As frequências naturais de uma corda de instrumento musical a partir de seus parâmetros geométricos e físicos.

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As frequˆencias naturais de uma corda de instrumento musical a partir

de seus parˆ

ametros geom´etricos e f´ısicos

(Natural frequencies of a string musical instrument from its geometric and physical parameters)

Francisco Catelli

1

, Gabriel Abreu Mussato

2

1

Mestrado em Educa¸cão e Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática, Universidade de Caxias do Sul, Caxias do Sul, RS, Brasil

2

Mestrado em Educa¸c˜ao, Universidade de Caxias do Sul, Caxias do Sul, RS, Brasil

Recebido em 07/8/2013; Aceito em 07/11/2013; Publicado em 11/5/2014

O comprimento da escala, o diâmetro, a tensão e o material de que é feita uma corda de instrumento musical são, via de regra, fornecidos pelos fabricantes, e com esses dados a frequência do harmônico fundamental pode ser facilmente calculada, como é mostrado nesse trabalho. Os resultados, adequados para as cordas de violão (ou guitarra) não encapadas, deixam de sê-lo quando cordas de maior calibre, cuja massa foi aumentada por meio de um enrolamento adicional de fio de bronze ou n´ıquel, são consideradas. O cálculo é então aperfei¸coado para levar em conta esse fator; um modelo desenhado para o laboratório de f´ısica é proposto. Os resultados da teoriza¸cão proposta revelam-se acurados, tanto para as cordas encapadas quanto para o modelo didático proposto.

Palavras-chave: harmônico fundamental de cordas, frequências naturais de oscila¸cão de uma corda, f´ısica e música.

The manufacturers of stings usually supply the scale length, diameter, tension and material of a musical instrumentstring. With these data the fundamental harmonic frequency is easily calculated. The results are accurate for the first three guitar strings, but they are not for the larger diameter ones, in which the mass is increased by an additional winding brass or nickel wire. The calculation is then refined to take into account this factor. A model designed for the physics laboratory is proposed. The results of theorization prove to be accurate, both for strings with additional winding wire as for the proposed didacticmodel.

Keywords: fundamental harmonicmode of a string, string natural frequencies of oscillation, physics and music.

1. Introdu¸

c˜

ao

A acústica musical vem sendo um tema recorrente nos periódicos ligados à f´ısica e (ou) ao seu ensino – apren-dizagem. T.D. Rossing, em uma exaustiva revisão bi-bliográfica sobre o tema de acústica musical [1], apre-senta 414 referências. Há diversas publica¸cões, feitas em periódicos brasileiros, relacionados ao ensino e à aprendizagem da f´ısica [2-4]; um trabalho, também li-gado à acústica musical, foi publicado na RBEF recen-temente [5]. Trabalhos, também recentes, em periódicos internacionais, [6-9] confirmam: o tema não perde a atualidade. Especificamente sobre o tema do qual trata este trabalho – a acústica de cordas de instrumentos musicais – há diversas referências; duas delas [8, 9] são destacadas como exemplo.

As referências tomadas como base para a modela-gem teórica de uma corda de um instrumento musi-cal são abundantes, e em graus diversos de aprofunda-mento; para as finalidades desse trabalho foram

toma-das como base as Refs. [9, 10], por serem adequatoma-das aos propósitos didáticos que os autores tinham em mente. Para o objeto modelo didático de uma corda, proposto nesse trabalho, o referencial teórico fundamentou-se nas Refs. [12, 13].

A frequência de uma corda de instrumento musi-cal pode ser prevista a partir de parâmetros tais como o comprimento da escala na qual a corda é montada, seu diâmetro e o material com o qual ela é feita. A maior parte desses parâmetros (em alguns casos, to-dos) é fornecida na embalagem dos encordoamentos. Do ponto de vista de um professor de f´ısica, o mais interessante talvez seja a simplicidade da f´ısica ondu-latória necessária para uma primeira verifica¸cão, o que é o foco do que é proposto a seguir.

2. Modelos te´

oricos

A velocidadevde um pulso em uma corda, em termos deµ(densidade linear de massa, dada porµ=m

L) eT,

1

E-mail: fcatelli@ucs.br.

(2)

a tens˜ao da corda, ´e [10, p. 112]

v= √

T

µ. (1)

O parâmetroLé o comprimento da corda livre, me-dido entre as suas duas extremidades fixas. Tomando a massamda corda em fun¸cão da massa espec´ıfica do ma-terial que a compõe (Dé o diâmetro da corda), pode-se escrever

m=ρV = ρLπD

2

4 . (2)

A densidade linear de massa fica ent˜ao igual a

µ= πρD

2

4 . (3)

Outra expressão fundamental é a da velocidade de propaga¸cão de uma onda transversal, em termos de sua frequênciaλe comprimento de ondaf

v =λf. (4)

As ondas mecânicas nas cordas de um instrumento musical são ondas estacionárias; o comprimento de

onda do harmônico fundamental é igual a 2L [11, p. 134-136]. A Eq. (4) fica então

v= 2Lf. (5)

Substituindo agora as Eqs. (3) e (5) na Eq. (1) e rearranjando, temos

f = 1

LD

√

T

πρ. (6)

Um modo imediato e direto de proceder a esta ve-rifica¸cãoconsiste então em tomar os dados de um fabri-cante2_{para, por exemplo, a corda mi, aguda, retirados} de uma embalagem do produto (Fig. 1, ou endere¸co eletrônico fornecido na nota 3); os dados são os que seguem: comprimento padrão da escala L, 648 mm (25 1/2”); diâmetro da corda (D, no texto) 0,010”, ou 0,254 mm; carga3 _{para a afina¸cão mi (329,6 Hz)} 7,35 kg (para obter a tensão T basta multiplicar pela acelera¸cão da gravidade, 9,8 m/s2_{: 72,03 N). Para os} cálculos que seguem, serão atribu´ıdas as seguintes in-certezas:4 _L_{= (0,648}_±_{0,001) m,}_D _{= (0,254}_±_0,002)

×10−3 _m,_T _{= (72,03} _±_{0,05) N.}

Figura 1 - Caracter´ısticas das cordas de um encordoamento para violão acústico (essa imagem foi copiada de uma embalagem de cordas de violão acústico. Dados similares, fornecidos pelo mesmo fabricante, podem ser encontrados também no endere¸coWWW.dadario.com). São fornecidos os diâmetros das cordas (em polegadas e mm), a carga (em quilogramas e libras; multiplique a carga em kg por 9,8 m/s2 para obter a tensão em N), e o comprimento padrão da escala para as medidas de tensão.

2

Ver, por exemplo, http://www.daddario.com/DADProductDetail.Page?ActiveID=3769{&}productid=13&productname=EXL110_ Nickel_Wound__Regular_Light__10_46.

3_´

E hábito entre os fabricantes de cordas apresentarem a tensão em kg. Pode-se interpretar esse dado assim: a corda deve ser submetida a uma tensão equivalente à que ela experimentaria quando submetida a uma carga de, digamos, 7,35 kg. Essa for¸ca, como mencionado no texto, equivale à massa de 7,35 kg multiplicada pela acelera¸cão da gravidade,gVer também a Fig. 1.

4

As incertezas foram estimadas da seguinte maneira: no comprimento padrãoLda escala, adotou-se uma incerteza (±1 mm) facil-mente detectável por um instrumento afinador; no diâmetro da corda, foi adotada uma incerteza t´ıpica de um micrômetro que mede milésimos de mm, devidamente aferido,±0,002 mm, e na carga (7,35 kg, Fig. 1), foi introduzida uma incerteza de±0,050 kg, que também seria detectável pelo mesmo instrumento afinador. Dentro da incerteza adotada para a massa espec´ıfica do a¸co, (7900±50) kg/m3

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A verifica¸cão prossegue da seguinte maneira: calcula-se, com os dados do fabricante e as fórmulas do texto, a frequência que a corda deveria apresentar quando montada numa escala de comprimento padrão, e corretamente afinada, e a frequência assim obtida é comparada com o valor especificado. Mas, para pro-ceder ao cálculo, será necessária a massa espec´ıfica do material com o qual a corda é feita; esse material é ferro (na verdade, o material é uma liga de a¸co, na qual pre-domina largamente o ferro); a massa espec´ıfica usada aqui (como aproxima¸cão) seráρ= (7900 ± 50) kg/m3 ([13, apêndice D; ver também nota 5]).

Antes de prosseguir, cabe notar um aspecto relativo à massa por unidade de comprimento das cordas (µ, na expressão 3): as três primeiras cordas5_{(agudas) são em} geral de metal maci¸co, um fio, enquanto que as demais são feitas com fios de diâmetros semelhantes aos das três primeiras cordas, porém com suas massas aumen-tadas através de um segundo fio, este em geral de bronze (mais empregado em cordas para violões acústicos) ou n´ıquel (mais empregado em cordas para guitarras), en-rolado nas cordas em forma helicoidal (Fig. 2). Então, o fio central (“miolo”, de a¸co) é responsável pela tensão destas cordas de maior calibre, enquanto que o fio adici-onal (bronze ou n´ıquel) enrolado em volta é responsável pelo aumento da densidade linear de massaµ; o fio en-rolado não afeta a tensão da corda. A adi¸cão de massa, provida pelo fio enrolado, faz com que as frequências naturais de oscila¸cão da corda diminuam.

Figura 2 - As seis cordas de um encordoamento convencional de viol˜ao ac´ustico; os fios (de bronze) enrolados em volta das cordas de maior calibre destinam-se ao aumento deµ.

Agora, o cálculo: com os dados acima, obtémse a frequência da corda por meio da Eq. (6); o resultado indica, para o harmônico fundamental, uma frequência de 327,8 ±4,3 Hz. A compara¸cão com o valor padrão da escala temperada6_{329,6 Hz, está dentro da margem} de erro. Convém lembrar: o cálculo efetuado refere-se

à frequência do harmônico fundamental (ou primeiro harmônico) da corda. Esse cálculo fornece resultados igualmente convincentes para as duas cordas seguintes (si e sol), quando feitas de metal maci¸co (não encapa-das).

O mesmo cálculo, aplicado às notas que correspon-dem às cordas de maior calibre (ré, lá e mi), encapadas com enrolamento adicional de bronze, já não dá resul-tados igualmente acurados. A t´ıtulo de compara¸cão, a frequência para a nota mi grave, encapada com bronze, mas calculada da maneira apresentada acima (supondo-a como sendo integr(supondo-almente constitu´ıd(supondo-a de (supondo-a¸co), d´(supondo-a como resultado (78,3±0,5) Hz, diferente da frequência esperada, 82,4 Hz, mesmo considerando a incerteza. Essa discrepância se deve predominantemente ao fato de que a massa espec´ıfica utilizada, a do ferro, já não é mais uma boa aproxima¸cão: de fato, parte da corda (o “miolo”) é de a¸co (predominantemente ferro), mas o fio enrolado sobre a corda (n´ıquel ou bronze) possui massa espec´ıfica diferente. Como referência, a massa espec´ıfica do bronze é de (8900 ±50) kg/m3 ([11, apêndice E]), significativamente maior que a do ferro (7900 ±50) kg/m3; a massa espec´ıfica da corda como um todo (“miolo” mais enrolamento) fica, por-tanto, maior, com um valor intermediário entre a do ferro e a do n´ıquel.

Entretanto, o cálculo que leva em conta o material do enrolamento deste tipo de corda pode ser significa-tivamente melhorado. A sexta corda (mi grave) de um encordoamento de violão, tomada aqui como exemplo, consiste em um fio de a¸co em torno do qual é enro-lado um fio de bronze fosforoso. O diâmetro externo da corda (incluindo o fio enrolado) é de (1,27±0,002) mm, fornecido pelo fabricante (e aferido pelos autores com um micrômetro). O diâmetro da corda de a¸co, interna (não fornecido pelo fabricante; medido pelos autores) é de (0,47±0,002) mm.

Para a corda central, de a¸co, o procedimento é idêntico ao descrito acima, o que interessa agora é o volume dessa corda (1,124 ± 0,013 x 10−7_m3_{) e sua}

massa (mf erro= (8,88±0,16)x 10−4kg). Para o

reves-timento em bronze, o cálculo é algo mais trabalhoso. Pode-se considerar que esse revestimento consiste em um certo número de anéis (aproxima¸cão bastante boa, dada a forma helicoidal do fio enrolado). O diâmetro do fio de bronze será igual a 1,270×10−3

−0,470×10−3

2 m, ou

(4±0,02) x 10−4_{m; esse diâmetro será denominado}_d_. Dividindo o comprimento padrão da escala,L= (0,648

±0,001) m, por esse valor, chega-se ao n´umero de an´eis de fio de bronze do enrolamento, (1620±11) voltas

5

Em alguns encordoamentos “mais pesados”, a terceira corda ´e revestida por um fio enrolado nela. 6

Pode-se chegar à frequência da nota mi (ou de qualquer outra nota) da escala temperada multiplicando (ou dividindo) sucessiva-mente a frequência de partida pelo fator12√

2 (≈1,05946). Cada multiplica¸cão (ou divisão) eleva (ou abaixa) a frequência de umsemitom_. No caso do texto, divida 440,0 Hz ( nota lá) pelo fator mencionado cinco vezes seguidas. A cada divisão, as seguintes frequências serão geradas: láb, sol, solb, fá e mi. (A sequência completa de semitons é, do agudo para o grave: láb, sol, solb, fá, mi, mib, ré, réb, dó, si,

láb, lá). Para o leitor menos familiarizado com o tema, todas as notas adicionadas de “b” (bemol) correspondem às teclas pretas de um

(4)

O volume de um destes an´eis ´e dado por

Vanel=

π2d2D∗

4 , (7)

ondeD* = D+d(Fig. 3;D ´e o diˆametro do “miolo” de a¸co).

Figura 3 - S´ımbolos empregados no c´alculo do volume de um anel (express˜ao 7).

O volume de um anel calculado desta forma, ´e de (3,43 ±0,05) x 10−10 _m3_{, e multiplicado pelo n´}_umero

de anéis dá o volume total de bronze da corda; conhe-cida a densidade do bronze, chega-se à massa,mbronze=

(4,95±0,13) x 10−3_{kg (mais de 5 vezes e meia a massa}

de ferro da corda central). Com esses dados, e com a express˜ao 3, ´e poss´ıvel calcular a densidade linear da corda como um todo

µ= mf erro+mbronze

L = (9,0±0,4)×10 −3 kg

m.

Por fim, as Eqs. (1) e (4) permitem chegar à frequência f: (82,6 ± 2,2) Hz, dessa vez igual à frequência esperada para a nota mi (escala temperada), 82,4 Hz, desde que considerada a incerteza. Resultados igualmente próximos são obtidos com as outras duas cordas, lá e ré.

3. Objeto modelo did´

aticode uma corda

A fun¸cão primeira dos modelos didáticos é a de “ensi-nar e aprender” [12]. Quando um modelo, destinado ao ambiente escolar, assume a forma de um “objeto”, ele é então denominado “objeto modelo didático” [13]. No contexto deste trabalho, é então proposto um objeto modelo didático de uma corda com miolo de a¸co (que suporta a tensão) e um enrolamento de fio de bronze (que aumenta a massa), o qual pode ser constru´ıdo de maneira bastante simples. O material necessário é o que segue: dois segmentos de elástico, de seçcão reta circular, de aproximadamente 2,5 mm de diâmetro e 1 m de comprimento (não tensionado), encontrados fa-cilmente em lojas de tecidos; um segmento de man-gueira de látex, de diâmetro externo igual a 6 mm e in-terno, de 3mm, e comprimento de 1,5 m, a qual pode ser encontrada em lojas de artigos médicos. Um dos seg-mentos de elástico constituirá uma “corda” e o outro, após ter sido “revestido” pela mangueira de látex7 cons-tituirá a mesma corda (é o elástico central que suporta

a tensão), porém munida da massa adicional da man-gueira que lhe é sobreposta. A massa do elástico sem revestimento, cujo comprimento não tensionado é de 1 m, é de (4,1 ±0,1) g, considerado o comprimento do elástico compreendido entre os dois suportes de fixa¸cão para a produ¸cão de ondas estacionárias. A massa do segundo elástico, idêntico ao descrito acima, mas acres-cido de 1,5 m da mangueira de látex, sobreposta, é de (27,4 ±0,1) g.

As duas “cordas” podem ser vistas na Fig. 4.

Figura 4 - À direita, pode ser visto o elástico mencionado no texto, de comprimento igual a 1 m, preparado para ser acoplado ao dispositivo oscilador. Um elástico idêntico, também de 1 m de comprimento, é inserido no interior de uma mangueira de látex, essa de 1,5 m comprimento (ver nota 9). Ao ser montada no sis-tema oscilador, a corda assim formada é esticada até um compri-mento de 1,5 m; apenas o elástico que forma o “miolo” da corda é tensionado. A mangueira de látex (à semelhan¸ca do enrolamento de bronze de uma corda real) apenas aumenta a densidade linear de massa (µ) do conjunto.

A montagem se dá da seguinte maneira: inicial-mente, o elástico de 1 m (à direita, na Fig. 4) é es-ticado até um comprimento de 1,5 m e posto a os-cilar no seu modo fundamental através do oscilador (Fig. 5). O dispositivo oscilador fornece também a frequência, nesse caso de (12,7 ±0,6) Hz. A incerteza na frequência foi estimada da seguinte maneira: a par-tir de 12,1 Hz, o sistema come¸ca a mostrar claramente a ressonância, em seu modo fundamental. Em 12,7 Hz a amplitude da onda estacionária parece ser máxima, e em 13,4 Hz percebe-se também claramente o in´ıcio da “degrada¸cão” da forma da onda. A imagem superior da Fig. 5 mostra o primeiro harmônico da corda (elástico), na sua maior amplitude.

A imagem inferior da Fig. 5 mostra um elástico equivalente, revestido pela mangueira de látex, também esticado até o mesmo comprimento, 1,5 m. É impor-tante ressaltar que as extremidades desse elástico é que são presas, de um lado a um suporte, e do outro lado, a um fio fino; nesse último é acoplado o oscilador. Então, é o elástico que garante a tensão da “corda” assim

for-7

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mada; o látex é responsável apenas pelo aumento da densidade linear de massa. Tudo isso pode ser visua-lizado na imagem inferior da Fig. 5. A mangueira de látex que reveste o elástico, quando esse é tensionado até atingir 1,5 m de comprimento, assume seu compri-mento natural, não tensionado. Fica então claro que a tensão à qual as duas cordas são submetidas é (muito aproximadamente) a mesma, mas a massa da segunda é quase sete vezes maior. A frequência do modo funda-mental nessa segunda corda é de (4,5±0,3) Hz, com a incerteza estimada tal como descrito no parágrafo an-terior.

Agora a análise dos dados obtidos com o modelo de corda proposto: ao elástico será associado o ´ındice “1”, e ao elástico encapado com a mangueira de látex, o ´ındice “2”. Dado que é apenas o elástico o responsável pela tensão das duas cordas, e que o harmônico funda-mental é considerado nos dois casos, pode-se então

afir-mar queL (o comprimento do el´astico tensionado) D

(o diâmetro do elástico) e a tensãoT são todos (muito aproximadamente) idênticos nas duas cordas. Escre-vendo a Eq. (6) para a primeira e para a segunda corda, dividindo uma pela outra e simplificando, obtém-se

f1 f2

= √_µ

2 µ1

= √_m

2 m1

, (8)

onde m1 e m2 são as massas da por¸cão das cordas compreendida entre os dois pontos de fixa¸cão, e f1 e f2 são as frequências dos respectivos harmônicos fun-damentais. Os resultados numéricos apontam que a razãof1/f2, consideradas as incertezas mencionadas no texto8_{é igual a 2,8}_±_{0,3. Já a razão da raiz quadrada} das massas√m2

m1 dá como resultado 2,58 ± 0,04. A Eq. (8) é então verificada, dentro das incertezas

consi-deradas. _⌋

Figura 5 - Na figura superior, o elástico oscila em seu harmônico fundamental, a uma frequência de (12,7±0,6) Hz. Na figura inferior, um elástico idêntico, revestido de uma mangueira de látex de modo a aumentar sua densidade linear de massa µ, oscila também no modo fundamental com uma frequência de (4,5±0,3) Hz.

⌈

Se o dispositivo oscilador não estiver dispon´ıvel, ainda assim vale a pena executar a montagem: as cor-das poderão ser postas a oscilar manualmente (mais ou menos como se faria com uma corda de violão), deslocando-as de suas posi¸cões de equil´ıbrio na sua região central e liberando-as para oscilar naturalmente. A diferen¸ca (qualitativa) nas frequências naturais de oscila¸cão é percebida claramente a olho nu.

4. Coment´

arios finais

Seguramente, não há uma “receita” única para apren-der, e uma conjetura bastante plaus´ıvel pode então ser enunciada: o interesse pelo tema a estudar pode aumen-tar as chances de aprendê-lo. Este trabalho sugere uma (dentre muitas) fonte de motiva¸cão: a possibilidade de a aprendizagem ser significativa aumenta quando esse

8

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duplo interesse pela f´ısica e pela música está presente; essa é a meta principal deste trabalho.

Não é costume apresentar “contas que não funcio-nam”, como a da primeira estimativa da frequência da sexta corda (grave, encapada com um fio de bronze), modelando-a como se ela fosse feita integralmente de a¸co. Essa é uma ocasião muito especial para lembrar aos estudantes que os “erros” são uma fonte de desa-fio e podem motivar novas explora¸cões. Se a conta – mesmo com a hipótese de partida bastante frágil – ti-vesse “funcionado”, uma excelente oportunidade para avan¸car teria sido possivelmente perdida.

Quanto aos modelos, pode-se dizer que eles ser-vem (no contexto escolar) para aprender (e, certamente, para ensinar). E esse aprendizado se manifesta desde a concep¸cão, passando pela explora¸cão e desembocando na avalia¸cão cr´ıtica dos resultados que o modelo pode fornecer. Nessa etapa final, a da avalia¸cão cr´ıtica, o ponto alto é sem dúvida a explora¸cão dos limites de validade do modelo concebido, constru´ıdo e explorado. Mas os modelos propiciam também ocasião para pe-quenas surpresas. No caso deste trabalho, fica claro: cordas mais grossas não são submetidas a tensões pro-porcionalmente maiores, como a intui¸cão poderia su-gerir. O modelo didático aqui apresentado deixa esse aspecto bastante evidente. O “mundo real” das cordas que os músicos utilizam pode ser invocado nesse mo-mento. Um fabricante, num lan¸camento recente9 apre-goa que seu produto consiste de cordas (de guitarra) projetadas de modo que todas atingem suas afina¸cões quando submetidas a tensões praticamente idênticas. Este trabalho ajuda a entender, a partir de elementos de f´ısica ondulatória, como isso é poss´ıvel.

Ent˜ao, a f´ısica, e em especial seu ensino, se aproxi-mam frequentemente da m´usica [14]. O fato de poder

explorar na f´ısica parâmetros das cordas que são im-portantes para os músicos pode ser um fator adicional de motiva¸cão, para os que se interessam por esses dois campos do conhecimento. Para essas pessoas – que se interessam pela f´ısica e pela música – o conhecimento produzido na interseçcão dessas duas disciplinas segu-ramente será significativo.

Referˆ

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