Modelagem linear e identificação do modelo dinâmico de um robô móvel com acionamento diferencial

(1)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de P´

os-Graduac

¸˜

ao em Engenharia El´

etrica

Patricia Nishimura Guerra

Modelagem Linear e Identiﬁca¸

c˜

ao do Modelo

Dinˆ

amico de um Robˆ

o M´

ovel com Acionamento

Diferencial

Orientador: Prof D.Sc. Pablo Javier Alsina

Co-orientador: Prof D.Sc. Adelardo Adelino Dantas de Medeiros

Natal, RN

(2)

Patricia Nishimura Guerra

Modelagem Linear e Identiﬁca¸

c˜

ao do Modelo

Dinˆ

amico de um Robˆ

o M´

ovel com Acionamento

Diferencial

Disserta¸c˜ao submetida ao Programa de

Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica do

Cen-tro de Tecnologia da Universidade Federal do

Rio Grande do Norte, como parte dos

requi-sitos necess´arios para a obten¸c˜ao do grau de

Mestre em Ciˆencias (M.Sc.).

Orientador: Prof D.Sc. Pablo Javier Alsina

Co-orientador: Prof D.Sc. Adelardo Adelino Dantas de Medeiros

Natal, RN

(3)

Agradecimentos

Agrade¸co a todos que direta ou indiretamente ajudaram a realiza¸c˜ao deste trabalho.

Agrade¸co aos meus orientadores Pablo e Adelardo, pelas idéias, solu¸cões, paciência e

encorajamento. Agrade¸co aos amigos Marcelo, Antˆonio, Auciomar, Anne, Frederico e

Diogo, pela importante ajuda e pela companhia e amizade durante todo este mestrado.

Agrade¸co aos professores Aldayr e Francisco Mota, pelas valiosas contribui¸c˜oes durante a

qualifica¸cão. E, finalmente, agrade¸co também aos meus familiares, que sempre apoiaram

(4)

Sum´

ario

Lista de Figuras v

Resumo vi

Abstract vii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Modelos . . . 3

1.2 Revis˜ao da Literatura . . . 4

1.2.1 Modelos para Controle de Robˆos . . . 5

1.2.2 Identifica¸cão de Robôs . . . 7

1.3 Justiﬁcativa do Trabalho . . . 9

1.4 Objetivo e Escopo do Trabalho . . . 9

1.5 Organiza¸c˜ao da Disserta¸c˜ao . . . 10

2 Modelagem 11 2.1 Modelagem Cinem´atica . . . 11

2.2 Modelagem Dinˆamica . . . 14

2.3 Modelo Linear Equivalente . . . 19

3 Estima¸cão Paramétrica 21 3.1 Parametriza¸cão do modelo . . . 22

3.2 Estima¸c˜ao de ∆l . . . 23

3.2.1 Obten¸c˜ao da Distˆancia Percorrida . . . 24

3.2.2 Obten¸c˜ao do Sentido do Movimento . . . 26

(5)

3.3 Identifica¸cão de Parâmetros . . . 27

3.3.1 Experimentos Simulados . . . 29

3.4 Valida¸c˜ao do Modelo . . . 33

4 Resultados Experimentais 37 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 37

4.1.1 Considera¸c˜oes sobre a Coleta de Dados . . . 38

4.2 Estima¸c˜ao Param´etrica . . . 42

4.2.1 An´alise dos Res´ıduos . . . 45

4.3 Valida¸c˜ao de modelo . . . 50

5 Considera¸cões Finais 54 Referências Bibliográficas 56 A 60 A.1 Obten¸cão do modelo ARX a partir do modelo cont´ınuo no espa¸co de estados 60 A.2 Obten¸cão do modelo cont´ınuo no espa¸co de estados a partir do modelo ARX 63 B 66 B.1 Descri¸cão do robô usado nos experimentos . . . 66

B.2 Os robˆos . . . 67

B.3 Sistema de Percep¸c˜ao . . . 68

B.4 Gera¸c˜ao de sinais de controle . . . 69

B.5 Sistema de comunica¸c˜ao . . . 69

(6)

Lista de Figuras

1.1 Robô utilizado em competi¸cões de futebol de robôs . . . 1

1.2 Estacionamento de um robô móvel com restri¸cões não-holonômicas. Em (a) o movimento não-executável devido às restri¸cões e em (b) o movimento executável . . . 2

2.1 Representa¸cão esquemática do robô. . . 12

2.2 Restri¸cões não-holonômicas. . . 14

2.3 Análogo elétrico dos comportamentos linear e angular do robô . . . 15

2.4 Análogo elétrico dos motores direito e esquerdo do mini-robô . . . 16

2.5 Comportamento do robˆo para entradas iguais . . . 19

3.1 Diagrama para o c´alculo de _|∆l_| . . . 24

3.2 Diagrama para o c´alculo do sinal de ∆l . . . 26

3.3 Compara¸c˜ao entre ∆l e ∆l . . . 27

3.4 Exemplo dos sinais de excita¸c˜ao (ed e ee) do sistema . . . 30

3.5 Exemplo da trajetória de sa´ıda do sistema (observada durante 30 segundos) 30 3.6 Varia¸cão no tempo de alguns parâmetros . . . 30

3.7 Histogramas dos parˆametros α1 (a) e α2 (b), cujos valores originais s˜ao α1 =−1.77474 eα2 = 0.778119, respectivamente. . . 32

3.8 Histogramas dos parˆametrosγ11(c), δ11 (d) eε11(e), cujos valores originais s˜ao γ11= 5.76967×10− 5 ,δ11 = 1.16121×10− 5 e ε11=−4.54507×10− 5 . . 32

3.9 Histogramas dos parˆametrosγ12(f),δ12 (g) eε12 (h), cujos valores originais s˜ao γ12= 5.70085×10− 5 ,δ12 = 1.17463×10− 5 e ε12=−4.47806×10− 5 . . 33

3.10 Histogramas dos parˆametrosγ21 (i), δ21 (j) e ε21 (l), cujos valores originais s˜ao γ21= 0.0278875, δ21 =−0.00165186 e ε21=−0.0253767 . . . 33

(7)

3.11 Histogramas dos parˆametrosγ22(m),δ22(n) eε22(o), cujos valores originais

s˜ao γ22=−0.0272196, δ22 = 0.00159991 e ε22= 0.0247631 . . . 34

3.12 Compara¸cão entre simula¸cão discreta com valor médio dos parâmetros

es-timados e simula¸c˜ao cont´ınua . . . 35

3.13 Compara¸cão entre simula¸cão discreta com valor t´ıpico dos parâmetros

es-timados e simula¸c˜ao cont´ınua . . . 35

3.14 Compara¸cão entre trajetória observada e trajetória estimada . . . 36

4.1 Exemplo dos esquemas de gera¸c˜ao de entradas. . . 39

4.2 Exemplo de trajetória realizada pelo robô como resultado da aplica¸cão de

sinais persistentemente excitantes. . . 40

4.3 Exemplo dos sinais de sa´ıda (a) x(k) e y(k) e (b) θ(k). . . 40

4.4 Em (a) temos um exemplo de ∆θ calculado sem levar em conta as

espe-cificidades do sistema de visão e em (b) a mesma figura com o ajuste no

c´alculo de ∆θ. . . 41

4.5 Exemplo dos sinais de sa´ıda transformados ∆l (a) e ∆θ (b). . . 42

4.6 Compara¸c˜ao de magnitude entre ∆l e ∆θ. Na ﬁgura (a), ∆l foi

represen-tado em metros e em (b), em cent´ımetros. Em (a) e (b), ∆θfoi representado

em radianos. . . 44

4.7 Exemplo da evolu¸c˜ao dos parˆametrosα1 eα2 no tempo . . . 44

4.8 Exemplo da evolu¸c˜ao dos parˆametros (a)γ11_,12, (b)δ11_,12e (c)ε11_,12 no tempo 47

4.9 Exemplo da evolu¸c˜ao dos parˆametros (a)γ21,22, (b)δ21,22e (c)ε21,22 no tempo 48

4.10 Exemplo de FAC dos res´ıduos obtidos da aplica¸c˜ao do m´etodo dos m´ınimos

quadrados. (a) FAC dos res´ıduos de ∆l e (b) FAC dos res´ıduos de ∆θ. As

linhas pontilhadas representam os limites do intervalo de conﬁan¸ca de 95%. 48

4.11 Exemplo de FAC dos res´ıduos obtidos da aplica¸c˜ao do m´etodo MQE. (a)

FAC dos res´ıduos de ∆l e (b) FAC dos res´ıduos de ∆θ. As linhas

pontilha-das representam os limites do intervalo de conﬁan¸ca de 95%. . . 49

4.12 Exemplo da simula¸c˜ao discreta (um passo a frente) de ∆l (a) e ∆θ (b) no

tempo . . . 53

4.13 Exemplo da simula¸c˜ao discreta (predi¸c˜ao livre) de ∆l (a) e ∆θ (b) no tempo 53

(8)

B.1 Arquitetura do sistema robˆo-computador . . . 67

B.2 Robˆo . . . 67

B.3 Aquisi¸c˜ao de imagem . . . 67

B.4 R´otulos dos robˆos . . . 68

B.5 Campo de jogo . . . 68

B.6 C´alculo do ponto central de um c´ırculo . . . 69

(9)

Resumo

Esta disserta¸cão apresenta uma metodologia de modelagem e identifica¸cão para um

robô móvel dotado de rodas. O modelo dinâmico discreto proposto leva em considera¸cão

a dinâmica dos atuadores. Ao contrário da abordagem clássica, onde as coordenadas de

posi¸cão do robô (x, y) são usadas como variáveis de estado (o que resulta em um modelo

n˜ao linear), o modelo discreto proposto utiliza o incremento na distˆancia percorrida pelo

robˆo ∆l. Com isto, o modelo resultante ´e linear e invariante no tempo, podendo ser

identificado utilizando qualquer método clássico, como por exemplo os m´ınimos

quadra-dos recursivos. Um problema desta abordagem é que a variável ∆l não é diretamente

mensur´avel. Nesta proposta, este problema ´e contornado usando uma estimativa ∆l cal-culada assumindo que o caminho percorrido durante um per´ıodo de amostragem pode ser

aproximado por uma curva de segundo grau. O método proposto é validado através de

resultados de simula¸cão computacional e experiências práticas.

Palavras-chave: identifica¸cão paramétrica, robôs móveis, modelo linear, m´ınimos

qua-drados.

(10)

Abstract

This work presents a modelling and identiﬁcation method for a wheeled mobile robot,

including the actuator dynamics. Instead of the classic modelling approach, where the

robot position coordinates (x, y) are utilized as state variables (resulting in a non linear

model), the proposed discrete model is based on the travelled distance increment ∆l.

Thus, the resulting model is linear and time invariant and it can be identiﬁed through

classical methods such as Recursive Least Mean Squares. This approach has a problem:

∆l can not be directly measured. In this paper, this problem is solved using an estimate

∆l based on a second order polynomial approximation. Experimental data were colected

and the proposed method was used to identify the model of a real robot.

Keywords: parameter identiﬁcation, mobile robots, linear model, least mean squares.

(11)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Os robôs móveis e, em particular, os robôs terrestres têm sido muito estudados nos

´

ultimos anos. Para se locomoverem, estes robˆos podem se servir de rodas, esteiras,

“pa-tas” ou outros métodos de locomo¸cão. Neste trabalho nos concentraremos nos robôs

móveis dotados de rodas. Um exemplo deste tipo de ve´ıculo robótico móvel utilizado em

competi¸cões de futebol de robôs é apresentado na figura 1.1.

Figura 1.1: Robô utilizado em competi¸cões de futebol de robôs

Uma caracter´ıstica importante dos robôs móveis dotados de rodas é a presen¸ca de

restri¸cões não-holonômicas. Uma restri¸cão não-holonômica impede que o robô execute

movimentos normais `a superf´ıcie do corpo de suas rodas. A ﬁgura 1.2 apresenta com

clareza como as restri¸cões não-holonômicas se apresentam em uma aparentemente simples

tarefa de estacionamento.

Na figura 1.2, é poss´ıvel notar que a trajetória mais intuitiva para o estacionamento,

sem levar em considera¸c˜ao o sistema de locomo¸c˜ao, seria uma linha reta deslocando o

robô lateralmente para a posi¸cão final desejada (a). No entanto, esta trajetória não é

realizável por este sistema de locomo¸cão. Desta forma, é necessário que seja gerada uma

trajetória levando em considera¸cão as restri¸cões não-holonômicas impostas pelo sistema

(12)

CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO 2

( a ) ( b )

Figura 1.2: Estacionamento de um robô móvel com restri¸cões não-holonômicas. Em (a)

o movimento não-executável devido às restri¸cões e em (b) o movimento executável

O problema de controle de robôs móveis não-holonômicos tem sido bastante estudado

nos últimos anos. Este tipo de robô pertence a uma classe de sistemas não-lineares,

multivariáveis, sub-atuados e com restri¸cões não-holonômicas de movimento, constituindo

assim um problema de controle bastante desaﬁador.

O projeto destes sistemas de controle pode ser abordado de duas formas: considerando

apenas o modelo cinemático do robô, ou considerando, adicionalmente, o modelo dinâmico

do robô. O modelo cinemático representa as caracter´ısticas geométricas diferenciais do

movimento do robˆo, ou seja o mapeamento entre velocidades em diferentes referenciais.

Já o modelo dinâmico é responsável por representar como o robô responde às entradas

de controle externas (torques aplicados `as suas rodas) no decorrer do tempo, levando

em conta sua massa, momento de in´ercia, modelo dinˆamico dos atuadores do sistema e

for¸cas de atrito envolvidas. Controladores que levam em conta o modelo completo do robˆo

(cinem´atico e dinˆamico) devem obter, portanto, resultados melhores e mais abrangentes.

Isso pode ser observado, principalmente, em aplica¸cões de alta precisão ou em aplica¸cões

onde os robˆos atingem altas velocidades.

Para que se possa projetar controladores que levem em conta o modelo completo

do robˆo deve-se, previamente, obter esse modelo realizando a modelagem matem´atica

do robô. Uma das técnicas utilizadas neste processo é a modelagem caixa-branca ou

modelagem pela f´ısica ou natureza do processo, onde se deve conhecer bem o sistema a

ser modelado e os fenômenos envolvidos. Porém, esta abordagem nem sempre é trivial,

principalmente no que diz respeito à obten¸cão de valores para os parâmetros dinâmicos.

Um outro tipo de abordagem que pode ser usada na obten¸c˜ao de modelos matem´aticos

é a identifica¸cão de sistemas. Esta abordagem, ao contrário da modelagem caixa-branca,

(13)

ser modelado é representado por uma ou mais fun¸cões parametrizadas, cujos parâmetros

são identificados através de um conjunto de dados de entrada e de sa´ıda do sistema. A

defini¸cão da estrutura das fun¸cões (modelo) é uma tarefa bastante trabalhosa se o sistema

´e completamente desconhecido.

No entanto, em alguns casos, é poss´ıvel utilizar técnicas de identifica¸cão de sistemas

juntamente com a modelagem caixa-branca. Este m´etodo ´e conhecido como modelagem

caixa-cinza. Pode-se, por exemplo, utilizar técnicas de identifica¸cão na estima¸cão de

parˆametros dif´ıceis de se obter em um modelo encontrado atrav´es da modelagem pela

natureza do processo. Esta abordagem ser´a utilizada neste trabalho.

Na próxima se¸cão serão apresentados alguns conceitos sobre modelos, que serão

utili-zados no cap´ıtulo 2.

1.1 Modelos

Um modelo matemático de um sistema real é uma representa¸cão aproximada do

com-portamento deste sistema. V´arias representa¸c˜oes diferentes para um mesmo sistema

po-dem existir. Quanto mais real´ıstico o modelo, maior a sua complexidade. Deve-se,

por-tanto, perceber que grau de aproxima¸cão será necessário para a aplica¸cão a que se destina

o modelo.

Existem diversos tipos de modelos e diversas formas de se representarem estes modelos.

A seguir mencionam-se os tipos mais comuns.

• Modelos discretos e cont´ınuos - Modelos cont´ınuos representam continuamente a evolu¸c˜ao do sistema no tempo. Em contraste, modelos discretos representam a

evolu¸c˜ao do sistema em instantes de tempo determinados.

• Modelos multivariáveis e monovariáveis - Um modelo com mais de uma entrada e/ou mais de uma sa´ıda é chamado multivariável. Já os modelos monovariáveis

pos-suem apenas uma entrada e uma sa´ıda. Pode-se representar sistemas multivari´aveis

atrav´es de modelos monovari´aveis quando decide-se que apenas uma das entradas e

apenas uma das sa´ıdas s˜ao signiﬁcativas.

(14)

do ponto de opera¸cão. Sistemas não-lineares são muitas vezes representados através

de modelos lineares mais simples.

Modelos dinˆamicos, que representam a evolu¸c˜ao temporal de um sistema, podem ser

representados matematicamente principalmente atrav´es de trˆes formas.

• Fun¸cão de transferência - Descreve a rela¸cão dinâmica de causa e efeito entre en-tradas e sa´ıdas de um sistema no dom´ınio da frequência. No caso cont´ınuo, é a

transformada de Laplace da resposta ao impulsoh(t) do sistema para condi¸c˜oes

ini-ciais nulas. Já no caso discreto, é a transformada _Z da resposta ao pulsoh(k) para condi¸cões iniciais nulas. As fun¸cões de transferência são normalmente representadas

como um quociente de dois polinˆomios.

• Representa¸cão no espa¸co de estados - Esta representa¸cão modela (além da rela¸cão entre entrada e sa´ıda) rela¸cões entre variáveis internas do sistema no dom´ınio do

tempo. H´a diversas maneiras de representar um sistema no espa¸co de estados, n˜ao

existindo uma representa¸c˜ao ´unica.

• Equa¸cão de diferen¸ca - São representa¸cões discretas no dom´ınio do tempo espe-cialmente adequadas à identifica¸cão de sistemas. Como exemplo, pode-se citar o

modelo auto-regressivo com entradas externas (ARX do inglˆes autoregressive with

exogenous inputs).

O robô em estudo constitui um sistema dinâmico não-linear cont´ınuo. Porém, como a

supervisão e o controle do sistema serão realizados através de um computador e de uma

câmera de v´ıdeo digital, pode-se obter e enviar informa¸cões a respeito do robô apenas

em instantes de tempo determinados. Por esse motivo, ´e mais adequado que o robˆo seja

modelado como um sistema discreto.

Este robô deve ser modelado também como um sistema multivariável. Quanto às

formas matemáticas de representa¸cão, as três formas citadas acima serão utilizadas para

se representar o robˆo no decorrer deste trabalho.

1.2 Revis˜

ao da Literatura

Esta se¸cão está organizada da seguinte forma. Primeiramente serão mostrados os

(15)

se-CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO 5

guida serão apresentados alguns trabalhos sobre identifica¸cão de sistemas robóticos móveis

encontrados na literatura.

1.2.1 Modelos para Controle de Robˆ

os

Modelos matem´aticos podem ser utilizados em todas as ´areas do conhecimento. Como

exemplos, podemos citar o trabalho de Randhawa et al. [1] onde um modelo descreve a

natureza da atividade intestinal, ou o trabalho de Wexler et al. [2] que usa um modelo

matemático para predizer a for¸ca gerada por músculos esqueléticos em ratos. Em seu

livro [3], Aguirre apresenta outros exemplos de modelos diversos.

No caso dos robôs móveis, dois tipos principais de modelos são utilizados. Os modelos

cinemáticos, que correspondem a uma descri¸cão geométrica do movimento dos robôs e os

modelos dinâmicos, que são mais complexos pois representam a rela¸cão entre o movimento

do robˆo e os esfor¸cos que o produzem.

Diversos tipos de modelos cinemáticos ou dinâmicos foram desenvolvidos para robôs

móveis não-holonômicos. Modelos LTI (linear time invariant- linear invariante no tempo)

são obtidos normalmente através da lineariza¸cão por série de Taylor sobre um único

ponto de opera¸c˜ao do sistema. Economou et al. [4] apresenta um modelo do tipo QLPV

(quasi-linear parameter-varying- quase linear com parˆametros variantes) para um robˆo do

tipo carro, utilizado em simula¸cões. Utilizando dados destas simula¸cões, vários modelos

locais lineares Takagi-Sugeno s˜ao identiﬁcados. A s´ıntese destes modelos resulta em uma

aproxima¸cão para um modelo dinâmico não-linear.

Laumond et al. [5] e Luca et al. [6] apresentam modelos cinem´aticos para alguns tipos

de robôs móveis com rodas. Nestes trabalhos é demonstrado como transformar estes

modelos n˜ao-lineares em modelos na forma canˆonica encadeada (chained form systems).

Esta representa¸cão também é utilizada por Ge e Zhou [7].

Em um artigo bastante interessante, Campion et al. [8] realizam uma an´alise da

estrutura dos modelos cinemático e dinâmico dos robôs móveis com rodas. Este trabalho

divide os robˆos em cinco classes, caracterizadas pela estrutura geral das equa¸c˜oes dos

modelos. Para cada classe, s˜ao derivadas propriedades estruturais dos modelos cinem´atico

e dinˆamico, levando-se em conta restri¸c˜oes de mobilidade.

(16)

o m´etodo de Newton-Euler ou a abordagem Lagrangeana. Thanjavur e Rajagopalan [9]

modelam um robô móvel dotado de rodas através da abordagem de Kane. Este artigo

enfatiza as vantagens do método de Kane para sistemas não-holonômicos e apresenta o

modelo dinˆamico resultante.

Quando procura-se modelar algum sistema deve-se ter em mente qual ser´a a utiliza¸c˜ao

deste modelo. Desse modo, pode-se realizar a modelagem com o grau de precis˜ao e

complexidade necessários. Após a obten¸cão do modelo deve-se realizar testes de utiliza¸cão

para que seja conﬁrmada a viabilidade do mesmo.

Na área de robótica móvel, modelos matemáticos são utilizados principalmente em

controle, estima¸cão e simula¸cão. Estimadores de configura¸cão (posi¸cão e orienta¸cão) são

encontrados em alguns trabalhos realizando a predi¸cão do movimento de robôs móveis.

Pereira et al. [10] utiliza as predi¸c˜oes para compensar atrasos de transporte e melhorar a

resposta transit´oria dos robˆos.

Poucos trabalhos tratando exclusiva e detalhadamente sobre simuladores de robˆos

m´oveis [11] foram encontrados na literatura. Por´em, uma grande parte dos trabalhos

com robôs móveis (por exemplo, em controle e planejamento de trajetórias) utilizam

simuladores [12], pois nem sempre as plataformas de testes (robˆos) est˜ao dispon´ıveis, e,

mesmo estando, não é conveniente (nem prático) que testes iniciais sejam realizados com

os robˆos.

A maioria dos trabalhos de controle de robˆos m´oveis baseia-se apenas em modelos

cinem´aticos. Estes trabalhos partem do pressuposto de que o sinal de controle el´etrico

´e transformado instantaneamente em velocidades nas rodas desconsiderando, portanto,

os efeitos dinˆamicos provocados pelas for¸cas de atrito, massa e momento de in´ercia, por

exemplo. Porém, há alguns anos, os pesquisadores têm-se voltado para a necessidade

da utiliza¸cão do modelo dinâmico [13]. Essa necessidade torna-se vis´ıvel em opera¸cões

que necessitem de maior precis˜ao ou em movimentos em alta velocidade, onde os efeitos

dinˆamicos citados tornam-se relevantes.

Muitas das estratégias de controle para compensa¸cão da dinâmica de robôs móveis

não-holonômicos são baseadas em duas malhas de controle, uma mais interna, responsável pelo

controle dinâmico, e outra mais externa, responsável pelo controle cinemático. Estratégias

(17)

A maioria dos trabalhos em controle adaptativo de robˆos m´oveis [12, 14, 15, 16, 17, 18,

19] também utiliza o modelo dinâmico, visto que estes trabalhos geralmente são motivados

pela existˆencia de parˆametros desconhecidos ou conhecidos com incerteza nos modelos e

este tipo de parâmetro é encontrado nos modelos dinâmicos. Isso porque, geralmente, é

fácil realizar medi¸cões dos parâmetros geométricos do robô (parâmetros que compõem o

modelo cinem´atico).

Maiores detalhes sobre a literatura dispon´ıvel em controle de robˆos m´oveis podem ser

obtidas no trabalho de Vieira et al. [20].

1.2.2 Identiﬁca¸

c˜

ao de Robˆ

os

Normalmente, modelos matemáticos real´ısticos são obtidos através das leis f´ısicas

anal´ıticas que regem o comportamento dos robˆos. Por´em, em alguns casos, os sistemas

são muito complexos de forma que esta abordagem não é poss´ıvel ou torna-se demasiado

trabalhosa. Pode-se empregar, então, uma abordagem conhecida como identifica¸cão de

sistemas.

O modelo matemático clássico de um robô móvel possui estrutura semelhante à do

modelo matemático de robôs manipuladores, de modo que técnicas de identifica¸cão

pa-ramétrica desenvolvidas para estes últimos podem ser adaptadas para a identifica¸cão de

robôs móveis. No entanto, a maioria destas técnicas pressupõe que medi¸cões das

veloci-dades e acelera¸cões do robô são dispon´ıveis, o que geralmente não é verdade.

Poignet e Gautier [21] realizam uma an´alise comparativa entre o m´etodo dos m´ınimos

quadrados ponderados (WLS) e o filtro de Kalman estendido (EKF) para identifica¸cão de

robˆos manipuladores. Os m´etodos utilizam modelos diferentes: o WLS utiliza o modelo

dinâmico inverso que é linear em parâmetros e o EKF se baseia no modelo no espa¸co de

estados obtido do modelo dinˆamico direto. O algoritmo EKF estima tanto as velocidades

quanto os parˆametros enquanto o WLS necessita que as velocidades e acelera¸c˜oes das

jun-tas sejam calculadas separadamente através de um filtro passa-faixa. Porém, o algoritmo

EKF consome mais tempo de processamento que o WLS. As estimativas dos parˆametros

são muito próximas em ambos os métodos, se valores iniciais próximos dos reais forem

fornecidos para o EKF.

(18)

de sistemas não-lineares. Sistemas de inferência neuro-fuzzy adaptativos são a base deste

estudo e a dinâmica é solucionada através do método de Runge-Kutta. O método é

aplicado em um manipulador SCARA de dois graus de liberdade.

Ainda sobre manipuladores, Swevers et al. [23] discute a identiﬁca¸c˜ao experimental de

modelos dinˆamicos para aplica¸c˜ao em controle baseados em modelo, como por exemplo

o controle por torque computado. Na estima¸cão de parâmetros é utilizado o método da

m´axima verossimilhan¸ca (maximum likelihood), baseado em uma estrutura estat´ıstica.

Trabalhos tratando especificamente sobre identifica¸cão de modelos de robôs móveis

com rodas são mais raros. Tounsi et al. [24] identifica as equa¸cões dinâmicas de um

robô móvel com restri¸cões não-holonômicas e as usa para implementar uma lei de

con-trole por torque computado. O modelo linear em parâmetros é identificado através das

t´ecnicas de m´ınimos quadrados. Geralmente, a diﬁculdade encontrada quando realiza-se

a identifica¸cão do modelo linear em parâmetros (de forma similar à usada nas técnicas

de identifica¸cão para manipuladores) é a obten¸cão das velocidades e acelera¸cões, que nem

sempre s˜ao dispon´ıveis. No trabalho de Tounsi et al., as velocidades s˜ao calculadas em

tempo real usando-se simplesmente a diferen¸ca finita entre posi¸cões filtradas.

Em Pereira [25] e Pereira et al. [10] é realizada a identifica¸cão do modelo dinâmico

de micro-robˆos utilizando o m´etodo dos m´ınimos quadrados estendido. Como o modelo a

ser identificado através do LMS é não-linear, é utilizada uma simplifica¸cão: a orienta¸cão

θ(t), variante no tempo, ´e considerada constante em cada intervalo de amostragem.

Moreira et al. [26] também realiza a modelagem e identifica¸cão de um robô móvel

com duas rodas. Neste trabalho, o modelo cinemático é identificado através da

modela-gem fenomenológica e o modelo dinâmico, incluindo a dinâmica dos atuadores (motores

de corrente cont´ınua), é identificado utilizando-se estimadores paramétricos. É realizada

uma compara¸cão entre três estimadores: os m´ınimos quadrados simples, variáveis

instru-mentais e os m´ınimos quadrados generalizados, concluindo-se que os m´ınimos quadrados

simples produz estimativas piores pois os dados utilizados est˜ao contaminados por ru´ıdos

não-brancos. O modelo cinemático não-linear é discretizado utilizando-se a aproxima¸cão

por diferen¸cas avan¸cadas, cujos resultados, segundo o autor, s˜ao equivalentes aos de uma

integra¸c˜ao pelo m´etodo de Euler com passo igual ao per´ıodo de amostragem.

(19)

se identificar um modelo linearizado, é realizar a identifica¸cão do modelo completo

não-linear através de técnicas de identifica¸cão de sistemas não-não-lineares. Em um de seus

traba-lhos [27], Huaguang e Yongbing prop˜oem um modelo nebuloso hiperb´olico para sistemas

n˜ao-lineares. O modelo proposto pode ser visto como uma rede neural e seus parˆametros

podem ser identificados através do algoritmo de retropropaga¸cão do erro (

Backpropaga-tion).

1.3 Justiﬁcativa do Trabalho

Foi visto que a maioria dos modelos utilizados em controle s˜ao apenas cinem´aticos.

Quanto aos modelos dinâmicos, a imensa maioria não inclui a dinâmica dos atuadores

(motores). Essa dinâmica, por ser bem mais rápida, é normalmente desprezada. Também

foi observado que existem poucos trabalhos tratando especificamente de identifica¸cão em

tempo real de robˆos m´oveis.

O modelo dinâmico desenvolvido neste trabalho para o robô móvel é linear, porém

totalmente equivalente ao cl´assico modelo n˜ao-linear utilizado normalmente na literatura.

Na obten¸cão deste modelo não foram realizadas simplifica¸cões nem lineariza¸cões.

A principal contribui¸c˜ao deste trabalho ´e o desenvolvimento deste modelo e a

com-prova¸c˜ao da possibilidade do seu uso.

1.4 Objetivo e Escopo do Trabalho

O principal objetivo deste trabalho ´e realizar a modelagem matem´atica linear e a

identifica¸cão paramétrica em tempo real de um robô móvel com rodas sem nenhum tipo

de processamento local e observado por vis˜ao computacional.

Os testes pr´aticos deste trabalho foram realizados no futebol de mini–robˆos, projeto

em desenvolvimento na UFRN por alunos de gradua¸cão e pós-gradua¸cão. No entanto, o

escopo de aplica¸c˜ao deste trabalho ´e bastante amplo, podendo ser utilizado em qualquer

(20)

1.5 Organiza¸

c˜

ao da Disserta¸

c˜

ao

O restante deste texto est´a organizado da seguinte maneira: No cap´ıtulo 2 ´e

apre-sentada a modelagem f´ısica e matemática do robô móvel utilizado neste trabalho. No

cap´ıtulo 3 o modelo é parametrizado em uma forma mais adequada para a identifica¸cão

de modelos, a metodologia usada na identifica¸cão do modelo é apresentada juntamente

com resultados obtidos atrav´es de simula¸c˜oes. Resultados experimentais, obtidos com

o uso da plataforma descrita no apˆendice B, s˜ao mostrados no cap´ıtulo 4. Finalmente,

no cap´ıtulo 5, os pontos principais do trabalho desenvolvido s˜ao sintetizados e poss´ıveis

(21)

Cap´ıtulo 2

Modelagem

Com o desenvolvimento de novas t´ecnicas de projeto de controladores de robˆos

basea-dos em modelos, a modelagem e identifica¸cão de robôs têm ganhado mais destaque e sua

utiliza¸c˜ao tem se ampliado.

Neste cap´ıtulo é apresentada a modelagem fenomenológica de um robô móvel

não-holonômico com duas rodas e acionamento diferencial. A modelagem fenomenológica

consiste na deriva¸c˜ao do modelo matem´atico a partir das leis f´ısicas envolvidas no processo

e na medi¸cão de todos os parâmetros que contribuem para a dinâmica do processo.

O modelo de um robˆo pode ser dividido em duas partes, um modelo cinem´atico e

outro dinâmico. O modelo cinemático do robô representa as caracter´ısticas geométricas e

restri¸cões de seus movimentos. O modelo dinâmico é responsável por representar como o

robˆo responde `as entradas de controle externas que produzem o movimento no decorrer do

tempo, levando em conta sua massa, momento de in´ercia, modelo dinˆamico dos atuadores

e for¸cas de atrito envolvidas.

Neste cap´ıtulo também é derivado um modelo dinâmico linear exatamente equivalente

ao não-linear, que será usado na identifica¸cão e no controle do robô.

2.1 Modelagem Cinem´

atica

O sistema modelado consiste em um pequeno robˆo m´ovel dotado de duas rodas com

acionamento diferencial, utilizado em competi¸cões de futebol de robôs. Este robô, de

(22)

CAP´ITULO 2. MODELAGEM 12

para cada roda, controlados remotamente via r´adio–enlace por um computador pessoal.

A figura 2.1 mostra uma representa¸cão esquemática do robô modelado. Nesta figura,

a configura¸cão do robô é representada por sua posi¸cão no espa¸co cartesiano (x e y, que

é a posi¸cão do centro do robô em rela¸cão a um referencial fixo no espa¸co de trabalho), e

por sua orienta¸cão θ (ângulo entre o vetor de orienta¸cão do robô e o eixo x do referencial

ﬁxo no espa¸co de trabalho). A seguinte nomenclatura ´e adotada:

d ´e o comprimento do eixo;

rd, re s˜ao os raios das rodas direita e esquerda, respectivamente;

ωd, ωe s˜ao as velocidades angulares das rodas direita e esquerda, respectivamente;

vd, ve s˜ao as velocidades lineares de um ponto nas bordas externas das rodas direita e

esquerda, respectivamente;

v ´e a velocidade linear do robˆo;

ω ´e a velocidade angular do robˆo.

f ´e a for¸ca resultante no robˆo;

τ ´e o torque resultante no robˆo;

τd, τe s˜ao os torques motores nas rodas direita e esquerda, respectivamente;

fd, fe s˜ao as for¸cas motrizes nas bordas externas das rodas direita e esquerda,

respectiva-mente;

Y

X

re

rd

v, f

vd, fd

ve, fe

ω, τ ωd, τd

ωe, τe

d θ

x y

Figura 2.1: Representa¸cão esquemática do robô.

A velocidade linear v e angular ω do mini-robˆo s˜ao dadas por:

v = vd+ve

2 ω =

(23)

Sendo as velocidades lineares das rodas dadas por vd = ωdrd e ve = ωere, ´e poss´ıvel

encontrar as velocidades angulares das rodas do mini-robˆo em fun¸c˜ao das velocidades

linear e angular do mini-robˆo. Assim, tˆem-se:

ωd= 1 rdv+

d

2rdω ωe =

1 rev−

d 2reω

que na forma matricial pode ser escrita como:

ω =ωTvv (2.1)

ou na forma:

v=ω_T−1

v ω =

v_Tω

ω (2.2)

onde:

ω=

⎡ ⎣ωd

ωe

⎤

⎦ v=

⎡ ⎣v

ω

⎤

⎦ ω_Tv ₌

⎡

⎣1/rd d/2rd

1/re ₋d/2re

⎤ ⎦

O vetorvrepresenta as velocidades no referencial do robˆo, com origem no centro do robˆo,

e ω ´e o vetor de velocidades no espa¸co dos atuadores.

O método de locomo¸cão do robô em estudo impede que ele se movimente lateralmente

(perpendicular ao plano das rodas), tendo liberdade para deslocar-se apenas na dire¸c˜ao

em que está orientado. Isto é expresso por restri¸cões matemáticas que se enquadram na

categoria das restri¸cões não-holonômicas. De acordo com a figura 2.2, para deslocamentos

incrementais, tem-se:

dx=vdtcosθ _→ x˙ =vcosθ (2.3)

dy=vdtsenθ _→ y˙ =vsenθ (2.4)

dθ =ωdt _→ θ˙=ω (2.5)

Igualando-se o valor de v calculado a partir das equa¸c˜oes (2.3) e (2.4), chega-se `a

restri¸cão não-holonômica:

˙

xsenθ = ˙ycosθ (2.6)

As equa¸cões (2.3), (2.4) e (2.5), que representam omodelo cinemático para este robô,

podem ser escritas em forma matricial

˙

(24)

CAP´ITULO 2. MODELAGEM 14 dx vdt dy v y x θ

Figura 2.2: Restri¸cões não-holonômicas.

onde q= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x y θ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥

⎦, q˙ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ x ˙ y ˙ θ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ e

q_Tv₍_θ_{) =}

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

cosθ 0

senθ 0

0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

O vetorq representa a configura¸cão do robô e o vetor ˙q representa as velocidades no

espa¸co de configura¸cão do robô (espa¸co das variáveis x,y eθ). Substituindo-se a equa¸cão

(2.2) na equa¸c˜ao (2.7) pode-se obter a rela¸c˜ao entre as velocidades no espa¸co de atuadores

e no espa¸co de conﬁgura¸c˜ao:

˙

q=qTv(θ)vTωω (2.8)

Pela deﬁni¸c˜ao da matriz q_Tv₍_θ_{), constata-se que:}

q_TT v (θ)

q_Tv₍_θ_{) =} _I

ondeI´e a matriz identidade. Desta forma, pode-se multiplicar a equa¸c˜ao (2.7) porq_TT v (θ),

o que leva a:

v=q_TT

v (θ) ˙q (2.9)

2.2 Modelagem Dinˆ

amica

A equa¸cão mecânica do robô pode ser obtida através das leis de Newton e Euler do

movimento (observe o análogo elétrico dos comportamentos linear e angular na figura

2.3), que podem ser expressas em forma matricial como:

f =Mrv˙ +Brv (2.10)

onde: f = ⎡ ⎣f τ ⎤

⎦ Mr=

⎡ ⎣m 0

0 J

⎤

⎦ Br =

⎡

⎣βlin 0

0 βang

⎤

⎦ v˙ =

⎡ ⎣v˙

˙ ω

(25)

sendo m a massa total do mini-robô, J o seu momento de inércia, βlin é o coeficiente de

atrito entre o robô e o solo durante os movimentos lineares eβang é o respectivo coeficiente

de atrito, para movimentos angulares.

f,τ

v,ω

m, J

1 βlin,

1 βang

Figura 2.3: Análogo elétrico dos comportamentos linear e angular do robô

As for¸cas exercidas sobre as rodas s˜ao fd = τd/rd e fe = τe/re enquanto a for¸ca e o

torque exercidos sobre o mini-robˆo s˜ao, respectivamente:

f =fd+fe τ =fdd

2−fe d

2 (2.11)

Substituindofd e fe nas equa¸c˜oes 2.11, tem-se:

f = 1 rdτd+

1

reτe τ =

d 2rdτd−

d 2reτe

que, escrevendo na forma matricial torna-se:

f =ωTvTτ (2.12)

onde τ = [τd τe]T.

Assim, igualando-se as equa¸c˜oes 2.10 e 2.12, obt´em-se:

ω_TT

v τ =Mrv˙ +Brv (2.13)

Com rela¸cão à dinâmica dos atuadores, os análogos elétricos dos motores direito e

esquerdo são apresentados na figura 2.4. As nomenclaturas adotadas são:

ed, ee s˜ao as tens˜oes de armadura dos motores direito e esquerdo, respectivamente;

Rd, Re s˜ao as resistˆencias dos enrolamentos de armadura dos motores direito e esquerdo,

respectivamente;

id, ie s˜ao as correntes de armadura dos motores direito e esquerdo, respectivamente;

Kd, Ke s˜ao as constantes de torque dos motores direito e esquerdo, respectivamente;

(26)

CAP´ITULO 2. MODELAGEM 16 − + − + id,e Jd,e Rd,e

Kd,eωd,e Kd,eid,e

Jd,eω˙d,e

ωd,e

βd,eωd,e

ed,e τd,e

1

β_d,e

Figura 2.4: Análogo elétrico dos motores direito e esquerdo do mini-robô

βd, βe s˜ao os coeﬁcientes de atrito viscoso angular entre os rotores e eixos dos motores e

seus apoios.

Deste circuito ´e poss´ıvel obter as seguintes equa¸c˜oes:

i=Rme₋RmKmω (2.14)

τ =Kmi−Jmω˙ −Bmω (2.15)

onde: i= ⎡ ⎣id ie ⎤

⎦ e=

⎡ ⎣ed

ee

⎤

⎦ ω˙ =

⎡ ⎣ωd˙

˙ ωe

⎤

⎦ Rm =

⎡

⎣1/Rd 0

0 1/Re

⎤ ⎦

Km =

⎡

⎣Kd 0

0 Ke

⎤

⎦ Jm =

⎡ ⎣Jd 0

0 Je

⎤

⎦ Bm =

⎡ ⎣βd 0

0 βe

⎤ ⎦

Substituindo a equa¸c˜ao 2.14 na equa¸c˜ao 2.15, tem-se:

τ =RmKme−Jmω˙ −(RmK2

m+Bm)ω

Da equa¸cão 2.1, tem-se que a derivada deωem rela¸cão ao tempo é dada por ˙ω=ωTvv˙.

Assim:

τ =RmKme−JmωTvv˙ −(RmK2

m+Bm) ω

Tvv

que multiplicando por ω_TT

v torna-se:

ω_TT v τ = (

ω_TT

v RmKm)e−( ω_TT

v Jm ω_Tv_{) ˙}_v

−[ω_TT v (RmK

2

m+Bm)

ω_Tv_]_v _(2.16)

Igualando-se as equa¸c˜oes 2.13 e 2.16 e isolando o termo eme, obt´em-se:

ω_TT

v RmKme= (Mr+ ω_TT

v Jm

ω_Tv_{) ˙}_v_{+ [}_Br₊ω_TT v (RmK

2

(27)

que representa o modelo matemático do robô no referencial do robô. Este modelo pode

ser expresso em forma matricial como:

Kve=Mvv˙ +Bvv (2.17)

onde Kv ´e um ganho das entradas de controle e Mv e Bv s˜ao, respectivamente, a matriz

de in´ercia generalizada e a matriz de amortecimento generalizada, que inclui termos de

coeficientes de atrito viscoso e resistência elétrica, ambas constantes, simétricas, definidas

positivas. Estas trˆes matrizes s˜ao dadas por:

Kv =ωTvTRmKm

Mv =Mr+ωTvTJm ω

Tv

Bv =Br+ωTvT(RmK

2

m+Bm) ω

Tv

A partir deste modelo no referencial dos atuadores, pode-se tamb´em derivar um modelo

em vari´aveis de estado. Deﬁnindo-se os vetores:

x= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ v . . . q ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ v ω x y θ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ˙x= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙v . . . ˙q ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

pode-se obter um modelo do robˆo no espa¸co de estados a partir das equa¸c˜oes 2.7 e 2.17:

⎧ ⎨ ⎩

˙

x=A(θ)x+Be

y=Cx

(2.18)

onde:

A(θ) =

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

−M−1

v Bv ... 0

. . . .

q_Tv₍_θ₎ ... 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ B =

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

M−1 v Kv . . . . 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

A matriz C depende de quais sinais são relevantes na aplica¸cão onde o robô vai ser

empregado. Como normalmente se deseja controlar a posi¸cão e a orienta¸cão do robô:

y=q=

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x y θ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ → C= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

(28)

O modelo assim obtido é de quinta ordem, não-linear e multivariável, tendo como

entradas de controle as tens˜oes nos motores esquerdo e direito (isso porque foi inclu´ıda a

dinâmica elétrica destes motores) e como sa´ıda a ser controlada a posi¸cão do centro do

robˆo no espa¸co cartesiano (x, y) e a orienta¸c˜ao do seu eixo de movimentoθ. Dessa forma,

temos mais vari´aveis para controlar (x,y,θ) que vari´aveis de controle (ed,ee) e, portanto,

o sistema ´e sub-atuado, o que constitui um complicador a mais para o controle.

Ainda utilizando apenas a modelagem fenomenol´ogica, os valores nominais dos

diver-sos parâmetros f´ısicos do modelo foram levantados para um robô espec´ıfico. Através

de medi¸cões e cálculos foram encontrados valores para alguns dos parâmetros (como

massa, raio das rodas e momentos de in´ercia) do robˆo considerado neste trabalho. Outros

parâmetros, como por exemplo as constantes elétricas e a resistência de armadura dos

motores foram obtidas atrav´es dos dados do fabricante dos motores. Os coeﬁcientes de

atrito viscoso, por outro lado, foram estimados realizando-se testes com os robˆos reais

e simula¸c˜oes comparativas com diversos valores de coeﬁcientes, escolhendo-se os

coefici-entes de atrito cuja simula¸cão resultava em um comportamento mais próximo do real.

Chegou-se ao seguinte conjunto de valores, com todas as unidades no S.I.:

d= 0.0750

rd = 0.0251 re = 0.0254

m= 0.352 J = 13.02_×10−6 βlin = 0.1002 βang = 7.004_×10−5

Jd = 3.003_×10−6 _Je _{= 3}_.₀₀₅

×10−6 βd = 7.002_×10−6 _βe _{= 7}_.₀₀₂

×10−6 Kd = 2.04_×10−2 _Ke _{= 2}_.₀₁

×10−2 Rd = 17.331 Re = 17.301

(2.19)

Utilizando estes valores para simula¸c˜ao, chega-se a um modelo cujo comportamento

dinâmico em malha aberta e com entradas iguais é ilustrado na figura 2.5. Pode ser

observado que este robô não é simétrico, já que a trajetória descrita pelo mesmo é bastante

diferente da linha reta esperada. Isso ocorre porque foram adicionadas incertezas aos

parˆametros de modo que o lado esquerdo do robˆo fosse diferente do lado direito, o que de

(29)

t = 0 s

t = 15 s

0 2 4 6 8 10 12

0 1 2 3 4 5 6 7

y (m)

x (m)

Figura 2.5: Comportamento do robˆo para entradas iguais

2.3 Modelo Linear Equivalente

O modelo (2.18) ´e utilizado no simulador do robˆo, pois representa de forma mais

real´ıstica o comportamento do robˆo, visto que y= [ x y θ ]T _{pode ser obtido atrav´es}

de um sistema de visão global (sensor utilizado em nosso sistema). Porém, esse modelo é

não-linear e, portanto, exige técnicas mais complexas para ser utilizado em aplica¸cões de

controle, por exemplo.

Com o objetivo de se utilizarem algoritmos de controle mais simples e os resultados

matem´aticos existentes para sistemas lineares, o modelo n˜ao-linear foi reescrito como

uma representa¸cão linear do robô. Para isso, foi necessário realizar uma substitui¸cão de

variáveis no vetor de sa´ıda: a configura¸cão do robô não será mais descrita através de

sua posi¸c˜ao x e y e sua orienta¸c˜ao θ, sendo agora expressa em termos do deslocamento

linear l e angular θ. Como pode ser observado em (2.20), a nova equa¸c˜ao de estados

permanece com os mesmos parˆametros dinˆamicos. Devendo-se frisar que para se chegar

ao modelo equivalente linear não foi realizada nenhuma simplifica¸cão, sendo esse modelo

(30)

CAP´ITULO 2. MODELAGEM 20 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ˙ v ˙ ω ˙ l ˙ θ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

−M−1

v Bv ... 0

. . . .

1 0

0 1 ... 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ v ω l θ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

M−1

v Kv

. . . . 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎣ ed ee ⎤ ⎦ y= ⎡

⎣ 0 0 1 0

0 0 0 1

⎤ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ v ω l θ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2.20)

Esta nova representa¸cão do robô diminuiu também a ordem do modelo, que passa

agora a ser de quarta ordem.

Um problema inerente à esta representa¸cão é o fato de que a grandezalé imensurável.

Caso se utilize um sistema de vis˜ao global (o que ocorre neste trabalho), informa¸c˜oes sobre

a configura¸cão do robô podem ser obtidas apenas em instantes de tempo determinados.

Deve ser lembrado que a utiliza¸cão deencoderstambém não solucionaria este problema, já

que através destes sensores o deslocamento linearltambém não pode ser medido, podendo

ser estimado atrav´es de medi¸c˜oes de deslocamento angular.

Este modelo linear (2.20), no próximo cap´ıtulo, será discretizado e identificado através

de técnicas de estima¸cão paramétrica simples. Estas técnicas não poderiam ser usadas

(31)

Cap´ıtulo 3

Estima¸

c˜

ao Param´

etrica

Neste cap´ıtulo é apresentada a identifica¸cão em tempo real de um robô móvel

não-holonômico com duas rodas e acionamento diferencial. O modelo dinâmico linear

equi-valente, derivado no cap´ıtulo anterior, é discretizado e a metodologia de identifica¸cão é

apresentada. Tamb´em apresentam-se os resultados simulados obtidos neste trabalho.

Há vários aspectos importantes na identifica¸cão de sistemas. As principais etapas de

um problema deste tipo s˜ao:

1. Testes dinˆamicos e coleta de dados

2. Escolha da representa¸c˜ao matem´atica a ser usada

3. Determina¸c˜ao da estrutura do modelo

4. Estima¸c˜ao de parˆametros

5. Valida¸c˜ao do modelo

No cap´ıtulo anterior foi realizada a modelagem fenomenol´ogica do robˆo, sendo

encon-trada a estrutura do modelo e os valores dos parˆametros f´ısicos e geom´etricos do mesmo.

Porém, alguns dos parâmetros não foram encontrados com boa precisão ou podem

va-riar de valor com o tempo. Torna-se, portanto, bastante adequada a utiliza¸c˜ao de um

estimador para se encontrar melhores valores para os mesmos.

Ao se utilizarem informa¸cões sobre o sistema no processo de identifica¸cão, realiza-se

uma identifica¸cão caixa-cinza. Neste trabalho, será utilizada a estrutura do modelo obtida

na se¸cão anterior, sendo identificados apenas os parâmetros do modelo.

Nas se¸cões seguintes, as etapas 1, 2, 4 e 5 serão discutidas e será mostrado como

(32)

CAPÍTULO 3. ESTIMAÇ ÃO PARAM ÉTRICA 22

a parametriza¸cão do modelo para uma representa¸cão mais adequada à identifica¸cão. Na

se¸cão de estima¸cão dos parâmetros será discutida a coleta de dados e o algoritmo utilizado

na estima¸cão. Finalmente, tendo-se obtido o modelo, é necessário verificar se ele incorpora

as caracter´ısticas de interesse do sistema real, devendo ser realizada a sua valida¸c˜ao.

3.1 Parametriza¸

c˜

ao do modelo

As representa¸c˜oes discretas, por exemplo o modelo ARX (auto-regressivo com entradas

externas), são bastante utilizadas em identifica¸cão de sistemas. Para se chegar a esta

representa¸cão deve-se realizar a discretiza¸cão do modelo 2.20. Isso será realizado em

algumas etapas para facilitar o trabalho. Primeiramente, passou-se da representa¸c˜ao em

espa¸co de estado cont´ınuo (2.20) para a representa¸c˜ao em matriz de transferˆencia cont´ınua.

Utilizando G(s) =C(sI₋A)−1B com

A= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

−M−1

v Bv ... 0

. . . . 1 0 0 1 ... 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ B= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

M−1

v Kv

. . . . 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ C=

⎡

⎣ 0 0 1 0

0 0 0 1

⎤ ⎦

obteve-se a matriz de transferência G(s) e a seguinte representa¸cão equivalente à

repre-senta¸c˜ao 2.20. _⎡

⎣ L(s)

θ(s)

⎤ ⎦=

⎡

⎣ G11(s) G12(s)

G21(s) G22(s)

⎤ ⎦

⎡ ⎣ Ed(s)

Ee(s)

⎤

⎦ (3.1)

onde cada Gij(s) possui a seguinte estrutura

Gij(s) = Nij(s) D(s) =

αijs+βij s(s2

+k1s+k2)

A fim de se obter a representa¸cão em matriz de transferência discreta calcularam-se

as quatro fun¸c˜oes de transferˆencia discretas Gij(z).

⎡ ⎣ L(z)

θ(z)

⎤ ⎦=

⎡

⎣ G11(z) G12(z)

G21(z) G22(z)

⎤ ⎦

⎡

⎣ Ed(z)

Ee(z)

⎤

⎦ (3.2)

onde cada Gij(z) possui a seguinte estrutura

Gij(z) = Nij(z) D(z) =

γijz2

+δijz+εij (z₋1)(z2₊_α

(33)

Gij(z) = γijz

2

+δijz+εij z3

−z2

+α1(z2−z) +α2(z−1)

Finalmente, para se chegar a parametriza¸cão adequada à implementa¸cão digital,

trans-forma-se a representa¸cão (3.2) na representa¸cão em equa¸cões de diferen¸cas.

∆lk =₋α1∆lk₋1−α2∆lk₋2+γ11ed,k₋1+δ11ed,k₋2+ε11ed,k₋3+

+γ12ee,k₋1+δ12ee,k₋2+ε12ee,k₋3

∆θk =₋α1∆θk₋1−α2∆θk₋2+γ21ed,k₋1+δ21ed,k₋2 +ε21ed,k₋3+

+γ22ee,k₋1+δ22ee,k₋2+ε22ee,k₋3

(3.3)

onde ∆lk=lk₋lk−1 ´e distˆancia percorrida em um passo de amostragem, ∆θk =θk−θk−1

é o incremento angular na orienta¸cão do robô no mesmo per´ıodo, ed,k e ee,k são os sinais

de entrada da planta (tens˜ao nos motores direito e esquerdo, respectivamente) no instante

k.

Para o robô descrito por (2.19), os parâmetros calculados são os seguintes:

α1 =−1.77474 α2 = 0.778119

γ11= 5.7697×10− 5

δ11= 1.1612×10− 5

ε11 =−4.5451×10− 5

γ12= 5.7008×10− 5

δ12= 1.1746×10− 5

ε12 =−4.4781×10− 5

γ21= 0.0278875 δ21=−0.00165186 ε21 =−0.0253767

γ22=−0.0272196 δ22= 0.00159991 ε22 = 0.0247631

(3.4)

Uma descri¸cão detalhada da obten¸cão destes parâmetros pode ser vista no apêndice

A.

3.2 Estima¸

c˜

ao de

_∆

l

Como j´a foi dito, existe um problema com o modelo escolhido. A grandezal, distˆancia

percorrida pelo robô desde um instante inicial, não pode ser medida através de um sistema

de visão global. Seguindo o mesmo critério, torna-se imposs´ıvel também medir-se ∆l,

distância percorrida pelo robô em um per´ıodo de amostragem. Pode-se, porém, calcular

um valor plaus´ıvel ∆l para esta grandeza com base em heur´ısticas.

A metodologia desenvolvida para se calcular∆l consiste nos seguintes passos: 1. C´alculo da distˆancia percorrida_|∆l_|

(34)

3.2.1 Obten¸

c˜

ao da Distˆ

ancia Percorrida

Possuindo duas imagens consecutivas do robˆo em seu campo de trabalho, pode-se obter

com razoável precisão sua configura¸cão (x, y e θ) nestes dois instantes de tempo. Não

se pode ter certeza sobre qual caminho o robô percorreu para ir de uma configura¸cão a

outra, visto que infinitos caminhos diferentes podem levar o robô da configura¸cão inicial

até a final. Poder-se-ia utilizar a distância euclidiana entre os dois pontos como medida

da distˆancia percorrida, supondo, neste caso, que o per´ıodo de amostragem de 33,33ms´e

suficientemente pequeno (figura 3.1). Porém, no caso geral (quando o caminho percorrido

não é uma reta), esta solu¸cão viola as restri¸cões não-holonômicas do sistema.

∆L

| |

y₁

x₁ x₂

y₂

λ=1 λ=0

Figura 3.1: Diagrama para o c´alculo de _|∆l_|

A heur´ıstica adotada neste trabalho para se calcular _|∆l_| baseia-se na utiliza¸cão de um polinômio de 2o _{grau unindo uma configura¸cão inicial a uma configura¸cão final. Dessa}

forma, respeitam-se as restri¸cões não-holonômicas do robô, visto que a curva de 2o _grau

é o polinômio de menor ordem que consegue atender às restri¸cões de não-holonomia do

robô. As variáveis de configura¸cão (x, y, θ) do robô foram parametrizadas, então, pelas

seguintes equa¸c˜oes: _⎧

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

x(λ) = a2λ 2

+a1λ+a0

y(λ) =b2λ 2

+b1λ+b0

tan[θ(λ)] = dy/dλ dx/dλ =

2b2λ+b1

2a2λ+a1

(3.5)

com λvariando de 0 (configura¸cão do robô no passo anterior ou ponto 1 na figura 3.1) até

1 (configura¸cão atual do robô ou ponto 2 na figura 3.1). Para se calcular o comprimento

desta curva foi utilizada a seguinte equa¸c˜ao

|∆l_|=

1 0

(dx dλ)

2

+ (dy dλ)

2

(35)

Substituindo dx dλ e

dy

dλ em (3.6) obt´em-se

|∆l_|=

1 0

√

aλ2

+bλ+c dλ (3.7)

onde _⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

a= 4a2 2+ 4b

2 2

b= 4a1a2+ 4b1b2

c=a2 1+b

2 1

(3.8)

Deve-se, ent˜ao, encontrar os valores de a, b e c. Para isso utilizou-se o

conheci-mento prévio sobre o problema, ou seja, as condi¸cões de contorno para as equa¸cões (3.5).

Sabendo-se que

x(0) = x1 = a0

y(0) = y1 = b0

x(1) = x2 = a2 +a1+a0

y(1) = y2 = b2+b1+b0

tan[θ(0)] = tan(θ1) =

b1

a1

tan[θ(1)] = tan(θ2) =

2b2+b1

2a2+a1

(3.9)

a seguinte solu¸c˜ao geral pˆode ser encontrada

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

a0 =x1

a1 =

2[tan(θ2)(x2−x1)−y2+y1]

tan(θ2)−tan(θ1)

a2 =x2−x1−a1

b0 =y1

b1 =a1tan(θ1)

b2 =y2−y1 −b1

(3.10)

Solu¸c˜oes particulares foram encontradas para os casos singulares, em queθ1 ouθ2 possuem

valores pr´oximos de_|π

2|. Para o caso em que tan(θ2)−tan(θ1) = 0 a distˆancia percorrida foi calculada usando simplesmente a distˆancia euclidiana entre os pontos 1 e 2, visto que

neste caso o robˆo provavelmente se movimentou em linha reta.

Substituindo os valores dea0,a1,a2,b0,b1 eb2 no conjunto de equa¸c˜oes (3.8) pode-se

facilmente obter os coeficientes da equa¸cão (3.7). Utilizando a solu¸cão anal´ıtica para a

integral da equa¸c˜ao (3.7) pode-se encontrar uma estimativa para a distˆancia percorrida

(36)

√

aλ2

+bλ+c dλ = 2

√

a(b+ 2aλ)c+λ(b+aλ)

8a32 −

− (b 2

−4ac) 8a32

ln

b+ 2aλ

√

a + 2

c+λ(b+aλ)

(3.11)

3.2.2 Obten¸

c˜

ao do Sentido do Movimento

Para se obter o sinal da distˆancia, ou seja, para saber se o robˆo realizou um movimento

para frente ou para trás (marcha-ré) em rela¸cão a sua orienta¸cão θ, calcula-se o valor da

coordenadaxda configura¸cão atual (ponto 2 na figura 3.2) no sistema de coordenadas com

origem na posi¸cão do robô no passo anterior (ponto 1 na figura 3.2). Se o valor obtido nesse

cálculo for positivo, o robô terá se movimentado para frente e ∆l >0. Caso contrário, o robô terá se movimentado de marcha-ré e ∆l <0. Isso pode ser feito considerando-se que o robô não é capaz de inverter sua orienta¸cão em um passo de amostragem.

1

x x₂

θ₁

1_x 2

y₂

y₁

Figura 3.2: Diagrama para o c´alculo do sinal de∆l

Para o c´alculo do sinal foi utilizada uma simples transforma¸c˜ao de coordenadas [28]

do referencial fixo no espa¸co de coordenadas para o referencial fixo na posi¸cão anterior

do robô _{1_}. Pode-se, portanto, encontrar a coordenada x da posi¸cão atual do robô em rela¸cão ao sistema de coordenadas _{1_} facilmente através de (3.12).

1

x2 =x2cosθ1+y2sinθ1−x1cosθ1−y1sinθ1 (3.12)

onde 1

x2 é a representa¸cão da abscissa do ponto 2 no sistema de coordenadas fixo no

ponto 1.

Se1

(37)

3.2.3 Valida¸

c˜

ao do C´

alculo de

_∆

l

Nesta etapa foram realizados testes para valida¸c˜ao da estimativa de ∆l. Simulou-se o

sistema linear descrito pela equa¸cão (2.20) e o sistema não-linear descrito pela equa¸cão

(2.18) com os mesmos valores de entrada (edeee), obtendo como sa´ıdasylinear = [ l θ ]T

e ynao−linear = [ x y θ ]

T_{. Em seguida, plotaram-se os valores de ∆}_l ₌ _lk

−lk−1 para

o sistema linear (que serão considerados os valores de referência) e o cálculo descrito

nesta subse¸cão para o sistema não-linear. Pode ser observado na figura 3.3 que ∆l (valor estimado) se encontra bastante próximo às distâncias realmente percorridas pelo robô

(∆l). A m´edia percentual do erro possui um valor pr´oximo de zero (0,058%). O

desvio-padr˜ao do erro foi de 0,274%.

Estes testes de valida¸c˜ao foram realizados para trajet´orias excitantes, ou seja,

tra-jet´orias resultantes da aplica¸c˜ao de sinais de entrada persistentemente excitantes, que

serão as trajetórias usadas na estima¸cão de parâmetros.

Deve-se observar a dificuldade de se validar este procedimento de cálculo de ∆l, pois esta grandeza é imensurável. Por isso, nesta valida¸cão foram usados dados obtidos através

de simuladores para o modelo linear (2.20) e n˜ao dados obtidos atrav´es de experimentos.

delta real

delta calculado

−0.003 −0.0025 −0.002 −0.0015 −0.001 −0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

0 50 100 150 200 250 300

delta L (m)

número de iterações

Figura 3.3: Compara¸c˜ao entre ∆l e ∆l

3.3 Identiﬁca¸

c˜

ao de Parˆ

ametros

A primeira formula¸cão, solu¸cão e aplica¸cão de um problema de identifica¸cão foi dado

(38)

o problema de identifica¸cão como um problema de otimiza¸cão e introduziu o princ´ıpio

dos m´ınimos quadrados. A idéia básica por trás dos m´ınimos quadrados é ajustar um

modelo matemático a uma sequência de dados observados pela minimiza¸cão da soma dos

quadrados das diferen¸cas entre os dados observados e os dados calculados. Fazendo isso,

qualquer ru´ıdo ou inexatid˜ao nos dados observados devem ter menos efeito na exatid˜ao

do modelo matem´atico.

Este método tem sido largamente utilizado em estima¸cão de parâmetros tanto na

forma recursiva como na forma n˜ao-recursiva principalmente para sistemas discretos no

tempo. O método é simples de aplicar e analisar quando os parâmetros desconhecidos

aparecem em uma forma linear, que ´e o caso da representa¸c˜ao (3.3).

Como já foi dito, os métodos de identifica¸cão necessitam de uma sequência de

da-dos de entrada-sa´ıda do sistema para serem utilizada-dos. A coleta de dada-dos adequada-dos ´e,

portanto, uma etapa bastante importante em um processo de estima¸c˜ao de parˆametros.

Primeiramente, deve-se escolher quais variáveis serão utilizadas como variáveis de entrada

e quais ser˜ao as de sa´ıda. Como neste trabalho a estrutura do modelo foi obtida atrav´es

da modelagem a partir da natureza do processo, as vari´aveis de entrada e de sa´ıda foram

facilmente escolhidas nesta etapa e realmente est˜ao relacionadas dinamicamente atrav´es

da rela¸c˜ao causa e efeito.

Em segundo lugar, as entradas utilizadas para se excitar a planta devem satisfazer

alguns crit´erios. Devem existir condi¸c˜oes especiais para o sinal de entrada amostrado

u(k) de forma que o sinal de sa´ıda amostrado y(k) contenha informa¸c˜ao suﬁciente para

se estimarem todos os parˆametros. Intuitivamente, pode-se dizer que o sinal de entrada

deve ser suﬁcientemente ativo.

O conceito de persistência de excita¸cão permite quantificar o quão ativo é um sinal

e, assim, quão adequado é para a identifica¸cão de sistemas. Um sinal persistentemente

excitante de ordem n é um sinal que tem potência espectral em n ou mais freqüências

distintas. Uma condi¸cão para se estimar n parâmetros é que o sinal de excita¸cão deve

ser persistentemente excitante pelo menos de ordem n. Como exemplo, pode-se dizer

que o degrau ´e um sinal persistentemente excitante de ordem 1 e o ru´ıdo branco ´e

per-sistentemente excitante de todas as ordens. Dessa forma, ao se usar um ru´ıdo branco

(39)

porém, é comum usar um gerador de números aleatórios para se gerar sinais de entrada

persistentemente excitantes de ordem elevada.

Para sistemas com mais de uma entrada, como ´e o caso, ´e fundamental que os sinais

usados para excitar o sistema n˜ao estejam correlacionados entre si. Pois, se eles estiverem

correlacionados, o algoritmo de identifica¸cão não conseguirá distinguir o efeito de cada

entrada sobre a sa´ıda.

Outra condi¸c˜ao importante relaciona-se ao valor do per´ıodo de amostragem do

sis-tema, que deve ser suﬁciente para registrar a varia¸c˜ao dos sinais amostrados. Em alguns

casos, como neste trabalho, este valor é fixado pelas restri¸cões do sistema, normalmente

a capacidade dos sensores. Ainda em rela¸c˜ao aos sinais de excita¸c˜ao, se a cada per´ıodo

de amostragem for aplicada à planta um novo valor de entrada, a excita¸cão pode não

ser adequada. Normalmente, mantˆem-se a entrada constante por 3 a 8 intervalos de

amostragem.

3.3.1 Experimentos Simulados

Nesta se¸c˜ao ser˜ao apresentados experimentos realizados com dados coletados de um

simulador e n˜ao de um robˆo real. Esta etapa foi importante para se comprovar a validade

da metodologia desenvolvida. Ao se utilizar dados obtidos de um robˆo simulado na

iden-tiﬁca¸c˜ao do modelo, tem-se o conhecimento do modelo que gerou os dados e, dessa forma,

pode-se comparar o modelo identiﬁcado e o modelo original de forma simples.

Para estimar os parˆametros do modelo (3.3) foi utilizado o m´etodo dos m´ınimos

qua-drados recursivos com fator de esquecimento [29], um m´etodo baseado na minimiza¸c˜ao da

soma dos quadrados dos erros. Nesses experimentos foi utilizado um fator de esquecimento

λ = 0,995.

Para excitar o sistema foram utilizados sinais pseudo-aleat´orios que podiam assumir

um dos três valores 1, 0 e ₋1 (figura 3.4), visto que devem ser utilizados sinais ricos em freqüência e persistentemente excitantes como entradas para a planta. As sa´ıdas da

planta (x, y e θ) n˜ao foram utilizadas diretamente pelo estimador. Em seu lugar, como

j´a foi explicado na subse¸c˜ao 3.2, foram utilizados ∆l e ∆θ.

A figura 3.5 mostra uma trajetória resultante da aplica¸cão de sinais de entrada

(40)

−1 −0.5 0 0.5 1

0 50 100 150 200

ed (v)

−1 −0.5 0 0.5 1

0 50 100 150 200

ee (v)

Figura 3.4: Exemplo dos sinais de excita¸c˜ao (ed e ee) do sistema

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

y(m)

x(m)

trajetoria

Figura 3.5: Exemplo da trajet´oria de sa´ıda do sistema (observada durante 30 segundos)

parˆametros estimados no tempo. Nota-se que os parˆametros convergem em

aproximada-mente 4 segundos.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0 50 100 150 200

numero de iteracoes

alfa 1 alfa 2

Figura 3.6: Varia¸c˜ao no tempo de alguns parˆametros

A tabela 3.1 apresenta algumas informa¸cões sobre o processo de estima¸cão paramétrica,

(41)

desvio-CAPÍTULO 3. ESTIMAÇ ÃO PARAM ÉTRICA 31

padrão percentual em rela¸cão aos valores médios e os erros percentuais dos valores médios

em rela¸c˜ao aos valores originais. A coluna “valor t´ıpico” representa o resultado

com-pleto de uma estima¸cão paramétrica “t´ıpica”, ou seja, uma das estima¸cões que mais

freqüêntemente ocorreram. Nesta coluna não foram, portanto, misturados parâmetros de

realiza¸c˜oes (testes) diferentes, como ocorre com os valores m´edios. Estes dados foram

obti-dos usando-se resultaobti-dos de 200 testes de estima¸c˜ao com 500 amostras cada. Analisando-se

a tabela percebe-se que os parˆametros estimados possuem valores pr´oximos dos valores

calculados (valores originais). As ´unicas estimativas em que ocorrem erros bastante

eleva-dos s˜ao as deδ21eδ22. Nestes casos, os m´odulos das estimativas possuem erro pequeno (em

torno de 0.13%), por´em os sinais est˜ao invertidos, o que nos leva a um erro real em torno

de 200%. Observa-se, também, que estes mesmos parâmetros possuem um desvio-padrão

muito elevado.

Par Val. Original Val. T´ıpico Val. M´edio DP % Erro %

α1 -1.77474 -1.76983 -1.71822 7.4017 3.18446

α2 0.778119 0.774096 0.733321 13.7027 5.75719

γ11 5.7697×10− 5

5.5807_×10−5 5.4904×10−5 6.1023 4.84095 δ11 1.1612×10−

5

1.5126_×10−5 1.7905×10−5 45.8967 -54.1935 ε11 −4.5451×10−

5

−4.6478_×10−5 −4.1016×10−5 -63.5557 9.75812 γ12 5.7008×10−

5

5.5201_×10−5 5.6158×10−5 26.2011 1.49129 δ12 1.1746×10−

5

1.5268_×10−5 1.4005×10−5 267.5901 -19.228 ε12 −4.4781×10−

5

−4.5720_×10−5 −3.7259×10−5 143.6539 16.7958

γ21 0.0278875 0.0270897 0.0270906 0.02126 2.85755

δ21 -0.00165186 0.000231367 0.00162843 211.4775 198.582

ε21 -0.0253767 -0.0262339 -0.0248528 13.6958 2.06452

γ22 -0.0272196 -0.0264421 -0.0264408 0.02184 2.8613

δ22 0.00159991 -0.00023586 -0.00160208 209.7080 200.135

ε22 0.0247631 0.0255982 0.02425 13.7212 2.07193

Tabela 3.1: Compara¸c˜ao entre valores originais, valores t´ıpicos e valores m´edios dos

parˆametros