.
Seja f um elemento n˜ao nulo de F. Ent˜ao, f /kfk2 ∈ S e de acordo com desigualdade que acabamos de provar, temos
ν(f) =ν µ f
kfk2kfk2
¶
=kfk2ν µ f
kfk2
¶
≥mkfk2.
Provamos quemkfk2≤ν(f) para todof ∈F. Analogamente, escolhendo M := sup{ν(f) : (f1, . . . , fn)∈S},
obtemos
ν(f)≤Mkfk2 paratodo f∈F.
O teorema est´a provado.
Formularemos uma consequˆencia importante do teorema da equivalˆencia das normas.
Corol´ario 3 Toda bola Sr = {(f1, . . . , fn) : kfk ≤ r < ∞} em IRn ´e um conjunto limitado e fechado.
Demonstra¸c˜ao. Sejaf um elemento da esferaSr. Ent˜ao,kfk ≤re, conse- quentemente, existe uma constanteM tal que
kfk∞≤M r.
Segue, ent˜ao, a desigualdade|fi| ≤M r, que mostra que o conjuntoSr ´e limi- tado. Mostraremos queSr ´e fechado. Seja{f(n)} uma sequˆencia arbitraria de elementosf(n)∈Sr, que converge para algum elementogdeIRn. Temos
kgk ≤ kf(n)−g+f(n)k ≤ kf(n)−gk+kf(n)k. Sejan→ ∞. Comokf(n)k ≤r, obtemos que
kgk ≤ kf(n)k ≤r,
que mostra queg∈Sr. Ent˜aoSr´e um conjunto fechado.
Teorema 23 Seja F um espa¸co linear normado. Sejamϕ0, . . . , ϕn elementos linearmente independentes de F e Ωn o subespa¸co formado por eles. Ent˜ao, para todof ∈F existe emΩn um elemento que melhor aproximaf com rela¸c˜ao
`
a distˆancia, gerada pela norma emF.
Demonstra¸c˜ao. Sejaϕ∈Ωn comkϕk>2kfk=:r. Ent˜ao
kf−ϕk ≥ kϕk − kfk>2kfk − kfk=kfk=kf −0k ≥En(f).
Consequentemente,
inf{kf−ϕk : ϕ∈Ωn}= inf{kf−ϕk : ϕ≤r}= inf
ϕ∈Srkf−ϕk. Por outro ladokf −ϕk ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua dos coeficientesa0, . . . , an deϕ eSr´e um conjunto limitado e fechado. Pelo teorema de Weierstrass
ϕinf∈Srkf−ϕk= min
ϕ∈Srkf−ϕk=kf−ϕfk para algumϕf ∈Ωn. O teorema est´a provado.
O seguinte teorema ´e sobre a unicidade do elemento da melhor aproxima¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 8 Dizemos que o espa¸co normado F ´e estritamente normado se a desigualdade
kf+gk=kfk+kgk
implica que os elementosf eg s˜ao linearmente dependentes.
Teorema 24 Se F ´e estritamente normado, ent˜ao para todof ∈F existe em Ωn um ´unico elemento que melhor aproximaf.
Demonstra¸c˜ao. Suponha o contr´ario. Ent˜ao, existemf ∈F e elementospe qde Ωn, para os quais
kf−pk=kf−qk=En(f) := inf{kf −ϕk : ϕ∈Ωn} ep6=q. Por outro lado,
kf−p+q 2 k= 1
2k(f−p) + (f−q)k ≤ 1
2(kf−pk+kf−qk) =En(f). (1.11.24) Pela defini¸c˜ao da melhor aproxima¸c˜ao , temoskf−(p+q)/2k ≥En(f). Ent˜ao, em (1.11.24) temos somente igualdades. Em particular,
k(f−p) + (f−q)k=kf −pk+kf−qk.
Como F ´e estritamente normado, temos quef −p=α(f−q). Seα= 1 essa igualdade implica quep=q. Contradi¸c˜ao! Seα6= 1, temosf = (p−αq)/(1−α) e, consequentemente, f ∈ Ωn, o que, por seu lado, implica que f = p = q.
Contradi¸c˜ao novamente. O teorema est´a provado.