XXXI Congresso de Iniciação Científica
Diagramas de bifurcações e espaços de parâmetros no mapa logistic- like perturbado
Lucas Gasparini, Edson D. Leonel, Juliano Antônio de Oliveira, Campus de São João da Boa Vista, São João da Boa Vista, Engenharia de Telecomunicações, luquinhagasparini98@gmail.com, PROPe/PIBIC/CNPq (148537/2018-9).
Palavras Chave: mapa logistico, caos e expoente de Lyapunov.
Introdução
Os sistemas dinâmicos são descritos por mapeamentos que dependem de um ou mais parâmetros de controle. O sistema pode apresentar comportamentos diferentes se os parâmetros forem alterados. O diagrama de bifurcações descreve matematicamente o comportamento da dinâmica de modo que a estabilidade e o caos pode ser observados.
Objetivo
Os objetivos são construir o diagrama de bifurcações usando simulações numéricas para ilustrar o comportamento dinâmico do sistema, considerar perturbações pequenas para identificar os comportamentos diferentes, utilizar os expoentes de Lyapunov para caracterizar o caos e criar um espaço de parâmetros para analisar as órbitas periódicas e o comportamento caótico.
Material e Métodos
O mapeamento unidimensional investigado é o logistic-like com parâmetro de controle periódico definido como
𝑥𝑥𝑛𝑛+1=𝑅𝑅(1 +𝜖𝜖cos(𝑛𝑛𝑛𝑛))𝑥𝑥𝑛𝑛(1− 𝑥𝑥𝑛𝑛𝛾𝛾) (1) Onde R, γ, e є são parâmetros de controle.
Consideramos R є [0,4] e variamos os parâmetros e as condições iniciais para analisar o comportamento do sistema. Além disso, determinamos os expoentes de Lyapunov para caracterizar o caos.
Resultados e Discussão
Com o mapeamento descrito em (1), os parâmetros escolhidos foram 𝑥𝑥0= 0,1 ambos com 𝛾𝛾= 1 e 𝜖𝜖= 0,02. A simulação numérica foi realizada e o diagrama está descrito na figura 1.
Figura 1. Diagrama de bifurcações.
Figura 2. Espaço de parâmetros
A figura 1 mostra a evolução do mapeamento que define a mudança na bacia de atração para 𝑥𝑥0= 0,6 e sem mudança de bacia para 𝑥𝑥0= 0,1.
O espaço de parâmetros é uma relação dos parâmetros da equação (1) com os expoentes de Lyapunov obtidos. A figura mostra as órbitas caóticas (regiões de cores amarelas) e as órbitas periódicas (cores branca e preto). As rotas cujo o valor do expoente de Lyapunov é maior que -2 (cor branca) são denominadas rotas superestáveis, local onde o período é perfeitamente definido
Os resultados foram satisfatórios para que seja possível a continuidade e abrangência da pesquisa.
Conclusões
Resumindo, neste trabalho foram realizadas mudanças nos parâmetros em busca de analisar o comportamento de sistema e verificar semelhanças com artigos já publicados [1], caracterizar o caos de acordo com os expoentes de Lyapunov e espaços de parâmetros construídos. A escolha para o estudo deste mapa se dá pelo fato que podemos encontrar aplicações em diferentes áreas de pesquisa, tais como: crescimentos populacionais, economia, sistemas de comunicação, redes neurais entre outros.
Agradecimentos
LG agradece ao CNPq e JAO agradece (303242, 421254, 311105) CNPq e 14685-9 Fapesp pelo fomento à pesquisa da Universidade Estadual Paulista ( UNESP - São João da Boa Vista).
1E. D. Leonel. Transients in a time-dependentlogistic map. PhysicaA, 295 (2001) 280- 284.
