Prescrição de singularidades analíticas de soluções de uma classe de campos vetoriais...

soluções de uma classe de campos vetoriais

no toro

Prescrição de singularidades analíticas de

soluções de uma classe de campos

vetoriais no toro

Andreza Cristina Beezão

Orientador: _{Prof. Dr. Sérgio Luís Zani}

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática.

VERSÃO REVISADA.

USP – São Carlos Maio/2011

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

B414p

Beezão, Andreza Cristina

Prescrição de singularidades analíticas de soluções de uma classe de campos vetoriais no toro / Andreza Cristina Beezão; orientador Sérgio Luís Zani -- São Carlos, 2011.

79 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2011.

- N~ao sei. Um pouco.

Sohrab deu de ombros e voltou a sorrir, desta vez era um sorriso mais largo.

-N~ao tem import^ancia. Posso esperar. E que nem mac~a acida. - Mac~a acida?

- Um dia, quando eu era bem pequenininho mesmo, trepei em uma arvore e comi uma daquelas mac~as verdes, acidas. Minha barriga inchou e cou dura feito um tambor. Doeu a beca. A m~ae disse que, se eu tivesse esperado as mac~as amadurecerem, n~ao teria cado doente. Agora, quando quero alguma coisa de verdade tento lembrar do que ela disse sobre as mac~as.

O Cacador de Pipas - Khaled Hosseini

Que o breve

seja de um longo pensar. Que o longo

seja de um curto sentir. Que tudo seja leve

de tal forma que o tempo nunca leve.

A Deus, pela vida, por ser meu refugio e por me ensinar a ter fe.

Aos meus amados pais, Pedro e Zilda, aos meus irm~aos, Adriana e Adilson, ao meu cunhado, Rogerio e a minha sobrinha, Gabriela, pelo amor constante, pela educac~ao, pela conanca, pelo exemplo de pessoas ntegras que s~ao, pela dedicac~ao e pelo esforco para a concretizac~ao deste sonho e, entre muitas outras coisas, pelo incentivo e pela compreens~ao - algumas vezes silenciosos e mesmo assim t~ao fortes - que tanto me impulsionaram, em todos os momentos e fases da minha vida. Aos meus padrinhos, Ludovico e Marli, Osvaldo (in memoriam) e Nilce e ao Pe. Marcio, pelo carinho, pelos conselhos t~ao valiosos e por se fazerem sempre presentes, de alguma forma. Sem voc^es, \a vida e um patio vazio".

Aos meus queridos amigos Adriana Philippsen, Carlos Siqueira, Gisele Philippsen, Nelson Silva, Rafael Gonzalez, Vinicius Laass e Willian Oliveira, pelo afeto, pelas alegrias, pelas conversas - monologos meus, na maioria das vezes! -, pelo aprendizado e por serem uma extens~ao da minha famlia. Agradeco tambem aos meus colegas e amigos, essenciais, Alex Rezende, Ananda Siani, Ana Braguini, Ana Padovez, Apoen~a Passamani, Cleiton Silva, Flavio Pires, Greciane Buosi, Guilherme Pimentel, Henry Gullo, Jose Luiz Fonseca, Larissa Braguini, Letcia Curti, Marcos Cascone, Northon Canevari, Renato Fehlberg, Thas Dalbelo e Thas Maciel, pelo carinho e pela companhia maravilhosa. \Os amigos s~ao a famlia que nos permitem escolher".

Ao professor Sergio Lus Zani, pela disponibilidade revelada ao longo destes tr^es anos, entre Iniciac~ao Cientca e Mestrado, e pela compet^encia e serenidade que dedicou na orientac~ao e preparac~ao deste trabalho.

A todos meus mestres, da pre-escola a pos-graduac~ao, que alem do conhe-cimento, me deixaram lic~oes para a vida e inspirac~ao prossional e pessoal; em especial, cito Denise de Mattos, Durval Pereira Filho, Evany Brasil (in memoriam) e Irene Onnis.

Ao ICMC, pela infraestrutura e pela excel^encia dos seus cursos de graduac~ao e pos-graduac~ao, por me possibilitar uma formac~ao solida e contribuir para o meu aperfeicoamento acad^emico e prossional.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientco e Tecnologico (CNPq), pelo apoio nanceiro.

Seja L=. ∂t+ (a(t) +ib(t))∂xum operador diferencial parcial agindo em

dis-tribuic~oes denidas no toro bidimensional T2, onde a, b : T1 _→ R s~ao func~oes analticas reais. Suponhamos que L n~ao e globalmente analtico hipoeltico e b n~ao e uma func~ao identicamente nula.

Let L =. ∂t+ (a(t) + ib(t))∂x be a partial dierential operator acting on

distributions on the two-torus T2, where a, b : T1 _→ R are real analytic func-tions. Assume that L is not a globally analytic hypoelliptic operator and b is not identically zero.

Dizemos que um operador diferencial parcial L e globalmente analtico hipoeltico (GAH) no toro T2 quando as condic~oes u_∈D′₍

T2) e Lu_∈Cω_(T2₎

implicarem queu_∈Cω_(T2_{), e entendemos por uma soluc~ao singular de L uma}

distribuic~ao n~ao-analtica u_∈D′_(T2_{) tal que Lu∈C}ω_(T2_).

ConsideremosL=. ∂t+(a(t)+ib(t))∂xum operador diferencial parcial agindo

no espaco D′_(T2_{) das distribuic~oes denidas no toro bidimensional T}2_{, onde}

a, b:T1

→Rs~ao func~oes analticas reais. A hipoeliticidade analtica global deL foi completamente estudada em [4], sendo apresentada uma condic~ao necessaria e suciente para que este operador do tipo tubo seja GAH. Em particular, provou-se que se b_6≡0, ent~ao L eGAH se, e somente se, a func~ao b n~ao muda de sinal, ou equivalentemente, nenhuma primitiva de b denida em R possui extremo local. O metodo aplicado em [4] n~ao fornece todas as soluc~oes singulares de L. Vejamos duas situac~oes. Seja B uma primitiva de b em R e suponhamos que a origem seja um ponto de mnimo local deB.Se t1, t2∈(0, 2π)s~ao pontos

de maximo local de B|[0,2π] tais que B(t1) < B(t2), ent~ao a soluc~ao singular

obtida em [4] e analtica real em t = t1. Similarmente, se t1, t2 ∈ (0, 2π) s~ao

pontos de maximo global de B|[0,2π], ent~ao a soluc~ao singular obtida em [4] n~ao

e analtica real em ambos os pontos (t1, 0) and (t2, 0).

Notemos que segue de [14] e [6] que se t _∈ T1 n~ao e um extremo local de uma primitiva real B de b, ent~ao toda u _{∈ D}′_(T2_{) satisfazendo Lu}

∈ Cω(T2)

disso, dadosτ_∈Σe F_⊂T1 um subconjunto fechado, existeu_∈D′₍

T2)tal que

Lu_∈Cω_(T2_{) e SS}

A(u) = {τ}×F.

No Captulo1,deniremos o espaco das func~oes testesT- periodicas,P_T(Rn_),

e o espaco das distribuic~oes T-periodicas, P′

T(Rn). Mostraremos que existe um

homeomorsmo linear entre P′

T(Rn) e um subespaco vetorial e topologico das

distribuic~oes usuais, a saber, D′

T(Rn) = {u ∈ D

′_(Rn_{) ; u = u}

Tm ,∀m ∈ Zn}.

Observaremos que P′

T(Rn) admite uma estrutura algebrica, quando munido

das operac~oes T- convoluc~ao e adic~ao. Por m, enunciaremos o Metodo da fase estacionaria, muito util na demonstrac~ao principal desta dissertac~ao.

No Captulo 2, estudaremos parte da teoria das series parciais de Fourier. Veremos que os espacos P_T(Rn_{) e P}′

T(Rn) s~ao caracterizados atraves do

com-portamento assintotico dos coecientes parciais de Fourier dos seus respectivos elementos.

No Captulo 3, apresentaremos a denic~ao de uma func~ao analtica real de varias variaveis e algumas propriedades, com o proposito de caracterizarmos, quando periodicas, tais func~oes por meio do decrescimento exponencial e uni-forme dos seus coecientes parciais de Fourier.

1 Preliminares. . . 1

1.1 Denic~oes e Notac~oes . . . 1

1.2 Func~oes Testes Periodicas . . . 3

1.3 Distribuic~oes Periodicas . . . 7

1.3.1 Operac~oes com Distribuic~oes Periodicas . . . 14

1.4 A algebra (P′ T(Rn),+,∗) . . . 18

1.5 O Metodo da Fase Estacionaria . . . 21

1.6 Converg^encia em Subconjuntos Compactos de C . . . 22

2 S´eries de Fourier. . . 25

2.1 Serie de Fourier em P_T(Rn₎. . . 25

2.2 Serie de Fourier em P′ T(Rn). . . 29

2.3 Serie Parcial de Fourier em P_T(Rn_{). . . . 35}

2.4 Serie Parcial de Fourier em P′ T(Rn). . . 42

3 Fun¸c˜oes Anal´ıticas Reais em Rn . . . 47

3.1 Serie de Pot^encias de Varias Variaveis . . . 47

3.2 Func~oes Analticas Reais . . . 49

4 Prescrevendo Singularidades Anal´ıticas de Solu¸c˜oes de L = ∂t+c(t)∂x. . . 55

4.1 Resultados Fundamentais . . . 56

4.2 Demonstrac~ao do Teorema Principal . . . 68

4.2.1 O caso b06=0 . . . 68

4.2.2 O caso b0=0 . . . 77

Referˆencias . . . 81

Preliminares

Neste captulo, deniremos o espaco das func~oes testes periodicas, P_T(Rn_),

e o espaco P′

T(Rn) das distribuic~oes periodicas, isto e, funcionais lineares

contnuos denidos em P_T(Rn_{). Veremos, tambem, propriedades resultantes}

da introduc~ao de noc~oes de converg^encia nesses espacos. Mostraremos um teorema que permite enxergarmos P′

T(Rn) como um

sub-espaco vetorial e topologico das distribuic~oes usuais, a saber, D′

T(Rn) = {u ∈

D′_(Rn_{) ; u = u}

Tm ,∀m ∈ Zn}. Alem disso, observaremos que PT′(Rn) admite

uma estrutura algebrica, quando munido das operac~oesT- convoluc~ao e adic~ao. Por m, enunciaremos o Metodo da Fase estacionaria e resultados acerca da converg^encia em subconjuntos compactos de C, necessarios nas demonstrac~oes dos Teoremas 4.15 e 3.6, respectivamente.

Os estudos que originaram este texto foram realizados de acordo a bibliogra-a, por isso omitiremos algumas denic~oes e demonstrac~oes com o objetivo de tornar o texto mais sucinto.

1.1

Defini¸

c˜

oes e Nota¸

c˜

oes

Defini¸c˜ao 1.1 Seja N = {0, 1, 2, . . .}. Dizemos que α e um multi-ndice quando α_∈Nn.

Defini¸c˜ao 1.2 Sejam α= (α1, . . . , αn)∈Nn e x= (x1, . . . , xn) ∈Rn.

Deni-mos

α! =α1!α2!· · ·αn!

|α|=α1+α2+· · ·+αn

xα=xα1

1 x α2

2 · · ·x αn

n

(x)α= n

Y

j=1

(xj)αj =

n

Y

j=1

(xj(xj−1)· · ·(x−αj+1))

∂α= ∂

α

∂xα =

∂α1

∂xα1

1

∂α2

∂xα2

2

· · · ∂

αn

∂xαn

n

Dα= 1

i|α| ∂α

∂xα. Defini¸c˜ao 1.3 Seja

C∞

c (R

n₎₌. ­_φ:

Rn_→C; φ_∈C∞_(Rn_{) e φ tem suporte compacto}®_,

em que o suporte de φ, denotado por S(φ) , e o fecho do conjunto {x _∈ Rn;φ(x)₆=0}.

Defini¸c˜ao 1.4 Seja (φn)n∈N uma sequ^encia de func~oes em C∞_c (Rn). Dize-mos que φn→0 em C∞c (Rn) quando

i) existe um compacto K_⊂Rn _{tal que S(φ}

n)⊆K, para todo n∈N;

ii) Dα_φ

n converge uniformemente a zero quando n → ∞, para todo

α_∈Nn.

Defini¸c˜ao 1.5 Seja u:C∞

c (Rn)→C um funcional linear. Dizemos que u e

contnuo quando φn→0 em C∞c (Rn) implica que hu, φni→0 em C.

Denotamos por

D′_(Rn₎₌. ­_u:C∞

c (R n₎

→C; ue linear e contnuo® o espaco das distribuic~oes usuais em Rn.

Defini¸c˜ao 1.6 Dada u _∈ D′_{(Ω), onde Ω}

⊂ Rn _{e um subconjunto aberto,}

o suporte singular de u, denotado por SS(u), e a intersec~ao de todos os subconjuntos fechados de Ω fora dos quais u_∈C∞_, isto e,

SS(u) ={V _⊂Ω; u_∈D′_{(V)\C∞(V)}.}

Quando dizemos que u _∈ C∞_{(U), U ⊂ Ω} um subconjunto aberto, nos referimos ao fato de u coincidir com uma func~ao f _∈ C∞_(U) no seguinte sentido:

hu, θ_i=_hf, θ_i=

Z

U

fθ,

para toda θ_∈C∞

1.2

Fun¸

c˜

oes Testes Peri´

odicas

Defini¸c˜ao 1.7 Sejam T > 0 e m = (m1, . . . , mn)∈Zn. Denimos

P_T(Rn₎₌. ­_θ∈C∞_(Rn_{); θ(x) =θ(x−Tm),}

∀x_∈Rn,_∀m_∈Zn®

o espaco (vetorial) das func~oes testes periodicas.

Defini¸c˜ao 1.8 Dizemos que uma sequ^encia (θj)j∈N, θj ∈ PT(Rn), converge

em P_T(Rn_{), se existir θ ∈ P}

T(Rn) tal que Dαθj converge uniformemente

para Dαθ em Rn, para todo α_∈Nn.

Observemos que P_T(Rn_{)e um espaco metrizavel, atraves da metrica}

d(θ, φ) =

∞ X

k=0

pk(θ−φ)

2k_(1+p

k(θ−φ))

,

sendo

pk(θ) =sup

©

|Dαθ(x)|; x_∈Rn,|α|_≤kª

e uma seminorma.

Teorema 1.9 Seja (θj)j∈N uma sequ^encia em PT(Rn). Ent~ao θj converge

para θ em P_T(Rn_{) se, e somente se, p}

k(θj−θ) → 0 quando j → ∞, para

todo k_∈N.

Demonstrac~ao: Supondo que θj→θ em PT(Rn), para k∈ N xado e dado

ε > 0, existej0> 0 tal que, se j≥j0 e x ∈Rn, obtemos

|Dαθj(x) −Dαθ(x)|< ε,

para todo |α|_≤k. Segue ent~ao que, se j_≥j0,

pk(θj−θ) = sup

x∈Rn |α|≤k

|Dαθj(x) −Dαθ(x)|≤ε.

Por outro lado, se pk(θj−θ) → 0 quando j → ∞, ent~ao para cada α ∈ Nn

tal que |α|_≤k, segue que

sup

x∈Rn

|Dαθj(x) −Dαθ(x)|≤ sup

x∈Rn

|β|≤k

Dada φ _∈ C∞

c (Rn), notemos que a serie θ(x) =

X

m∈Zn

φ(x −Tm) esta bem

denida, pois como φ tem suporte compacto, em cada ponto do seu domnio, θ sera uma soma nita. De fato, existe uma constante C > 0 tal que φ(x) =0, para todo x _∈ Rn satisfazendo |x| _≥ C. Dessa forma, sendo x _∈ Rn tal que |x|_≤a, para alguma > 0, segue que

φ(x−Tm)₆=0_⇒|x−Tm|< C_⇒|xi−Tmi|< C, i∈{1, . . . , n}⇒

−C < Tmi−xi< C, i∈{1, . . . , n}.

Como −a_≤xi≤a, ent~ao−C−a≤−C+xi< Tmi< C+a, i∈{1, . . . , n}.

Assim, |mi| ≤ (C + a)T−1 para todo i ∈ {1, . . . , n}, portanto |m| ≤

n(C+a)T−1. Como ha apenas um numero nito de n-uplas m _∈ Zn satis-fazendo essa ultima condic~ao, podemos escrever

θ(x) =φ(x−Tm1) +· · ·+φ(x−Tmk),

para algumk=k(a)_∈Nconveniente e para todo x tal que |x|_≤a.

Proposi¸c˜ao 1.10 Para cada φ_∈C∞

c (Rn), denamos

θ(x) = X

m∈Zn

φ(x−Tm).

Ent~ao θ_∈P_T(Rn_).

Demonstrac~ao: Conforme observamos acima, θ esta bem denida. Mostremos, agora, que θ_∈P_T(Rn_).

Tomando m_∈Zn, obtemos

θ(x−Tm) = X

k∈Zn

φ(x−Tm−Tk) = X

k∈Zn

φ(x−T(m+k)) =

= X

l∈Zn

φ(x−Tl) = θ(x).

Alem disso, dado x0∈Rntal que |x0|< a, para algum a > 0, temos

θ(x) =φ(x−Tm1) +· · ·+φ(x−Tmk), |x|< a,

donde segue que θe innitamente diferenciavel em x0 e

Portanto, podemos escrever

Dαθ(x) = X

m∈Zn

Dα(x−Tm)

e concluirmos queθ_∈P_T(Rn_).

¤

Proposi¸c˜ao 1.11 Seja (φj)j∈N, φj∈C∞c (Rn), tal que φj converge para φ em

C∞

c (Rn). Ent~ao a sequ^encia (θj)j∈N, onde θj(x) =

X

m∈Zn

φj(x−Tm)∈PT(Rn),

converge para θ(x) = X

m∈Zn

φ(x−Tm) em P_T(Rn_).

Demonstrac~ao: Sabemos queDα_φ

jconverge uniformemente paraDαφ,para

todo α_∈Nn, e que existe a > 0 tal que S(φj)⊂B[0, a], para todo j∈N.

Sejam α_∈Nne ε > 0. ComoDα(φj−φ)∈C∞c (Rn), existe uma quantidade

nita de inteirosm1, . . . , mkl tais que, para x ∈[0, T]

n_{, temos}

X

m∈Zn

Dα(φj−φ)(x−Tm) =Dα(φj−φ)(x−Tm1) +· · ·+Dα(φj−φ)(x−Tmkl).

Mas φj(x) =0 se x /∈B[0, a], para todo j∈N.

Assim, se φj(x−Tm)6=0, ent~ao |x−Tm|≤a e isto implica que

xi−a≤Tmi≤a+xi.

Como x _∈ [0, T]n_{, segue que −a−T}

≤ −a _≤ Tmi e xi ≤ a+T, logo

|mi|≤ a_T +1.

Uma vez que a independe de j _∈ N, conclumos que so existe um numero nito, digamos k, de ndices m _∈ Zn satisfazendo φj(x−Tm) 6= 0, para todo

j_∈N. Dessa forma, podemos escrever

X

m∈Zn

Dα(φj−φ)(x−Tm) =Dα(φj−φ)(x−Tm1) +· · ·

· · ·+Dα(φj−φ)(x−Tmk),

para todo j_∈N e todo x_∈[0, T]n_.

Como Dαφj converge para Dαφ uniformemente, existe j0 ∈N tal que j≥j0

implica que

sup

x∈Rn

|Dαφj(x) −Dαφ(x)|≤

Portanto, se j_≥j0 e x∈[0, T]n, ent~ao

|Dαθj(x) −Dαθ(x)|=|Dα(θj−θ)(x)|= ¯ ¯

¯Dα³ X

m∈Zn

(φj−φ)(x−Tm)´¯¯¯=

=¯¯_¯ X

m∈Zn

Dα(φj−φ)(x−Tm) ¯ ¯

¯=|Dα(φj−φ)(x−Tm1)+· · ·+Dα(φj−φ)(x−Tmk)|≤

≤|Dα(φj−φ)(x−Tm1)|+· · ·+|Dα(φj−φ)(x−Tmk)|≤

ε

k +· · ·+

ε k =ε. Pela T-periodicidade de θ,segue o resultado.

¤

Defini¸c˜ao 1.12 Denotaremos por

UT(Rn)=.

­

ξ_∈C∞

c (R

n_{) ;} X

m∈Zn

ξ(x−Tm) =1, _∀x_∈Rn®

o conjunto das func~oes unitarias.

Observa¸c˜ao 1.13 Dada ξ_∈UT(Rn), ent~ao ξ∈C∞c (Rn) e

X

m∈Zn

Dαξ(x−Tm) =Dα X

m∈Zn

ξ(x−Tm) = Dα1=0.

Proposi¸c˜ao 1.14 Seja ξ uma func~ao unitaria. Se (θj)j∈N converge para θ em P_T(Rn_), ent~ao _(ξθj)j∈N converge para _(ξθ) em _C∞

c (Rn).

Demonstrac~ao: Sabemos que S(ξθj) ⊂ S(ξ), logo S(ξθj) e compacto, para

todo j_∈N.

Dado α_∈Nn_{, segue da Regra de Leibniz que}

Dα(ξθj) =

X

γ+β=α

α!

γ!β!D

γ_ξDβ_θ j−→

X

γ+β=α

α!

γ!β!D

γ_ξDβ_θ=Dα_(ξθ)

uniformemente, pois θj converge para θ em PT(Rn).

¤

O resultado seguinte mostra que toda func~ao θ _∈ P_T(Rn₎ pode ser escrita

da forma X

m∈Z

φ(x−Tm), onde φ_∈C∞

c (Rn).

Proposi¸c˜ao 1.15 A aplicac~ao

F:C∞

c (Rn)→ PT(Rn)

φ _7→ X

m∈Zn

φ(_·−Tm)

Demonstrac~ao: Dada θ_∈P_T(Rn_{), basta tomarmos ξ∈U}

T(Rn) arbitraria e

denirmos φ=ξθ_∈C∞

c (Rn). Assim, obtemos

(Fφ)(x) = X

m∈Zn

φ(x−Tm) = X

m∈Zn

ξ(x−Tm)θ(x−Tm) =

=θ(x) X

m∈Zn

ξ(x−Tm) = θ(x).

Logo, Fφ=θ.

¤

Na Teoria de distribuic~oes, frequentemente precisamos substituir uma func~ao suave θ por uma func~ao teste ψ. Isto e feito atraves da multiplicac~ao de θ por uma func~ao de corte, garantida pelo teorema seguinte, cuja demonstrac~ao pode ser encontrada em [10, p. 25-26].

Teorema 1.16 Sejam X _⊂ Rn um subconjunto aberto e K um subconjunto compacto. Ent~ao, existe φ _∈ C∞

c (X) com 0 ≤ φ ≤ 1 e φ ≡ 1 em uma

vizinhanca de K.

1.3

Distribui¸

c˜

oes Peri´

odicas

Defini¸c˜ao 1.17 Um funcional linear f : P_T(Rn₎

→ C e dito contnuo (ou sequencialmente contnuo) se, para toda sequ^encia (θj)j∈N em PT(Rn) tal

que θj→0 quando j→ ∞, temos f(θj)→0 em C quando j→ ∞.

Defini¸c˜ao 1.18 O espaco vetorial

P_T′_(Rn₎₌. ­_f:P_T(Rn_)→C;fe linear e contnuo®

e chamado de espaco das distribuic~oes periodicas. Se f_∈P′

T(Rn) e θ∈PT(Rn), usaremos a seguinte notac~ao: (f, θ) = f(θ).

Teorema 1.19 Seja f:P_T(Rn₎

→C um funcional linear. S~ao equivalentes:

(1) f e contnuo;

(2) existem C > 0 e m _∈N tais que

(1.20) |(f, θ)|_≤C X |α|≤m

sup

x∈Rn

|Dαθ(x)|,

Demonstrac~ao: Suponhamos que (1.20) seja valida. Tomando (θj)j∈N → 0 em PT(Rn), segue que sup x∈Rn

|Dαθj(x)| tende a zero,

para todo α_∈Nn, logo X

|α|≤m

sup

x∈Rn

|Dαθj(x)|→0, j→ ∞.

Usando a desigualdade (1.20), conclumos a continuidade do funcional f. Suponhamos, agora, que fe contnuo e que a armativa (1.20) e falsa. Com isso, para cada m _∈N, existe ~θm∈PT(Rn) tal que

(1.21) |(f,θ~m)|> m

X

|α|≤m

sup

x∈Rn

|Dαθ~m(x)|.

Denindoθm=

~ θm

|(f,θ~m)|

e dividindo a desigualdade (1.21) pelo fator|(f,θ~m)|,

temos

|(f, θm)|=1 > m

X

|α|≤m

sup

x∈Rn

|Dαθm(x)|,

donde

0 < X |α|≤m

sup

x∈Rn

|Dαθm(x)|<

1 m.

Portanto, θm converge para zero em PT(Rn), mas (f, θm) =1 n~ao converge

a zero emC, contrariando a hipotese e provando o teorema.

¤

Defini¸c˜ao 1.22 Seja (fn)n∈N uma sequ^encia em P_T′(Rn). Dizemos que (fn)n

e convergente em P′

T(Rn) se existe f ∈ P

′

T(Rn) tal que a sequ^encia de

numeros complexos (fn, θ) converge para (f, θ), para toda θ∈PT(Rn).

E conveniente notarmos que, de acordo com a Denic~ao 1.18, uma dis-tribuic~ao periodica n~ao e uma disdis-tribuic~ao usual em Rn_{,pertencente a D}′_(Rn_),

de modo que P′

T(Rn) e D

′_(Rn_{) s~ao espacos distintos. Denotemos por hu, φi}

uma distribuic~ao usual aplicada em uma func~ao φ _∈ C∞

c (Rn) para diferenciar

da notac~ao (f, θ) usada no caso de uma distribuic~ao periodica.

O proximo teorema mostra, porem, que P′

T(Rn) pode ser \colocado" linear

e continuamente emD′_(Rn_{),no sentido de que existe um homeomorsmo linear}

entre P′

T(Rn) e um subespaco vetorial e topologico de D

D′

T(R

n₎₌. ­_u

∈D′_(Rn_{); u=uTm, ∀m∈Z}n®_,

sendo huTm, φi=hu, φ−Tmi e φTm(x) =φ(x−Tm).

Teorema 1.23 Existe um homeomorsmo linear

A:P′

T(R n₎

→D′

T(R n_).

Demonstrac~ao: Seja f_∈P′

T(Rn) e, para cada φ∈C∞c (Rn), consideremos

θ= X

m∈Zn

φTm∈PT(Rn).

Denamos u:C∞

c (Rn)→C por

hu, φ_i=³f, X

m∈Zn

φTm ´

= (f, θ)

e mostremos queu_∈D′

T(Rn).

Linearidade: Dados λ_∈C e φ, ψ_∈C∞

c (Rn), temos

hu, φ+ψ_i= (f, X

m∈Zn

(φ+ψ)Tm) = ³

f, X

m∈Zn

φTm ´

+³f, X

m∈Zn

ψTm ´

=

=_hu, φ_i+_hu, ψ_i

e

huλφ_i=³f, X

m∈Zn

(λφ)Tm ´

=³f, λ X

m∈Zn

φTm ´

=λ³f, X

m∈Zn

φTm ´

=λ_hu, φ_i.

Continuidade: Seja (φj)j∈N, φj ∈ C∞c (Rn), uma sequ^encia que converge para

zero em C∞

c (Rn). Pela Proposic~ao 1.11, θj =

X

m∈Zn

(φj)Tm converge para θ =

X

m∈Zn

0Tm =0 em PT(Rn). Desse modo, hu, φji= (f, θj) converge para 0 em C

e temos u_∈D′₍

Rn).

Periodicidade: Dadosφ_∈C∞

c (Rn) e m∈Zn, ent~ao

huTm, φi=hu, φ−Tmi= ³

f,X

k∈Zn

(φ−Tm)Tk ´

=

=³f, X

k∈Zn

φT(k−m)

´

=³f, X

k∈Zn

φTk ´

isto e, uTm=u.

Portanto, u_∈D′

T(Rn).

Seja

A:P′

T(Rn)→ D

′

T(Rn)

f _7→u=A(f),

em quehu, φ_i=³f, X

m∈Zn

φTm ´

e φ_∈C∞

c (Rn).

Mostremos que Ae linear e contnuo. Linearidade: Dados f, g _∈ P′

T(Rn) e λ ∈ C, ent~ao, para toda φ ∈ C∞c (Rn),

temos

hA(f+g), φ_i= (f+g, X

m∈Zn

φTm) = ³

f, X

m∈Zn

φTm ´

+³g, X

m∈Zn

φTm ´

=

=_hA(f), φ_i+_hA(g), φ_i=_hA(f) +A(g), φ_i

e

hA(λf), φ_i=_hλf, X

m∈Zn

φTmi=λhf,

X

m∈Zn

φTmi=λhA(f), φi=hλA(f), φi.

Continuidade: Seja (fj)j∈N, fj ∈ PT′(Rn), uma sequ^encia que converge para

zero em P′

T(Rn). Dada φ∈C∞c , temos

lim

j→∞hA(fj), φi=jlim→∞

³

fj,

X

m∈Zn

φTm ´

=0,

logo A(fj) tende a zero em DT′(Rn).

A seguir, a partir de u _∈ D′

T(Rn), deniremos uma unica distribuic~ao T

-periodica, f=H(u), de maneira que esta aplicac~ao seja a inversa de A. Seja ξ_∈UT(Rn). Para cada u∈DT′(Rn), denamos

fξ:PT(Rn)→ C

θ _7→hu, ξθ_i e mostremos quefξ∈PT′(Rn).

Linearidade: Dados λ_∈C e θ, β_∈P_T(Rn_{), temos}

e

fξ(λθ) =hu, ξ(λθ)i=hu, ξλθi=hλu, ξθi=λhu, ξθi=λfξ(θ).

Continuidade: Seja (θj)j∈N, θj ∈ PT(Rn), uma sequ^encia que converge para

zero em P_T(Rn_). Conforme a Proposic~ao 1.14, (_ξθj) tende a zero em _C∞

c (Rn)

e, comou_∈D′

T(Rn),temos fξ(θj) =hu, ξθji→0 quando j→ ∞.

Logo, fξ∈PT′(Rn).

Vejamos, agora, que a denic~ao de fξindepende da escolha de ξ, ou seja, se

ξ, η_∈UT(Rn), ent~ao fξ=fη. Antes, contudo, mostremos que

(1.24) u= X

m∈Zn

(uη)Tm.

Tomando φ_∈C∞

c (Rn), temos

hu− X

|m|≤k

(uη)Tm, φi=hu, φi−h

X

|m|≤k

uTmηTm, φi=

hu, φ_i−_hu X

|m|≤k

ηTm, φi=hu, φi−hu, φ

X

|m|≤k

ηTmi

e, comoψk=. φ

X

|m|≤k

ηTm converge para φ

X

m∈Zn

ηTm=φ em C∞c (Rn), segue que

hu, φ_i−_hu, φ X

|m|≤k

ηTmitende a zero em C∞c (Rn).

Ainda, como

hX

|m|≤k

(uη)Tm, φi=

X

|m|≤k

h(uη)Tm, φi,

temos

h X

m∈Zn

(uη)Tm, φi=

X

m∈Zn

h(uη)Tm, φi.

Provemos, ent~ao, que fξ= fη. Dada θ∈ PT(Rn), seja φ= (ξθ) e usando a

igualdade (1.24), obtemos

fξ(θ) =hu, ξθi=h

X

m∈Zn

(uη)Tm, ξθi=

X

m∈Zn

huη,(ξθ)−Tmi=

X

m∈Zn

= X

m∈Zn

hu, ηθξ−Tmi=

X

m∈Zn

huξ−Tm, ηθi=

X

m∈Zn

h(uξ)−Tm, ηθi=hu, ηθi=fη(θ).

Com isso, passaremos a escrever somente f=fξ.

Denamos

H:D′

T(R n₎

→P′

T(R n₎

u _7→ H(u), sendo

H(u) :P_T(Rn_{)→ C}

θ _7→hu, ξθ_i=fξ(θ),

ξ_∈UT(Rn) e θ∈PT(Rn).

Linearidade: Dados u, v_∈D′

T(Rn) e λ∈C, para toda θ∈PT(Rn) temos

(H(u+v), θ) =_hu+v, ξθ_i=_hu, ξθ_i+_hv, ξθ_i=

= (H(u), θ) + (H(v), θ) = (H(u) +H(v), θ)

e

(H(λu), θ) = _hλu, ξθ_i=λ_hu, ξθ_i= (λH(u), θ).

Continuidade: Seja(uj)j∈N, uj∈D′(Rn),uma sequ^encia que converge para zero

em D′

T(Rn). Para θ∈ PT(Rn) e ξ ∈UT(Rn), temos (H(uj), θ) = huj, ξθi →0.

Portanto, H(uj)→0 em PT′(Rn).

Armamos que H e a inversa de A. Com efeito, sejam u _∈ D′

T(R n_{), φ}

∈

C∞

c (Rn) eξ∈UT(Rn).Observemos que se a > 0 e tal queS(ξ)⊂B[0, a],ent~ao

ψ(x) =ξ(x) X

m∈Zn

φTm(x) =

X

m∈Zn

ξφTm(x) =

X

m∈Zn

(φξ−Tm)Tm(x) =0

para|x|> a e, se |x|_≤a, ent~ao

ψ(x) =ξ(x)(φ(x−Tm1) +· · ·+φ(x−Tmk)),

para certosm1, . . . , mk∈Zn.

Deste modo, a serie X

m∈Zn

ξφTm=

X

m∈Zn

(φξ−Tm)Tm

hA(H(u)), φ_i= (H(u), X

m∈Zn

φTm) = hu, ξ

X

m∈Zn

φTmi=

=_hu, X

m∈Zn

(φξ−Tm)Tmi=

X

m∈Zn

hu,(φξ−Tm)Tmi=

X

m∈Zn

hu, φξ−Tmi=

X

m∈Zn

huξ−Tm, φi=

X

m∈Zn

h(uξ)−Tm, φi=h

X

m∈Zn

(uξ)−Tm, φi=hu, φi,

onde as duas ultimas igualdades s~ao validas em virtude da observac~ao feita antes de demonstrarmos que fξ=fη.

Agora, para f_∈P′

T(R n_{), θ}

∈P_T(Rn₎ e _ξ∈UT(Rn_), obtemos

(H(A(f)), θ) = _hA(f), ξθ_i=³f, X

m∈Zn

(ξθ)Tm ´

=³f, θ X

m∈Zn

ξTm ´

= (f, θ).

Portanto, H=A−1 _{e o teorema esta demonstrado.}

¤

Exemplo 1.25 Toda func~ao ϕ:Rn_→C, ϕ_∈L1([0, T]n_{), que satisfaz ϕ(x) =}

ϕ(x −Tm), para todo m _∈ Zn e todo x _∈ Rn, origina uma distribuic~ao periodica fϕ:PT(Rn)→C. De fato, para toda θ∈PT(Rn), denamos

(fϕ, θ) =

Z

[0,T]n

ϕθ.

A linearidade de fϕ segue da linearidade da integral. A continuidade de

fϕ, por sua vez, segue da desigualdade

¯ ¯ ¯

Z

[0,T]n

ϕθj ¯ ¯

¯≤ sup

x∈[0,T]n

|θj(x)|

Z

[0,T]n |ϕ|.

Exemplo 1.26 Consideremos

δ:P_T(Rn₎

→ C

θ _7→θ(0).

e veriquemos que δ e uma distribuic~ao periodica. Linearidade: Dados θ1, θ2∈PT(Rn) e λ∈C, temos

δ(θ1+θ2) = (θ1+θ2)(0) =θ1(0) +θ2(0) = δ(θ1) +δ(θ2)

δ(λθ1) = λθ1(0) = λδ(θ1).

Continuidade: Dada(θj)j∈N, θj∈PT(Rn),uma sequ^encia que converge para

zero em P_T(Rn_{), ent~ao δ(θ}

j) = θj(0)→0 em C.

Logo, δ_∈P′

T(Rn).

Conforme o Teorema 1.23, vejamos qual o correspondente de δ, A(δ), em D′

T(Rn). Sabemos que tal correspondente, digamos A(δ) =~δ, e denido

como

h~δ, φ_i= (δ, X

m∈Zn

φTm) =

X

m∈Zn

(δ, φTm) =

X

m∈Z

φ(Tm),

lembrando que essa soma e nita para cada φ_∈C∞

c (Rn).

A distribuic~ao ~δ e chamada de distribuic~ao delta de Dirac T-periodica, ou delta de Dirac concentrada em (Tm), m _∈Zn_.

1.3.1 Opera¸c˜oes com Distribui¸c˜oes Peri´odicas

Neste topico, apresentaremos algumas operac~oes permitidas a elementos de

P′

T(Rn), cujas demonstrac~oes podem ser vericadas nas bibliograas [15] ou

[11].

Sejam f, g_∈P′

T(Rn), θ, θ1, θ2∈PT(Rn), λ∈Ce(βj)j∈Numa sequ^encia que converge para zero em P_T(Rn_).

Adi¸c˜ao

Denimos

f+g:P_T(Rn_{)→ C}

θ _7→(f, θ) + (g, θ).

Multiplica¸c˜ao por φ∈ P_T(Rn )

Denimos

φf:P_T(Rn₎

→ C

Transla¸c˜ao

Dado h_∈Rn_{, denimos}

fh:PT(Rn)→ C

θ _7→(f, θ−h),

sendo θh(x) =θ(x−h).

Reflex˜ao

Denimos

f:P_T(Rn_{)→ C}

θ _7→(f,θ),

sendo θ(x) = θ(−x).

Deriva¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao f∈ P′

T(R n

)

Dados α= (α1,· · · , αn)∈Nne uma func~ao teste θ∈PT(Rn), temos

Dαθ= 1

i|α|

∂|α|_θ ∂xα1

1 · · ·∂x αn

n

.

Podemos estender o conceito de derivada de uma func~ao teste, de modo que toda distribuic~ao periodica possua uma derivada que tambem e uma distribuic~ao periodica. Para cada f_∈P′

T(Rn) e cada α∈Nn, denimos

Dα_f:P

T(Rn)→ C

θ _7→(f,(−1)|α|_Dα_θ).

Considerando

Dα_:P′

T(Rn)→PT′(Rn)

f _7→ Dα_f,

vemos que o operador Dα_{e linear, contnuo e satisfaz}

(Dαf, θ) =

Z

Qn

j=1[aj,aj+T]

Dαf(x)θ(x)dx= (−1)|α|

Z

Qn

j=1[aj,aj+T]

f(x)Dαθ(x)dx =

=

Z

Qn

j=1[aj,aj+T]

f(x)(−1)|α|Dαθ(x)dx = (f,(−1)|α|Dαθ),

O proximo teorema nos garante que P_T(Rn_{)e denso no espaco das func~oes}

contnuas e T-periodicas.

Teorema 1.27 Consideremos φ _∈C∞

c (Rn) tal que

R

φ =1, φ_≥ 0 e S(φ)_⊂ [0, T]n _{e denamos}

θε=. ε−n

X

m∈Zn

φ(x−Tm

ε ),

sendo θε∈PT(Rn) e 0 < ε < 1.

Se f:Rn_→C e contnua e T-periodica, ent~ao

fε(x)=.

Z

[0,T]n

f(x−y)θε(y)dy

pertence a P_T(Rn_{) e f}

ε→f uniformemente quando ε→0.

Demonstrac~ao: Se x_∈[0, T]n_{, ent~ao para todom= (m}

1, . . . , mn)∈Zn\ {0},

existemi6=0 satisfazendo

−Tmi

ε ≤

xi−T mi

ε ≤

T(1−mi)

ε .

Se mi≥1, ent~ao

xi−T mi

ε ≤0e, dessa forma, φ(

x−Tm ε ) = 0. Se mi≤−1, ent~ao −

T mi

ε ≥ T

ε ≥T e, assim, φ(

x−Tm ε ) = 0. Portanto, θε(x) = ε−nφ(

x

ε), se x ∈[0, T]

n_.

Agora,

fε(x) =

Z

[0,T]n

f(x−y)θε(y)dy =ε−n

Z

[0,T]n

f(x−y)φ(y

ε)dy=

=

Z

[0,Tε−1_]n

f(x−εz)φ(z)dz=

Z

[0,T]n

f(x−εz)φ(z)dz=

=

Z

Rn

f(x−εz)φ(z)dz=ε−n Z

Rn

f(u)φ(x−u

ε )du, poisS(φ)_⊂[0, T]n

⊂[0, Tε−1_]n_.

A igualdade

fε(x) =ε−n

Z

Rn

f(y)φ(x−y

fε(x) =ε−n Kx

f(y)φ(x−y

ε )dy, em queKxe um conjunto compacto denido por

Kx=

¯

y_∈Rn; 0_≤ xi−yi

ε ≤T, i=1, . . . , n °

.

Sejam x, x′

∈Rn_{. Como φe uma func~ao lipschitziana, existe C > 0 tal que}

|fε(x) −fε(x′)|≤

Z

Rn

|f(y)|¯¯_¯φ(x−y

ε ) −φ( x′_−y

ε )

¯ ¯ ¯dy_≤

≤ε−nsup|f(u)| Z

Kx∪Kx′

¯ ¯

¯φ(x−y

ε ) −φ( x′_−y

ε )

¯ ¯ ¯dy _≤

≤Cε−n−1m(Kx∪Kx′)sup|f(u)||x−x′|≤

≤2Cε−n−1εnTnsup|f(u)||x−x′_|=2Cε−1_Tn_{sup|f(u)||x−x}′_|

poism(Kx) = m(Kx′) =εnTn. Logo, f_ε e contnua.

Para provarmos que fε e diferenciavel qualquer numero de vezes, basta

derivarmos, sob o sinal de integrac~ao, a func~ao φ na express~ao de fε usada

acima, e repetirmos o procedimento usando Dα_{φ ao inves de φ.}

Agora,

|f(x) −fε(x)|= ¯ ¯ ¯

Z

[0,T]n

f(x)φ(z)dz−

Z

[0,T]n

f(x−εz)φ(z)dz¯¯_¯≤

≤

Z

[0,T]n

|f(x) −f(x−εz)|φ(z)dz_≤ sup

z∈[0,T]n

|f(x) −f(x−εz)|.

Por hipotese, fe contnua e periodica, ent~ao e uniformemente contnua. As-sim, dado η > 0, existe δ > 0 tal que

|x−y|< δ_⇒|f(x) −f(y)|< η,

para todos x e y.

Como z _∈ [0, T]n_{, |z|}

≤ √nT e, para todos 0 < ε < (√nT)−1_{δ e x}

∈ Rn,

vale |x− (x−εz)| = ε|z| < δ. Desse modo, |f(x) −f(x−εz)| < η e segue que sup

z∈[0,T]n

|f(x)−f(x−εz)|_≤η,donde conclumos quefε →funiformemente quando

ε_→0.

¤

Teorema 1.28 Sejam f e g func~oes contnuas e periodicas em Rn satis-fazendo ∂f

∂xj = g no sentido de distribuic~oes periodicas. Ent~ao, f e

dife-renciavel com relac~ao a xj e _∂x∂f

j = g no sentido classico, ou seja, como

func~oes.

Demonstrac~ao: Usando a notac~ao do teorema anterior, temos

∂ ∂xj

fε(x) = ε−n

Z

[0,T]n

f(y) ∂

∂xj

(φ¡x−y ε

¢

)dy=

= −ε−n Z

[0,T]n

f(y) ∂

∂yj

(φ¡x−y ε

¢

)dy= −ε−n_hf, ∂ ∂yj

φ¡x−· ε

¢

i=

=ε−n_h ∂ ∂yj

f, φ¡x−· ε

¢

i=ε−n

Z

[0,T]n

g(y)φ¡x−y ε

¢ .

=gε(x).

Assim, como fε → f e gε → g uniformemente quando ε → 0, segue que

∂f ∂xj

=g.

¤

1.4

A ´

algebra

(

P

T

(

R

n

_),

_+,

_∗

₎

Defini¸c˜ao 1.29 Sejam f_∈ P′

T(Rn) e θ∈ PT(Rn). Denimos a convoluc~ao

de f por θ como a func~ao (f_∗θ) : Rn

→ C dada por (f_∗θ)(a) = (f,θa),

sendo θa(x) =θ(a−x).

Exemplo 1.30 Tomando θ _∈ P_T(Rn_{) e δ a distribuic~ao delta de Dirac,}

ent~ao

(δ_∗θ)(a) = (δ,θa) =θa(0) =θ(a),

isto e, δ_∗θ=θ.

Exemplo 1.31 Sejam α_∈Nn e θ_∈P_T(Rn_{). Temos}

(Dαδ_∗θ)(a) = (Dαδ,θa) = (δ,(−1)|α|Dαθa) =

= (δ,(−1)|α|(−1)|α|Dαθa) = Dαθ(a)

e, portanto, Dα_δ∗θ=Dα_θ.

Observemos que, do Exemplo 1.30 e da ultima igualdade, obtemos

(1.32) Dα(δ_∗θ) = Dαδ_∗θ=δ_∗Dαθ.

Isso pode ser generalizado para o caso das distribuic~oes f _∈ P′

T(Rn),

Teorema 1.33 Sejam f_∈P

T(Rn) e θ∈PT(Rn). Ent~ao (f∗θ)∈PT(Rn) e

Dα(f_∗θ) =Dαf_∗θ=f_∗Dαθ.

Teorema 1.34 Dadas f_∈P′

T(R

n_{) e θ, ρ}

∈P_T(Rn_), ent~ao

(f_∗θ)_∗ρ=f_∗(θ_∗ρ).

Teorema 1.35 Seja F:P_T(Rn₎

→P_T(Rn_{) um operador linear contnuo tal}

que, para todo h_∈Rn _{e toda θ∈P}

T(Rn), satisfaz

F(θ)(x−h) =F(θh)(x).

Ent~ao existe uma unica f _∈ P′

T(Rn) tal que F(θ) = f∗ θ, para toda

θ_∈P_T(Rn_).

Demonstrac~ao: Denamos

f:P_T(Rn₎

→ C

θ _7→(F(θ))(0). A linearidade de fe imediata.

Continuidade: Seja (θj)j∈N, θj ∈ PT(Rn), uma sequ^encia que converge para

zero em P_T(Rn_). Ent~ao, pela continuidade de _{F, F(θj) → 0} em P_T(Rn₎ e,

consequentemente,(F(θj))(0)→0 em C.

Logo, f_∈P′

T(Rn).

Notemos, agora, que para todo h_∈Rn vale

(F_∗(θ))(h) = (F(θ))−h(0) = (F(θ−h))(0) = (f,θh) = (f∗θ)(h).

Unicidade: Sejam f, g _∈ P′

T(Rn) tais que F(θ) = f∗θ = g ∗ θ, para toda

θ_∈P_T(Rn_{). Ent~ao}

(f, θ) = (f_∗θ)(0) = (g_∗θ)(0) = (g, θ)

e, com isso, obtemos f=g.

¤

Defini¸c˜ao 1.36 Sejam f, g _∈ P′

T(R

n_{). Denimos h = f}

∗g como sendo a unica distribuic~ao periodica tal que

f_∗(g_∗θ) = h_∗θ, para toda θ_∈P_T(Rn_).

Observemos que, como

F:P_T(Rn₎

→ PT(Rn)

θ _7→f_∗(g_∗θ)

e linear, contnuo e comuta com as translac~oes Th, segundo o Teorema 1.35 a

denic~ao anterior e possvel.

A seguir, enunciamos algumas propriedades da T-convoluc~ao.

Lema 1.37 Consideremos φ _∈ C∞

c (Rn) tal que

Z

Rn

φ = 1, φ _≥ 0 e S(φ) _⊂

[0, T]n_{. Seja tambem θ}

ε(x) =ε−n

X

m∈Zn

φ(x−Tm

ε ), com 0 < ε < 1. Se ψ_∈P_T(Rn_{), ent~ao ψ∗θ}

ε→ψ em PT(Rn) quando ε→0.

Lema 1.38 Sejam f, g_∈P′

T(Rn). Ent~ao f=g se, e somente se, f∗θ=g∗θ,

para toda θ_∈P_T(Rn_).

Teorema 1.39 Dadas f, g, h_∈P′

T(Rn), ent~ao

(1) (f_∗g)_∗h=f_∗(g_∗h); (2) f_∗g =g_∗f e

(3) Dα_{(f∗g) =D}α_f∗g=f∗Dα_g.

Exemplo 1.40 Dadas f_∈P′

T(Rn) e θ∈PT(Rn), temos

(f_∗δ, θ) = (f_∗δ_∗θ)(0) = (f_∗θ)(0) = (f, θ).

Logo, f_∗δ=f.

Exemplo 1.41 Sejam α_∈Nn _{e f∈P}′

T(Rn). Ent~ao

Dαf=Dα(f_∗δ) =Dαf_∗δ=f_∗Dαδ.

Exemplo 1.42 Seja P(D) =. X

|α|≤m

cαDα um operador diferencial parcial

li-near a coecientes constantes. Se u_∈P′

T(Rn), ent~ao

P(D)u= X

|α|≤m

cαDαu=

X

|α|≤m

cαu∗Dαδ=

X

|α|≤m

u_∗(cαDαδ) =

=u_∗³ X |α|≤m

cαDαδ ´

=u_∗(P(D)δ).

Assim, toda equac~ao diferencial parcial linear a coecientes constantes, P(D)u =f, sendo u, f _∈P′

T(Rn), pode ser expressa como uma equac~ao de

O espaco vetorial P

T(Rn), munido das operac~oesT-convoluc~ao e adic~ao,

ad-mite uma estrutura algebrica, comutativa, cujo elemento neutro e a distribuic~ao δ, em relac~ao a T-convoluc~ao.

Os teoremas seguintes nos apresentam uma condic~ao necessaria e suciente para que possamos encontrar u _∈ P′

T(Rn) tal que f∗u = g, em que f, g s~ao

distribuic~oes periodicas conhecidas anteriormente.

Antes disso, denamos o inverso, segundo a T-convoluc~ao, de um elemento de P′

T(R n_).

Defini¸c˜ao 1.43 Dizemos que f _∈ P′

T(Rn) e invertvel quando existe g ∈

P′

T(Rn) satisfazendo f∗g=g∗f=δ. A distribuic~ao g e chamada inversa

de f.

Teorema 1.44 Seja f_∈P′

T(Rn). Se f possuir inversa, ent~ao esta e unica.

Denotemos por f−1 a inversa de f, quando esta existir. Existem elementos de P′

T(Rn) que n~ao possuem inversa, como e o caso de

qualquer θ _∈ P_T(Rn_{). De fato, como visto no Teorema 1.33, f∗θ ∈ P} T(Rn),

para todaf_∈P′

T(Rn), todavia δ∈P

′

T(Rn)\PT(Rn) [15, p. 45].

Teorema 1.45 Seja f_∈P′

T(R

n_{). Uma condic~ao necessaria e suciente para}

que a equac~ao f_∗u = g tenha uma soluc~ao em P′

T(R

n_{), para cada g}

∈ P′

T(Rn), e que exista f−1. Neste caso, a soluc~ao e unica e dada por f−1∗g.

Demonstrac~ao: (_⇒) Existe u _∈ P′

T(Rn) tal que f∗u = δ e, desse modo,

u=f−1_.

(_⇐)Suponhamos que existaf−1e tomemosu=f−1_∗g.Ent~aof_∗u=f_∗(f−1_∗g) = (f_∗f−1₎

∗g=δ_∗g=g.

Caso f_∗v=g, ent~ao

v=δ_∗v= (f−1_∗f)_∗v=f−1_∗(f_∗v) = f−1_∗g=u e conclumos a unicidade da soluc~ao.

¤

1.5

O M´

etodo da Fase Estacion´

aria

I(λ) =

Z

γ

g(z)eλf(z)dz, λ_{→ ∞},

sendo γ e um caminho no plano e f e g s~ao func~oes holomorfas num domnio complexo contendo γ.

Proposi¸c˜ao 1.46 (Metodo da Fase estacionaria) Consideremos a integral

I(λ) =

Zδ

−δ

g(t)eiλf(t)dt,

em que f e g s~ao func~oes analticas reais a uma variavel tais que f as-sume valores reais, f(0) = 0, f′_{(0) = 0 e f}′′₍₀₎

6

= 0. Ent~ao, para δ > 0 sucientemente pequeno, temos

I(λ) = _pg(0) −f′′₍₀₎

r

2π

λ (1+O(λ

−1_{)) +O(e}−cλ_),

sendo c > 0 e λ_{→ ∞}.

Esta proposic~ao e, consequentemente, sua demonstrac~ao, s~ao deduzidas atraves de uma sequ^encia de resultados, entre estes o Lema de Morse holo-morfo, os quais podem ser analisados em detalhes nas bibliograas [13] ou [1].

1.6

Convergˆ

encia em Subconjuntos Compactos de

C

Nesta sec~ao, estudaremos a noc~ao de converg^encia uniforme em subconjuntos abertos deC,conforme [7, p. 142-143], observando que os resultados podem ser estendidos para o caso de varias variaveis complexas.

Seja D_⊂C um subconjunto aberto. Denotamos

C_(D)=. {f:D_→C; f e contnua} e H _(D)=. {f:D_→C; f e holomorfa}

Defini¸c˜ao 1.47 Uma sequ^encia de func~oes (fn)n∈N, fn ∈ C(D), converge

uniformemente em subconjuntos compactos se, para todoK_⊂D compacto, a sequ^encia de restric~oes (fn|K)ne uniformemente convergente.

Observa¸c˜ao 1.48 Sabemos que o limite de uma sequ^encia uniformemente

convergente de func~oes contnuas e uma func~ao contnua. Assim, se a sequ^encia de func~oes fn ∈ C(D) e uniformemente convergente para f em

compactos de D, ent~ao a restric~ao f|K e contnua, para todo K ⊂ D

com-pacto. Como todo ponto de D possui uma vizinhanca compacta contida em D, logo a func~ao limite f= lim

Proposi¸c˜ao 1.49 Seja (fn)n∈N uma sequ^encia de func~oes em C(D). Ent~ao,

(fn)n∈N converge uniformemente em compactos de D se, e somente se,

(fn|Σ)n∈N converge uniformemente, para todo disco compacto Σ⊂D.

Demonstrac~ao: Todo compacto K _⊂ D pode ser coberto por um numero nito de discos compactos contidos em D.

¤

Teorema 1.50 Dada uma sequ^encia de func~oes (fn)n∈N, fn ∈ H(D),

S´

eries de Fourier

Apresentaremos, neste captulo, a noc~ao de serie de Fourier para uma dis-tribuic~ao periodica e, assim como em P_T(Rn_{), veremos que toda distribuic~ao}

periodica possui serie de Fourier que converge para a mesma. Mostraremos que os espacosP_T(Rn_)eP′

T(Rn)podem ser caracterizados,

iso-morcamente, atraves do comportamento assintotico dos coecientes de Fourier de seus elementos. Mais precisamente, toda func~ao teste periodicaθ_∈P_T(Rn₎

pode ser escrita atraves de uma serie de Fourier cujos coecientes formam uma sequ^encia de decrescimento rapido, e toda distribuic~ao periodica f _∈ P′

T(R n₎

pode ser representada por uma serie trigonometrica cujos coecientes de Fourier constituem uma sequ^encia de crescimento lento.

Por ultimo, estudaremos o conceito de serie parcial de Fourier de func~oes testes e distribuic~oes, bem como propriedades do decaimento dos coecientes parciais de Fourier de tais objetos.

2.1

S´

erie de Fourier em

P

₍

_R

₎

Defini¸c˜ao 2.1 Uma sequ^encia numerica (cm)m∈Zn e dita rapidamente

de-crescente se, para cada k_∈N, existir C > 0 tal que

|cm|≤

C |m|k,

para todo m _∈ Zn_{\ {0}. Denotamos o espaco das sequ^encias de}

decresci-mento rapido por s(Zn_;C).

Equivalentemente,(cm)m∈Zn e rapidamente decrescente se, e somente se, para

cadak_∈Z+, existir C > 0 satisfazendo |cm|≤C(1+|m|)−k para todo m∈Zn.

|cm|≤

C

|m|k, m∈Z

n_{\ {0},}

ent~ao, se m ₆=0, 1+|m|_≤2|m| e segue que |cm|≤C|m|−k≤2kC(1+|m|)−k

.

=

M(1+|m|)−k_{, para todo m}

∈Zn, onde denotamos M=. max{2kC,|C|}.

Agora, se para cada k _∈ Z+ existir C > 0 tal que |cm| ≤ C(1+|m|)−k para

todo m _∈Zn, ent~ao, como (1+|m|)−k_≤|m|−k_{, obtemos}

|cm|≤

C |m|k,

para todo m_∈Zn_{\ {0}.}

Teorema 2.2 Seja (cm)m∈Zn uma sequ^encia rapidamente decrescente. Ent~ao

a func~ao

f= X

m∈Zn

cmem

pertence a P_T(Rn_{), sendo e}

m(x) = eiωmx = eiω(m1x1+···+mnxn), ω = 2π_T e

x_∈Rn_.

Demonstrac~ao: Consideremos sp(x) =

X

|m|≤p

cmem(x).

Como (cm)m∈Zn decresce rapidamente, dado n∈N, existeM₁> 0 tal que

|cmem(x)|=|cm|<

M1

(1+|m|)n+1,

para todom _∈Zn.Pelo criterio de Weierstrass, spe uniformemente convergente

e temos a continuidade de f(x) = X

m∈Zn

cmem(x). Notemos, tambem, que f e

periodica. Ainda,

∂ ∂xj

sp(x) =

X

|m|≤p

iωmjcmem(x).

Novamente, existe M2> 0 tal que

|iωmjcmem(x)|=ω|mj||cm|≤ω(1+|m|)|cm|≤

≤(1+|m|)M2(1+|m|)−n−2 =M2(1+|m|)−n−1.

Logo, gj(x) = lim p→∞

∂ ∂xj

sp(x) e contnua, devido a converg^encia uniforme.

Sejam x, h_∈Rn_{e γ: [0, 1]}

Ent~ao

sp(x+h) −sp(x) =sp(γ(1)) −sp(γ(0)) =

Z1

0

(sp◦γ)′(t)dt =

=

Z1

0h

grad sp(γ(t)), γ′(t)idt =

Z1

0h

grad sp(x+th), hidt,

em queh , _i denota o produto interno em Rn_.

Denamos g = (g1, . . . , gn). Quando p→ ∞, temos

f(x+h) −f(x) =

Z1

0h

g(x+th, h)_idt=

n

X

j=1

hj

Z1

0

gj(x+th)dt=

=

n

X

j=1

hjgj(x) + n

X

j=1

hj

Z1

0

(gj(x+th) −gj(x))dt.

Agora, se h₆=0, obtemos

kh_k−1¯¯_¯

n

X

j=1

hj

Z1

0 ³

gj(x+th) −gj(x) ´

dt¯¯_¯≤

n

X

j=1

|hj|khk−1max|gj(x+th) −gj(x)|≤

≤

n

X

j=1

max

t |gj(x+th) −gj(x)|→0

quando h_→0.

Ent~ao, fe diferenciavel e grad f(x) =g(x), donde conclumos que f_∈ C1 e

∂f ∂xj =gj.

Usando induc~ao, conclumos o teorema.

¤

Defini¸c˜ao 2.3 Sejam φ _∈ P_T(Rn_{) e m ∈ Z}n_{. Denimos o m-esimo}

coe-ciente de Fourier de φ como

cm(φ) =T−n

Z

[0,T]n

φ(x)e−m(x)dx.

Teorema 2.4 Seja φ_∈P_T(Rn_{). Ent~ao}

cm(φ) =T−n

Z

[0,T]n

φ(x)e−m(x)dx

forma uma sequ^encia rapidamente decrescente e

φ= X

m∈Zn

Demonstrac~ao: Primeiramente, provemos que mα_c

m(φ) = ω−|α|cm(Dαφ),

para todo α_∈Nn_{. De fato, como}

Dαe−m(x) =

1

i|α|(−iω) |α|_mα_e

−m(x) = (−1)|α|ω|α|mαe−m(x),

ent~ao

Tnmαcm(φ) =

Z

[0,T]n

mαe−m(x)φ(x)dx =

(−1)|α| ω|α|

Z

[0,T]n

Dαe−m(x)φ(x)dx=

= (−1)

|α|₍₋₁₎|α|

ω|α| Z

[0,T]n

Dαe−m(x)φ(x)dx =

Tn ω|α|cm(D

α_φ).

Para todo ℓ_∈N, temos

|m|ℓ= X

|α|=ℓ

ℓ!

α!|m

α_|,

m_∈Zne, aplicando a formula anterior, obtemos

|m|ℓ|cm(φ)|=

X

|α|=ℓ

ℓ!

α!|m

α_c

m(φ)|=

=ω−ℓX |α|=ℓ

ℓ!

α!|cm(D

α_φ)|=ω−ℓX

|α|=ℓ

ℓ!

α!|

Z

[0,T]n

Dαφ(x)e−m(x)dx|≤

≤ X

|α|=ℓ

ℓ!

α!ω

−|α| _sup

z∈[0,Tn_]

|Dαφ(z)|Tnm([0, Tn])=. M,

sendo M uma constante independente de m. Considerando ψ =. X

m∈Zn

cm(φ)em, o teorema anterior nos garante que ψ ∈

P_T(Rn_). Ainda,

cm(ψ) =T−n

Z

[0,T]n

ψ(x)e−iωmx=T−n Z

[0,T]n

X

ℓ∈Zn

cℓ(φ)eiω(m−ℓ)xdx =

=T−nX

ℓ∈Zn

cℓ

Z

[0,T]n

xeiω(m−ℓ)xdx= cm(φ)

Tn

Z

[0,T]n

dx =cm(φ).

Deste modo, se cm(φ) = cm(ψ) implicar em φ = ψ, o teorema estara

de-monstrado.

¤

Lema 2.5 (Unicidade) Seja φ _∈ P_T(Rn_{) tal que c}

m(φ) = 0 para todo m ∈

Zn_{. Ent~ao φ=0.}

Os Teoremas 2.2 e 2.4 ilustram um isomorsmo entres(Zn;C)e P_T(Rn_{). De}

fato, denamos

A: s(Zn;C) _→ P_T(Rn₎

c= (cm)7→

X

m∈Zn

cmem.

A linearidade de A e imediata. A sobrejetividade resulta do Teorema 2.4 e, quanto a injetividade, basta observarmos que seA(c) = X

m∈Zn

cmem=0, ent~ao,

para todo ℓ_∈Zn, temos

0= 1

Tn

Z

[0,T]n (X

m∈Zn

cmem)e−ℓ=

1 Tn

X

m∈Zn

cm

Z

[0,T]n

em−ℓ=cℓ.

2.2

S´

erie de Fourier em

P

T

(

R

₎

Defini¸c˜ao 2.6 Seja (fm)m∈Zn uma sequ^encia em P′

T(R

n_{). Dizemos que a}

serie X

m∈Zn

fm e convergente em PT′(Rn) quando a sequ^encia sℓ =

X

|m|≤ℓ

fm

for convergente em P′

T(Rn).

A seguir, veremos que e possvel derivar, termo a termo, series convergentes em P′

T(Rn).

Teorema 2.7 Seja f= X

m∈Zn

fm∈PT′(R

n_{). Ent~ao D}α_f= X

m∈Zn

Dαfm.

Demonstrac~ao: Dados θ_∈ P_T(Rn_{) e ε > 0, sabemos que D}α_{θ ∈ P}

T(Rn) e

existeℓ0∈N tal que, para todo ℓ≥ℓ0, vale ¯

¯

¯³f− X

|m|≤ℓ

fm,(−1)αDαθ´¯¯¯< ε.

Desta forma,

¯ ¯

¯³Dαf− X

|m|≤ℓ

Dαfm, θ´¯¯¯= ¯ ¯

¯³Dα³f− X

|m|≤ℓ

fm ´

, θ´¯¯_¯=

=¯¯_¯³f− X

|m|≤ℓ

fm,(−1)αDαθ´¯¯¯< ε.

Defini¸c˜ao 2.8 Uma sequ^encia numerica (cm)m∈Zn e dita de crescimento

lento se existirem constantes M > 0 e k _∈ N satisfazendo |cm| ≤ M|m|k,

para todo m_∈Zn_{\ {0}. Denotamos o espaco das sequ^encias de crescimento}

lento por s′_(Zn_;C).

Tal denic~ao e equivalente a existirem constantes M > 0 e k _∈ N tais que |cm|≤M(1+|m|)k, para todo m∈Zn.

De fato, se M e k satisfazem a denic~ao, ent~ao

|cm|≤M|m|k≤M(1+|m|)k≤M′(1+|m|)k,

onde M′ _=max{M,|c

0|}.

Assim, se existem M > 0 e k _∈ N tais que |cm| ≤ M(1+|m|)k para todo

m_∈Zn, ent~ao

|cm|≤M(1+|m|)k≤M(|m|+|m|)k=2kM|m|k.

Algumas bibliograas denominam as sequ^encias de crescimento lento como sequ^encias de crescimento moderado ou sequ^encias temperadas. No captulo nal, no qual estudaremos o artigo [5], usaremos esta ultima nomenclatura.

Mostraremos que e possvel identicar o espaco das distribuic~oes periodicas com o espaco das sequ^encias de crescimento lento, similar ao que zemos na sec~ao anterior para o caso das func~oes testes, o espaco P_T(Rn_).

Antes disso, baseados em [15, p. 60-62], observamos que apesar de P′

T(Rn)

n~ao ser um espaco metrizavel, apresenta propriedades semelhantes a de espacos metricos completos, no seguinte sentido:

Teorema 2.9 Seja (fj)j∈N uma sequ^encia em P_T′(Rn) satisfazendo: dados θ_∈P_T(Rn_{)e ε > 0,existe j}

0∈Ntal que j, k≥j0 implica em |(fj−fk, θ)|< ε.

Ent~ao fj→femPT′(Rn),isto e, existe f∈P

′

T(Rn) tal que(fj, θ)→(f, θ),

para cada θ_∈P_T(Rn_).

Defini¸c˜ao 2.10 Sejam f _∈ P′

T(Rn) e m ∈ Zn. Denimos o m-esimo

coe-ciente de Fourier de f como

cm(f) =

1

Tn(f, e−m).

Teorema 2.11 Seja (cm)m∈Zn uma sequ^encia de crescimento lento. Ent~ao

a serie X

m∈Zn

cmem(x) e convergente em PT′(R n_).

f=

m∈Zn

cmem,

ent~ao

cm=

1

Tn(f, e−m) =cm(f).

Demonstrac~ao: O raciocnio desta prova consiste em mostrar que as somas parciais da serie trigonometrica X

m∈Zn

cmem(x)formam uma sequ^encia de Cauchy

em P′

T(R

n_{), logo convergente, pelo teorema anterior.}

Seja θ_∈P_T(Rn_). Para cada _{m= (m1, . . . , mn)∈Z}n_, temos

mj(em, θ) =

Z

[0,T]n

mjem(x)θ(x)dx=ω−1

Z

[0,T]n

∂ ∂xj

(em(x))θ(x)dx=

= −ω−1 Z

[0,T]n

em(x)

∂ ∂xj

θ(x)dx,

ou seja, mj(em, θ) =ω−1(_∂x∂

jem, θ) = −ω

−1_(e m,_∂x∂

jθ).

Usando induc~ao sobre |α|, vemos que

mα(em, θ) = ω−|α|(Dαem, θ) =

(−1)|α|

ω|α| (em, D

α_θ)

e, como (cm)m∈Zn cresce lentamente, existem M > 0 e k ∈ N tais que |c_m| ≤

M|m|k_{, m ∈Z}n_{\ {0}.}

Assim,

|m|k+n+1|(em, θ)|=

X

|α|=k+n+1

k!

α!|m

α_||(e

m, θ)|=

= X

|α|=k+n+1

k!

α!

1

ω|α||(em, D

α_θ)|

≤ X

|α|=k+n+1

k!

α!

1 ω|α|

Z

[0,T]n

|em(x)Dαθ(x)|dx=

= X

|α|=k+n+1

k!

α!

1 ω|α|

Z

[0,T]n

|Dαθ(x)|dx=C.

Observemos que C n~ao depende de m. Alem disso, se θj → 0 em PT(Rn)

quando j _{→ ∞}, ent~ao, para cada k _∈ N, |m|k+n+1_|(e

m, θj)| → 0 quando j → 0.

Portanto, para todom _∈Zn_{, temos}

|cm(em, θ)|=|cm||(em, θ)|≤M|m|k

C |m|k+n+1 =

MC

|m|n+1, m∈Z n_{\ {}

Consideremos a reduzida

sj(x) =

X

|m|≤j

cmem(x).

Para cada p_∈N, vale

|(sj+p−sj, θ)|= ¯ ¯

¯³ X j+1≤|m|≤j+p

cmem, θ´¯¯¯≤

≤ X

j+1≤|m|≤j+p

|cm(em, θ)|≤MC

X

j+1≤|m|≤j+p

1 |m|n+1.

Como a serie X

m∈Zn

1

|m|n+1 e convergente, (sj)j∈N e uma sequ^encia de Cauchy

e, conforme o Teorema 2.9, existe f_∈P′

T(Rn) tal que

f= lim

j→∞sj= X

m∈Zn

cmem.

Por m,

1

Tn(f, e−m) =

1 Tn

X

ℓ∈Zn

cℓ

Z

[0,T]n

eiω(ℓ−m)xdx

e

Z

[0,T]n

eiω(ℓ−m)xdx=

±

0, se ℓ₆=m Tn_{,se ℓ=m} ,

logo cm=

1

Tn(f, em).

¤

Este teorema signica que toda serie trigonometrica com coecientes de crescimento lento e convergente em P′

T(Rn). Reciprocamente, veremos no

proximo resultado que toda distribuic~ao periodica pode ser representada atraves de uma serie trigonometrica cujos coecientes formam uma sequ^encia de cresci-mento lento.

Teorema 2.12 Dada f _∈ P′

T(Rn), ent~ao (cm(f))m∈Zn e uma sequ^encia de

crescimento lento e

f= X

m∈Zn

Demonstrac~ao: Como f_∈P

T(Rn), sabemos que existem C > 0 ek∈N tais

que

|cm(f)|=

1

Tn|(f, e−m)|≤

C Tn

X

|α|≤k

sup

x∈Rn

|Dαem(x)|=

C Tn

X

|α|≤k

sup

x∈Rn

|ω|α|mαem(x)|=

= C

Tn

X

|α|≤k

sup

x∈Rn

|ω|α|mα|_≤ Cmax{1, ω

k_}

Tn

X

|α|≤k

|mα|_≤

≤C′ X

|α|≤k

(1+|m|)|α|

≤C′′(1+|m|)k_,

paraC′_{, C}′′_{> 0} convenientes e para todo _m

∈Zn.

Portanto,(cm(f))m∈Zn cresce lentamente e, pelo teorema anterior, existeg∈ P′

T(Rn)tal que g=

X

m∈Zn

cm(f)em.

Resta-nos mostrar que g = f e, para isto, mostremos primeiramente que δ=T−n X

m∈Zn

em. De fato, para cada θ∈PT(Rn), temos

³ ₁

Tn

X

|m|≤j

em−δ, θ ´

= 1

Tn

X

|m|≤j

Z

[0,T]n

em(x)θ(x)dx−θ(0) =

= 1

Tn

X

|m|≤j

Z

[0,T]n

em(x)θ(x)dx−

θ(0)

Tn

Z

[0,T]n

em(x)dx =

= 1

Tn

X

|m|≤j

Z

[0,T]n

em(x)(θ(x) −θ(0))dx =

X

|m|≤j

cm(θ−θ(0)) =

X

|m|≤j

cm(θ−θ(0))em(0)→(θ−θ(0))(0) = θ(0) −θ(0) =0

quando j_{→ ∞}.

Da, usando a continuidade sequencial em cada variavel da T-convoluc~ao, obtemos

(f, θ) = (f_∗δ, θ) = ³ 1

Tn

X

m∈Zn

f_∗em, θ ´

= ( 1

Tn

X

m∈Zn

(f,(em)a), θ(a)) =

= ( 1

Tn

X

m∈Zn

(f, e−m)em(a), θ(a))(

X

m∈Zn

cm(f)em(a), θ(a)) = (g, θ),

logo, f=g.