UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DORIOGRANDE DONORTE CENTRO DETECNOLOGIA
PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIA ELÉTRICA E DECOMPUTAÇÃO
Uma ferramenta para Análise Multiresolução
de dados não regularmente amostrados.
Luiz Paulo de Souza Medeiros
UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DORIOGRANDE DONORTE CENTRO DETECNOLOGIA
PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIA ELÉTRICA E DECOMPUTAÇÃO
Uma ferramenta para Análise Multiresolução
de dados não regularmente amostrados.
Luiz Paulo de Souza Medeiros
Orientadora: Profa. Dra. Ana Maria Guimarães Guerreiro
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Engenharia de Computação) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.
Uma ferramenta para a Análise Multiresolução
de dados não regularmente amostrados
Luiz Paulo de Souza Medeiros
Dissertação de Mestrado aprovada em 24 de fevereiro de 2012 pela banca exami-nadora composta pelos seguintes membros:
Profa. Dra. Ana Maria Guimarães Guerreiro (orientadora) . . . DEB/UFRN
Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto . . . DCA/UFRN
Prof. Dr. Marcelo Augusto Costa Fernandes . . . DCA/UFRN
Prof. Dr. José Dias do Nascimento Júnior . . . DFTE/UFRN
Agradecimentos
À minha orientadora, Profa. Ana Maria Guimarães Guerreiro, sou grato pela orientação, compreensão e por todo o conhecimento a mim repassado.
Ao Prof. José Dias do Nascimento Júnior, pelo incentivo, compreensão e auxílio na interpretação dos resultados.
Ao Prof. Adrião Duarte Dória Neto, pelas orientações e cobranças pontuais ao longo do desenvolvimento do trabalho.
Ao Prof. José Renan de Medeiros, do laboratório CoRoT da UFRN, pela cessão dos dados e do espaço para trabalho.
À minha mãe, Maria Nerivan de Souza Medeiros, pelo carinho, apoio incondicional e compreensão da ausência. Mas, acima de tudo, pelo exemplo.
Ao meu pai, Josias Martinho de Medeiros, pelo apoio e suporte indispensável. Por me ensinar a manter a calma e trabalhar com tranquilidade, para atingir meus objetivos. Ao meu irmão, João Paulo de Souza Medeiros, pelo apoio e contribuição pontuais no de-senvolvimento do trabalho. E por servir de inspiração no dede-senvolvimento das atividades acadêmicas.
Aos meus colegas de laboratório, Mademerson, Robinson, Carlos, Anthony e André, por tornar o ambiente de trabalho mais leve e agradável.
Aos meu amigos Bruno Rabelo, Arthur Salgado, Aírton Neto, Ronkaly Carlos, Vitor Salgado e Giovanni Oliveira, pelos momentos de descontração e alegria que ajudaram a retomar o fôlego para o desenvolvimento das atividades.
Aos colegas de trabalho e amigos que fiz no IFRN Campus Caicó, pelo incentivo. Ao amigo e colega de trabalho Alisson Diego, pela correção deste documento.
Resumo
O processamento digital de sinais (PDS) tem como objetivo a extração de infor-mações específicas a partir de sinais armazenados digitalmente. Os sinais digitais são, por definição, grandezas físicas representadas por uma sequência de valores discretos e é a partir dessas sequências de valores que é possível extrair e analisar as informações desejadas. Os sinais digitais não regularmente espaçados não são corretamente analisa-dos utilizando as técnicas padrões do processamento digital de sinais. Neste trabalho teve-se o objetivo de adequar uma técnica de PDS, a análise multiresolução, para analisar sinais não regularmente espaçados, visando auxiliar as pesquisas realizadas no laboratório CoRoT na UFRN. O trabalho desenvolvido consiste em uma reindexação da transformada Wavelet para tratar os dados não regularmente espaçados de maneira adequada. O método mostrou-se efetivo, apresentando resultados satisfatórios.
Abstract
Digital signal processing (DSP) aims to extract specific information from digital sig-nals. Digital signals are, by definition, physical quantities represented by a sequence of discrete values and from these sequences it is possible to extract and analyze the desired information. The unevenly sampled data can not be properly analyzed using standard techniques of digital signal processing. This work aimed to adapt a technique of DSP, the multiresolution analysis, to analyze unevenly smapled data, to aid the studies in the CoRoT laboratory at UFRN. The process is based on re-indexing the wavelet transform to handle unevenly sampled data properly. The was efective presenting satisfactory results.
Sumário
Sumário i
Lista de Figuras ii
Lista de Tabelas v
Lista de Abreviaturas vi
1 Introdução 1
1.1 A missão espacial CoRoT . . . 2
1.2 O problema abordado . . . 4
1.3 Objetivos . . . 5
1.3.1 Objetivos específicos . . . 5
1.4 Organização do trabalho . . . 5
2 Fundamentação Teórica 7 2.1 Missão CoRoT . . . 7
2.1.1 Os dados coletados . . . 7
2.2 Curvas de Luz . . . 8
2.3 Processamento Digital de Sinais . . . 11
2.3.1 Sinais Digitais . . . 14
2.4.1 Lomb-Scargle . . . 19
2.5 Análise Multiresolução . . . 21
2.5.1 Wavelet . . . 22
2.5.2 Mapas Wavelet . . . 24
3 Método de Multiresolução Aplicado às Curvas de Luz 27 3.1 Ferramenta de base . . . 27
3.2 Método da Wavelet Modificada . . . 32
3.2.1 Wavelet para dados não regularmente espaçados . . . 35
4 Resultados e aplicação desenvolvida 40 4.1 Resultados . . . 40
4.1.1 Análise de sinal não regularmente espaçado gerado computacional-mente . . . 40
4.1.2 Análise da curva de luz . . . 43
4.2 Aplicação desenvolvida . . . 44
5 Conclusão 49 5.1 Sugestão de trabalhos futuros . . . 50
Lista de Figuras
2.1 Exemplo de uma Curva de Luz Monocromática. . . 9
2.2 Exemplo de uma Curva de Luz Cromática. . . 9
2.3 Exemplo de uma Curva de Luz de natureza constante. . . 10
2.4 Exemplo de uma Curva de Luz de natureza variável. . . 10
2.5 Exemplo de um sinal cossenóide analógico. . . 12
2.6 Exemplo de um sinal cossenóide digital. . . 13
2.7 Exemplo de um sinal cossenóide digital não regularmente espaçado. . . . 16
2.8 Sinal gerado pela equaçãoy(t) =0,8 cos(0,22t2π) +0,2 cos(0,48t2π). . 18
2.9 Análise espectral do sinal gerado pela equaçãoy(t) =0,8 cos(0,22t2π) + 0,2 cos(0,48t2π). . . 18
2.10 Exemplo de um sinal discreto não regularmente espaçado. . . 21
2.11 Periodograma criado utilizando Lomb-Scargle em um sinal discreto não regularmente espaçado. . . 21
2.12 Exemplo de mapa Wavelet. . . 23
2.13 Forma de onda da Wavelet Haar. . . 25
3.1 Snapshot do aplicativo. . . 28
3.2 Barra de interação. . . 29
3.3 Região para abertura de diretório. . . 29
3.4 Lista de curvas. . . 30
3.6 Gráfico para exibição da curva de luz. . . 31
3.7 Gráfico para exibição do periodograma de Lomb-Scargle. . . 31
3.8 Curva de luz utilizadas nos testes da transformadawavelet. . . 33
3.9 Espectro da curva de luz utilizando o algoritmo de Lomb-Scargle. . . 33
3.10 Análise utilizando awavelet Morlet . . . 34
3.11 Análise utilizando awavelet Daubechis . . . 34
3.12 Análise utilizando awavelet Mexican Hat . . . 35
3.13 Formas de ondas das wavelets mães utilizadas. . . 37
3.14 Wavelet Morlet circular. . . 38
4.1 Sinal digital sintetizado utilizado para validação do método. . . 41
4.2 Sinal digital sintetizado acrescido de ruído utilizado para validação do método. . . 41
4.3 Sinal digital sintetizado não regularmente espaçado utilizado para vali-dação do método. . . 42
4.4 Espectro de frequência gerado pelo Lomb-Scargle para o sinal de teste. . . 42
4.5 Sinal digital sintetizado utilizado para validação do método. . . 43
4.6 Curva de luz EN2 STAR MON 0102884662 20070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT. . . 44
4.7 Análise espectral da curva de luz EN2 STAR MON 0102884662 20070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT. . . 45
4.8 Análise multiresolição da curva de luz EN2 STAR MON 0102884662 20070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT sem a técnica deψcircular. . . 46
4.10 Screenshot da aplicação desenvolvida. . . 48 4.11 Imagem da aplicação desenvolvida separada de acordo com sua
Lista de Tabelas
Lista de Abreviaturas
CCD Charge-Coupled Device
CDC CoRoT Data Centre
CMC CoRoT Mission Centre
CNES Centre National d’Etudes Spatiales
CNRS Centre National de la Recherche Scientifiique
CoRoT Convection, Rotation & planetary Transits
DCDFT Data Compensate Discrete Fourier Transform
DFTE Departamento de Física Teórica e Experimental
DSP Digital Signal Processor
fdG Função Derivativa do Gradiente
FFT Fast Fourier Transform
FPGA Field-Programmable Gate Array
Mh Mexican Hat
N1 Dados da Missão Espacial CoRoT Nível 1
PDS Processamento Digital de Sinais
RNA Redes Neurais Artificiais
SC Switched-Capacitor
TB TeraByte
Capítulo 1
Introdução
O universo, mesmo sendo um dos primeiros objetos de estudo da humanidade, con-tinua sendo um dos maiores mistérios que conhecemos. O interesse humano pelo espaço possui registros tão antigos quanto os primeiros documentos históricos encontrados. De fato, quer seja por motivações religiosas, místicas ou científicas, os estudos para com-preensão do universo vêm acontecendo desde a antiguidade e tendem a prosseguir in-definidamente.
Os estudos científicos sobre o universo acentuaram-se devido às teorias criadas por Nicolau Copérnico, Johannes Kepler e Galileu Galilei. Estas teorias colocavam fim ao geocentrismo, indicando que é o nosso planeta Terra que gravita em torno do Sol, e não o Cosmos que gira em torno de nós [de Medeiros, 2001]. A partir desse momento, cada vez mais pesquisadores voltaram suas atenções para as pesquisas espaciais, buscando encontrar novos planetas, estrelas, galáxias ou mesmo descobrir se existe vida em alguma outra parte do universo.
Capítulo 1. Introdução 2
de lentes mais sofisticados, acoplados a câmeras fotográficas ou de vídeo, que permitem a documentação fiel para análise posterior e, por fim, chegaram ao estágio atual, onde as pesquisas são realizadas através de missões espaciais, nas quais são enviados satélites dedicados à observação de corpos celestes. Tais satélites têm capacidade de monitorar diversos corpos simultaneamente e com um nível de precisão e detalhes inúmeras vezes superiores à percepção humana.
Assim, várias missões espaciais têm impulsionado a pesquisa em várias áreas. Uma dessas áreas importantes trata de como lidar com as informações captadas, de como pro-cessar esses sinais enviados pelos satélites.
O trabalho desenvolvido trata das técnicas de processamento digital de sinais ade-quadas às características dos sinais observados pelo satélite.
1.1 A missão espacial CoRoT
A missão espacial (Convection, Rotation & planetary Transits- Convecção, Rotação e
Trânsitos Planetários) é um projeto espacial liderado pela agência espacial francesa CNES (Centre National d’Etudes Spatiales – Centro Nacional de Estudos Espaciais) iniciado
em 1993. O projeto conta também com o apoio de outras instituições francesas, como o CNRS (Centre National de la Recherche Scientifiique– Centro Nacional de Pesquisas
Científicas) e o Observatório de Paris. Além disso, conta também com o apoio de institu-ições de outros países, como Áustria, Bélgica, Brasil e Espanha [Baglin e Fridland, 2006]. A missão teve como objetivo inicial realizar observações e estudos sobre rotação (o movimento em que a estrela gira em torno de seu próprio eixo) e convecção (o transporte de partículas e massas na estrela através de variações de calor) das estrelas através da análise da sismologia estelar.
1.1. A missão espacial CoRoT 3
surgimento de manchas (regiões com redução temporária ou permanente na luminosidade emitida) [Michel et al., 2006].
Três anos após o início dos estudos para desenvolvimento projeto, os responsáveis por ele, decidiram ampliar o escopo da pesquisa, incluindo a busca por planetas extra-solares ao conjunto de objetivos primário da missão. Essa adição foi realizada inicialmente por motivações políticas, entretanto, como o desenvolvimento do projeto, essa nova vertente acabou por tornar-se o foco principal da missão [Baglin et al., 2006].
O cronograma inicial de execução da missão CoRoT previa que o satélite permanece-ria na órbita terrestre por um tempo pouco superior a três anos, entretanto, em uma confer-ência de imprensa realizada no ano de 2011, foi realizado um pronunciamento informando a expansão da vida útil do satélite em mais três anos, de modo que a aquisição de dados será realizada até 31 de março de 2013.
Ao longo de seus mais de seis anos de funcionamento, o satélite irá captar dados de diferentes regiões do universo, alternando, periodicamente, a região do espaço que está sendo observada. Em uma estimativa inicial [Baudin et al., 2006], previa que, durante sua vida útil, o satélite CoRoT produziria uma massa de dados para serem estudados com tamanho aproximando de 1 TB (um TeraByte). Essa massa de dados, já indicaria a necessidade do uso de ferramentas computacionais que auxiliassem a análise e que possi-bilitassem a automatização de parte do processo. Com o aumento do tempo de captação de dados do projeto, será produzida uma massa de dados ainda maior (estima-se 2 TB), tornando ainda mais evidente a necessidade do uso de tecnologias mais precisas e efi-cientes.
Capítulo 1. Introdução 4
estudam métodos para a análise de sinais não regularmente espaçados, como pode ser visto em [Tagliaferri et al., 1999], um estudo sobre o uso de redes neurais para a análise de dados não regularmente espaçados, ou em [Mathias et al., 2004], que realiza um estudo comparativo sobre diferentes formas de análise espectral para dados não regularmente espaçados.
O trabalho proposto aqui tem como objetivo encontrar um método que possibilite a conversão dessas duas vertentes [TODO EXPLICAR MELHOR] de estudo citadas ante-riormente realizando a análise dos dados através de um método de multiresolução.
1.2 O problema abordado
A missão espacial CoRoT possui diversos laboratórios de pesquisa espalhados pelo mundo, um deles na UFRN. O laboratório está localizado no Departamento de Física Teórica e Experimental (DFTE) e é coordenado pelos professores Dr. José Renan de Medeiros e Dr. José Dias do Nascimento Júnior.
As pesquisas desenvolvidas pelo professor Dr. José Dias do Nascimento Júnior no laboratório citado têm com principal objetivo a busca por estrelas “gêmeas” do Sol, ou seja, a busca por estrelas que apresentem características semelhantes à estrela do nosso sistema solar, como período de rotação, tamanho, brilho, dentre outras.
1.3. Objetivos 5
1.3 Objetivos
O trabalho desenvolvido nesse projeto tem como principal objetivo o desenvolvimento de um método para a análise multiresolução de dados não regularmente espaçados. Esse trabalho na elaboração e implementação de um método baseado na transformada wavelet, que possa trabalhar de maneira adequada com dados não regularmente espaçados. Cada uma das técnicas utilizadas, bem como o trabalho desenvolvido, estão descritos nos capí-tulos posteriores.
1.3.1 Objetivos específicos
• Pesquisa bibliográfica de métodos de processamento digital de sianis para o trata-mento de curvas de luz;
• Pré-processamento de curvas de luz;
• Processamento das curvas de luz através do método Lomb-Scargle;
• Processamento das curvas de luz através da análise multiresolução. Adequação da transformada wavelet para o tratamento de sinais não igualmente espaçados e;
• Disponibilização das ferramentas desenvolvidas através de uma interface amigável.
1.4 Organização do trabalho
Capítulo 1. Introdução 6
Capítulo 2
Fundamentação Teórica
Neste capítulo, será apresentada a fundamentação teórica necessária para o desen-volvimento do trabalho.
Serão apresentados os tipos de dados que serão trabalhados, as curvas de luz, e tam-bém as técnicas de processamento de sinais que serão utilizadas.
2.1 Missão CoRoT
2.1.1 Os dados coletados
Toda a massa de dados captada pela estação espacial CoRoT é liberada para uso cien-tífico na forma de curvas de luz. Curvas de luz podem ser descritas como a variação do brilho de uma estrela ao longo do tempo [Harvard, 2011]. Na missão CoRoT a informação liberada para os estudos científicos recebem o nome de dados de nível 2, ou apenas N2.
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 8
Mission Centre) e nos CDCs (CoRoT Data Centre).
Os dados de nível 1 (N1) são dados que já foram previamente pré-processados. Esse processamento é realizado para a correção das informações captadas, como a remoção do ruído térmico e ruídos ocasionados pelos instrumentos utilizados na aquisição do sinal.
Como já mencionado anteriormente, os dados disponibilizados para o uso científico estão presentes no nível N2. Nesse nível, além da limpeza já realizada nos dados de nível N1, são removidos também ruídos ocasionados por efeitos físicos como eventos cósmicos e luminosidade de fundo, oriunda de outras estrelas.
2.2 Curvas de Luz
O trabalho desenvolvido neste projeto de mestrado tem como principal objeto de es-tudo, as curva de luz da missão espacial CoRoT. Nesta sessão, serão apresentadas carac-terísticas dos sinais a serem analisados, os dados de nível N2 da missão CoRoT.
Cada curva de luz disponibilizada para estudo pela missão espacial CoRoT tem seus dados divididos em duas partes, o cabeçalho, que contém informações referentes à curva de luz de uma maneira geral, e os dados propriamente ditos, que correspondem a infor-mações referentes a cada marca temporal da curva.
Dentre os dados disponibilizados, várias informações são utilizadas nos estudos de-senvolvidos pelo laboratório CoRoT. As informações que serão utilizadas para os proces-samentos e análises que compreendem esse trabalho são: a marca temporal (expressa em dias julianos) e o fluxo de luz, que corresponde a uma componente de cor branca nas cur-vas monocromáticas, e três componentes de cor (vermelho, verde e azul) para as curcur-vas de luz cromáticas.
2.2. Curvas de Luz 9
tempo. No eixo horizontal, estão as marcas temporais, expressas em dias julianos1e, no
eixo vertical, a luminosidade (expressas em elétrons por segundo) identificada em cada um desses instantes de tempo.
25906 2600 2610 2620 2630 2640 2650
7 8 9 10 11x 10
4
Dias Julianos
Fluxo de Luz (elec/s)
Figura 2.1:Exemplo de uma Curva de Luz Monocromática.
Já a figura 2.2 é uma das curvas de luz cromáticas, como pode-se notar a curva de luz cromática traz as mesmas informações das curvas de luz monocromáticas, diferenciando-se apenas pela divisão do fluxo de brilho nas três componentes de cores do sistema adi-tivo2. Caso seja de interesse, pode-se simplesmente somar as três componentes, e obter-se a representação monocromática de uma curva de luz cromática.
25900 2600 2610 2620 2630 2640 2650
5 10 15x 10
4
Dias Julianos
Fluxo de Luz (elec/s)
Figura 2.2:Exemplo de uma Curva de Luz Cromática.
Com base em sua curva de luz, as estrelas podem ser classificadas como constantes 1Na astronomia, o dia juliano é uma forma de contar os dias sequencialmente, começando a partir de uma data arbitrária. Os dias são contados através de números inteiros iniciando a partir do meio-dia, e indo até o meio-dia seguinte.
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 10
ou variáveis. Uma estrela será classificada como constante, quando não houver variação de sua luminosidade ao longo do tempo. Um exemplo de curva de luz constante pode ser visto na figura 2.3. Nela, percebe-se uma linha horizontal constante ao longo de de todo o período no qual foi realizada a observação. As estrelas classificadas como variáveis apresentam mudanças ao longo do tempo na intensidade do brilho emitido por elas. Um exemplo de curva de luz de uma estrela variável pode ser visto na figura 2.4. Nela, pode-se perceber uma variação, neste caso até periódica. Entre os dias 2590 e 2600, pode-pode-se perceber claramente a existência de 3 atenuações.
25904 2600 2610 2620 2630 2640 2650
6 8 10 12 14x 10
4
Dias Julianos
Fluxo de Luz (elec/s)
Figura 2.3: Exemplo de uma Curva de Luz de natureza constante.
25902 2600 2610 2620 2630 2640 2650
4 6 8 10 12x 10
4
Dias Julianos
Fluxo de Luz (elec/s)
Figura 2.4: Exemplo de uma Curva de Luz de natureza variável.
2.3. Processamento Digital de Sinais 11
consequentemente, identificar os fenômenos naturais da estrela.
Os principais desafios encontrados nos estudos desenvolvidos são: como identificar curvas de luz de interesse dentre todas as curvas de luz disponibilizadas pelo projeto CoRoT? Qual a maneira mais adequada de se analisar esses dados? As técnicas tradi-cionais de Processamento Digital de Sinais são adequadas para o estudo realizado?
O trabalho descrito nessa dissertação busca expor soluções para esses problemas através da combinação das diferentes soluções desenvolvidas, utilizando ferramentas computa-cionais difundidas no processamento digital de sinais.
2.3 Processamento Digital de Sinais
O processamento digital de sinais (PDS) consiste no estudo de métodos para repre-sentar, transformar, analisar e manipular sinais e as informações contidas neles. Existem diversos problemas em que o processamento digital de sinais pode atuar, dentre eles pode-mos ressaltar: a interpretação e extração de informações presentes em sinais, a separação de dois ou mais sinais combinados (misturados), a detecção de diferentes componentes, ou atributos, mais relevantes em um sinal.
Essa tecnologia se faz presente nos mais diferentes campos de estudo e atuação, como a indústria de entretenimento, comunicações, aplicações na área de medicina e no estudo das ciências, como nos estudos geológicos e nas pesquisas espaciais. O processamento digital de sinais vem evoluindo impulsionado por diversos fatores, como a necessidade de evolução de sua própria teoria para atender aos novos desafios que surgem, à demanda por algoritmos mais sofisticados, o uso cada vez mais difundido dessa tecnologia e, por fim, os avanços de hardware que permitem o uso de técnicas cada vez mais complexas [Oppenheim e Schafer, 1998].
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 12
Com o surgimento e a evolução dos computadores digitais e microprocessadores, jun-tamente com o desenvolvimento de teorias de grande relevância na área (como a trans-formada rápida de Fourier – Fast Fourier Transform, FFT), o uso das tecnologias
digi-tais para o processamento de sinais ganhou cada vez mais força, ocasionando no surg-imento da área conhecida como processamento digital de sinais. A aplicação de PDS vem se tornando cada vez mais presente no nosso dia-a-dia, já estando em dispositivos comoMP3 Players, telefones celulares, brinquedos, dentre outros dispositivos eletrônicos
[Diniz et al., 2004].
O PDS tem como principal foco de estudo as regras que governam os sinais que são funções de variáveis discretas, bem como os sistemas que podem ser utilizados no pro-cessamento dos mesmos.
Quando se trabalha com o processamento digital de sinais, estes sinais são digitais e, muitas vezes, os sinais reais do experimento são contínuos (figura 2.5). Assim, deve-se utilizar um conversor analógico-digital (CAD) para converter um sinal contínuo para um sinal digital (figura 2.6). O processo de conversão analógico-digital é subdividido em duas etapas. A primeira é realizada através da amostragem, na qual se define um intervalo de tempo que irá separar cada uma das amostras realizadas, e a segunda é a quantização, na qual serão definidos os possíveis valores de amplitude para o sinal.
0 20 40 60 80 100
−1 −0.5 0 0.5 1
Tempo
sen((2
π
t)/10)
2.3. Processamento Digital de Sinais 13
0 20 40 60 80 100
−1 −0.5 0 0.5 1
Tempo
sen((2
π
t)/10)
Figura 2.6: Exemplo de um sinal cossenóide digital.
Essa natureza discreta dos sinais digitais é uma característica inerente aos dispositivos que são utilizados para a captura e conversão dos sinais analógicos em sinais digitais, como por exemplo, CCDs (Charge-coupled device– dispositivos usados para captura de
imagens), SCs (Switched-Capacitor – dispositivos normalmente utilizados para
identifi-cação de alterações de estado de sistemas), dentre outros.
O grande diferencial do processamento digital de sinais, se comparado ao processa-mento analógico, está no poder de processaprocessa-mento obtido e na redução do esforço para o desenvolvimento de sistemas. Isso acontece, pois, uma vez que as informações este-jam disponíveis no hardware apropriado, seja ela um microcomputador, DSP ou FPGA, é possível executar qualquer procedimento numérico que se deseje sobre essas informações, sem a necessidade da modificação no hardware. Por exemplo, veja a transformação de-scrita pelo pela equação
y1(t) =
coshhln(|x(t)|) +x3(t) +cos3p
|x(t)|i
5x5(t) +ex(t)+tanx(t) , (2.1)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 14
Entretanto, se o sinal x(t) for discretizado e quantizado, e transformado na
sequên-cia de amostras x[n], essa sequência de amostras poderá ser fornecida como entrada a
um processador digital para que este execute as operações descritas na equação 2.1. A construção do sistema será realizada de maneira muito mais simples e, provavelmente, a própria execução acontecerá de maneira mais rápida. Ao final do processamento, a re-sposta obtida como saída do sistema,y[n] é de natureza discreta, caso se deseje obter o sinal de saída de natureza contínua, deve-se converter a sequência para um sinal contínuo, e o resultado obtido será semelhante ao que seria obtido utilizando um sistema analógico [Diniz et al., 2004].
Dentre os diversos recursos que são disponibilizados pelo processamento digital de sinais, aquele que mais interessa ao projeto desenvolvido é a análise espectral de sinais digitais, para a identificação de variações periódicas nos sinais.
2.3.1 Sinais Digitais
Como já mencionado anteriormente, o processamento digital de sinais tem como prin-cipal objeto de estudo os sinais digitais. Portanto, antes de estudar a fundo as técnicas de PDS, é interessante compreender as características e particularidades desses sinais.
De acordo com [Oppenheim e Schafer, 1998], sinais discretos no tempo são matem-aticamente representados através de sequências de números. Uma sequência numéricax,
na qual o n-ésimo termo desta sequência é denotado porx[n], é formalmente descrita pela
equação
x={x[n]}, −∞<n<∞, (2.2)
ondené um número inteiro.
2.3. Processamento Digital de Sinais 15
a cada amostra também é restrito a um conjunto de valores (os valores que podem ser armazenados digitalmente no hardware utilizado). Sinais digitais, quando armazenados, também possuem a característica de possuir limites (inferior e superior) em seus tempos de observação.
Os sinais digitais podem ainda ser classificados, quando a sua amostragem, como regularmente ou não regularmente amostrados. Os sinais digitais regularmente espaçados podem ser descritos como uma amostragem periódica de um sinal contínuo, de modo que o valor associado a n-ésima amostra de uma sequência regularmente amostrada em um períodoT corresponde ao valor da sequência analógicaxa(t)no temponT , como descrito
na equação
xd[n] =xa(nT), −∞<n<∞, (2.3)
onde xd é a sequência de amostras e xa é o sinal analógico correspondente. Pode-se
afirmar que um sinal digital amostrado em períodos regulares está totalmente descrito pela sua sequência de amostras. A figura 2.6 é um exemplo de sinal digital regulamente espaçado. Nela, pode-se observar que a distância entre as amostras é sempre igual, ou seja, o período de amostragem do sinal é constante.
Sinais digitais não regularmente amostrados são aqueles onde não existe uma difer-ença de tempo constante entre as amostras, ou seja, esses sinais não possuem um período de amostragem bem definido. Os sinais não regularmente espaçados devem ser represen-tados utilizando uma sequência de valoresx[n], representando o valor amostrado e outra sequência de valorest[n], indicando o instante de tempo no qual a leitura foi realizada, como pode ser visto na equação
x[n] =xa(t[n]), −∞<n<∞. (2.4)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 16
0 20 40 60 80 100
−1 −0.5 0 0.5 1
Tempo
sen((2
π
t)/10)
Figura 2.7: Exemplo de um sinal cossenóide digital não regularmente espaçado.
A irregularidade no intervalo de amostragem desses sinais pode acontecer por difer-entes motivos. Como, quando o instrumento de medição perde ou descarta informações, o que faz com que os dados obtidos sejam partes não consecutivas da função equação 2.3, caracterizando o problema da falta de dados. Outro caso, que acontece mais frequente-mente em ciências que se baseiam em observações, como a astronomia, é o fato de não se poder controlar por completo o tempo de observação [Press et al., 1992].
Existem diversas técnicas, triviais, para obter sequências igualmente espaçadas a partir de sinais amostrados irregularmente. Interpolação dos dados ausentes pode ser uma al-ternativa, fixando um intervalo conveniente e interpolando as amostras “ausentes”. Outra alternativa para a correção do sinal quando uma grande quantidade consecutiva de pontos foi perdida é atribuir a essas amostras o valor zero ou o valor da última medição realizada. Entretanto essas técnicas podem não ser adequadas, pois podem alterar, significativamente o espectro do sinal.
2.4. Análise Espectral 17
2.4 Análise Espectral
Antes de falar sobre a análise espectral é importante esclarecer qual o conceito de espectro. Para tanto, considere uma fonte de luz tal que produz um feixe de luz branca. A luz branca, ao ser direcionada a um prisma, será refratada em diferentes direções e dividida em diferentes componentes de cores. Essas componentes resultam dos diferentes ângulos de refração que sofrem os componentes com frequências distintas existentes na luz. De uma maneira “simbólica”, pode-se dizer que a luz refratada pelo prisma é uma visualização do espectro de frequência da luz.
De um ponto de vista mais técnico, pode-se dizer que o espectro de frequência é uma função da potência sobre a frequência, que irá caracterizar a distribuição da contribuição dos diferentes componentes de frequência de determinado sinal.
Para ilustrar melhor o conceito de espectro de frequência, considere o exemplo a seguir. Como se sabe, um sinal cossenóide pode ser descrito através da equação
y(t) =cos(f t2π), (2.5)
onde f indica a frequência da cossenóide et o tempo.
Para efeitos de teste, pode-se gerar o sinaly2(t)através da equação
y2(t) =0,8 cos(0,22t2π) +0,2 cos(0,48t2π), (2.6)
a figura 2.8 exibe a representação gráfica desse sinal.
Como pode ser visto através da equação 2.5, o sinal y(t) possui duas componentes
cossenóides, sendo a primeira com frequência de 0,22 e a segunda com frequência de
0,48. O espectro de frequência para esse sinal seria representado pela figura 2.9.
infor-Capítulo 2. Fundamentação Teórica 18
0 20 40 60 80 100
−1 −0.5 0 0.5 1
Tempo
Sinal
Figura 2.8: Sinal gerado pela equaçãoy(t) =0,8 cos(0,22t2π) +0,2 cos(0,48t2π).
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 200 400 600
Frequência
Potência
Figura 2.9: Análise espectral do sinal gerado pela equação y(t) = 0,8 cos(0,22t2π) +
0,2 cos(0,48t2π).
mações relevantes como existência de componentes periódicos.
Existem diversos métodos que podem ser utilizados para a geração (ou cálculo) do espectro de frequência, sendo o mais comum deles a transformada de Fourier, através dos algoritmos daFast Fourier Transform(FFT). Entrentanto, para os sinais não regularmente
2.4. Análise Espectral 19
Existem algumas alternativas para o cálculo do espectro de frequências de dados não regularmente amostrados, como por exemplo, a DCDFT (Data Compensate Discrete Fourier Transform – Transformada Discreta de Fourier com Compensação de Dados),
técnicas utilizando RNAs (Redes Neurais Artificiais), o método Lomb-Scargle, dentre outros. Para o desenvolvimento deste trabalho, optou-se pela utilização do método Lomb-Scargle. Essa escolha deu-se devido a sua maior aceitação na comunidade científica.
2.4.1 Lomb-Scargle
Dentre os diversos algoritmos existentes para a análise espectral, as particularidades dos dados do problema abordado sugerem o uso da transformada, ou periodograma, de Lomb-Scargle. Esse método numérico foi inicialmente desenvolvido por Nicholas R. Lomb em 1976 e re-elaborado por Jefrey D. Scargle em 1982 [Scargle, 1982].
O método numérico de Lomb-Scargle é o mais adequado para o uso no problema em questão, devido a uma particularidade dos sinais captados por equipamentos astrofísicos, ou seja, pela não regularidade no espaçamento entre as amostras. O método Lomb-Scargle avalia a sequência de entrada, considerando não apenas a ordem dos dados, mas também os instantes de tempo em que cada uma das amostras foi coletada.
O método realiza a análise das séries decompondo-as em somatórias de senos e cossenos. Esse método apresenta algumas vantagens sobre as análises espectrais comumente real-izadas, sendo essas vantagens: a invariância do resultado quanto a variações na origem da sequência de entrada; a análise por periodograma torna-se semelhante à aproximação por mínimos quadráticos da curva por senóides; e o periodograma resultante do cálculo desse método possui distribuição de probabilidade exponencial, o que provê um grau de confiabilidade maior de que, na presença de picos, esses valores sejam referentes a um sinal verdadeiro [Horne e Baliunas, 1986] [Scargle, 1982].
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 20
equação:
P(ω) = 1
2σ2
h ∑N
j=1(hj−h¯)cos(ω(tj−τ))
i2
∑N
j=1cos2(ω(tj−τ))
+ h
∑N
j=1(hj−h¯)sen(ω(tj−τ))
i2
∑N
j=1sen2(ω(tj−τ))
, (2.7) onde ¯
h= 1
N N
∑
i=1
hi, (2.8)
σ2= 1 N−1
N
∑
1
(hi−h¯)2 eτé calculado pela relação (2.9)
tan(2ωτ) = ∑
N
j=1sen(2ωtj)
∑N
j=1cos(2ωtj)
. (2.10)
Os vetoreshieticorrespondem, respectivamente, às amostras realizadas e ao instante
de tempo no qual fio realizada a amostra. A constanteτé um artifício utilizado para tornar o periodogramaP(ω)invariável ao deslocamento no tempo do sinal.
Para compreender melhor o método de Lomb-Scargle, considere a sequência de amostras
y[ti]geradas a partir da equação
y3[ti] =sin(0,81ti2π) +6R(ti), (2.11)
para 0≤ti≤100, intervalo de amostras de 0,05 e probabilidade de perda de amostra de
70%.
Onde a funçãoR(ti)gera um ruído branco com distribuição de probabilidade uniforme r, tal que−0,5≤r≤0,5.
A figura 2.10 exibe a visualização dos pontos do sinal geradoy3[ti]. Ao calcularmos
2.5. Análise Multiresolução 21
0 20 40 60 80 100
−4 −2 0 2 4
Tempo
Sinal
Figura 2.10: Exemplo de um sinal discreto não regularmente espaçado.
0 0.5 1 1.5 2
0 50 100 150
Frequência
Potência
Figura 2.11: Periodograma criado utilizando Lomb-Scargle em um sinal discreto não regular-mente espaçado.
2.5 Análise Multiresolução
A análise multiresolução é uma técnica de processamento digital de sinais que permite obter informações sobre o comportamento do sinal em estudo em função da variação de mais de uma variável.
A ideia básica para a criação de uma representação do sinal em ambos os domínios, tempo e frequência, consiste em dividir o sinal em diversas partes e analisar cada uma dessas partes individualmente. Um problema crucial é descobrir como dividir o sinal em porções menores, sem alterar as características dos mesmos.
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 22
pois a mesma é uma técnica de processamento de sinais que poderá prover novas in-formações sobre os sinais de curvas de luz que ainda não foram alvos de estudo, prin-cipalmente sobre sinais não regularmente espaçados, como pode ser visto em [Starck et al., 2006], [Bessolaz e Brun, 2011], [Kestener et al., 2010] e [Moortel et al., 2002].
2.5.1
Wavelet
A transformada wavelet é uma ferramenta matemática para a análise, principalmente, de séries temporais ou imagens. As wavelets são uma ferramenta que, apesar de exis-tirem há um longo tempo, tendo surgido para a análise de sinais nos anos 80, vem gan-hando cada vez mais espaço nas pesquisas científicas, como pode ser visto em [Brechet et al., 2007], [Lazar e Averbuch, 2001] e [Ma e Ji, 2001]. A wavelet é muito utilizada no processamento da informação ou muitas vezes no pré-processamento dos sinais para extração de características.
Existem duas manerias clássicas de se trabalhar com a transformada wavelet. A primeira consiste na decomposição do sinal sucessivas vezes em detalhes e aproximação, e é comumente utilizada para a remoção e ruídos de um sinal, compressão de imagens, identificação de frequências puras, entre outras. Uma segunda abordagem para o uso de wavelets é a construção do mapa wavelet, comumente utilizado para a análise multires-olução de sinais.
O mapa da transformada wavelet transforma um sinal unidimensional em uma im-agem bidimensional. Esse processo pode ser comparado a um microscópio matemático, que permitirá analisar o destalhes que são adicionados quando se muda de escala [Suter, 1997].
2.5. Análise Multiresolução 23
estudadas.
Dias Julianos
Período
Wavelet Morlet
0 10 20 30 40 50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 2.12: Exemplo de mapa Wavelet.
É importante salientar, entretanto, que a transformada wavelet não demonstra uma rep-resentação tempo-frequência propriamente dita, e sim uma reprep-resentação tempo-escala. É possível realizar a conversão de escala para frequência. Esta conversão acontece através da seguinte equação:
f = fψ
a , (2.12)
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 24 Wavelet Discreta
Devido a natureza digital dos sinais estudados, deve-se aplicar aos mesmos técnicas adequadas aos sinais digitais, neste caso, deve-se utilizar a Wavelet Discreta. A discretiza-ção da transformada wavelet pode acontecer de duas maneiras.
A primeira consiste na discretização do plano "escala-translação", neste processo, as escalas aplicadas à funçaõ wavelet mãe são definidas por escala logarítmica. A segunda forma de discretização da transformada wavelet consiste na discretização das variáveis independentes. Assim, a equação define o cálculo para transformada wavelet discreta é definida pela equação
W[a,b] =
N
∑
i=1
f[ti]ψa,b[ti]dt, (2.13)
onde f é o sinal discreto a ser analisado que possui informações nos instantes de tempo ti, com i variando de 1 à N, a função ψ é a wavelet mãe utilizada, e os valores a e b
representam, respectivamente. No trabalho desenvolvido aplicou-se a discretização das variáveis independentes(aeb), de modo a se ter maior liberdade na análise dos sinais.
2.5.2 Mapas Wavelet
A ideia básica para a criação de uma representação multiresolução dos sinais consiste em dividir o sinal a ser analisado em diversas partes, e analisar cada uma dessas partes individualmente. O problema crucial para implementação desse método é descobrir como dividir o sinal em porções menores, sem alterar as características do mesmo. A transfor-mada wavelet é, provavelmente, a solução mais adequada para a realização da análise multisolução [Vallens, 1999].
Para a realização da análise multiresolução a transformada wavelet faz uso de uma função base, chamadawavelet mãe. A wavelet mãe é uma função de curto comprimento
2.5. Análise Multiresolução 25
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1 −0.5 0 0.5 1 Haar Tempo
Figura 2.13:Forma de onda da Wavelet Haar.
a transformada irá identificar ou desprezar determinadas informações durante o processo de criação do mapa.
A função da wavelet mãeψ(·)deve obedecer às seguintes restrições:
Z ∞
−∞ψ(u)du=0 (2.14)
e
Z ∞
−∞ψ
2(u)du=1. (2.15)
Um exemplo de função que atende a essas restrições é a wavelet de Haar, que pode ser vista na figura 2.13 e está descrita na equação 2.16.
ψ(u) =
−1 para −0,5<t<0
1 para 0<t <0,5
0 caso contrário
(2.16)
Uma vez definida a função que será utilizada como wavelet mãe, a geração do mapa wavelet consiste na aplicação da fórmula descrita pela equação
W(a,b) =
Z ∞
Capítulo 2. Fundamentação Teórica 26
ondearepresenta a escala ebo deslocamento aplicados à wavelet mãe.
Para a geração do mapa define-se dois vetores. Um contendo a sequência de valores paraa, que corresponderão aos valores de escala que deverão ser aplicados à funçãoψ(·)
e corresponderão ao eixo vertical do mapa, e o outro contendo a sequência de valores para
b, que corresponderão aos valores do deslocamento que deverão ser aplicados à função
Capítulo 3
Método de Multiresolução Aplicado às
Curvas de Luz
Neste capítulo, será descrito o projeto desenvolvido para a dissertação de mestrado. Na primeira seção, serão expostas as ferramentas já desenvolvidas para o laboratório CoRoT, na segunda seção, será descrito o método wavelet desenvolvido e, por fim, na última seção, será apresentada a versão atual da ferramenta desenvolvida.
3.1 Ferramenta de base
Devido ao crescente avanço das tecnologias, os astrônomos têm tido a capacidade de buscar informações sobre corpos cada vez mais distantes da Terra, e também com uma riqueza de detalhes cada vez maior. Entretanto, o custo para cada uma dessas empre-itadas continua alto o bastante para desencorajar investigações pontuais, fazendo com que, a cada nova missão iniciada, ou satélite posto em órbita, busque-se captar a maior quantidade de informações possíveis com os equipamentos utilizados, numa tentativa de garantir que os resultados obtidos justifiquem o investimento realizado.
Capítulo 3. Método de Multiresolução Aplicado às Curvas de Luz 28
de processar e extrair informações dessa imensa massa de dados produzida. Visando solucionar ou amenizar esse problema, cada vez mais vêm sendo adotado, nos laboratórios de astrofísica e astronomia, ferramentas computacionais que auxiliam os cientistas na realização de suas pesquisas.
A partir desse momento, começou a ser construída uma ferramenta computacional para auxiliar no processamento das curvas de luz.
A ferramenta construída, denominada de “Analisador de Curvas de Luz”, permite ao usuário, ao processar uma curva de luz, exibir sua forma de onda, calcular sua transfor-mada Lomb-Scargle e identificar, automaticamente, o período de maior preponderância naquela curva. Na figura 3.1, pode ser vista a ferramenta em execução.
Figura 3.1: Snapshot do aplicativo.
O aplicativo desenvolvido pode ser dividida em 6 componentes: barra de interação com gráficos; abertura de diretório; lista de curvas disponíveis para análise; parâmetros de cálculo do Lomb-Scargle; gráfico da curva de luz e; periodograma de Lomb-Scargle.
3.1. Ferramenta de base 29
para auxiliar o usuário na visualização das informações contidas nos gráficos. A barra é constituída de quatro botões:
Zoom In : permite escolher uma região de um dos gráficos para aproximação;
Zoom Out : permite retornar para uma visão mais abrangente do gráfico;
Drag : permite deslocar o gráfico;
Info : dá informações específicas sobre um ponto da função exibida no gráfico.
Figura 3.2:Barra de interação.
Logo abaixo da barra de interação está localizada, a região para abertura do diretório (figura 3.3). Através do botão "Abrir", localizado no canto direito desta área, o usuário pode indicar o diretório a partir do qual serão lidas as curvas de luz para análise. Ainda nessa região, existe campo de texto onde aparece o endereço do diretório que está sendo analisado. Esse campo é preenchido automaticamente quando o usuário indica o diretório através do botão "Abrir".
Figura 3.3: Região para abertura de diretório.
Do lado esquerdo aplicação pode-se ver a lista de curvas (figura 3.4) disponíveis para análise. Essa lista é preenchida, automaticamente, quando o usuário indica o diretório onde irá trabalhar.
Capítulo 3. Método de Multiresolução Aplicado às Curvas de Luz 30
Figura 3.4: Lista de curvas.
Figura 3.5: Painel de configuração do Lomb-Scargle.
Por fim, existem dois espaços para exibição das informações da curva de luz, o primeiro para exibição a própria curva, na figura 3.6, e o segundo para exibição do periodograma de Lomb-Scargle calculado para a curva de luz, que pode ser visto na figura 3.7.
Foi desenvolvido também um script no MATLAB, que permitia geração de um
re-latório de análise de um conjunto de curvas de luz de maneira automática. A geração desse relatório, através doscript, permite a realização de uma triagem prévia que indicará
um conjunto de reduzido de curvas de luz que poderão trazer informações relevantes para a pesquisa realizada e, portanto, devem receber uma maior atenção na análise individual.
3.1. Ferramenta de base 31
Figura 3.6:Gráfico para exibição da curva de luz.
Figura 3.7:Gráfico para exibição do periodograma de Lomb-Scargle.
informações sobre as curvas de luz analisadas.
As informações contidas em cada uma das colunas da tabela correspondem à:
COROT_ID: Número de identificação da estrela observada;
RUN_ID: Código indicando em qualruna observação foi realizada;
Mag_B: Magnitude B da estrela;
Mag_V: Magnitude V da estrela;
(B-V): Diferença entre as magnitudes;
Per1: Período com maior potência encontrada através do periodograma de Lomb-Scargle;
Pot1: Potência do maior período;
fap1: Probabilidade de alarme falso para o maior período encontrado;
Capítulo 3. Método de Multiresolução Aplicado às Curvas de Luz 32
COROT_ID RUN_ID Mag_B Mag_V (B-V) Per1 Pot1 fap1 TS
102695403 IRa01 15.436 14.798 0.638 100 14.0893 0.00060382 F7
102696318 IRa01 15.415 14.729 0.686 100 15.0187 0.00023839 G3
102696449 IRa01 17.227 16.359 0.868 42.75 1.9305 1 G4
102697109 IRa01 16.341 15.593 0.748 15.25 1.4615 1 G6
102698534 IRa01 16.122 15.306 0.816 30.25 4.5149 0.99984 G7
102700868 IRa01 16.843 15.375 1.468 80.5 8.8184 0.11087 M0
102701178 IRa01 16.532 15.546 0.986 68.25 404.9683 1.0576e-173 K0
102701434 IRa01 15.693 14.314 1.379 85.75 97.463 3.734e-040 K9
102701537 IRa01 16.165 15.407 0.758 100 4.8613 0.99791 G8
102716794 IRa01 16.547 15.831 0.716 63.5 7.5419 0.34377 G9
102717019 IRa01 17.286 15.877 1.409 14.5 21.7207 2.9284e-007 K9
102884662 IRa01 17.007 15.934 1.073 3.75 114.9261 9.7287e-048 K8
Tabela 3.1:Exemplo de relatório gerado.
Das informações presentes na tabela, destacam-se as colunas Per1, Pot1 e fap1 que correspondem, respectivamente, ao período mais forte da curva, a potência associada a esse período e a probabilidade de esse período ser falso. Todas essas informações são obtidas através do cálculo e análise do periodograma de Lomb-Scargle.
3.2 Método da Wavelet Modificada
Com base nesta ferramenta, passamos para a segunda etapa do trabalho, consistindo do desenvolvimento de um método para a análise multiresolução dos sinais.
Dentre as tecnologias estudadas para a implementação do método em questão, optou-se pela escolha da transformada Wavelet, pois a mesma, de acordo com o estudo bibli-ográfico realizado, demontrou ser amplamente utilizada para os mais diversos problemas na área de análises por multiresolução, incluindo a análise de sinais astrofísicos.
O primeiro passo dado para o uso da transformada wavelet como parte do projeto desenvolvido foi a utilização do toolbox wavelet disponível para Matlab para a análise das curvas.
Nos primeiros testes realizados com awavelet, foi utilizado uma curva de luz de fácil
3.2. Método da Wavelet Modificada 33
obtidos. A figura 3.8 mostra o sinal correspondente à curva de luz utilizada.
25902 2600 2610 2620 2630 2640 2650
4 6 8 10 12x 10
4
Dias Julianos
Fluxo de Luz (elec/s)
Figura 3.8:Curva de luz utilizadas nos testes da transformadawavelet.
A análise desta curva de luz pela ferramenta apresentada na seção anterior permitiu identificar a existência de dois períodos preponderantes, com valores aproximados de 1,9 e 3,9 dias. A análise da curva em questão utilizando o método de Lomb-Scargle pode ser vista na figura 3.9.
0 2 4 6 8 10
0 200 400 600
Período
Potência
Figura 3.9:Espectro da curva de luz utilizando o algoritmo de Lomb-Scargle.
Foram realizadas analisadas diferentes formas dewaveletcom o objetivo de identificar
qual seria a mais adequada para esta análise. As figuras 3.10, 3.11 e 3.12 demonstram os mapas wavelet gerados a partir das funçõesMorlet,DaubechiseMexican Hat.
Utilizando o conhecimento prévio obtido através da análise espectral da curva de luz através da transformada Lomb-Scargle, podemos verificar quer awaveletque proporciona
Capítulo 3. Método de Multiresolução Aplicado às Curvas de Luz 34
Figura 3.10:Análise utilizando awavelet Morlet
Figura 3.11: Análise utilizando awavelet Daubechis
exibida na figura 3.10. Nela pode-se perceber com mais clareza a existência de duas faixas horizontais, próximas aos valores de período de dois e quatro dias.
Apesar dos testes iniciais demonstrarem aspectos positivos no uso da transformada wavelet para o desenvolvimento do projeto, ainda existiam dois problemas no uso da transformada wavelet. Primeiro, a transformada wavelet disponibilizada pelo toolbox e utilizada até então foi desenvolvida para trabalhar com sinais regularmente espaçados, o que já ficou claro ao longo do texto, não se aplica ao sinais estudados. O segundo prob-lema pode ser facilmente observado nas figuras 3.10, 3.11 e 3.12. Existem nas extremi-dades dos mapas, zonas de maior energia. Essas zonas ocorrem devido a não sobreposição total da wavelet mãe com o sinal analisado. Essa sobreposição acaba comprometendo o mapa como um todo, pois o pico de energia acaba ocultando detalhes de interesse no restante do mapa.
3.2. Método da Wavelet Modificada 35
Figura 3.12: Análise utilizando awavelet Mexican Hat
3.2.1 Wavelet para dados não regularmente espaçados
A solução para o primeiro problema foi encontada através da modificações no algo-ritmo realizado para o cálculo do mapa de coeficiente wavelets. Como já visto anterior-mente, o cálculo do mapa de coeficientes deve ser realizado através da equação
W(a,b) =
Z ∞
−∞f(t)ψa,b(t)dt (3.1)
.
O primeiro passo para a implementação da transformada wavelet não regularmente espaçada é considerar que os dados de entrada não serão uniformemente distribuídos ao longo do intervalo de observação, sendo assim, haverá um vetort[n] que conterá os in-stantes de tempo nos quais o sinal foi observado e um vetorf[n]que armazenará as leituras do sinal nos instantes de tempo armazenados emt[n].
O cálculo dos coeficiente do mapa wavelet deverá ser obtido através da resolução da equação
W(a,b) = √1
a n
∑
f[n]ψ∗ t[n]−b a
. (3.2)
Capítulo 3. Método de Multiresolução Aplicado às Curvas de Luz 36
Uma vez especificada a forma de cálculo para os coeficientes, para que o algoritmo funcione de maneira adequada, é necessário especificar as equações das wavelet mãeψ(·)
que serão disponibilizadas para cálculo. Durante o desenvolvimento dos trabalhos, optou-se pelo uso de 4 wavelets mãe diferentes: Haar, função derivativa do Gradiente (fdG),
Mexican Hat(Mh) e Morlet. Sendo elas expressas, respectivamente pelas equações
ψ(Haar)(u) =
−0,5, se −0,5<u<0
0,5, se 0≤u<0,5
0, caso contrário
, (3.3)
ψ(f dG)(u) = √
2ue−u2/2σ2
σ32π14
, onde σ=0,44311, (3.4)
ψ(Mh)(u) =2(1−
u2
σ2)e−u 2/2σ2
π1/4√3σ , onde σ=0,63628 e (3.5)
ψ(Morlet)(u) =e−u.2cos πu
s
2 ln(2)
!
, (3.6)
podendo ser vistas suas formas de onda na figura 3.13.
A próxima etapa do desenvolvimento consiste em solucionar o problema da ocorrên-cia de picos de energia nas extremidades iniocorrên-cial e final do mapa de coeficientes. É fato conhecido que, devido à aplicação de escalas a wavelet mãe, as zonas extremas no eixo de deslocamento possuem imprecisões no cálculo do coeficiente. O problema acontece pois, quando parte da wavelet mãe não é utilizada no cálculo, a funçãoψ(·)não atende às restrições definidas pelas equações 2.14 e 2.15.
3.2. Método da Wavelet Modificada 37
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Haar Tempo (a) Haar
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (b) fdG
−3 −2 −1 0 1 2 3
−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
(c) Mexican Hat
−3 −2 −1 0 1 2 3
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (d) Morlet
Capítulo 3. Método de Multiresolução Aplicado às Curvas de Luz 38
2590 2600 2610 2620 2630 2640 2650
−1 −0.5 0 0.5 1
Deslocamento (Dias Julianos)
Amplitude
Figura 3.14: Wavelet Morlet circular.
ilustração da função Morlet calculada de maneira circular pode ser vista na figura 3.14. Como já dito anteriormente, os sinais estudados neste trabalho possuem a caracterís-tica de não serem regularmente espaçados. Sendo assim, o simples deslocamento do sinal não resolveria o problema de maneira satisfatória, pois novamente iria resultar na não coincidência das amostras deψ(·)com o sinal estudado.
Visando atender a estas restrições o cálculo do valor retornado pela funçãoψfoi mod-ificado, de acordo com o descrito na seguinte equação,
ψc(t) = 1
p
|ea|
ψ t−b
ea
, caso ψinicial ≤t≤ψf inal
ψt−b−(tf im−tincio)
ea
, caso t<ψinicial
ψt−b+(tf im−tincio)
ea
, caso ψf inal <t
. (3.7)
Ondetinicialetf inalcorrespondem, respectivamente, ao início e ao fim da função analisada;
ψinicial eψf inal correspondem, respectivamente, ao início e fim da funçãoψ(·);bo
deslo-camento eaa escala aplicada. Os valores deψinicial eψf inal deverão ser especificados de
acordo com a funçãoψ(·)utilizada.
Com isso, garante-se que a função ψc atenderá às restrições impostas pela teoria
3.2. Método da Wavelet Modificada 39
Altera-se assim a equação para o cálculo do mapa wavelet, descrita na equação 3.1, para a equação
W(a,b) =
Z ∞
−∞
f(t)ψca,b(t)dt. (3.8)
Dessa forma, o cálculo do mapa wavelet numérico, utilizando como dados de entradat
e f, sendo respectivamente tempo e fluxo, ambos comnelementos, será realizado através
da equação
W(a,b) =
n
∑
i=0
f[i]ψac(,bWavelet-Mãe)(t[i]), (3.9)
ondeWavelet-Mãeindica a função wavelet mãe que será utilizada (dentre as especificadas
nas equações 3.3, 3.4, 3.5 e 3.6); a indica a escala aplicada a wavelet-mãe; b indica
Capítulo 4
Resultados e aplicação desenvolvida
Neste capítulo serão apresentados os resultados dos trabalhos desenvolvidos neste pro-jeto, bem como a aplicação desenvolvida para ser utilizada no laboratório CoRoT para a análise das Curvas de Luz.
4.1 Resultados
Para a demonstração dos resultados obtidos, serão utilizados dois casos de teste. O primeiro consistirá na análise espectral e multiresolução de um sinal gerando computa-cionalmente. O segundo teste realizado será sobre uma curva de luz selecionada dentre as curvas de luz da missão espacial CoRoT.
4.1.1 Análise de sinal não regularmente espaçado gerado
computa-cionalmente
Esse teste tem como objetivo demonstrar a eficácia da metodologia sugerida para a análise espectral e multiresolução para sinais não regularmente espaçados.
com-4.1. Resultados 41
ponentes de frequências distintas e presentes em intervalos de tempos distintos, mas não excludentes. O sinal foi gerado a partir da equação
s(t) =
3sen 2πt13, para t ≤33
3sen 2πt13+sen 2πt16, para 33<t<67
sen 2πt16, para t ≥67
, (4.1)
e a forma de onda resultante pode ser vista na figura 4.1.
0 20 40 60 80 100
−4 −2 0 2 4 Tempo Amplitude
Figura 4.1: Sinal digital sintetizado utilizado para validação do método.
Para demonstração da robustez do método proposto, foi adicionado ao sinal um ruído branco gaussiano aditivo com amplitude 4. O sinal adicionado de ruído pode ser visto na figura 4.2
0 20 40 60 80 100
−5 0 5 10 Tempo Amplitude
Figura 4.2: Sinal digital sintetizado acrescido de ruído utilizado para validação do método.
Capítulo 4. Resultados e aplicação desenvolvida 42
do sinal, com probabilidade de perda de amostra de 30%. Após a realização dessa reamostragem, o sinal digital resultante pode ser visto na figura 4.3.
0 20 40 60 80 100
−5 0 5 10
Tempo
Amplitude
Figura 4.3: Sinal digital sintetizado não regularmente espaçado utilizado para validação do método.
Aplicando a transformada Lomb-Scargle no sinal e realizando a análise espectral, pode-se notar claramente a existência de dois picos no periodograma, que pode ser visto na figura 4.4. Um deles centrado no período 3 e o outro centrado no período 6. Valores que condizem com a equação de descrição do sinal.
0 2 4 6 8 10
0 50 100 150 200
Período
Potência
Figura 4.4:Espectro de frequência gerado pelo Lomb-Scargle para o sinal de teste.
4.1. Resultados 43
É importante ressaltar que, ao observar a equação 4.1, percebe-se que os intervalos identificados correspondem aos limites do sinal gerado.
Dias Julianos
Período
Wavelet Morlet
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 4.5: Sinal digital sintetizado utilizado para validação do método.
4.1.2 Análise da curva de luz
Esse teste tem como objetivo principal demonstrar o ganho de qualidade na análise multiresolução, obtido devido às modificações realizada na implementação da transfor-mada wavelet.
Para a realização do teste, foi escolhida uma curva de luz que possui características já conhecidas, a curva identificada pelo ID EN2 STAR MON 0102884662 20070203T130553 20070401T235518. A curva de luz pode ser visualizada na figura 4.6.
Através da análise espectral da curva de luz em questão, que pode ser vista na figura 4.7, pode-se notar a existência de dois picos de interesse. O primeiro, e de maior en-ergia, encontra-se aproximadamente no período de 1,9 dias. Já o segundo encontra-se, aproximadamente, no período de 3,9 dias.
Capítulo 4. Resultados e aplicação desenvolvida 44
2600 2610 2620 2630 2640
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11x 10
4
Eletrons (E)
Dias Julianos (DJ) EN2
STARMON010288466220070203T13055320070401T235518.fits
Figura 4.6: Curva de luz EN2 STAR MON 0102884662 20070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT.
0102884662 20070203T130553 20070401T235518. Esse mapa foi gerado, sem o uso da técnica de wavelet mãe circular.
Através da análise multiresolução, pode-se perceber a existencia de duas faixas de maior energia se estendendo ao londo das faixas de períodos de 2 e 4 dias. Entretanto a análise é bastante prejudicada pelos picos de energia existentes nos extremos do eixo de deslocamento (o eixo horizontal).
Na figura 4.9, pode-se ver o mapa de coeficientes wavelet gerado utilizando o método proposto. Nele, comparado ao mapa da figura 4.8, é bem mais perceptível a existência das duas faixas.
4.2 Aplicação desenvolvida
O desenvolvimento de uma aplicação gráfica para auxiliar o processo de análise das curvas de luz tem como principal objetivo disponibilizar uma interface amigável e intu-itiva para o usuário, sem restringir seu acesso às informações de interesse.
4.2. Aplicação desenvolvida 45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Potencia (P) Periodo (DJ)
EN2STARMON010288466220070203T13055320070401T235518.fits
Figura 4.7:Análise espectral da curva de luz EN2 STAR MON 0102884662 20070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT.
permite ao usuário carregar curvas de luz armazenadas em um diretório e realizar os dois tipos de análise descritos nesta dissertação, a análise espectral e a análise multiresolução. Assim como a primeira versão da ferramenta, esta pode ser dividida em diferentes regiões, com base nas suas funcionalidades. Sendo essas regiões: barra de interação com gráficos; abertura de diretório; lista de curvas disponíveis para análise; configuração dos métodos; gráfico para exibição da curva de luz; gráfico para exibição do periodograma de Lomb-Scargle; e gráfico para a exibição do mapa wavelet.
A figura 4.11 apresenta uma visão da aplicação dividida com base em suas funcional-idades. Cada uma dessas funcionalidade será explicada a seguir.
A barra para interação (indicada pela letra "a"figura 4.11) mantém a mesma configu-ração da versão anterior, permitindo ao usuário aplicarZoomaos gráficos, deslocá-los ou
obter informações mais precisas sobre um ponto em qualquer um dos gráficos.
Em seguida, aparece a barra para abertura de diretório (indicada pela letra "b"figura 4.11), que exibe o diretório corrente e permite ao usuário, através do acionamento de um botão, indicar um novo diretório para análise.
Capítulo 4. Resultados e aplicação desenvolvida 46
Dias Julianos
Período
Wavelet Morlet
2600 2610 2620 2630 2640
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 4.8: Análise multiresolição da curva de luz EN2 STAR MON 0102884662
20070203T130553 20070401T235518 da missão espacial CoRoT sem a técnica deψcircular.
do arquivo nessa lista.
Na região indicada pela letra "d"na figura 4.11, pode-se ver a área de controle para os parâmetros para cálculo e exibição dos métodos disponíveis. Essa área é subdividida em 4 regiões menores, delimitadas porpanels.
O primeiropanel, denominado "Controle Lomb", corresponde às configurações para o
cálculo e exibição do periodograma de Lomb-Scargle. Nele é possível indicar os períodos inicial e final para o cálculo do periodograma, bem como o intervalo entre os períodos calculados. Além disso, também se pode indicar a unidade na qual deverá ser exibido o eixo horizontal do gráfico do periodograma, se será frequência (1/DJ) ou período (DJ).
Por fim, permite-se também abrir uma janela para exibição do periodograma.
O segundo panel, denominado "Controle Wavelet", permite realizar a configuração
