2 ELASTICIDADE LINEAR
2.4 Anisotropia el´astica
x1 x2 x3
σ33
II I
δxc2
xI2
Interface c/I
Figura 2.5: Construc¸˜ao esquem´atica do Gedankenexperiment usado na demonstrac¸˜ao do efeito de restric¸˜oes sobre o estado de tens˜oes de componentes espessos.
Se os blocos fosse realmente desconectados, a deformac¸˜ao lateral iria criar, portanto um espac¸o vazio nas interfaces. Isto, entretanto, n˜ao ocorre e o material do bloco I (respectiva- mente, do bloco II) resiste `a contrac¸˜ao lateral da fatia central, fazendo surgir uma restric¸˜ao `a deformac¸˜ao na direc¸˜ao x2. Desta forma justifica-se a afirmac¸˜ao feita no cap´ıtulo anterior de que corpos espessos, carregados em trac¸˜ao, s˜ao caracterizados pela existˆencia de um estado plano de deformac¸˜ao (poisε22 =0) na sua regi˜ao central.
2.4 Anisotropia el´astica
Os casos anteriormente discutidos assumem implicitamente que o material tem proprieda- des isotr´opicas, isto ´e, que as constantes E eν (conforme visto no exerc´ıcio 2.1, G pode ser escrito em func¸˜ao de E eν) n˜ao variam com a direc¸˜ao no interior do material. Isto ´e verdadeiro efetivamente apenas para materiais amorfos e ´e uma boa aproximac¸˜ao para materiais policris- talinos (ou ainda pol´ımeros semi-cristalinos n˜ao orientados) desde que o tamanho de gr˜ao seja pequeno em relac¸˜ao `as dimens˜oes do corpo e na ausˆencia de textura cristalogr´afica. Em todos os outros casos (notadamente em monocristais) as constantes el´asticas variam com a direc¸˜ao e a matriz de flexibilidadeSi jou sua inversa, a matriz de rigidez,Ci j=Si j−1assumem formas mais complexas que as discutidas para materiais isotr´opicos.
Em princ´ıpio as matrizes de rigidez e de flexibilidade podem ter at´e 21 termos distintos
2.4 Anisotropia el´astica 59
entre si (as matrizes s˜ao sim´etricas)2. As estruturas cristalinas, entretanto, se caracterizam por elementos de simetria, que garantem a equivalˆencia de certas direc¸˜oes no espac¸o. Por exemplo, se considerarmos uma estrutura c´ubica, qualquer rotac¸˜ao de 90o em torno de um dos eixos [001], [010] ou [100] produz uma configurac¸˜ao fisicamente equivalente `a de partida. As propriedades el´asticas de um cristal c´ubico, portanto, devem ser sim´etricas perante este tipo de rotac¸˜ao.
Ap´os uma deduc¸˜ao consideravelmente longa (que pode ser encontrada em G. E. Dieter
“Mechanical metallurgy”, 2a ed., McGraw-Hill, 1976) ´e poss´ıvel mostrar que para uma cristal c´ubico a matriz de rigidez tem a forma:
Ci j=
C11 C12 C12 0 0 0 C12 C11 C12 0 0 0 C12 C12 C11 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C44 0
0 0 0 0 0 C44
(2.22)
portanto, contendo uma constante a mais que no caso isotr´opico.
Os termos Ci j da matriz de rigidez s˜ao tamb´em denominados de constantes el´asticas do cristal.
Os termos da matriz de flexibilidade de cristais com simetria c´ubica podem ser obtidos em func¸˜ao dos da matriz de rigidez anterior calculando-se sua inversa:
S11 = (C C11+C12
11−C12)(C11+2C12)
S12= (C −C12
11−C12)(C11+2C12)
S44= C144
(2.23)
2Esta afirmac¸˜ao pode parecer trivial, mas deduz´ı-la a partir de primeiros princ´ıpios ´e uma tarefa complexa.
Muskhelishvili, por exemplo, cita que a deduc¸˜ao correta do n ´umero 21 a partir das interac¸˜oes moleculares foi buscada tanto por Cauchy quanto por Poisson (respectivamente nos s´eculos XVIII e XIX), mas que a soluc¸˜ao definitiva do problema foi dada por Max Born apenas no in´ıcio do s´eculo XX.
2.4 Anisotropia el´astica 60
A forma da matriz de rigidez para o caso de monocristais c´ubicos ´e enganosamente simples.
Cristais menos sim´etricos apresentam maior n´umero de termos e formas que se diferenciam da matriz dos materiais isotr´opicos. Para o caso de cristais monocl´ınicos (estrutura caracter´ıstica de algumas cerˆamicas), por exemplo, ter´ıamos:
Ci j=
C11 C12 C13 0 0 C16 C22 C23 0 0 C26 C33 0 0 C36 C44 C45 0
. .. C55 0
C66
(2.24)
Note que em cristais monocl´ınicos temos constantes el´asticas que relacionam tens˜oes nor- mais a deformac¸˜oes angulares e vice-versa.
Comparando-se a matriz de rigidez de materiais isotr´opicos com a de monocristais c´ubicos e usando a relac¸˜ao entre G, E eν derivada no exerc´ıcio 2.1, vemos que estas teriam formas idˆenticas se a igualdade abaixo for obedecida:
A≡ 2C44
(C11−C12) =1 (2.25)
O parˆametro definido acima serve como uma medida da anisotropia el´astica de um mono- cristal c´ubico e ´e denominado taxa de anisotropia por Chawla e Meyers.
Vemos, portanto, que um monocristal c´ubico que apresente A≈1 ir´a se comportar como uma material macroscopicamente isotr´opico.
Exerc´ıcio 2.3 Mostre que para o caso de cristais monocl´ınicos os eixos principais da tens˜ao n˜ao coincidem com os eixos principais da deformac¸˜ao e vice-versa (Nota: exceto para uma condic¸˜ao muito especial, qual ´e esta condic¸˜ao?)
Soluc¸˜ao
Para provar a primeira asserc¸˜ao escolhemos um estado de deformac¸˜ao correspondente a
2.4 Anisotropia el´astica 61
um referencial de deformac¸˜oes principais, ou seja:
ε1
ε2
ε3
0 0 0
(2.26)
Multiplicamos agora a Matriz 2.26 pela matriz de flexibilidade (Equac¸˜ao 2.24) obtendo:
C11ε1+C12ε2+C13ε3
C12ε1+C22ε2+C23ε3
C13ε1+C23ε2+C33ε3
0 0
C16ε1+C26ε2+C36ε3
(2.27)
Esta soluc¸˜ao apresenta uma componente de cisalhamento (σ6≡σ23), provando que o es- tado de tens˜ao n˜ao corresponde a um referencial de tens˜oes principais. A rec´ıproca ´e verda- deira devido `a linearidade das equac¸˜oes que imp˜oe a unicidade das soluc¸˜oes (ou seja, apenas a soluc¸˜ao calculada neste problema resulta em um estado de deformac¸˜oes no referencial das deformac¸˜oes principais). A condic¸˜ao necess´aria para que os dois referenciais principais coin- cidissem seria C16, C26 e C36 se anularem identicamente, o que ´e improv´avel em se tratando de uma estrutura monocl´ınica (lembre-se que na estrutura monocl´ınica o eixo a3n˜ao ´e ortogonal a a1e a2por definic¸˜ao).
Propriedades el´asticas de monocristais
Com base nas constantes el´asticas ´e poss´ıvel calcular os m´odulos de rigidez, Ehkl, e de cisalhamento Ghkl, efetivos para um monocristal c´ubico carregado ao longo de uma direc¸˜ao [hkl]:
1
Ehkl = S11−2 S11−S12−12S44
ℓ[hkl] (2.28)
1
Ghkl = S44+4 S11−S12−12S44 ℓ[hkl]
2.5 Equac¸˜oes b´asicas da elasticidade nos estados planos e a func¸ ˜ao tens˜ao 62
com
ℓ[hkl]≡cos2(θ1hkl)cos2(θ2hkl) +cos2(θ2hkl)cos2(θ3hkl) +cos2(θ1hkl)cos2(θ3hkl) (2.29) Onde cos(θnhkl) ´e o cosseno diretor da direc¸˜ao [hkl]em relac¸˜ao ao eixo an e que pode ser calculado pela f´ormula gen´erica, usando[uvw]=[100],[010]e[001]:
cos(θuvwhkl) = hu+kv+lw
(h2+k2+l2)12(u2+v2+w2)12
(2.30)
Materiais ortotr´opicos
Uma classe importante de materiais ´e caracterizada por trˆes planos de simetria el´asticos mu- tuamente perpendiculares. Estes materiais s˜ao denominados ortotr´opicos e s˜ao caracterizados por matrizes de rigidez (ou de flexibilidade) do tipo:
C11 C12 C13 0 0 0 C22 C23 0 0 0
C33 0 0 0
C44 0 0
··· C55 0 C66
(2.31)
Exemplos de materiais ortotr´opicos s˜ao: madeira, compensado, compositos de matriz po- lim´erica com reforc¸o por fibras cont´ınuas e chapas met´alicas com alto grau de textura crista- logr´afica.