A representação do objeto influencia diretamente na compreensão de seu conceito e propriedades, tornando fundamental a escolha do tipo de representação exigida pela situação em que se trabalha. No caso da Geometria na Educação Básica, Duval (1999) explica que a atividade matemática se realiza em dois registros: o das figuras e o da língua natural. O registro das figuras é utilizado para visualizá-las e reconhecer, desse modo, algumas de suas propriedades; e o registro da língua natural enuncia definições, teoremas, hipóteses, descreve os objetos etc.
Os registros de representação semiótica constituem as formas de representar objetos com o propósito de auxiliar na aprendizagem de algum conceito. Para isso, o sujeito trabalha “dentro” de sistemas semióticos que, de acordo com Duval (2009, 2012), cumprem basicamente três atividades cognitivas inerentes a toda representação:
1. a formação de uma representação identificável como uma representação de um re- gistro dado: deve respeitar regras de utilização, de identificação, de reconhecimen- to da representação e a possibilidade de sua utilização para tratamentos; constitui um traço ou um ajuntamento de traços perceptíveis com o fim de identificar uma representação de alguma coisa em determinado sistema;
2. tratamento: transformar a representação inicial em outra, obedecendo às regras do próprio sistema, o que constitui uma relação de conhecimento; é uma transforma- ção interna ao registro. Um exemplo de tratamento comum, no registro figural, é a transformação de um triângulo em dois triângulos com a mesma área, conforme a Figura 1:
Figura 1 – Transformação de um triângulo em dois triângulos congruentes entre si.
Fonte: As autoras.
3. a conversão: converter a representação produzida em um sistema para outro, sem perda de conceitos, de modo a explicar outras significações relativas ao que está sendo
representado. “Converter é transformar a representação de um objeto, de uma situação ou de uma informação dada num registro em uma representação desse mesmo objeto, dessa mesma situação ou da mesma informação num outro registro” (2009, p. 58). São exemplos de conversão, a língua natural (I) para a expressão algébrica (II) e para a repre- sentação gráfica cartesiana (III), conforme representado no Quadro 1:
Quadro 1 – Conversão.
I II III
1. ... o conjunto de pontos que têm abscissa positiva x>0
2. ... que têm ordenada negativa y<0
3. ... cujas abscissa e ordenada têm o mesmo sinal xy>0
4. ... cujas abcissa e ordenada têm sinais diferentes xy≤0
5. ... cuja ordenada é igual à abscissa y=x
6. ... cuja ordenada é oposta à abscissa y=-x
Fonte: Duval (2012, p. 274).
Como exemplo de um sistema semiótico na Geometria, é possível pensar no registro figural. Este é utilizado para representar determinadas figuras geométricas que podem
ser modificadas de acordo com o que a situação exigir dentro do mesmo sistema.
Então, para Duval (2011), os registros são sistemas semióticos, criadores de novos conhecimentos, que satisfazem, basicamente, duas condições:
■ produzem representações que permitem acesso e exploração a objetos inacessí- veis perceptível ou instrumentalmente;
■ permitem transformações em novas representações.
Porém, fazer uma transformação de registro, em Geometria, não consiste simplesmente em mudar de registro, assim como da representação algébrica para a gráfica, no Cálculo: “É necessário que os tratamentos figurais e discursivos se efetuem simultaneamente e de maneira interativa”33 (DUVAL, 1999, p. 147). Deve haver uma coordenação entre os tratamentos realizados na língua natural e na figura. Duval (1999) afirma que a maioria dos alunos entre o 6º e o 9º ano está longe de adquirir essa coordenação, e as tarefas propostas nesses níveis de ensino não parecem suficientes para favorecer esta aquisição.
Então, pensando em uma aprendizagem fundada sobre a coordenação de registros, é demonstrável, em resultados de trabalhos apresentados por Duval (2012, p. 276), que “a conversão das representações semióticas é a primeira fonte de dificuldade à compreensão em matemática”.
Para Duval (2003), os fracassos ou os bloqueios dos alunos, independentes do nível de ensino, têm estreita relação com os monorregistros34: “Existe um “enclausuramento”
de registro que impede o aluno de reconhecer o mesmo objeto matemático em duas de suas representações bem diferentes” (DUVAL, 2003, p. 21). Para o pesquisador, esse fato também impede o aluno de utilizar seus conhecimentos prévios e, consequentemente, de adquirir novos conhecimentos.
Nesse capítulo, serão apresentadas propostas de tarefas que utilizam o Tangram na forma de registro figural Material Manipulável (MM) e Software de Geometria (SG), de modo a realizar transformações, sendo elas na forma de tratamento e conversão. Essas duas formas de “ver” as figuras são consideradas registros figurais de representação semiótica, ou seja, sistemas semióticos que permitem abstrações cognitivas utilizáveis em explorações e reconhecimentos de propriedades geométricas.
33 Utilizou-se a tradução do original para o espanhol feita por Myriam Vega Restrepo: “es necesario que los tratamientos figurales y discursivos se efectuén simultaneamente y de manera interactiva”.
Todas as traduções da versão utilizada foram realizadas pelas autoras.
34 Monorregistro, para Duval (2003), é a não mobilização simultânea entre registros.
Muitas vezes, em tarefas de Geometria, é solicitado ao aluno que represente ou reproduza determinados objetos geométricos, ou o enunciado do problema é complementado por meio de uma representação figural. Tais representações poderão se referir ao mesmo objeto, porém ser diferentes por conta dos instrumentos que as reproduzem.
Tanto do ponto de vista cognitivo quanto do ponto de vista geométrico, as tarefas podem ser completamente diferentes conforme o tipo de instrumento utilizado na reprodução de uma figura (DUVAL, 2005). De modo geral, as operações a serem realizadas têm relações diretas com o tipo de instrumento que está sendo utilizado.
“Os instrumentos que se toma para poder reproduzir uma figura dada direcionam a maneira de olhar”35 (DUVAL, 2005, p. 14) e, em consequência favorecem em maior ou menor escala o raciocínio geométrico.
A seguir, o Tangram será descrito de modo breve com o objetivo de possibilitar o conhecimento histórico e cultural desse material.