SOLVABILIDADE DE SOLUÇÕES VIA

Minha querida mãe, Raimunda Duarte Portugal, por ser aquela mãe dedicada que sempre me incentivou a continuar meus estudos e por ser minha amiga e protetora, que Deus a abençoe. Aos meus irmãos João Batista, Débora, Edson, Ednalva, Elias, Eliana, Eunice, Enoque e Eliseu pelo apoio e que Deus abençoe a todos. Renato Fabricio Costa Lobato por apoiar e orientar este meu trabalho, que Deus o abençoe e guie todos os seus passos.

Aos professores deste campus, que contribuíram e me ajudaram a chegar até aqui, que Deus abençoe a todos. Aos meus grandes amigos, irmãos e colegas de faculdade, Jhonata, Francielton, Leonardo, Francenildo, Diogo, Diego, Ivaldo, Rivaldo, Eliel, Erenilson, Edilson e Gizon com quem me identifiquei e criei boas amizades, por serem meus parceiros e por me ajudando quando precisei, que Deus te abençoe. Minhas amigas e colegas Kellen, Ivana, Nilda, Ana Carla, Caroline, Viviane e Riviane, com quem me identifiquei e que sempre me ajudaram, que Deus as abençoe.

Aos meus amigos e colegas de pesquisa Rosenild e Wilson, com quem sempre pude discutir as questões complexas deste trabalho, que Deus os abençoe. Aos colegas e amigos que conheci neste campus, Nadiane, Luiza, Mayane, Wanderson, Giovanni, Amanda, Carla, Marlucia e Layandra, que Deus abençoe a todos.

Breve Relato Histórico

Existência e Unicidade de Soluções

Preliminares

Por esta razão, diz-se que a equação diferencial "vetorial" (1.1) é equivalente ao sistema de equações diferenciais escalares. Esses exemplos ilustram o fato de que as equações diferenciais geralmente têm um número infinito de soluções. Solução: Proceda como no exemplo anterior (que é o caso especial onde g(t)≡1), se ϕ for uma solução de (1.9), obtemos:.

Problema de Cauchy

O problema que se coloca, primeiramente, é procurar condições gerais no mapf, para que (1.12) tenha pelo menos uma solução. Formulado corretamente, o problema de Cauchy consiste no dado (t0, x0)∈Ω, demonstrando a existência de x=ϕ(t), com um gráfico contido em Ω tal que. Em geral, a métrica do subespaço é denotada da mesma forma que a métrica eM, ou seja, d1 =d.

Exemplos de Espaços Métricos

Um espaço vetorial emR é um conjunto E no qual são definidas duas leis de composição, uma interna. No que diz respeito à adição de funções e à multiplicação de uma função por um escalar (número real), naturalmente definido como no exemplo anterior, ζ[a, b] é um espaço vetorial sobre R.

Bolas Abertas

Propriedades Básicas das Bolas Abertas

Sequências em Espaços Métricos

Sequências - Limite de uma Sequência

Se uma série de (xn) pontos em um espaço M converge para p∈M, então toda subsérie de (xn) também converge para p.

Sequências em R

Topologia dos Espaços Métricos

Continuidade

Funções Uniformemente Contínuas

Intuitivamente, isso significa que dois valores de f correspondentes a dois pontos de M que estão “suficientemente próximos” um do outro são “arbitrariamente próximos”.

Conjuntos Compactos

• Compacidade
• Continuidade e Compacidade
• Compacidade e Continuidade Uniforme
• Abertos e compacidade

Se K é finito e (x1, x2, ..) é uma sequência de pontos de K, então existe um termoxr tal que (xr, xr, ..) é uma subsequência da sequência dada. Mas se considerarmos uma sequência (x1, x2, ..) em M tal que xi 6= xj, quando i 6= j, nenhuma subsérie de(xn) converge, pois, como já vimos, as sequências convergentes neste caso são os estacionários. Se f não fosse uniformemente contínua, para algum0 >0e para todo k∈N∗, haveria elementos xk, yk∈M tais que.

Seja M um espaço métrico e seja A um subconjunto de M. Uma cobertura aberta de A é uma família F = (Gi) de subconjuntos abertos de M tais que[. Se para cada cobertura aberta de A existe uma subcobertura finita de A, dizemos que para este subconjunto a propriedade (ou a condição de Heine-Borel) é válida. Nosso objetivo nesta subseção é mostrar que num espaço métrico a condição de Heine-Borel é equivalente à compacidade.

Dizer que para um espaço métrico (M, d) a condição de Heine-Borel é válida é dizer que para o conjuntoM esta condição é válida. Seja M um espaço métrico que satisfaça a condição de Heine-Borel e consideremos uma sequência(xn) de pontos de M. Quando isso acontece existe pelo menos um elemento xr ∈ A tal que (xr, xr, ..) é um substring de (xn); à medida que esta sequência converge, o teorema é provado neste caso.

Dada uma cobertura aberta F = (Gj)A, então F1 = (Gi∪Ac) é uma cobertura aberta M(já que Ac é aberta) e portanto existem índices1, .., tais que. Portanto, Gi1∪..∪Gin ⊃A e portanto a suposição de que A0 =∅ nos leva à conclusão de que A também deve satisfazer a condição de Heine-Borel. Se F = (Gi) é uma cobertura aberta M, então existe um número real > 0 tal que para todo x ∈M e para um Gr deF adequado a inclusão B(x, )⊂Gr é válida.

Supondo que esta afirmação seja falsa, para cada >0 existe x∈M tal que B(x, )*Gi vale para qualquer índice i.

Conjuntos Conexos

Conexidade

Mostremos agora que o espaço {0,1} lido no exemplo 22 acima não está apenas desconectado, como vimos, mas também representa de certa forma todos os espaços desconectados. Um espaço M é conectado se e somente se as únicas funções contínuas de M em {0,1} são as constantes. Seja M um espaço métrico tal que, para qualquer p, q ∈M, existe um subconjunto conectado A⊂M tal que p, q ∈A.

Conexos em R e Conexidade no R n

Espaços Métricos completos

Obtemos assim uma condição para os termos da série em que o limite p desta série não intervém. Intuitivamente, esta condição significa que as distâncias entre os termos da série tornam-se arbitrariamente pequenas, para índices suficientemente grandes. Então há uma bola aberta centrada no vetor zero contendo todos os termos da série.

Se d e d0 são métricas uniformemente equivalentes em M, então as sequências de Cauchy de (M, d) e (M, d0) são iguais. Se M e N são espaços métricos, para que uma sequência ((xn, yn)) de pontos em M×N seja uma sequência de Cauchy neste espaço, é necessário e suficiente que (xn) e (yn) sejam sequências de Cauchy em M e N respectivamente.

Teorema do Ponto fixo de Banach

Aplicação as Equações Diferênciais Ordinárias

Agora aprofundando o estudo dos espaços métricos completos, aplicaremos os resultados anteriores para demonstrar a existência (ver apêndice A) e a unicidade da solução do problema de Cauchy visto no capítulo 1. Diz-se que f é localmente lipschitziano em relação a x , uniformemente em relação a t , em um Ω aberto, quando todo ponto de Ω tem uma vizinhança na qual f é lipschitziano em relação a x, uniformemente em relação a at.

Mitio Nagumo

Ele também publicou cinco artigos sobre problemas de equações diferenciais ordinárias durante seus anos escolares. Naquela época, não só a matemática, mas também muitas ciências no Japão foram profundamente influenciadas pela Alemanha, e os seus primeiros trabalhos foram escritos em alemão. Depois de se formar na Universidade Imperial de Tóquio, ele continuou sua pesquisa na universidade como estudante de pós-graduação, escrevendo três artigos conjuntos com o professor Masuo Hukuhara sobre a estabilidade de soluções de equações diferenciais ordinárias.

Naquela época, os seminários na Escola Nagumo eram geralmente abertos com conversas com o Professor Nagumo, e todos os participantes gostaram muito dessas ocasiões. O Professor Nagumo teve grande prazer em ter uma atmosfera em que os jovens estudantes de matemática pudessem escolher livremente as suas disciplinas e discutir livremente uns com os outros. Como afirmado anteriormente, nos primeiros dias do Professor Nagumo, os seus trabalhos, com exceção de alguns trabalhos conjuntos, eram escritos em alemão.

Após este período, todos os seus trabalhos, exceto alguns trabalhos conjuntos em francês, foram publicados em inglês. Depois de se aposentar da Universidade de Osaka, o Professor Nagumo foi transferido para a Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Sophia, em Tóquio. Ele escreveu dois artigos conjuntos sobre os problemas de Cauchy com seu aluno nesta universidade.

Aposentou-se da Universidade Sophia aos 70 anos, vivendo tranquilamente em Koganei, Tóquio, onde gostava de pintura a óleo e matemática. O professor Nagumo faleceu em 6 de fevereiro de 1995, aos 89 anos, deixando vários trabalhos que influenciaram muitos matemáticos da área de equações diferenciais.

William Fogg Osgood

O Teorema de Nagumo

O Teorema de Osgood

Neste trabalho tivemos a oportunidade de estudar um pouco da teoria clássica das equações diferenciais ordinárias, focando nas condições de unicidade da solução do problema x0 = f(t, x), na qual podemos ver contribuições de matemáticos Willian Foog Osgood e Mitio Nagumo e conheça um pouco de sua história. Ao realizar um estudo qualitativo de soluções para o problema de Cauchy, fica claro que em qualquer problema, a existência e a unicidade da solução devem satisfazer as condições que lhe são impostas, fazendo com que questões como o conceito de solução que se assume em cada problema possam ser resolvido. e o mais importante, quais outras propriedades satisfazem esta solução dentro do domínio e na fronteira. Produzir este trabalho foi desafiador, pois não tive a oportunidade de estudar esse tema durante a graduação e, como em qualquer trabalho, enfrentei diversas dificuldades, o que me fez amadurecer e perceber que o trabalho de um pesquisador não é apenas desafiador, pode ser agradável e por isso ganhei experiência.

Para os interessados, esperamos que este trabalho contribua para outras pessoas que desejam estudar esta teoria, e se aprofundar na história e nos teoremas desses renomados matemáticos. Intuitivamente, isso pode ser interpretado da seguinte forma: R é a extensão de Q obtida adicionando a este campo os limites das sequências racionais de Cauchy que não pertencem a ele. Se existe um subconjunto não vazio A ⊂ M tal que Ab= M e toda sequência de Cauchy de pontos de A converge para M, então M é completo.

Teo. de Exist. de Solução de uma EDO de 1 o Ordem

Segue-se que a coleção de funções previamente definida torna-se um espaço métrico completo, que representaremos por C∗(Ir). Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que toda integral que possui intervalo degenerado tem valor igual a zero, ou seja. Portanto, se tomarmos r tal que kr < 1, concluímos que T é uma contração, ou seja, de acordo com o Teorema 1, tem um único ponto fixo, o que significa que existe uma função única x = x(t) em C ∗(Ir) tal que é T x=x, ou seja, aquilo.

Para eliminar a condição kr <1, ​​provaremos que a aplicação T definida por (A.1) satisfaz as condições do teorema 2, ou seja. existe um número natural n tal que Tn é uma contração. O que implica que Tn é uma contração em C∗(Ir), aplicando o Teorema 2 segue-se que T tem um único ponto fixo. Como f é contínua e localmente Lipschitziana em Ω, existe uma vizinhança V de (t0, x0) na qual f é limitada e uniformemente Lipschitziana.

Para verificar que T é uma contração, seguimos um método análogo à prova do Teorema 6. Portanto, tomando l0 tal que Kl0 < 1, encontramos um intervalo centrado em x0 onde está definida a solução do problema. Podemos eliminar a hipótese Kl0 < 1 provando que existe um número natural tal que Tn é uma contração.