O Sentido Fsio dos Campos B e H
ThephysialmeaningoftheeldsBandH
G.F. Leal Ferreira
guilhermif.s.usp.br
InstitutodeFsiadeS~aoCarlos,USP
CP369,13560-970, S~aoCarlos,SP
Reebidoem03/01/2001. Aeitoem28/02/2001
Mostra-seque,emborasejaoampodeindu~ao ~
Boampofundamental,eoampo ~
Hoampo
mag-netizantenoparaenoferromagnetismo,osquaisserealizampelaorienta~aodedipolosmagnetios.
Janodiamagnetismo,ujoasoextremooorrenosmateriaisemestadosuperondutor,dependente
da a~aodaindu~aoeletromagnetia, oampoindutore o deindu~ao, ~
B. Disute-se aobten~ao
dasrela~oes ~
B= ~
H+4 ~
M fundamentais,e ~
D= ~
E+4 ~
P easdiferenasoneituaisentreelas. O
efeito desmagnetizanteeostatusdasorrentesdeAmperes~aotambemabordados.
It isshownthat albeit thefundamentalharaterof theindutioneld ~
B,itisthemagnetield
~
H the magnetizing eld in para and ferromagnetism, phenomena depending on the orientation
of magnetidipoles. However, in diamagnetism, whose extreme ase ours in superonduting
materials,theindutingeldis ~
B. Therelations ~
B= ~
H+4 ~
M e ~
D= ~
E+4 ~
P areobtainedand
thedierenesbetweenthemstressed. ThedemagnetizationeetandthestatusoftheAmperian
urrentsaredisussed.
I Introdu~ao
Nos dieletrios a polariza~ao ~
P, ou seja, o momento
de dipoloeletrioporunidade devolume,eresultante
daa~aodoampoeletrio ~
E. Paraamposn~aomuito
elevados vale a rela~ao linear ~
P =
e ~
E, sendo
e a
suseptibilidade eletria. No magnetismo a indu~ao
~
B e onsiderada o ampo fundamental (omo ~
E o e
em eletrostatia) mas apesardisso amagnetiza~ao
in-duzida ~
M e sempre expressa em termos do `ampo
magnetio' ~
H,ampoaparentementesubsidiario,omo
~
M=
m ~
H,sendo
m
asuseptibilidademagnetia(em
geraldependentedamagnitudede ~
H nosmateriais
fer-romagnetios). Esta tradi~ao, segundo Poinare [1℄,
foi iniiada por Poisson e Maxwell [2℄ a onsidera `a
equa~aofundamentaldamagnetiza~aoinduzida'.
Nopresenteartigopretendemos justiaraesolha
dePoisson,n~aodeformauniversal,masquandoela se
aplia ao para e ao ferromagnetismo enquanto que a
formaalternativa, ~
M = ~
B,sendo uma nova
susep-tibilidade,deveserusadano diamagnetismo,inlusive
para desrever oaso extremo da superondutividade
II Obten~ao das rela~oes
~
B =
~
H +4
~
M e
~
D =
~
E +4
~
P
Sera muito util reapitularmos omo a rela~ao ~
B =
~
H+4 ~
M eobtidaeompara-laomaorrespondente
rela~ao eletria, ~
D = ~
E+4 ~
P [3℄. Consideraremosa
magnetiza~ao ~
M eapolariza~ao ~
P, omo fontes de ~
B
ede ~
E respetivamente. Osefeitosdasorrentesedas
argasreaispodemserfailmenteintroduzidosaonal
dadedu~aoemadaaso.
II.1 ~
B= ~
H+4 ~
M
Paraarela~aomagnetiapartimosdaexpress~aodo
potenialvetor~anoponto~rdeumaespirademomento
dedipolom~
~a= ~ m~r
r 3
(1)
esrita no CGS gaussiano. Generalizando esta
ex-press~ao para uma distribui~ao de densidade de
mag-netiza~ao ~
M(~r 0
),no volume V
0
, riando noponto ~r o
potenialvetor ~
A(~r),verFig.1,tem-se
~
A(~r)= Z
V
0 ~
M(~r 0
) (~r ~r
0
)
j~r ~r 0
j 3
d 0
(2)
edevemosahar ~
Bomoorotaionalde ~
A. O
~
G(~r))iguala(r ~
G (~r)) ~
M (
~
Mr)G(~r)sendo ~
M
to-madoomo onstante. Portanto,vamos separar ~ B em duaspartes, ~ B 1 e ~ B 2 ,om ~ B 1 (~r)=
Z V0 ~ M(~r 0 )r ~ r ~r
0
j~r ~r 0 j 3 d 0 (3) e ~ B 2 (~r)=
Z V 0 ( ~ M(~r 0 )r) ~r ~r
0
j~r ~r 0 j 3 d 0 : (4)
Masr~r=~r 3
=4Æ(~r)e,portanto,
~
B
1
(~r)=4 ~
M(~r): (5)
Para ~
B
2
, Eq.4, usa-se a identidade r( ~
M ~
G (~r)) =
( ~
M r) ~
G (~r)+ ~
M (r ~
G(~r)) e sendo o rotaional
deumgradientenulo,podemospor
~
B
2 (~r)=
Z
V
0 r(
~
M(~r 0
)( ~ r ~r
0
j~r ~r 0 j 3 )d 0 = r Z V 0 ~
M(~r 0
) ~r ~r
0
j~r ~r 0 j 3 d 0 = ~
H(~r); (6)
jaqueointegrandodependesode~r 0
. Notemosque ~
B
1 ,
Eq.5,dependedovalorloalde ~ Menquanto ~ B 2 = ~
H(~r)
eoampodeindu~aoriadopelos dipolosmagnetios
distribuidos em V
0
. Enquanto que ~
B
1
pode ser
ha-mado de omponente loal de ~
B, e e nulo noexterior
deV
0 ;
~
H,oampomagnetio,Eq.6,podeserhamado
de ampodistante de ~
B eeemgeraldiferente dezero
no interiore noexteriordeV
0
. Noasode haver
or-rentespresentes,ououtrosmateriaismagnetizados, ~
H
inluiraoamporiadopor estas. Dasrela~oes
anteri-oresonlui-se
~
B= ~
H+4 ~
M (7)
Figura1.Potenialvetor ~
Anoponto~r,riadopela
magne-tiza~aoem ~
M em~r 0
,interiordeV0.
II.2 ~
D= ~
E+4 ~
P
Noasoeletrio,oampoeletrioeriadopela
po-lariza~ao ~
P distribuidaem V
0
e n~ao teramosmais do
~ ~
~
E(~r)= r Z
V
0 ~
P(~r 0
) ~ r ~r
0
j~r ~r 0 j 3 d 0 (8)
Note-sequeno asoeletriosooampohamado
dis-tante da o ampo eletrio total. Para obtermos a
rela~aoeletriaorrespondenteaEq.7,eprefervel
tra-balharomopotenialU dadistribui~aodedipolosem
vezdoampo ~
E
U(~r)= Z
V0 ~
P(~r 0
) ~r ~r
0
j~r ~r 0 j 3 d 0 (9)
e,atravesdetruquebemonheido,transformara
inte-gralnumadesuperfieenvolvendoaomponente
nor-malde ~
P agindoomodensidadesuperialdeargae
outradevolume,envolvendo r ~
P agindoomo
densi-dadevolumetriadearga,
p
. Podemosent~aoesrever
r ~
E=4
p
elogor( ~
E+4 ~
P)edenindooampo
sem diverg^enia ~
D (no aso presente em que n~ao ha
argasreais),nalmente
~
D= ~
E+4 ~
P (10)
Seargas reaisest~aopresentes omdensidade, a
di-verg^enia de ~
D sera igual a4. A equival^enia
ma-tematia entre ~
D e ~
B a estabeleida alem daquelas
entre ~
E e ~
H e entre ~
P e ~
M. Notemos que a rela~ao
magnetia,Eq.7emaisfatualdoqueaeletria,Eq.10,
porquenaEq.7podemosdarsentidofsioaosseustr^es
termos,enquantonaEq.10 oampo ~
D foiintroduzido
porpuraonveni^eniamatematia,emtermosdas
gran-dezasfsiasrelevantes, ~
P e ~
E.
III Para e Ferromagnetismo
Na reapitula~ao da se~ao II.1, o ponto importante a
serrealadoeoda exist^eniada omponente loal de
~
B,iguala4 ~
M, eoseuapareimentosedevea
singu-laridadedoampodeindu~aodeumaespira,prototipo
domomento magnetio, no interiorda propria espira,
responsavelanalpeloapareimentodafun~aodeltano
integrandodaEq.3. E omela podemos ompreender
porque no para e no ferromagnetismoa indu~ao deve
relaionar ~
M a ~
H en~aoa ~
B: equenestesasosos
di-polos magnetios preisamserorientados para riar a
magnetiza~ao mas apropria magnetiza~ao, ampo
lo-al de ~
B, n~ao tem nenhum efeito de orienta~ao sobre
elamesma. Considereporexemploodipolomagnetio
~
mnointeriordomeiomagnetio,g.2. ComoOnsager
[4,5℄raioinou,odipolom~ magnetizaraomeio,maso
ampoderea~ao ~
Rdestesobreodipoloseranadire~ao
dem~ e, portanto, n~ao tera nenhuma a~aoorientadora
sobreele. Soaintera~aodo momento magnetioom
oampodistante ~
H poderagerarorienta~ao
preferen-ial do momento magnetio na dire~aodo proprio ~
H.
Querdizer,aomponenteloalde ~
Bn~aopodetera~ao
IV Suseptibilidades
Emeletrostatian~ao temosduvidasempor ~
P =
e ~
E,
om
e
, a suseptibilidade eletria, positiva, e maior
oumenoronformerespondaomeioaoampoeletrio,
n~aohavendoemprinpioumlimite superiorase
pos-tular para ela. Vamos veragora o que aonteeria se
usassemos ~
M =
~
B. Da rela~ao de Poisson temos
~
M =
m ~
H =
m (
~
B 4
~
M) da qual podemos tirar
~
M(1+4
m )=
m ~
B eent~aoteramos
=
m
1+4
m
: (11)
Noferro
m
e bem grande, o queestade aordoom
nossa expetativa porse tratardematerial bem
mag-netizavel. Porem, expressaamagnetiza~ao atravesde
~
M = ~
B, asuseptibilidade teria pela Eq.11 o
va-lor limite de 1=4, para o que seria difil enontrar
justiativa. Vemospoisque muitotrabalhoinutil foi
evitadoomaesolhadePoisson,ouantes,queestefez
intuitivamenteaesolhaorreta,assemelhandoa
mag-netostatia aeletrostatia, apesar de n~ao poder
a-laompletamente.
Voltando aEq.11 vemosque,se
m
eemvalor
ab-solutopequeno,n~aohadiferenaessenialentreusar-se
ou
m
,eestefatotemsidoinvoadoparan~aose
on-siderarrelevanteadisuss~aosobrequaldas
suseptibi-lidadesemaisadequada[6℄. Masnem sempreeassim,
omoaabamosdever. Emoutroaso[7℄aesolhade
uma ou outra suseptibilidade e onsiderada materia
de onven~ao e deve-se ent~ao, para evitar onfus~ao,
preferir-sea dePoisson, jaem uso. Seria interessante
itartambemVanVlek,autordelivroespeosobre
assuseptibilidades eletriaemagnetia[8℄. Emnota
derodapenapagina3elediz`...nosn~aoproedemosa
estas mudanas am de nos onformar mais de perto
a literatura existente, que onsidera ~
H omo o vetor
magnetiofundamental'(!). E ao tratarnoCap.IV da
teorialassiadasuseptibilidade magnetiadiz
`...es-tesmagnetosmoleularestender~aoasealinhar
parale-lamente a umampomagnetio ~
H mas s~ao resistidos
pelaagita~aodetemperatura...' Odiamagnetismo
tra-tadoaseguirtambemsegue ~
H. Portanto,VanVleke
pouoeslareedorparaosnsperseguidosaqu.
V O diamagnetismo
As oisas se passam diferentemente om o
diamagne-tismo que laramente estarelaionado om a indu~ao
eletromagnetia e portanto ao ampo de indu~ao ~
B.
Espera-seent~ao queuma rela~ao omo ~
M = ~
B, om
negativo, seja mais onveniente. Tomemos o aso
deumapeametaliaonexanoestadosuperondutor.
Apesar de n~ao ser muito eslareedor, podemos usar
ooneitode magnetiza~aoomo umasoextremode
N~ao ha duvida que deveria ser innitamente
nega-tivoembora ~
M devesse permaneernito. Voltando a
rela~ao ~
M = ~
B vemosque para isso oorrer ~
B deve
serzerofazendooproduto ~
B nito, onlus~ao
essen-ialmente orreta [9℄. Ao ontrario do que oorre no
diamagnetismoomum,n~aopareerazoavelquerermos
usar aqu a Eq.7 ja que seu ponto de partida, Eq.2
-baseadonomodelodemomentosmagnetios
distribui-dosnovolume-,einadequadoparaasitua~aopresente,
em que as orrentes induzidas na superfiedo
super-ondutor s~ao orrentes reais, e, portanto ligadas a ~
B.
Se insistirmos em usar a rela~ao de Poisson, a Eq.11
mostraque
m
agoratemovalorlimitede 1=4. Por
que?
VI A equa~ao geral da
magne-tiza~ao induzida
Do exposto, onluimos que a equa~ao geral da
mag-netiza~ao induzida, inluindo a magnetiza~ao
dia-magnetiaeadeorienta~aodeveser
~
B= ~
H+4 ~
B+4
m ~
H (12)
inluindonoladodireito daEq.12asontribui~oesdia
eorientaionais. Ou
~
B=
(1+4
m )
~
H
1 4
(13)
lembrando que e negativo. Como e em geral
pe-queno,arela~aousualevalida.
VII O efeito desmagnetizante
e as orrentes de
magne-tiza~ao de Ampere
Pelapresenteanaliseestamosagoraemondi~aode
ex-pliar sem diuldades o efeito desmagnetizante. De
fato, no interior de um im~a, seja este uma esfera,
Fig.3, ~
Be ~
M t^emomesmosentidoenquanto ~
Haponta
em dire~ao ontraria. Sendo assim so a ~
H pode ser
atribudaaa~aodesmagnetizante,oqueestadeaordo
omanossa onlus~ao dequeeapartede ~
B distante
aquela apaz de agir sobre os dipolos, neste aso se
opondoapropriamagnetiza~ao. Noasoopostoemque
prouramos riar magnetiza~ao neessitamos da a~ao
de fontes externas de ~
H, usualmente orrentes, para
Figura2. Odipolomagnetiom~ noentrodaavidaderia
ampoderea~ao ~
R,queporteramesmadire~aodem,~ n~ao
tema~aoorientadora.
Figura 3. Interior do im~a esferio: ~
M e ~
B tem o mesmo
sentidoenquanto ~
Htemsentidoopostoeassimsoelepode
terefeitodesmagnetizante.
Figura4. Doisdisosimantadosnadire~ao ~
M desuas
altu-rasht^emorrentesAmperianasis=Mhmasn~ao
apresen-tam efeitosdeindu~aoeletromagnetia seaproximadosou
afastadosomoofariamorrentesreaisoinidentesomos
permetrosdosdisos.
Outro ponto interessante de sedisutireodo
sta-tusdasorrentesdemagnetiza~aodeAmpere,asquais,
por serem `naturais', poderia ser emprestada a aurea
de superondutoras. Tomemos,porexemplo,dois
dis-os imantados om magnetiza~ao ~
M aolongo de suas
magnetiodosmesmosatravesdeorrentesdeAmpere,
i
s
,nopermetrodosdisos,omi
s
=Mh. Sendoa
si-tua~aoanalogaaquelaentreduasorrentesreais
oini-dentesomi
s
,suspeitaramosqueorrentesdeindu~ao
apareessemseaproximassemosouafastassemosos
dis-os. Mas pratiamenteas imanta~oes permaneem
es-senialmente as mesmas, e a raz~aoe que asorrentes
demagnetiza~aode Ampere est~aorelaionadas a ~
H e
soefeitosligadosa ~
Bgeramefeitosdeindu~ao. Alias,e
oqueaonteeriaseosdisosfossemsuperondutores.
Porm,gostariaderelataroqueoProf. NormanF.
Ramsey,Pr^emioNobeldeFsia1989,nosdisseem
en-trevistasoliitadapornosparadisutiroassunto. Ele
dissequeexperi^enias realizadasomfeixe deeletrons
penetrantes em materiais ferromagnetios(no interior
dosquais ~
B e ~
H diferemsigniativamente) mostram
queeless~aodesviadospelaa~aode ~
B en~aopelade ~
H.
N~aotemosarefer^enia.
Agradeimentos
Oautoragradeeaosolegas,OsvaldoN.deOliveira
Jr. e Luiz N. de Oliveira, ao primeiro pelo estmulo
reebidoe ao segundoporsugest~oesa vers~ao anterior
deste. Ao Prof. Norman pelo ontundente exemplo,
que muitoajudou na organiza~aodas nossas ideias, e
aoCNPqpela bolsadeprodutividade.
Referenes
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Eletriite et Optique, Georges Carre
Editeur,Paris,1890,p.113.
[2℄ J.C.Maxwell,ATreatiseinEletriityandMagnetism,
DoverPubl.,N.York,1954,Vol.II,p.50.
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[5℄ C.J.F.Bottther eP.Bordewijk,TheTheoryof
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[7℄ J. A. Stratton, Eletromagneti Theory, MGraw-Hill
BookCo.,N.York,1941,p.12.
[8℄ J.H.VanVlek,The Theory of Eletri and Magneti
Suseptibilities,OxfordUniversityPress,1952.
[9℄ L.LandaueE.Lifhitz,
Eletrodynamique desmillieux
