MAT-315 - Introdu¸c˜ao `a An´alise (Real)
Licenciatura Noturno - 2009
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aLista de exerc´ıcios
Ainda Sequˆencias
1. Sejam (an)n e(bn)n duas sequˆencias tais que an ≤ bn para todon ∈ N. Prove que se an → +∞ ent˜aobn → +∞. Mostre tamb´em que se bn → −∞ ent˜aoan → −∞.
Mostre que nada se pode concluir sebn →+∞ou se an → −∞.
2. Se an → +∞, mostre que bn = a1
n → 0. Se an → 0, o que se pode dizer sobre bn = a1
n? Muito cuidado nessa hora!!!
3. Mostre que toda subsequˆencia de uma sequˆencia limitada ´e tamb´em limitada.
4. Exiba uma sequˆencia de termos distintos que possua uma subsequˆencia convergindo para 1 e outra convergindo para -2.
5. Prove que toda sequˆencia de Cauchy ´e limitada.
6. Mostre que se uma sequˆencia de Cauchy possui uma subsequˆencia convergente, ent˜ao ´e convergente. Mostre que o mesmo n˜ao vale para sequˆencias que n˜ao s˜ao de Cauchy.
