Mecˆanica dos Materiais - USP

Mecânica dos materiais: Manual elaborado para utilização nas disciplinas "PMT2405- Mecânica dos Materiais" e "PMT5860- Teoria da plasticidade e fratura dos materiais"/- 4ª edição. 158 6 Plasticidade e Mecânica da Fratura: Compreendendo a Mecânica da Fratura Elasto-Plástica p.

INTRODUC ¸ ˜ AO

Como é comum em trabalhos deste tipo, agradeço aos alunos das disciplinas citadas acima pelas inúmeras correções e sugestões para melhoria do texto. Landgrave, gostaria de agradecer pela disposição em ler criticamente o texto da segunda edição e pelas sugestões para melhorá-lo.

1 ELEMENTOS DE MECˆ ANICA DOS S ´ OLIDOS PARA A CIˆ ENCIA DOS

Fundamentos

• Deformac¸˜ao
• Tens˜ao
• Trabalho de deformac¸˜ao

No Exercício 1.2 derivamos o tensor de deformação correspondente à solução de Euler-Bernouilli para a viga curva, dada na Equação 1.26e. Tal como acontece com o tensor de deformação, o tensor de tensão é formalmente equivalente a uma matriz quadrada de dimensão 3. Atribuir valores aos elementos desta matriz corresponde a definir um estado de tensão.

Transforma¸c˜ao de referenciais

• Aplicac¸ ˜ao: C´ırculo de Mohr (2d)

Os círculos de Mohr permitem analisar o estado de tensão (respectivamente a deformação) do corpo sólido de forma prática, simples e muito ilustrativa. Considere o círculo de Mohr, mostrado na Figura 1.13, onde os pontos do círculo indicam o estado de tensão no referencial indicado na figura.

Estados Planos

• Estado Plano de Tens˜ao
• Estado Plano de Deformac¸˜ao

Observe que os casos b) e d) aqui considerados correspondem a estados de tensão triaxiais, portanto um estado plano não é necessariamente um estado biaxial. Analogamente ao EPT, podemos definir um estado de deformação em que pelo menos uma das principais deformações é anulada.

2 ELASTICIDADE LINEAR

Fenomenologia da elasticidade linear

• Deformac¸˜ao causada por tens˜ao normal
• Deformac¸˜ao produzida por tens˜ao de cisalhamento

A constante E utilizada na primeira equação da página anterior caracteriza a resposta do material a uma tensão normal na direção de aplicação da força e é chamada de módulo de rigidez (em inglês, módulo de rigidez). Assim como o módulo de rigidez, o índice de Poisson é uma propriedade intrínseca de um determinado material.

Princ´ıpio da superposi¸c˜ao

• Lei de Hooke generalizada
• Compressibilidades

Responda qual relação existe entre a variação do volume do corpo e o estado de tensão (expresso em função das tensões principais). Em condições extremas, como deformação devido a choque ou transmissão de som no sólido, as propriedades elásticas podem ser afetadas.

Restri¸c˜oes (Constraints)

Consideremos primeiro a interface entre a fatia central e o bloco I: A superfície da fatia central tende a se mover uma distância ∆xc/I2 =−2EN σ33δxc2, enquanto a superfície do bloco I tende a se mover ∆xI/c2 = + 2Eν σ33xI2. O mesmo raciocínio pode ser utilizado na interface entre a parte central e o bloco II, com resultado idêntico (mas com sinais invertidos).

Anisotropia el´astica

Os termos Ci j da matriz de rigidez também são chamados de constantes elásticas do cristal. Observe que em cristais monoclínicos temos constantes elásticas que relacionam tensões normais com deformações angulares e vice-versa.

Equa¸c˜oes b´asicas da elasticidade nos estados planos e a fun¸c˜ao tens˜ao

Começamos com uma definição formal das equações de elasticidade para dois casos limites (EPD e EPT). Utilizando as equações do equilíbrio elástico (e tendo em conta que f3=0 por definição) concluímos que:. No entanto, como aponta Muskhelishvili, nem todas as funções biarmônicas são compatíveis com equações de elasticidade plana.

3 CONCENTRADORES DE TENS˜ AO E FUNDAMENTOS DE MECˆ ANICA DA

Concentradores de tens˜ao

• Fator de concentrac¸ ˜ao de tens˜ao (K t )

Além de causar aumentos de tensões locais, a presença do concentrador de tensões pode gerar estados de tensão com alto grau de triaxialidade, mesmo para tensões uniaxiais remotas. Do que foi discutido acima, fica implícito que a distribuição de tensões dentro do sólido mostrado na Figura 3.1 será uma propriedade geométrica do sólido e do(s) estado(s) de tensão para o(s) remoto(s). Kt pode ser entendido como o “poder” de amplificar a tensão de um determinado entalhe.

A solu¸c˜ao de Inglis para o furo central el´ıptico (1913)

• Definic¸ ˜ao de vari´aveis
• Relac¸ ˜oes constitutivas gerais
• Soluc¸ ˜oes particulares

Placa contendo furo elíptico submetido a uma tensão de tração remota σ11(α →∞) =σ perpendicular ao eixo maior da elipse. A Figura 3.3 apresenta o caso de uma placa infinitamente larga contendo um furo circular central (bem como o sistema de coordenadas polares, que é usado para representar o estado de tensão da placa) submetida a uma tensão de tração remotaσ. Portanto, no caso de tensões de compressão remotas, uma tensão de tração tangencial surgirá no pólo da cavidade esférica.

Crit´erio de Griffith (1921)

• Trabalhos posteriores
• Considerac¸ ˜oes filos´oficas

O critério de Griffith é, portanto, um critério de balanço energético: se a energia obtida pela liberação de energia elástica pelo crescimento da fissura substituir a energia necessária para criar duas novas superfícies, a fissura crescerá (ou seja, se expandirá). A fração devido à liberação de energia elástica pela formação ou crescimento de uma fissura pode ser calculada segundo Griffith usando a solução de Inglis. Esta interpretação, porém, serve apenas como recurso mnemônico para a descrição da equação 3.40 e não deve ser confundida com a solução obtida por Griffith, que deve ser considerada rigorosa, pois foi baseada na solução de Inglis para o estado de tensão.

A forma da ponta da trinca

• M´odulo de Coes˜ao

Na época, ele justificou a inexistência dessas tensões infinitas apelando à plasticidade na ponta da trinca. Onde g(t) corresponde à diferença entre as tensões aplicadas ao sólido e as forças coesivas moleculares atuantes próximas à fissura15. A forma da fissura na região da borda e, portanto, a distribuição das forças coesivas moleculares não dependem das tensões aplicadas ao sólido e são sempre as mesmas para um determinado material acabado sob as mesmas condições (temperatura, composição, pressão ambiente, etc.

Mecˆanica da Fratura El´astica Linear

• Modos de carregamento de trinca
• Efeito da geometria do sistema
• Tenacidade `a fratura

18Este estado de tensão é assintótico, o que significa que, longe da ponta da fissura, o estado de tensão pode ser diferente. Qual o impacto que a mudança do estado de tensão plana para o estado de deformação plana tem na tendência à fratura frágil nos modos I e II. Na verdade, a letra K, associada ao fator de amplificação de tensões e à tenacidade à fratura, é uma homenagem a J.

Integridade estrutural e efeitos de escala

• Distribuic¸ ˜ao de Weibull

Discutiremos então algumas propriedades da distribuição de Weibull, visto que ela é discutida com menos frequência na literatura. Finalmente, o parâmetro σ0 representa uma tensão de referência e, ao contrário do que seria de esperar, está relacionado com a média da distribuição (e não com a sua largura). 3.77), que é a forma comum de representar a função Weibull encontrada em muitos livros didáticos.

4 PLASTICIDADE

Parˆametros da curva tens˜ao – deforma¸c˜ao (o ensaio de tra¸c˜ao)

A Figura 4.1 mostra uma curva tensão-deformação típica obtida em um ensaio de tração de um material metálico que não apresenta fluxo descontínuo. O limite de escoamento fornece uma estimativa da tensão máxima suportada pelo material sem apresentar deformação plástica apreciável. Para alguns materiais (por exemplo, aço carbono recozido, alguns polímeros) existe uma tensão máxima local correspondente ao início da deformação plástica.

Equa¸c˜ao de Ludwik - Hollomon

Instabilidades pl´asticas

• O tratamento de Argon para as instabilidades pl´asticas
• Estricc¸˜ao
• Localizac¸˜ao da deformac¸˜ao em cisalhamento
• Empescoc¸amento em pol´ımeros
• Escoamento descont´ınuo em ac¸os carbono
• Escoamento serrilhado

A Figura 4.6 representa esquematicamente a curva tensão-deformação de um polímero extensível (caso geral de termoplásticos acima da temperatura de transição vítrea). Os materiais "convencionais" apresentam uma tensão de escoamento que aumenta com a taxa de deformação (isto é, m>0). A propagação da instabilidade de deformação para (região 3) e o material passa para um estado de deformação homogênea, correspondente ao ramo de baixa taxa de deformação, o que permite um novo aumento de tensão (ao longo da curva 4) e o ciclo recomeça.

Efeito Bauschinger

5 PLASTICIDADE EM SOLICITAC ¸ ˜ OES MULTIAXIAIS: CRIT´ ERIOS DE

ESCOAMENTO E DE FALHA

Tens˜ao equivalente

• Crit´erio de von Mises
• Crit´erio de Treska
• Representac¸ ˜ao gr´afica dos crit´erios de escoamento

No início do século 20, von Mises, Huber e Hencky propuseram independentemente um critério de rendimento que pode ser expresso pela seguinte tensão equivalente:. Usando os dois primeiros invariantes do tensor de tensão, podemos escrever a energia elástica como: 5.16) Portanto, o critério de von Mises equivale a dizer que a energia reduzida no estado de tensão triaxial deve ser maior ou igual àquela correspondente ao escoamento em estado de tensão uniaxial.

Teoria da deforma¸c˜ao elasto-pl´astica em deforma¸c˜oes finitas

• Termodinˆamica da deformac¸˜ao elasto-pl´astica

Para a continuação da deformação plástica, derivar esta expressão com sinal de igual leva à seguinte equação diferencial: 4Este é um princípio popular nas teorias convencionais da plasticidade e afirma que o caminho percorrido pelo processo de deformação plástica é aquele que permite a maior taxa de dissipação de energia por obra plástica. A segunda parte refere-se à energia armazenada (na forma de discordâncias e outros defeitos cristalinos) no sistema devido à deformação plástica.

Crit´erios de falha

• Crit´erio de Rankine
• Crit´erio de Mohr-Coulomb
• Crit´erio de Griffith
• Crit´erio de McClintock - Walsh

Em 1925, Griffith propôs um critério de falha baseado na concentração de tensões na ponta dos defeitos característicos do material. Qual critério de falha (Treska, Rankine ou von Mises) você deve usar para cada um dos dois casos. O critério de Treska é mais conservador, portanto é mais adequado para determinar um torque máximo admissível.

Crit´erios de escoamento em pol´ımeros

Crit´erio de escoamento em materiais met´alicos amorfos

Aplica¸c˜ao: estampabilidade de chapas

• Curva limite de conformac¸˜ao (CLC)
• An´alise de grade de c´ırculos

Testes de incorporação → a placa pode deslizar lateralmente em relação à matriz, as deformações se aproximam do cisalhamento puro com duas deformações principais do mesmo módulo, mas sinais opostos, a espessura da placa não muda significativamente (exemplos Swift e Fukui). Ensaios de tração→a placa permanece fixa em relação à matriz, as deformações se aproximam da força de tração biaxial, envolvendo assim uma redução na espessura da placa (exemplos, Erichsen e Olsen). As deformações críticas da placa são medidas no ponto onde ocorre a instabilidade e são definidas conforme Figura 5.11.

6 PLASTICIDADE E MECˆ ANICA DA FRATURA: NOC ¸ ˜ OES DE MECˆ ANICA

Corre¸c˜ao para plasticidade limitada

A plasticidade localizada serve, portanto, como uma blindagem do campo de tensões (ou seja, de G) que é responsável pelo aumento da tenacidade em materiais que possuem plasticidade (embora limitada) em comparação com materiais que são idealmente frágeis. A zona plástica atua como um distúrbio no campo de tensões de trinca, que pode ser Neste modelo, uma zona plástica (sombreada na figura) de comprimento s se desenvolve próxima a uma seção de comprimento 2ℓ em uma placa fina submetida a uma tensão uniforme σ.

BKIc

EPDEPT

Aplica¸c˜ao: Ensaio de Tenacidade `a fratura no EPD

• Caracter´ısticas do ensaio

Dessa forma, o critério da Equação 6.13 é observado mesmo para amostras de teste pequenas. Utiliza corpo de prova com entalhe (os tipos mais comuns são SE(B)2, flexural com entalhe em apenas um lado, e C(T), compacto em tração). Calcule o valor condicional KQ correspondente a PQ utilizando as fórmulas tabuladas para a geometria específica da amostra (por exemplo, as Equações 3.64 são utilizadas no caso de amostras C(T)).

Mecˆanica da Fratura Elasto-pl´astica

• COD e CTOD
• Integral J
• Curva R

O procedimento atualmente utilizado envolve a medição de outra grandeza: a abertura da boca da trinca ou COD (“Crack Opening Displacement”,∆). Outro parâmetro importante no MFEP é a chamada "integral J", que foi originalmente introduzida por Eshelby em 1951 em conexão com o estudo de discordâncias e usada independentemente por Cherepanov (1967) e Rice (1968) para investigar a propagação de trincas em materiais dúcteis. Esquematicamente, podemos representar o estado de estabilidade através de um diagrama relacionando G e R ao tamanho da fissura.

Deforma¸c˜ao pl´astica de monocristais

• Tens˜ao de cisalhamento projetada
• Lei de Schmid
• Est´agios da deformac¸˜ao pl´astica de monocristais

A lei de Schmid é estritamente válida apenas para o início da deformação plástica de monocristais. Um aspecto importante relacionado à Figura 7.2 é que a deformação plástica em si não é a causa da rotação. Um único cristal orientado de tal forma que apenas um sistema de deslizamento esteja ativo no início da deformação plástica é denominado orientado por deslizamento único.

Teorias do encruamento

Incrementos macroscópicos de deformação plástica apareceriam, portanto, em uma certa tensão σ, quando a energia elástica local V2Eσa2 seria excedida devido à ação de flutuações térmicas. Desta forma, a teoria de Becker relaciona a deformação plástica ao fluxo viscoso e, portanto, As estruturas de discordância são formadas praticamente instantaneamente, mesmo em taxas de deformação tão baixas quanto 10-6 s-1 (ou seja, independentemente do fluxo de trabalho utilizado).

Microestruturas de deforma¸c˜ao

• Aplicac¸ ˜ao: Equal-Channel Angular Pressing (ECAP)

A estrutura de deformação na fase V corresponde, portanto, a uma estrutura de grão equiaxial (ver seção 7.3.1). A Figura 7.6 mostra esquematicamente a deformação imposta a um tarugo em uma mesa com ângulo interno de 90o após um passe de ECAP. A Figura 7.7 apresenta uma representação esquemática da deformação imposta ao tarugo em função do número de passes e da trajetória selecionada.