Teorema de Frobenius-Perron

~.----.---r

N9 106

o

TEOREMA DE FROBENIUS-PERRON

o

Teorem6

de Frobenius-Perron

pt:Ir C..,.loz l'fan Simonun Lul.

1. Introdução:

G. Debreu. e

I.

N. Herstein ([ 1

D

deram uma nova demonstn)cão do

teorema

óe

Frobenius- Perron, Que garante Que toda matriz. Quadrada

positiva possui um aut.ovalor D'JSítivo ao Qual está associado um autovetor

com coordenadas não-negat1vas diferente do vetor zero, usando para isso o

teorema

do

ponto

fixo

de Brou·wer.

No

mesmo artfgo (teorema

IV)

eles

demonstraram um teorema Que possui diversas conseqüênCias em Teoria

Econõmica, entre elas as condições de Ha'fr'kins- Simon.

Este artigo

é,

de certa forma, uma reconsideraçã,o do artigo de

Debreu

e Herstein.

Primeiro são fornecidas duas demonstrações dHerentes para uma

variante do teorema de Frobenius- Perron: a primeira delas usando o

teorema do hiperplano de separação e

a

segunda usando o teorema de

Ga

1 e-Nl

kai do-Debreu.

Em

segundo

1

ugar, se tem

uma

nlJVa prova do teorema

I V

de Debreu e

Herstein, usando diretamente o teorema de Frobenius-Perron.

2. O

Teorernõ

de

Frobenius-Perron:

A

variante do teorema de Frobenius-Perron Que nos interessa

é

a

seguinte:

Teorema:

Seja A::[ãij] uma matriz nxn tal Que:

a) 8ij 2 O

pera todo par

(i,j);

b)

para todo

i

existe

j

tal Que

61j

>

O.

Então, existe x*

e

Rn

+

\{O} e r* :,. O tais Que·

l'1 )'

Ax*

2

r*x*

e se ei{Ístír um outro par

(x,r)

tel que

x ,e

pn+\(O} e também

A)~ 2

rx, então

2

Primeirã Demonstração: Suponho, por absurdo, Que o teorema seja falso e

. ""t1-1 s· Rn .. 1 } E t ... · t d "\ . t V

sela s' :: \ X e + : loi: 1 nXi :

_,

. n 00,. para o o r

> ()

(I conJun o

r:

{ (A-r!)x : x e 5n- 1 } (2)

é

disjunto de Rn+. _{O conjunto Vr}

é

um conjunto

convexo

e

compacto enquanto

Que

R"

+.

é

convexo

e

fechado. Logo, pelo

teorema

do

hiperplano

de

separação,

existe um

velor

Pr

;t O tal Que

V

_r

. / . , . . '\

'.'

/., ... ' . . . \

/,'/ ... :.--... ,' ... :> ... \

/..' ... ' ... ,.... ... \ ~."

.

.,;,..~.. . . . ..\

-.-.~-:

..

~~

..

~<\

I ...

R

n

+

.... p. .. .... " . ' , ' .... , ... .

". ,-:.. <',' .... .;.:-. .;.:.: .... . _{. .}

Oelxondo 21

~ 00

é

fácil verlf1car Que se de\o'e ter Pr

l:

0,

Logo, ~:

lln(Pr)i

>

O

e

se pode normalizar Pr de forma 8 Que Dr e Sn-1.

Assim, poro todo r> O e todo x e 5n- 1 existe

Pr

e

5n- 1 tal

Que

[pp

(A-rI)x)

<

O.

logo, se

Poo ê

um ponto de acumulação dos Dr Quando r ~ 00, então

uma

contradição. P;or conseguinte, exlste

r)

O tal Que V'f'R

n

+ ~

fI.

Seja

R*

o conjunto desses r's.

R* é

llmitado. Por outro lado, seja

{r

_{k} lime}

seqüência convergente, rk

-7

r

00'

de pontos

de

R*.

Neste ceso,

sempre existe xk

e

5n- 1 tal Que

o

Que

diz

Que para Qualquer ponto de acumulação

)(00

dos xk's

vale

Que

ou seja

reG e

R*.

Logo

R*

é

também um conjunto fechado

e aSSltn

ele

é

compacto.

O

r* do teorema

é

obtido pondo

r*

:=

maxR*.

•

Segunda

Demonstração:

Para demonstrar

ti ej~istência

de r*

é suficlente

estudar o caso

em

Que r

e [O,K)

para

K

suflcientemente grande. Com a

notação da demonstração acima defina urna correspondência

de [O,K)

em

R

n

associando

a

cada

r

o conjunto

V

_{r. Essa correspondência}

é

convexa e

semi-contínua superiormente, propriedades estas Que se transmitem a

correspondência

G: 5

n-

1 x[O,K] -7

Sn-

t x[O,K]

definida por

G{x,r)

:= (V fi 1).

Além disso, para

a

G

vale Que

(x,r) ,G(x,r)

J

=

[x,

V

r

1

+

r

=

=[x, (A-rI)y] + r 1 [x,Ay] - r + r =

=

{x,Ay}

>

O.

logo,

pelo

teorema

de

Gale-Nlkaldo-Oebreu (4),

existe

(xo,ro) tal Que

G(~'o

.. roklRn+

1

+ ;e

a.

o

Que

implica

Que

existe ro tal Que Vro

flR

n

+

~

B.

Para se obter r* se procede como no final da primeira

demonstração.

•

o

seguinte corolário nos diz

Que

r*

é

um

autovalor de A:

[orotório

1: Se A tem todos os seus· termos positivos.

então r*

é

um

autovalor com autovetor assoclado·x*.

4

pemonstracão: Poro todo x

~

O vole Que Ax» O. Logo, se Ax* -r*x*

~

O e

~

O,

se

terá Que

A(Ax* -r*x*)

»

O,

o

Que implica Que Az*

»

r*z*, onde z*

=

A:<*» O.

NormoHzondo z*

afim

de Que suas coordenodas somem

1.

se chega

" a

conclusão Que existe d

>

O tal Que Az*

»

(r*

+

d) z*, o Que contradiz a

definição

de

r*. Logo,

se obtem Que

Ax*

=

r*x*.

-Corolóno 2:

Seja

A

uma matriz Quadrada nxn cujos termos são

não-negativos,. então A possui um autoyolor

r*

~

O e um autovetor

x*

e

Sn-l.

Demonstr6ç~o:

Tome As:: [alj +s1. Para s

>

O essa matriz tem todos os seus

termos posítivfJs. Pelo corolário 1 existe rs

>

O e Xs

e

5

n

-

1

_{tais Que Axs :}

r

sXs'

Deí xando s

~

O e tomando pontos de acumul ação r O e

Xo

obtem-se que

AxO:

rOxO'

•

Observação: No corolário 2 não se

pode

mais garantir Que rO seja

maior

Que

zero como

no Teorema.

3. O Teorema IV

de

Debreu e

Herstein:

Se chama

80

r* do corolário 2 de raiz de Frobenius de A. O teorema

IV de Debreu e Herstein diz o segu1nte:

Teorema:

Seja A:= [alj] uma motriz Quadrada com todos os seus tennos

não-negativos. Então,

. . . , . . . <O . . . " • ~ ~ . . . ~ . . . " " .. " " " " .. " . . . .

,

..

5

À

-a

₁₁

-a

_{12 ... -3tn}

-821 ).

-a

_{22 ...••... - 82n}

>0

-~1 ...

Â-a.m

se e somente se

À

>

r*.

Demonstraç:ão: Suponha Que todos os d

j

sejam maiores Que zero e Que

À i

r* I

então a matrj z

. d,

(r*-X) ... (r*-'\)

(r*-À)

d_{22 ...}

(r*-Ã)

B·-

.-(r*--:Â) ... d_nn

atende as condições do corolário

2

acima. Seja rO

8

raiz de Frobenius de B

e

)c. e 5

n-

1 O

autovetor associado. Então para todo

i

vale Que

Daí

se conclui Que nenhum

Xj

pode ser igual

a

zero, pois se fosse, então r*

= ),

e se

teria d

_n

=

O.

Logo, se deve ter rO

>

dj

para todo

1.

Mas, 1sto implica

Que det(B-rI)

=

(d1-rO) ... (dn-rO)

~

O, uma contradição já Que rO

é

um

autovalor de

6.

Por cosegutnte se di

>

O para todo

i

só se pode ter

À

>

r*.

Para provar a rec

í

proca consi dere a matrl z

5

(Â-

r*) ...

(Ã-

r*)

(Â- r*)

5 ...

(Ã- r*)

c·-

...,

.-(Â-

r*) ... 5

onde

S::

-mtn{d1, ... dn}. 5e 5

l

O. então C satisfaz as condições do

co~olárto

I~--6

I

2

e

portanto existe rO e x

e

Sn-1 tal Que para todo 1 vele

o

Que~

somando em

1,

fmplica Que r O

=

S

+ (:.>-.- r*Xn-1)~ 8,

portanto,

TO

>

S.

Mas, neste

caso~

det(C-r

oI)

=

(S-r

o)n

seria diferente de zero, uma

contradíção. Portento se deve ter 5

<

_{O, ou seja d'l > O, ... , dn > O.}

•

Notes

ComDl~mentares:

********

***

*

(1)

Dados dois vetores x e

y

de Rn usa-se a notação x

~

Y para dlzer Que

cada coordenada

Xi

de x

é

malor ou igual Que a coordenada correspondente

Yi

de

y.

A

notação x

»

y,

significa Que Xl

>

Yi para todo

1.

(2) I

:=

[Slj],

onde

S1j

=

1

se

1=j

e

O

em caso contrâtio.

(3)

Dados x e Y pertencentes a

R

n se define [x,y):=

Ij=

l,.nx

i

Y

j-(4) O

teorema

de

Gflle- Nikaido- Debreu diz Que se

G: 5

n-

1

~

R

n

é

uma

correspondênc1a convexa sem1-contrnua super1om1ente tal Que para todo p

e

todo

2 e

G(p)

v81e

[p,Z) l

O,

então existe

p* tol

Que G(p*hRn+

~

a.

O

Que

se usa no texto

é

uma adaptaçõo deste teorema cuja veracidade se deixa ao

le1tor

o

encargo de verificar.

6ibliografit.t

50.

JOGOS DE INFORMAÇAO INCOMPLETA: UMA INTRODUÇ~O - S~rgio Ribeiro da Costa Werlang - 1984 (esgot~do)

51. A TEORIA t'íO~IET~RIA HODERNA E O EQUILrBRIO GERAL ·HALRASIANO COM UM NOMERO INFINITO DE BENS - A. Araujo -

1984

(esgotado)

52. A ~NDETERI·HNAÇ~O DE MORGENSTERN - Antonio Maria da Si Ivei ra :..

1984

(esgotado)

53.

O PROBLEMA DE CREDIBILIDADE EM POLrTICA ECONÔMICA Rubens Penha Cysne

-1984

(esgotado)

54. UMA ANALISE ESTATrSTICA DAS CAUSAS DA EM1SS~O DO CHEQUE SEM FUNDOS: FORMU-LAÇA0 DE UM PROJETO PILOTO - Fernando de Holanda Barbosa, Clovis de Faro e Aloísio Pessoa de Araujo -

1984

55. POLfT1CA MACROECOHÔI1!CA NO BRASIL: 196466 Rubens Penha Cysne 1985 -(esgotado)

56. EVOLUÇÃO DOS PLANOS BAslCOS DE FINANCIJ:\I·jENTO PARf-\ l\QU1SIÇÃO DE CASA PRCiPRIA DO GANCO NACIONAL DE Hr\BITAçÃO: 1964-19811 - Clovis de Faro - 1985 (esgotado)

57.

MOEDA INDEXADA - Rubens P. Cysne -

1985

(esgotado)

58. INF.lACÃO E SALÁRIO REAL: A EXPERltNCIJ\ BRJ\SILEIRA Raul José Ekerman -1985 (esgotado)

59.

O ENFOQUE MONETARIO DO BALANÇO DE PAGAMENTOS: UM RETROSPECTO - Valdir Ramalho de Melo - 1985 (esgotado)

60. t',OEDA E pnEçOS RELATIVOS: EVIDeNCIA EMPfRICA . Antonio SaLazar P. Brand.:io -1985 (esgotado)

61. INTERPRETAÇ~O ECONDMICA, INFLAÇ~O E INDEXAÇRo Antonio Maria da Silveira

-1985

(esgotado)

62. HACROECONO~\IA - CAPrTULO I - O SISTEt~A MONETÁRIO - Mario Henrique Simonsen

e Rubens Penha Cysne - 1985 (esgotado)

63.

MACROECONOMIA - CAPrTULO I I - O BALANÇO DE PAGAMENTOS - Mario Henrique Simonsen c Rubens Pcnhêl Cysne - 1985 (esgotado)

6~. HACROECONOMIA - cAPfrULO I I I - AS CONTAS NACIONAIS - Mario Henrique Simonscn e Rubens Penha Cysne - 1985 (esgotado)

65. A DEMt\NDA POR DIVIDENDOS: UI-IA JUSTIFIC/\TIVA TÉÚRIC/\. - TOI'IMY CHIN-CliJU TAN (~

Sirgio Ribeiro da Costa Werlang - 198~ (esgotado)

66. BREVE RETROSPECTO DA ECONOI~IA BRASILEIRA ENTn[ 1979 c 1984 - Rubens Pcnh,] Cysne - 198~

67. CONTRATOS Sf\lARI/\IS JUST/\::-O;;TOS E POLfTlCA ANTI-lIlFLACIONf;RIA - t1orio Henrique Sill1ol)'.;cn - 1985

-. l ' , . . " " , . ~.. . , " .. : ~ ; : ~ •. ' . - .. ' : . ', .. I

68. INFlAÇÃO E POLrTICAS DE RENDAS - Fernando de HoJanda Barbosa e Clovis de Faro - J985 (esgotado)

69. BRAZIL INTERNATIONAL TRADE AND ECONOMIC GROWTH - Mario Henrique Simonsen - 1986

70. CAPITALIZ,AÇÃO CONTrNUA: APLICAÇÕES - Clovi.s de Faro - 1986 (esgotado)

71. A RATlONAL EXPECTATIONS PARADOX - Mario Henrique S"imonsen - 1986 (esgotado) 72.

A

BUSINESS CYCLE STUDY FOR THE U.S. FORM 1889 TO 1982 - CarlQs Ivan

Simonsen Leal - 1986

73. DINAMICA MACROECONÔMICA - EXERCrCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS - Rubens Penha Cysne - 1986 (esgotado)

74. COMMON KNOWLEDGE AND GAME THEQRY - S~rgio Ribeiro da Costa Werlang - 19C6 75: HYPERSTABILlTY OF NASH EQUILlBRIA - Carlos Ivan Simonsen Leal - 1986 76. THE BRO\-JN-VON NEUMANN DIFFERENTIAL EQUATION FOR BIMATRIX GAMES

-Çarlos Ivan Sirronsen Leal" - 1986 (esgotado)

77. EXISTENCE OF A SOLUTION TO THE PRINCIPAL'S PROBLEM - Carlos Ivan Simonsen Leal - 1986

78. FILOSOFIA E POLfTICA ECONÔMICA I: Variações sobre o Fenômeno, a Ciência c seus Cíentistas - Antonio Maria da Si lvei ra - 1986 "

79. O PREÇO DA TERRA NO BRASI L: VERI FI CAÇÃO DE AlGU/1AS HIPÚTESES - Antonio Sal azar Pessoa Brand~o - 1986

80. /1tTODOS MATEMfi.TICOS DE ESTATfSTlCA E ECONOHETRIA: Capitulos I e 2 Carlos Ivan Simonsen Leal - 1986 - (esgotado)

81. BRAZILlAN INDEXING AND INERTIAL INFLATION: EVIDENCE FROM TIME-VARYING ESTIMATES OF AN INFLATION TRANSFER FUNCTION "

Fernando de Holanda Barbosa e Paul D. McNelis - 1986

- ' o ·

82. CONSORCIO VERSUS CRtDITO DIRETO EM UM REGIME DE MOEDA ESTfi.VELo- Clovis de Faro ;. "1986

83. NOTAS DE AULAS DE TEORIA ECONÔMICA AVANÇADA I - Carlos Ivan SimonsenLcal-1986

84.

FILOSOFIA [ POLfTICA ECONÔMICA I I - Inflaç~o e Indexaç~o - Antonio Maria da

Si lveira - 1936 - (esgotado)

85. SIGNALLlNG ANO ARBITPJ\GE - Vicente Madrigal e Tommy C. Tan - 1986

86. ASSESSORIA ECONOl11CA PARA A ESTRATtGIA DE GOVERNOS ESTADUAIS: ELABOIV\ÇUlS SOBRE UI-IA ESTRUnmA ABERTA - Antonio Muria du Silveira - 198G - (c~~gola\I(l)

87. rfllE CONSIS'rENCY OI' HELFl\lU'; ,)UDGEt-1EN'rSHPfIl A J~EPRESENff1\TIVE

88. INDEXAÇÃO E ATIVIDADE AGRICOLAs: CONSTRUÇÃO E JUSTIFICATIVA PARA A ADOÇÃO DE UM íNDICE ESPECíFICO - Antonio Sa1azar P. Brandão e Clóvis de 'Faro - 1986

89. MACROECONOMIA COM RACIONAMENTO UM MODELO SIMPLIFICADO PARA ECONOMIA ABERTA - Rubens Penha Cysne, Carlos Ivan Simonsen Leal e Sergio Ribeiro da Costa

Wer1ang - 1986

90. RATIONAL EXPECTATIONS, INCOME POLICIES AND GAME THEORY - Mario Henrique Simonsen - 1986 - ESGOTADO

91. NOTAS SOBRE MODELOS DE GERAÇÕES SUPERPOSTAS 1: OS FUNDAMENTOS ECONÔMICOS - Antonio Sa1azar P. Brandão - 1986 - ESGOTADO

92. TePICOS DE CONVEXIDADE E APLICAÇÕES Ã TEORIA ECONÔMICA - Renato Frage11i Cardoso - 1986

93. A TEORIA DO PREÇO DA TERRA: UMA RESENHA Sergio Ribeiro da Costa W.er1ang - 1987

94. INFLAÇÃO, INDEXAÇÃO E ORÇAMENTO DO GOVERNO - Fernando de Holanda Barbosa - 1987

95. UMA RESENHA DAS TEORIAS DE INFLAÇÃO - Maria Silvia Bastos Marques - 1987

96. SOLUÇÕES ANALíTICAS PARA A TAXA INTERNA DE RETORNO - Clovis de Faro - 1987

97. NEGOTIATION STRATEGIES IN INTERNATIONAL ORGANISATIONS:

A GAME - THEORETIC VIEWPOINT - Sergio Ribeiro da Costa Wer1ang - 1987

98. O INSUCESSO DO PLANO CRUZADO: A EVIDÊNCIA EMPíRICA DA INFLAÇÃO 100% INERCIAL PARA O BRASIL - Fernando de Holanda Barbosa e Pedro L. Va11s Pereira - 1987

---,,~.,/--99.

m1

TEMA REVISITADO: A RESPOSTA DA PRODUÇÃO AGRtCOLA AOS PRELOS NO BRASIL - Fernando de Holanda Barbosa e Fernando da Silva Santiago - 1987

100. JUROS, PREÇOS E DíVIDA' PÚBLICA VOLUME I:'ASPECTOS TE6RICOS -- Marco Antonio C. Martins e Clovis de Faro -- 1987

101. JUROS, PREÇOS E DíVIDA PÚBLICA VOLUME 11:' A ECONOMIA BRASILEIRA (1971/1985) _ Antonio Sa1azar P. Brandão, Clovis de Faro e Marco Antonio C. Martins - 1987

102. MACROECONOMIA KALECKIANA - Rubens Penha Cysne ~ 1987

103. O PRÊMIO DO DOLAR NO MERCADO PARALELO, O SUBFATURAMENTO DE EXPORTAÇÕES E O SUPERFATURAMENTO DE IMPORTAÇÕES - Fernando de Holanda Barbosa - Rubens Penha Cysne e Marcos Costa Holanda - 1987

104. BRAZILIAN EXPERIENCE WITH EXTERNAL DEBT AND PROSPECTS FOR GRoWTH -Fernando de Holanda Barbosa and Manuel Sa'nchez de La Cal - 1987

l05~ KEYNES NA SEDiÇÃO DA ESCOLHA POBLICA

- Antonio Maria da Silveira - 1987

106. O TEOREMA DE FROBENIUS-PERRON - Carlos Ivan Simonsen Leal .~ 1987

000050699