Uma análise sobre a geometria nos livros didáticos

II Congresso Nacional de Formação de Professores

XII Congresso Estadual Paulista sobre Formação de Educadores

UMA ANÁLISE SOBRE A GEOMETRIA NOS LIVROS DIDÁTICOS Rubia Barcelos Amaral, Ana Paula Belegante Da Silva

Eixo 7 - Propostas curriculares e materiais pedagógicos no ensino e na formação de professores

- Relato de Pesquisa - Apresentação Oral

UMA ANÁLISE SOBRE A GEOMETRIA NOS LIVROS DIDÁTICOS

Ana Paula Belegante da Silva; Rúbia Barcelos Amaral. UNESP, Rio Claro. FAPESPi

Introdução

O uso do livro didático é uma prática no Brasil há anos. Programas governamentais

foram criados com o objetivo de garantir a qualidade desse material, fornecido aos alunos

das escolas públicas gratuitamente. O papel do livro didático é dar suporte ao professor,

que tem liberdade para usá-lo à sua maneira, integrando-o, por exemplo, com outras

mídias, como computador, internet, vídeo, material concreto, outros livros etc.

Atualmente, o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) é responsável pela

análise dos livros didáticos destinados à Educação Básica.

Após a avaliação das obras, o Ministério da Educação (MEC) publica o Guia de Livros Didáticos com resenhas das coleções consideradas aprovadas. O guia é encaminhado às escolas, que escolhem, entre os títulos disponíveis, aqueles que melhor atendem ao seu projeto político pedagógico (BRASIL, 2012, p.2).

Ressalta-se que a análise acontece a cada três anos para cada ciclo. “Assim, a

cada ano o MEC adquire e distribui livros para todos os alunos de um segmento, que

pode ser: anos iniciais do ensino fundamental, anos finais do ensino fundamental ou

ensino médio” (BRASIL, 2012, p.2). À exceção dos livros consumíveis, é esperado que os

livros distribuídos sejam conservados e devolvidos para utilização por outros alunos nos

anos subsequentes.

No âmbito dos conteúdos matemáticos que compõem essas obras, vale ressaltar

que a trajetória da Geometria nos livros didáticos merece um estudo cuidadoso. Em

meados das décadas de 80 e 90, esse conteúdo constava no final dos livros, de modo

que se os professores não cumprissem todo o conteúdo do livro, os alunos ficavam

prejudicado, pois não era estudado. Do ponto de vista histórico, a análise de Gouvêa

(1998, p.43) aponta que, no período pós Matemática Moderna,

O ensino da Geometria passou a ser abandonado pelos professores, os quais a planejavam para o último ano [...]. Ensinar e aprender Geometria por meio de espaços vetoriais ou por meio de transformações, como pregava a Matemática Moderna, era difícil tanto para professores, como para alunos, por se tratar de nova abordagem. E a Geometria, cada dia mais, foi sendo relegada ao último plano do currículo escolar de 1º. grau.

Em consequência desse caminhar histórico, a Geometria é um tema considerado

problemático pelos professores, que costumam ter dificuldade, tanto com seus conceitos

como com seu ensino (ALMOULOUD et al., 2004). Costa (2008, p.32) afirma que “grande

têm os conhecimentos básicos de Geometria esperados para esse nível de ensino”. Os

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) ressaltam que a Geometria tem tido pouco

destaque nas aulas de Matemática e, muitas vezes, é confundida com o ensino de

medidas, apesar de desempenhar papel fundamental no currículo, por desenvolver um

tipo particular de pensamento para compreender, descrever e representar, de forma

organizada, o mundo em que vive o aluno.

Nessa direção, pode-se considerar que estava se constituindo um “ciclo vicioso”,

pois com pouco estudo destinado à Geometria nas aulas de Matemática, ao longo da

Educação Básica, o professor, então aluno, se formava com deficiência nesse conteúdo,

nem sempre suprida pelo Ensino Superior. Quando egresso de seu curso de formação,

em suas aulas pouco aprofundava o tema com seus alunos. Almouloud et al. (2004, p.99)

apontam, “em relação à formação dos professores, que esta é muito precária quando se

trata de geometria, pois os cursos de formação inicial não contribuem para que [os

futuros professores] façam uma reflexão mais profunda a respeito do ensino e da

aprendizagem dessa área da matemática”.

No âmbito da aprendizagem dos alunos em Geometria,

A avaliação educacional da rede estadual de São Paulo em 1998 – Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP, 2000) – revela que muitos tópicos de matemática, pelo fato de não serem planejados ou ensinados pelos professores, não são aprendidos por seus alunos. Um exemplo disso é que, embora os professores indiquem a geometria como item importante, que merece lugar em todos os níveis de ensino, não há concordância quanto à seleção e à organização dos conteúdos a serem ensinados tanto no ensino fundamental como no ensino médio. Desta forma, não podemos esperar que os alunos construam uma pluralidade de conceitos geométricos a partir de conhecimentos obtidos por procedimentos experimentais, tal como recomendam os PCN (ALMOULOUD et al., 2004, p.94-95).

Há alguns anos, no entanto, tem havido ações para reverter essa realidade. A

Geometria agora não mais é deixada para o final em muitos livros, mas está presente

logo no início, ou se intercalando com os demais temas. Ademais, desde a ampliação da

divulgação dos softwares de geometria dinâmica, mais fortemente a partir de meados do

ano 2000, muitas têm sido as pesquisas que apontam suas potencialidades para os

processos de ensino e aprendizagem de Geometria, dando novo “status” a ela.

Nesse cenário, o Projeto “A geometria nos livros didáticos e a integração das

tecnologias digitais” visa fazer um estudo profundo sobre a Geometria presente nos livros

didáticos e sobre a integração entre este conteúdo e as tecnologias.

Relacionado a esse Projeto nasceu a pesquisa desenvolvida pela primeira autoraii,

Ensino Médio”. Nesta, o foco foi olhar os livros de Ensino Médio, especialmente para as

figuras neles presentes. Aqui são apresentados os resultados desse estudo.

Metodologia

Para o desenvolvimento dessa pesquisa foi feita uma análise dos conteúdos de

Geometria presente em livros didáticos de Matemática aprovados pelo PNLD,

sistematizando os conceitos presentes, a metodologia, a abordagem pedagógica, entre

outros aspectos.

Por uma questão de tempo, foram selecionados dois exemplares, de autores

diferentes, aqui denominados de “livro 1” e “livro 2”. Em ambos foram analisados os

temas “Geometria de Posição”, “Poliedros”, “Prismas”, “Pirâmides”, “Cilindros”, “Cones” e

“Esferas” (“Corpos redondos”). O estudo se iniciou com a tabulação dos conteúdos e

posterior análise a partir da interlocução entre eles, identificando semelhanças e

diferenças.

Vale observar que na coleção do livro 1, esses conteúdos são tratados no

exemplar do segundo ano, enquanto na coleção do livro 2, esses conteúdos estão no

terceiro ano.

Tabulando os conteúdos

Nessa seção são apresentados alguns exemplos que mostram a distribuições dos

conteúdos nos dois exemplares estudados. Algumas semelhanças e diferenças já podem

ser percebidas no âmbito da apresentação dos conteúdos.

Olhando para o índice dos livros, é possível notar que a relação de conteúdos é

semelhante, como mostra a tabela:

LIVRO 1 LIVRO 2

Geometria no plano e no espaço Geometria espacial de posição

Tópicos da geometria plana Poliedros

Poliedros Corpos redondos

Prismas

Pirâmides

Cilindros

Cones

Esferas

No âmbito das posições relativas, ambos os livros tratam de:

- Paralelas

- Concorrentes ou secantes

- Perpendiculares

- Coincidentes

A forma de apresentar é semelhante, como se pode notar pelo subtítulo das

seções:

LIVRO 1 LIVRO 2

Posições relativas: duas retas no espaço Posições relativas entre duas retas

Posições relativas: uma reta e um plano no espaço

Posições relativas entre reta e plano

Dois planos no espaço Posições relativas entre dois planos

Quadro 2: Apresentação do conteúdo das subseções.

No âmbito do paralelismo e perpendicularismo, foi possível observar que no livro 1

eles são tratados separadamente desde o início, enquanto no livro 2 são apresentados

conjuntamente a princípio, mas na sequência as propriedades os separam:

LIVRO 1: Paralelismo

Teorema 1: Se uma reta r é paralela a um plano α, e se um plano β contém r e é secante a α

segundo uma reta s, então as retas r e s são paralelas.

Teorema 2: Se uma reta r, não contida num plano α, é paralela a uma reta s, contida em α,

então r e α são paralelas

Teorema 3: Se α e β são planos paralelos, então qualquer reta r contida em α é paralela ao

plano β.

Teorema 4: Se um plano α contém duas retas, r e s, concorrentes e ambas paralelas a outro

plano β, então α e β são paralelos.

Quadro 3: Apresentação dos conteúdos referidos ao paralelismo

LIVRO 1: Perpendicularismo

Teorema 1: Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então r faz ângulo de 90º com

qualquer reta contida em α.

Teorema 2: Se uma reta r, concorrente a um plano α em um ponto A, faz ângulo reto com duas

retas concorrentes s e t desse plano α, então a reta r é perpendicular ao plano α.

Teorema 3: Sejam dados uma reta r e um plano α tais que no ponto A. Sendo s uma reta

de α que passa pelo ponto A e t uma reta de α perpendicular a s e concorrente com esta num

ponto B ≠ A, então qualquer reta que passa pelo ponto B e por um ponto de r é perpendicular à

reta T.

Teorema 4: Duas retas, r e s, perpendiculares a um mesmo plano α são paralelas.

Teorema 5: Dados dois planos α e β perpendiculares segundo uma reta t, e uma reta r, contida

em α e perpendicular à reta t, então r é perpendicular β.

LIVRO 2: Paralelismo e Perpendicularismo

Primeiramente são apresentadas as propriedades de Paralelismo

Propriedade 1: Uma reta s não contida em um plano α é paralela a esse plano se for paralela a

uma reta r é contida em α.

Propriedade 2: Uma reta s paralela a um plano α é paralela a pelo menos uma reta r desse plano Propriedade 3: Se α e β são planos paralelos, toda reta s contida em um deles será paralelo ao outro.

Propriedade 4: Se α e β planos paralelos e um plano secante a α e β. As interseções de com

α e β são retas paralelas.

Na sequência, as propriedades de Perpendicularismo

Propriedade 1: Sejam r e s retas contidas no plano α e concorrentes em ponto P. Para que uma

reta t seja perpendicular a α em P, é necessário e suficiente que ela seja perpendicular a r e s.

Propriedade 2: Se s é uma reta perpendicular a um plano α, então qualquer reta r, paralela a s é

perpendicular a α.

Propriedade 3: Se α e β são planos paralelos, toda reta s perpendicular a um deles será perpendicular ao outro.

Quadro 5: Apresentação dos conteúdos referidos ao paralelismo e ao perpendicularismo

Quanto aos poliedros e corpos redondos, ambos os livros trazem semelhante

conteúdo, trazendo a nomenclatura, a definição de poliedros convexos e não convexos, a

relação de Euler e os Poliedros de Platão. As tabelas abaixo mostram a forma como

esses temas são distribuídos, como exemplo, iniciando com os conceitos bidimensionais:

Livro 1

• Elementos de um polígono regular inscrito:

O centro O e o raio r da circunferência na qual o polígono regular esta inscrito são denominados,

respectivamente, centro e raio do polígono.

Um ângulo α, cujo vértice está no centro da circunferência e cujos lados passam por dois vértices

consecutivos do polígono regular, é chamado ângulo central do polígono.

Os ângulos cujos lados são dois lados consecutivos do polígono são chamados ângulos internos

do polígono. A medida de cada ângulo interno de um polígono de n lados é dada por .

A distância m do centro O até o ponto médio M de um lado do polígono regular denomina-se

apótema do polígono

• Relações métricas nos polígonos regulares: Quadrado, hexágono regular e triângulo

equilátero

Quadro 6: Apresentação dos conteúdos bidimensionais

Prismas

Livro 1 Livro 2

Definição Definição

Elementos Elementos

Classificação Classificação

Secção de um prisma Volume de um prisma

Área da superfície de um prisma Volume do paralelepípedo reto retângulo

Paralelepípedo Principio de Cavalieri

Diagonal de um paralelepípedo retângulo Volume de um prisma qualquer

Área da superfície de paralelepípedo retangular

Volume de um paralelepípedo e de um cubo

Principio de Cavalieri

Volume de um prisma

Quadro 7: Apresentação dos conteúdos referentes a prismas.

Pirâmides

Livro 1 Livro 2

Definição Definição

Elementos e classificação Elementos

Pirâmide regular Secção meridiana

Secção de uma pirâmide Área da superfície de pirâmide

Área da superfície de uma pirâmide Volume da pirâmide

Tetraedro regular Volume de uma pirâmide qualquer

Altura do tetraedro regular Tronco de uma pirâmide reta

Área total do tetraedro regular Área de superfície de um tronco de

pirâmide reta

Volume de uma pirâmide Volume de um tronco de pirâmide reta

Tronco de uma pirâmide

Volume do tronco de pirâmide

Quadro 8: Apresentação dos conteúdos referentes a pirâmides.

Um último exemplo escolhido pra ser apresentado são dois exercícios, um de

cada exemplar, para mostrar como o mesmo tema foi abordado de forma semelhante.

Exemplo

Livro 1:

Em uma publicação cientifica de 1985, foi divulgada e descoberta de uma molécula tridimensional de carbono, na qual os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo cujas faces são 12 pentágonos e 20 hexágonos regulares. Em homenagem ao arquiteto norte-americano Buckminstes Fuller, a molécula foi denominada fulereno. Determine o número de átomos de carbono nessa molécula e o numero de ligações entre eles.

Resolução:

Sendo V o numero de átomos e A o numero de ligações entre eles, temos:

Face pentagonal: ligações

Como cada aresta (ligação) foi contada duas vezes, temos:

O numero de átomos (vértices) pode ser obtido pela relação de Euler:

A molécula possui 60 átomos e 90 ligações.

Livro 2:

(UFPel - RS) No país do México, há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o problema da armazenagem da pós-colheita de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola colocado uma base circular de alvenaria. A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 placas pentagonais.

Com base no texto, é correto afirmar que esse silo tem:

a. 90 arestas e 60 vértices

b. 86 arestas e 56 vértices

c. 90 arestas e 56 vértices

d. 86 arestas e 60 vértices

e. 110 arestas e 60 vértices

Resolução:

Número de faces

Número de arestas

20 faces hexagonais:

12 faces pentagonais:

Como cada aresta é comum a duas faces, o número de arestas do silo é:

Número de vértices

Substituindo o número de faces e o de arestas na relação de Euler, obtemos o número de vértices do silo.

Portanto, o silo tem 90 arestas e 60 vértices, ou seja, a alternativa correta é a.

Quadro 9: Exemplos. (livro 1, p. 203 e livro 2, p. 75)

Entrelaçando os exemplares

Ao fazer a análise dos dois exemplares, a partir da interlocução entre eles, foi

Inicialmente cabe observar que como se tem afirmado na literatura (por exemplo

GOUVÊA, 1998), alguns autores têm se preocupado em não deixar o capítulo de

Geometria para o final do livro. No livro 2, a Geometria está já no segundo capítulo. No

livro 1 ela ainda está no final, no capítulo 7, de um total de oito. Obviamente que estar no

início não é garantia de que o conteúdo será efetivamente estudado, menos ainda com

qualidade, mas evita, a princípio, que por falta de tempo o conteúdo não seja abordado

por estar no final do livro.

Além dessa diferença entre a posição do capítulo de Geometria, nota-se,

t

a quantidade de exercícios dos dois exemplares é significativamente diferente. O livro 1

traz 137 exercícios referentes aos temas aqui tratados, enquanto o livro 2 totaliza 208.

Uma última diferença que se registra é a abordagem mais formalista do livro 1.

Este tem uma preocupação maior com o rigor matemático, apresentando como um dos

objetivos específicos do capítulo “Reconhecer postulados (ou axiomas) e teoremas,

estabelecer diferenças entre essas noções e saber utilizá-las em problemas e

demonstrações” (p. 58).

Quanto às semelhanças, elas já foram indiretamente apresentadas na seção

anterior. É possível notar forte semelhança na apresentação dos conteúdos, na estrutura,

nos tópicos abordados, e até em alguns dos exercícios.

Esses são alguns dos resultados a partir do estudo realizado. São aspectos

iniciais para a análise dos livros didáticos aprovados pelo PNLD e das possibilidades de

comparação entre eles. Especialmente pensando na profissão docente, foco do evento,

este tema é relevante na medida que a escolha dos livros didáticos, no âmbito da escola

pública brasileira, está nas mãos do professor, e conhecer algumas das diferenças entre

eles pode contribuir para uma escolha consciente do professor.

Referências

ALMOULOUD, S.A.; MANRIQUE, A.L.; SILVA, M.J.F.; CAMPOS, T.M.M. A geometria no ensino fundamental: reflexões sobre uma experiência de formação envolvendo professores e alunos. Revista Brasileira de Educação, n.27, p.94-210, set/dez. 2004.

BRASIL. Ministério da Educação. Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=668&id=12391&option=

GIOVANNI Jr., J.R.; BONJORNO, J.R.; Sousa, P.R.C. Matemática uma nova abordagem: progressões: 2º ano, ensino médio/José Ruy Giovanni... [et al]. – 3. ed. – São Paulo: FTD, 2013. – (Série clássicos do ensino médio).

GOUVÊA, F.A.T. Aprendendo e ensinando Geometria com a demonstração: uma contribuição para a prática pedagógica do professor de Matemática do Ensino Fundamental. 1998. 200f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 1998.

SOUZA, J.R. Matemática: volume 3/Joamir Roberto de Souza. – 1. ed. – São Paulo: FTD, 2011. Coleção Novo olhar.

i Auxílio à Pesquisa – Regular, Processo 2013/22975-3, “A geometria nos livros didáticos e a integração das tecnologias digitais”.

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