-г -г
*ц
Х
Х
яХ
гХ
Х
,
гХ
Х
б
9,
кйезкХ
бХ
( 08.02.2013; – 10.10.2013р online 17.10.2013)
г
- г б
б б в
г б
б б в
б г г г
ю ы : б б
б б .
PACS numbers: 05.20. – y, 05.70.Fh, 64.70.F –, 64.60. – i
*
[email protected]
1.
б
б
б
[ж]г
б
б
б
U
(
r
)
б
в
б
в
[з]б
в
-
[и
-
м]
[л
-
жж]б
в
[жз
-
жй]б
[жк
-22].
[жм]
-
Ц
( Ц) [зи]б
(
) [зй]г
б
г
Ц
б
б
б
г
б
б
в
Ц
[жн
-
ззб зкб зл]г
в
б
в
[жнб жоб зкб
зл]
г
в
[жб жмб зйб зм]
в
N
/
V
г
в
B
k + 1в
k1
1
k k
k
B
k
(1)
б
в
в
б
в
г
в
«
в
»
[жк
-17, 28,
зо]б
б
[жкб жлб зй]
г
[зе
-
зз]
в
в
г
б
[иеб
иж]б
(
б
б
Ц
)г
б
в
(
)
б
в
б
г
Ц
в
в
-
12 6
( )
4
U r
r
r
.
(2)
2.
А
А
г
[зй]
в
г
в
в
(
б
[из])
в
в
г
(
Sб
S–
б
k kв
)б б
(
«
в
»
)
k k1
k
k
,
(3)
в
г Э
(и)б
-
б
в
б
б
г
[ииб
ий]
Q
NN
(
)
N (N) NQ
V f
,
(4)
f
(N)y
Ny
1 1 1( )
1
exp
1
.
1
k k k k k k k k k k k k k k kf y
k
y
N
k
y
y
N
y
k
N
N
(5)
б
(
N
∞)б
(й)
(к)
в
N
б
б
в
kв
г
(й)
(к)
в
!
N N NV
Q
q
N
,
1 1(
1)!
1
(
)
(
)!
k
n i
k
n k i k
i k
k
i
q
N
i
M
i
k
N
,
(6)
M
kв
1 1 1
1
(
1)!
(
)
(
)!
i k
i
k k i k i k i
i
i
k
k i
M
M
M
M
k i
N
N
M
0= 1
M
k < 0= 0.
в
ln
ln
ln
N NkT
Z
q
a
kT
N
N
.
(7)
в
(л)
1 1 1 1(
1)!
1
(
1
)!
N T
k N
k
N k N k
k
F
kT
P
V
q
k
N
q
q
k
N
N
k
.
(8)
3.
А
-
(з)
(л)б (м) (н)
в
*
3P
P
в
б
T
*
kT
N
г
ж з
N
8000.
г
(
в
)б
г
B
6B
7в
[зо]г
. 1–
б б
(
. 2– в
п (
-)б ( ) ( )б
г в
(м)
в
( г
г
ж)г
б
г
в
(м)г
в
б
в
,
в
(
)
в
г
б
в
в
б
в
б
в
в
г
б
б
в
в
г
( г
г
з)г
0б
(и)
01
k k k
k
,
(9)
б
(н)б
г
в
N
(н)г
б
[и
4].
(н)
в
г
(н)
в
в
г
б
в
(
N
∞
)
б
(м)
г
б
0(о)
б г г
б
б
г
и
б
(о)
в
г
в
г
в
б
г
б
в
б
б
б
(о)б
k
∞г
. 3– (о) в
( в
)г (а)
б (●) в
[же]б [н]б
в
б [и-11]
4.
в
-
б
(и)г
Э
в
г
в
в
б
б
б
б
б
б
(й)
в
(к)
г
в
в
–
в
г
–
в
г
б
б
г
в
б
б
г
б
б
б
г
б
в
г
б
в
г
-г -г
ц
Х
Х
яХ гХ
Х
бХ
обХ гХ
Х
бХкйезкХ
бХ
є в
є г -
г б б б в
б г
б є б б
’ б в
г
ю п б б б
б є г
Condensation Problem of the Gibbs Single-Phase Statistics
on the Lennard-Jones Fluid Example
M.V. Ushcats
National University of Shipbuilding, 9, Geroyev Stalingrada avenue, 54025 Mykolayiv, Ukraine
The accurate expression for the cluster expansion of the configuration integral of interacting particles is considered in the paper. The investigations of this expression indicate the beginning of the gas-liquid transition at the singularity points of the isothermal compressibility. It has also been shown that the ade-quacy boundaries of the virial equation of state correspond to these points, but not the singularity points of virial series. The inappropriate behavior of the cluster expansion has been discovered at the high density regimes, which correspond to the liquid and solid states that may be related to the infinite limits of the cluster integrals, i.e. their independency on density.
Keywords: Configuration integral, Cluster expansion, Virial equation of state, Irreducible integral, Virial coefficient.
А
1. A. Isihara, Statistical physics (New York: Academic Press: 1971).
2. A. Collevecchio, W. Königб і. Mörters, N. Sidorova, Com-mun. Math. Phys.299, 603 (2010).
3. A.Z. Panagiotopoulos, Int. J. Thermophys.15, 1057 (1994). 4. X. Feng, Z. Li, Z. Guo, Chinese Sci. Bull.45, 2004 (2000). 5. D.A. Kofke, J. Chem. Phys.98, 4149 (1993).
6. J.K. Johnson, J.A. Zollweg, K.E. Gubbins, Mol. Phys. 78, 591 (1993).
7. P. Attard, J. Chem. Phys.116, 9616 (2002).
8. J.J. Nicolas, K.E. Gubbins, W.B. Streett, D.J. Tildesley,
Mol. Phys.37, 1429 (1979).
9. A. Lotfi, J. Vrabec, J. Fischer, Mol. Phys.76, 1319 (1992). 10.W.Z. Ou-Yang, Z. Y. Lu, T.F. Shi, Z.Y. Sun, L.J. An, J.
Chem. Phys.123, 234502 (2005).
11.H. Watanabe, N. Ito, C.-K. Hu, J. Chem. Phys. 136, 204102 (2012).
12.M. Kac, G.E. Uhlenbeck, P.C. Hemmer, J. Math. Phys.4, 216 (1963).
13.J.L. Lebowitz, O. Penrose, J. Math. Phys.7, 98 (1966). 14.R. J. Baxter, J. Phys. A-Math. Gen.13, L61 (1980). 15.T.D. Lee, C.N. Yang, Phys. Rev.87, 410 (1952).
17.R. Balescu, Equilibrium and Nonequilibrium Statistical mechanics (New York: John Wiley: 1975).
18.G.N. Sarkisov, Phys. Usp.42, 545 (1999). 19.G.N. Sarkisov, Phys. Usp.45, 597 (2002).
20.A.G. Vompe, G.A. Martynov, J. Chem. Phys. 106, 6095 (1997).
21.G.A. Martynov, Phys. Usp.42, 517 (1999).
22.E.M. Apfelbaum, V.S. Vorob’evб G.A. Martynov, J. Chem. Phys. 127, 064507 (2007).
23.L.S. Ornstein, F. Zernike, Proc. Nat. Acad. Sci.17, 793 (1914). 24.J.E. Mayer, M. Goeppert Mayer, Statistical Mechanics
(New York: John Wiley: 1977).
25.D.A. Tikhonov, G.N. Sarkisov, Russ. J. Phys. Chem. 74, 470 (2000).
26.I. Charpentier, N. Jakse, J. Chem. Phys.123, 204910 (2005). 27.N.N. Bogoliubov, Problems of Dynamic Theory in
Statisti-cal Physics (New York: InterScience: 1962).
28.J.L. Lebowitz, O. Penrose, J. Math. Phys.5, 841 (1964). 29.A.J. Schultz, D.A. Kofke, Mol. Phys. 107, 2309 (2009). 30.N.F. Carnahan, K.E. Starling, J. Chem. Phys.51, 635 (1969). 31.G.S. Joyce, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A325, 643 (1988). 32.R. Hellmann, E. Bich, J. Chem. Phys.135, 084117 (2011).
33. г г б Х Х ц Х
Х г г г 1020, 6 (2012).
