Propaga~ao de Ondas Longitudinais
Eletrostatias em Plasmas
PropagationofEletrostatiLongitudinalWavesinPlasmas
Alione SilvaFernandes
e Wilson Marques Junior y
Departamentode Fsia,Setorde Ci^eniasExatas,
Universidade FederaldoParana,
CaixaPostal19044,81.531-990,Curitiba,Brasil
Reebidoem01/03/2001. Aeitoem20/04/2001
Neste artigo apresentamos uma desri~aoinetia ombase no modelo BGK omo objetivo de
estudarapropaga~aodeondaslongitudinais numplasmaolisionaleisotropio. Somenteo
movi-mentodoseletronseonsideradoe asolis~oes entreos eletronseosonss~aodesritasatravesde
umtermoderelaxa~ao. Obtemosumarela~aodedispers~aoquedependedafrequ^eniadeolis~ao
bemomodofatordeamorteimentodeLandau.
InthispaperakinetidesriptionbasedontheBGKmodelisdevelopedtostudythepropagation
oflongitudinal wavesinaollisional andisotropi plasma. Onlyeletronmotionsare onsidered
andthe ollisions between eletronsand ions are represented by arelaxation term. We obtain a
dispersionrelationwhihdependsontheollisionfrequenyandontheLandaudamping.
I Introdu~ao
O termo plasma foi introduzido na Fsia por Tonks
e Langmuir[1℄ para designar um sistema formado por
partulas arregadasem movimento e que interagem
entresiatravesdeforaseletromagnetias.
Oplasmaeonsideradooquartoestadodamateria,
podendoser obtidodaseguinte forma: aqueendoum
solido obtemos um lquido, aqueendo olquido
obte-mosum gase,nalmente,aqueendoogasobtemos o
plasma.
Aimport^aniado estudo de sistemasno estadode
plasmatorna-seevidenteaoonsiderarmosque99%do
universoonheidoenontra-senoestadodeplasma.
Um plasma pode ser araterizado por dois
par^ametros: a densidade de numero de partulas
n (numero de partulas por unidade de volume) e
a temperatura T do plasma. Valores tpios destes
par^ametros obrem varias ordens de grandeza. Por
exemplo, para plasmas utilizados em fus~ao
termonu-lear temos n '10 22
m 3
eT '10 8
K;para a
ionos-fera, que e a amada de plasma que envolve o nosso
planeta,temos n'10 12
m 3
eT '10 2
K[2℄.
Atualmenteplasmass~aoproduzidosemlaboratorio
omoobjetivodeestudarsuaspropriedades
fundamen-taisetambemparafuturasaplia~oestenologias.
As-sim, por exemplo, s~ao objeto de pesquisa: o gerador
magneto-hidrodin^amio, que onverte energia inetia
de um plasma em energia eletria bem omo o
pro-esso inverso, em que energia eletriae transformada
emenergiainetiadeumplasmaomaperspetivade
utiliza-lonapropuls~aodefoguetes[3℄.
As separa~oes de argas que oorrem em plasmas
originamforasrestauradorasqueriammodos
oleti-vosdeosila~aoomfrequ^eniasproximasdafrequ^enia
de plasma. Estas osila~oeslongitudinais de arga
fo-ramdesritasprimeiramentepor TonkseLangmuir[1℄.
Vlasov[4℄abordouoproblemadapropaga~aode
on-das longitudinaisem plasmas sobo ponto de vista da
teoriainetia,ombase numa equa~aodeBoltzmann
n~ao-olisional, tendo obtidouma rela~ao de dispers~ao
para o asoem quea veloidade termia doseletrons
emuitomenorqueaveloidadedefasedaonda. Esta
ondi~aoequivale a onsiderarapropaga~ao nolimite
deomprimentosdeondamuitomaioresqueo
ompri-mentodeDebye.
Landau[5℄mostrou que, mesmo naaus^enia de
o-lis~oes entre as partulas onstituintes do plasma, as
ondas longitudinais que se propagam s~ao atenuadas.
Esta atenua~ao eonheida naliteratura omo
amor-teimento de Landau. Segundo Bohm e Gross[6℄ ha
um meanismo ressonante de transfer^enia de energia
e-mail:alionesia.ufpr.br
da onda que se propaga para os eletrons termios do
plasma quesemovimentamomveloidadesproximas
da veloidade de fase da onda. A import^ania do
amorteimento de Landau se estende alem da fsia
de plasmas e se aplia aos ampos mais diversos; em
biologia, por exemplo, e empregado no estudo da luz
emitida por vaga-lumes[7℄ e nas desargas periodias
de mara-passos utilizados no ontrole de batimentos
ardaos[8℄.
Do ponto de vista da teoria inetia de gases e
ombasenaequa~aodeBoltzmann,aabordagem
ma-tematia dosfen^omenos queoorrem em gasese
sem-pre omplexa desde queela envolveasolu~ao deuma
equa~ao ntegro-diferenial. Para ontornar esta
di-uldade Bathnagar, Gross e Krook[9℄ apresentaram
um metodo de solu~ao, onheido na literatura omo
metodoBGK,noqualooperadorolisionaldaequa~ao
deBoltzmannesubstituidoporumtermoderelaxa~ao
mais simples; este termo ontem um par^ametro que
representa a frequ^enia das olis~oes binarias entre as
partulasonstituintes do gasde modo que oseu
in-verso representa o intervalo de tempo entre duas
o-lis~oes suessivas de uma partula do gas.
Bathna-gar, Gross e Krook, dentre outros resultados,
obtive-ram rela~oesdedispers~ao paraapropaga~aodeondas
longitudinais eletrostatias om pequenas amplitudes
num plasma homog^eneo e isotropio, que dependem
da frequ^enia de olis~ao. O alulo desenvolvido,
ba-seado numa teoria inetia om ino ampos
esala-res(densidadedenumero departulas,veloidade
hi-drodin^amia etemperatura),eextensoeosresultados
s~ao bastante gerais abrangendo tanto gases ionizados
quantogasesneutros.
Nesteartigomostramosqueasrela~oesdedispers~ao
para ondas longitudinais eletrostatias em plasmas,
apresentadas em[9℄, podem ser obtidas de uma
ma-neira simplesatravesde umateoria inetiaombase
no modelo BGK para a equa~ao de Boltzmann, om
ino amposesalaresaopladosasequa~oesde
Max-well. Obtemosuma matriz que ontemospar^ametros
do plasma e da onda que se propaga sendo que o
alulododeterminante destamatriz permite
determi-narasrela~oesdedispers~ao. Aabordagemadequadada
fun~aodedispers~aodeplasma,omosugeridopor
Lan-dau[5℄,onduz aum segundomodode amorteimento
daonda representado pelo fator de amorteimento de
Landau. Assim, nossos resultados englobam dois
me-anismosfundamentais deamorteimentoparaaonda
quese propaga: o amorteimento olisional eo
amor-teimentodeLandau.
II Modelo BGK para a
Equa~ao de Boltzmann
Nadesri~aodapropaga~aodeondaslongitudinais
tra-taremos oplasma omo sendo onstituido de eletrons
e uma unia espeie deons. Para ondas om altas
frequ^eniaspodemosonsiderarosonsemrepouso de
modo que a fun~ao de distribui~ao para osons e
in-variavel na posi~ao e no tempo. O estado do plasma
seraent~aodesritoporumafun~aodedistribui~aopara
os eletrons f(x;;t) tal que f(x;;t)d fornee, no
instante t,onumerodeeletronsomveloidadesentre
e+d, em torno doponto x. A fun~ao de
distri-bui~aoparaoseletronssatisfazaequa~aodeBoltzmann
f
t +
i f
x
i e
m (E
i +"
ijk
j B
k )
f
i
=C( f); (2:1)
ondee e aarga fundamental, m a massa do eletron,
E
i
(x;t) e o ampo eletrio e B
i
(x;t) a indu~ao
magnetiaassoiados asdistribui~oes de argase
or-rentes no plasma; C(f) denota o termo olisional da
equa~aodeBoltzmann.
Dopontodevistamatematio,asolu~aodaequa~ao
deBoltzmann eomplexa devidoa diuldadena
de-termina~aodotermoolisionalC( f). Paraontorna-la
utilizaremoso modelo BGKpara a equa~aode
Boltz-mann[9℄,omotermoolisionaldadopor
C(f)= h
f(x;;t) f (0)
( x;;t) i
; (2:2)
onde eafrequ^enia de olis~ao entre eletrons eons,
onsideradaonstante,e
f (0)
(x;;t)=n(x;t)
m
2k
B T( x;t)
3=2
exp
mC 2
(x;t)
2k
B T( x;t)
(2:3)
e afun~ao de distribui~ao de equilbrio loal para os eletrons. Na equa~ao (2.3) n(x;t) e T( x;t) representam,
respetivamente,adensidadedenumerodeeletronseatemperaturadoplasma,C
i
(x;t)=
i v
i
(x;t)eaveloidade
peuliardoseletrons,v
i
(x;t)eaveloidadehidrodin^amiadoseletronsek
B
eaonstantedeBoltzmann.
Comaequa~ao(2.2)aequa~aodeBoltzmann(2.1)podeseresritaomo
f
t +
i f
x e
m ( E
i +"
ijk
j B
k )
f
=
h
f(x;;t) f (0)
(x;;t) i
O ampo eletrio E
i
(x;t) e a indu~ao magnetia
B
i
(x;t)obedeemasequa~oesdeMaxwellque,no
Sis-temaInternaionaldeUnidades,s~aoesritasomo
E i x i = % " 0 ; " ijk E k x j = B i t ; B i x i
=0; "
ijk B k x j = 0 J i + 0 " 0 E i t ; (2:5)
om asdensidades volumetriade argas e superial
deorrentesdadas,respetivamente,por
%(x;t)= X q n (x;t);
J
i (x;t)=
X q n (x;t)v i
(x;t); (2:6)
ondeondiedenotaeletronsouons.
III Campos Basios e
Linea-riza~oes
Caraterizamos o estado marosopio do plasma
pe-losamposdedensidadedenumerodeeletronsn(x;t),
veloidadehidrodin^amiadoseletronsv
i
(x;t)e
tempe-raturadoplasmaT(x;t),denidospor
n(x;t)= Z
f(x;;t)d; (3:1)
v
i (x;t)=
1
n(x;t) Z
i
f(x;;t)d; (3:2)
T(x;t)= 2 3k B n(x;t) Z 1 2 mC 2
f(x;;t)d: (3:3)
Paraestadosproximosdoequilbrioafun~aode
dis-tribui~aoparaoseletronspodeseresritaomo
f(x;;t)=n
0 f
0
()[1+f
1
(x;;t)℄; (3:4)
onde n
0
e a densidade de numero de eletrons no
equilbrio, f 0 ()= m 2k B T 0 3=2 exp m 2 2k B T 0 (3:5)
e a fun~ao de distribui~ao Maxwelliana global e
f
1
(x;;t) e uma perturba~ao de primeira ordem para
f
0 ().
Substituindo a equa~ao (3.4) nas equa~oes (3.1) a
(3.3)obtemososamposbasioslinearizados,dadospor
n(x;t)=n
0
[1+n(x;~ t)℄; (3:6)
v
i
(x;t)=v
0 ~ v
i
(x;t); (3:7)
T(x;t)=T
0 [1+
~
T(x;t)℄; (3:8)
onde v 0 = (2k B T 0 =m) 1=2
e a veloidade termia dos
eletrons e as perturba~oes de primeira ordem para os
ampos basioss~ao
~ n(x;t)=
Z
f
0 ()f
1
(x;;t)d; (3:9)
~ v
i (x;t)=
Z p 0 i f 0 ()f 1
(x;;t)d; (3:10)
~
T(x;t)= 2 3 Z 0 2 3 2 f 0 ()f 1
(x;;t)d; (3:11)
omopar^ametro
0 =1=v
2
0 .
Afun~aodedistribui~aodeequilbrioloal(2.3)
li-nearizada,atravesdasequa~oes(3.6)a(3.8),resulta
f (0)
(x;;t)=n
0 f
0
1+~n+ 0 2 3 2 ~
T+2 p 0 i ~ v i : (3:12)
Aequa~aoinetia(2.4)linearizada,atravesdasequa~oes(3.4)e(3.12),edadapor
f 1 t + i f 1 x i +f 1 = ~ n+2
p 0 i ~ v i + 0 2 3 2 ~ T 2 e m 0 i ~ E i ; (3:13)
e as perturba~oes do ampo eletrio ~
E
i
(x;t) e da indu~ao magnetia ~
B
i
(x;t), nulas no equilbrio, satisfazem as
equa~oesdeMaxwell(2.5)linearizadas
~ E i x i = en 0 " 0 ~
n; "
ijk ~ E k x j = ~ B i t ; ~ B i x
=0; "
Adetermina~aodosamposbasios(3.6)a(3.8)
re-quer oonheimento da fun~aof
1
(x;;t) aqual pode
serobtidadasolu~aodasequa~oes(3.13)e(3.14). Para
issoneessitamosdeummodeloparaasperturba~oes,
oqualseraintroduzidonase~aoseguinte.
IV Solu~oes para Ondas
Harm^onias Planas om
Pe-quenas Amplitudes
Iremosonsiderarqueasperturba~oessepropagamno
plasma omo ondas planasom pequenas amplitudes,
numerodeondakefrequ^eniaangular!. Assim,
~
n(x;t)=nexp[i(k
j x
j
!t)℄ ; (4:1)
~ v
i
(x;t)=v
i
exp[i(k
j x
j
!t)℄ ; (4:2)
~
T(x;t)=
Texp[i(k
j x
j
!t)℄; (4:3)
~
E
i (x;t)=
E
i
exp[i(k
j x
j
!t)℄ ; (4:4)
~
B
i (x;t)=
B
i
exp[i(k
j x
j
!t)℄; (4:5)
f
1
(x;;t)=
f
1
( )exp[i(k
j x
j
!t)℄: (4:6)
Com as equa~oes (4.1) a (4.6), a equa~ao inetia
(3.14) podeseresritaomo
(! k i i +i) f 1
()=i h
n+2
p 0 i v i + 0 2 3 2 T 2i 0 e m i E i : (4:7)
Paraasequa~oesdeMaxwell(3.14),temos
k j E j =i en 0 " 0
n; (4:8)
ik
j
B
j
=0; (4:9)
" ijk k j E k =! B i ; (4:10) " ijk k j B k = i 0 en 0 v 0 v i 0 " 0 ! E i : (4:11) Eliminando B j
dasequa~oes(4.10)e(4.11), obtemos
0 " 0 ! 2 k 2 Æ ij +k i k j E j =i 0 en 0 v 0 !v i : (4:12)
Semperdadegeneralidadeiremosonsideraroeixo
dosx omosendoadire~aodepropaga~ao;nesteaso,
asomponentesparaoampoeletrios~aodadaspor
E x =i en 0 v 0 " 0 ! v x ; (4:13) E y =i 0 en 0 v 0 ! 0 " 0 ! 2 k 2 v y ; (4:14) E z =i 0 en 0 v 0 ! 0 " 0 ! 2 k 2 v z : (4:15)
Poroutrolado,dasequa~oes(4.9)e(4.10)obtemos
asorrespondentesomponentesdaindu~aomagnetia
B
x
=0; (4:16)
B y = k ! E z ; (4:17) B z = k ! E y : (4:18)
Asequa~oes (4.13)e(4.16) representamas
ompo-nentesdoampoeletrioedaindu~aomagnetiaparaa
propaga~aodeondaslongitudinaiseletrostatias;as
de-maisomponentesrepresentamondaseletromagnetias
transversais.
Eliminando as omponentes do ampo eletrio na
equa~ao(4.7),atravesdasequa~oes(4.13)a(4.15),
ob-temos f 1 ( )= 1 (! k x +i) i n+2
p 0 i v i + 0 2 3 2 T + 2e 2 n 0 v 0 0 m 1 " 0 ! x v x + 0 ! 0 " 0 ! 2 k 2 ( y v y + z v z ) : (4:19)
Introduzindoas quantidadesadimensionais
C i = p 0 i ; = kv 0 !
; R=
! ;
z= 1+iR
; =
!
p
; A(!)=
! 2 ! 2 k 2 2 ; (4:20)
onde = (1=
0 " 0 ) 1=2
e a veloidade da luz no vauo e !
p = n 0 e 2 =" 0 m 1=2
e a frequ^enia de plasma para os
eletrons,aequa~ao(4.19)podeseresritaomo
f 1 ()= iR (C z) n+2
+ 1 iR 2
A(!)
( C
y v
y +C
z v
z )
+
C 2
3
2
T
: (4:21)
Substituindo asequa~oes(4.1)a(4.3),(4.6)e(4.21)nasequa~oes(3.9)a(3.11)erealizandoasintegra~oesnas
veloidades,obtemososeguintesistemadeequa~oesparaasamplitudesdasperturba~oes:
[ +iRW(z)℄n+2iR 1 iR 2
(zW(z)+1)v
x
+iR
z 2
1
2
W(z)+z
T =0; (4:22)
iR[zW(z)+1℄n+
+2iRz 1 iR 2
( zW(z)+1)
v
x
+iRz
z 2
1
2
W(z)+z
T =0; (4:23)
2
3 iR
z 2
1
2
W(z)+z
n+
4
3
iRz 1 R 2
z 2
1
2
W(z)+z
v
x
+
2
3 iR
z 4
z 2
+ 5
4
W(z)+z
z 2
1
2
+
T =0: (4:24)
Aorealizarmosasintegra~oesintroduzimosafun~ao
Z
n (z)=
1
p
Z
1
1 t
n
exp( t 2
)
t z
dt; (4:25)
ondet=
x =v
0
eaformuladereorr^enia
Z
n+1
(z)= Z
n (z)+
n
p
; (4:26)
onde
n=
n+1
2
; senepar
0; senempar
e (n)eafun~aogama.
Afun~aodedispers~aodeplasmaW(z)estarelaionadaaequa~ao(4.25)por
W(z)=Z
0 (z)=
1
p
Z
1
1 exp( t
2
)
t z
dt: (4:27)
Eimportanteobservarqueasintegra~oesdasequa~oes(3.9)a(3.11)nasomponentesdasveloidades
y e
z ,
onde
f
1
()edadapelaequa~ao (4.21), resultamnulas; assim, asomponentes (4.14) e(4.15)do ampoeletrioe
asomponentes(4.17)e(4.18)daindu~aomagnetian~aoontribuemparaosistemadeequa~oes(4.22)a(4.24)o
qualrepresenta,portanto, apropaga~aodeondaslongitudinaiseletrostatias.
Osistemadeequa~oes(4.22)a(4.24)podeseresritonaformamatriialMx=0,ou
0
B
B
+iRW(z) 2iR 1 iR 2
A(z) iRB(z)
iRA(z)
z 2
+2iR 1 iR 2
A(z) iRzB(z)
2
3
iRB(z) 4
3
iRz 1 R 2
B(z) 2
3
iRC(z)+
z 4
1
C
C
A 0
B
B
n
v
x
T 1
C
C
A
=0; (4:28)
onde
A(z)=W(z)+ 1
z ;
B(z)=
1 1
2z 2
W(z)+ 1
z ;
C(z)=
1 1
2 +
5
4
W(z)+
1 1
3 :
O sistema de equa~oes (4.28) admite solu~ao n~ao
trivialsedet[M℄=0. Comestaondi~aopodemos
ob-terasrela~oesdedispers~aoparaapropaga~aodeondas
longitudinaiseletrostatiasnoplasma,daqual
tratare-mosnaproximase~ao.
V Propaga~ao de Ondas Planas
Longitudinais Eletrostatias
Asrela~oesdedispers~ao!=!(k)ouk=k(!)para
on-daslongitudinaiseletrostatiaspodemserobtidaspela
resolu~aodosistema deequa~oes(4.28)
0
B
B
B
B
k+iW(z) 2(1+i!)A(z) iB(z)
iA(z) k!
z 2
+2(1+i!)A(z) iB(z)
iB(z) 2(1+i!)B(z) iC(z)+ 3k
2z 4
1
C
C
C
C
A 0
B
B
n
v
x
T 1
C
C
A
=0: (5:1)
d
Na equa~ao (5.1) introduzimos grandezas
adimensio-nais omafrequ^enia angular! ea frequ^enia de
o-lis~ao em unidades da frequ^enia de plasma !
p e o
numerodeondakem unidadesde!
p =v
0
de modoque
z=i( i!)=k. Antesderesolvermosaequa~ao(5.1)
s~ao neessarias algumas onsidera~oes sobre a fun~ao
de dispers~ao de plasma W(z), denida pela equa~ao
(4.27), aqualapresentasingularidadesparavaloresde
z noeixo realt(t
=z). De modo geral estaintegral
deveseraluladanumeriamenteeseusresultadoss~ao
apresentadosporFriedeConte[10℄.
Paraondasquesepropagamomveloidadedefase
muitomaiorqueaveloidadetermiadoseletronsnum
plasma n~ao-olisional podemos expandir o integrando
da equa~ao (4.27) em pot^enias de k
x
=!. Vlasov[4℄
tomou ovalorprinipal de Cauhyda integrale
igno-rou o polo. De modo analogo, Bohm e Gross[6℄ n~ao
onsideraram a ontribui~ao a integral das partulas
om veloidades na vizinhana do polo. O resultado
obtido, aproximadoate aordemde (kv
0 =!
p )
2
,edado
por
! 2
'! 2
p "
1+ 3
2
kv
0
!
p
2 #
; (5:2)
edenominadoderela~aodedispers~aodeBohm-Gross,
a qualevalida para apropaga~aode ondasom
D
onde
D = ("
0 k
B T=n
0 e
2
) 1=2
e o omprimento de
Debye.
Landau[5℄ mostrou que o fato de onsiderarmos o
polo parat
=z naintegra~aodaequa~ao (4.27)
on-duz a uma profunda modia~ao na rela~ao de
dis-pers~ao(5.2), aqual n~ao eprevista pela teoriade
ui-dos. Ela introduz ofen^omeno onheidona literatura
omo amorteimento de Landau, que onsiste na
ate-nua~ao daamplitude daonda que sepropagaembora
asolis~oesdosonstituintes doplasman~aosejam
on-sideradas. OresultadoobtidoporLandauparaaparte
imaginariadafrequ^eniaangulare
!
i =
p
!
p
!
p
kv
0
3
exp "
!
p
kv
0
2 #
; (5:3)
sendo j!
i =!
p
j 1 desde que jkv
0 =!
p
j 1. A
va-lidade desta equa~aofoi veriada experimentalmente
porDerereSimonen[11℄.
Iremos onsiderar que o plasma experimenta uma
pertuba~ao sinusoidal om numero de onda real k e
frequ^eniaangularomplexa!=!
r +i!
i
. Paraondas
temporalmenteamorteidastemos!
i
<0demodoque
aparte imaginaria de z, z
i
= ( j!
i
j)=k, sera
posi-tiva se > j!
i
j ou negativase < j!
i
j. O primeiro
aso,noqualpredominaafrequ^eniadeolis~aosobrea
frequ^eniadeamorteimento,denominaremosde
amor-teimento olisional e nosegundo, no qual predomina
a frequ^enia de amorteimento sobre a frequ^enia de
olis~ao,denominaremosdeamorteimento de Landau.
Paraanalisarmosaintegra~aodaequa~ao(4.27)ao
longo do eixo real t, onsideraremosas tr^es situa~oes
possveispara a parte imaginaria de z. Para z
i > 0,
que orresponde ao amorteimento olisional, W(z) e
uma fun~ao analtia noprimeiro quadrante do plano
omplexot. Paraz
i
=0,haumpoloparat=!
r =k no
eixorealteW(z)n~aoeumafun~aoanaltiaparaeste
ponto.
Para ontinuarmos W(z) analtiamente para o
quarto quadrante do plano omplexo t, onde z
i < 0
eque orresponde ao amorteimento de Landau,
on-sideremosasintegraisdePlemelj[12℄paraaintegra~ao
ompolosemx=x
0
",proximosdoeixorealx,
lim
"!0 +
Z
+1
f(x)
x x
0 i"
dx=P Z
f(x)
x x
0
dxif(x
0
onde oprimeiro termo do ladodireito representa ovalor prinipal de Cauhy para aintegral eo segundotermo
representaasontribui~oesdospolosaima(+")ouabaixo( ")doeixox. Aequa~ao(5.4)exibeadesontinuidade
def(x)atravesdoeixo realxomumsaltoiguala 2if(x
0 ).
Ostr^esasosparaaintegra~aodaequa~ao(4.27)podemresumidosnoontornoC,presritooriginalmentepor
Landau[5℄emostradonaFig. 1,talque
W(z)= 1
p
Z
C
exp( t 2
)
t z
dt (5:5)
demodoque
W(z)= 1
p
Z
+1
1
exp( t 2
)
t z
dt; para z
i
>0; (5:6)
W(z)= 1
p
P Z
+1
1
exp( t 2
)
t z
dt+iexp[ (!
r =k)
2
℄
; para z
i
=0; (5:7)
W(z)= 1
p
P Z
+1
1
exp( t 2
)
t z
dt+2iexp[ (!
r =k)
2
℄
; para z
i
<0: (5:8)
AFig. 1.aexibeoontornoCparaaintegra~aodaequa~ao(5.6)enquantoqueparaasequa~oes(5.7)e(5.8)o
ontornoCedeformadodemodoapassarsobopolo,omomostradonasFigs 1.be1..
Consideraremos o aso em que a veloidade de fase !
r
=k para a propaga~ao da onda e muito maior que a
veloidadetermiav
0
doseletronsde modoqueaveloidadedefasedaondaeigualaveloidadedeumpequeno
numerodeeletronsloalizadosnaaudadadistribui~aomaxwelliana.
Setjzjpodemosexpandirointegrandodaequa~ao(5.5)empot^eniasdet=z eobtemos
W(z)= 1
z p
Z
1
1 e
t 2
"
1+ t
z +
t
z
2
+
t
z
3
+::: #
dt+ai p
exp[ (!
r =k)
2
℄; (5:9)
aqualevalidaparaqualquervalordafrequ^eniadeolis~ao. Naequa~ao(5.9)a=0paraz
i
>0,a=1paraz
i =0
ea=2paraz
i <0.
Integrandoaequa~ao(5.9),resulta
W(z)= 1
z
1+ 1
2z 2
+ 13
4z 4
+ 135
8z 6
+:::+
( 2n 1))!!
2 n
z 2n
+:::
+ai p
exp[ (!
r =k)
2
℄: (5:10)
Trataremos,emseguida,deadaumdosasosmenionados.
V.1 Amorteimento Colisional
Com >j!
i je!
r =kv
0
1aequa~ao(5.6)eesrita,atravesdaequa~ao(5.10)oma=0,omo
W(z)= 1
z
1+ 1
2z 2
+ 13
4z 4
+ 135
8z 6
+:::+
(2n 1))!!
2 n
z 2n
+:::
: (5:11)
Com o objetivo de omparar as solu~oes para o sistema de equa~oes (5.1) vamos onsiderar iniialmente a
propaga~aodeondaslongitudinaiseletrostatiasnumplasmaisotermio. Emseguidatrataremosdasolu~aoparao
asogeral.
V.1.1 Propaga~ao emumPlasma Isotermio
Paraumplasmamantidoatemperaturaonstantetemos, daequa~ao(5.1):
0
B
k+iW(z) 2(1+i!)A(z)
iA(z) k!
z 2
+2(1+i!)A(z) 1
C
A n
v
x !
=0: (5:12)
Asolu~aon~aotrivialparaosistemadeequa~oes(5.12)eobtidaigualando-seazeroodeterminantedos
oei-entes,oqueresulta
k
1+i!+ k
2
+ h
! 1 2
+i 1+! 2
+i
k 2
i
Na equa~ao (5.13) otermo independente de W(z)e da ordemde k 3
e o oeiente de W(z) e da ordem de k 2
;
substituindoW(z)daequa~ao(5.11)ateotermodaordemdek 5
,obtemos
1 ! 2
3
2
+4i!
( i!) 2
k 2
+ 3
4( i!) 3
k 4
=0: (5:14)
Reintroduzindo asgrandezasusuaisemantendoostermosateaordemde(kv
0 =!
p )
2
,temos
! 2
=! 2
p "
1+ 1
2
kv
0
!
p
2
3! 2
p +
2
2i!
p
! 2
p +
2
!#
; (5:15)
d
Figura1. Contornodeintegra~aoCparaa)zi>0,b)
zi=0e)zi<0.
ondezemos!=!
p
nooeientedekv
0 =!
p .
A equa~ao (5.15) e arela~ao de dispers~ao,
aproxi-madaateaordemde(kv
0 =!
p )
2
, paraumplasma
oli-sionalisotermio.
Consideremos alguns asos partiulares. Se a
frequ^eniadeolis~aoformuitomenorqueafrequ^enia
deplasma,obtemos
! 2
=! 2
p "
1+ 3
2
kv
0
!
2 #
; (5:16)
que e a rela~ao de dispers~ao de Bohm-Gross (5.2),
valida para a propaga~ao de ondaslongitudinais num
plasmararefeitoomveloidadesdefasemuitomaiores
queaveloidadetermiadoseletrons.
Se a frequ^enia de olis~ao for muito maior que a
frequ^eniadeplasma,aequa~ao(5.15)sereduza
! 2
=! 2
p "
1+ 1
2
kv
0
!
p
2 #
; (5:17)
queeoresultadoobtidoanteriormenteporThomsone
Thomson[13℄ utilizandoa equa~aode transfer^enia de
Maxwell.
As partes real e imaginaria da frequ^enia angular
s~aodadas,atravesdaequa~ao(5.15),por
!
r =!
p "
1+ 1
4
kv
0
!
p
2
3! 2
p +
2
! 2
p +
2 !#
(5:18)
e
!
i =
1
2
kv
0
!
p
2
! 2
p
! 2
p +
2 !
; (5:19)
ondeveriamosquej!
i
j=1.
Da equa~ao (5.19) onluimos que a maxima
ate-nua~aoparaondaslongitudinaisquesepropagamnum
plasmaisotermiooorrequandoafrequ^eniadeolis~ao
oinideomafrequ^eniadeplasma,istoe
(!
i )
max =
kv
0
!
p
2
!
p
4
: (5:20)
Aatenua~aodasondasquesepropagamepequena;
por exemplo, para kv
0 =!
p
= 1=10 veriamos que
( !
i )
max =!
p
emenorqueumporento.
V.1.2Propaga~ao emum PlasmaTermio
Para umplasma que apresenta utua~oes na
tem-peraturaasolu~aon~aotrivialeobtidaigualandoazero
odeterminantedosoeientesdosistemadeequa~oes
(5.1). Com o mesmo argumento que utilizamos para
obter a equa~ao (5.14) substituimos a fun~ao de
dis-pers~aodeplasma(5.11) ateotermode ordemde k 9
e
(i!)(1 ! 2
) 1
2
k
i!
2
3
5 19! 2
+3i!
1 5
2
9
+ 1
4
k
i!
4
14 5
2
3
33! 2
+i!
15 7
2
3
=0: (5:21)
Reitroduzindo asunidades originaispara asfrequ^enias! e e paraonumero deondak, aproximando ateo
termodeordem(kv
0 =!
p )
2
,obtemosarela~aodedispers~ao
! 2
=! 2
p (
1+ 3
2
kv
0
!
p
2
! 2
p
! 2
p +
2
"
1+ 5
9
!
p
2
4i
9
!
p #)
; (5:22)
ondesubstituimos! por!
p
nooeientede(kv
0 =!
p )
2
.
Para!
p
aequa~ao(5.22)sereduza
! 2
=! 2
p "
1+ 5
6
kv
0
!
p
2 #
: (5:23)
No regime de baixas press~oes, om !
p
, aequa~ao (5.22) sereduz arela~ao de dispers~ao de Bohm-Gross
(5.16).
Asparte realeimaginariadafrequ^eniaangulars~aodadas,atravesdaequa~ao(5.22),por
!
r =!
p (
1+ 3
4
kv
0
!
p
2
! 2
p
! 2
p +
2
"
1+ 5
9
!
p
2 # )
; (5:24)
d
e
!
i =
1
3
kv
0
!
p
2
! 2
p
! 2
p +
2
; (5:25)
ondeveriamosquej!
i j.
Da equa~ao (5.25) onluimos que a maxima
ate-nua~ao daondaoorrequandoafrequ^eniade olis~ao
eigualafrequ^eniadeplasma,istoe
(!
i )
max =
kv
0
!
p
2
!
p
6
; (5:26)
que e igual a 2=3 da maxima atenua~ao para o aso
isotermio,dadapelaequa~ao(5.20).
OgraodaFig. 2exibeasvaria~oesdos
oeien-tes de 3!
p (kv
0 =!
p )
2
=4, omo fun~oesde =!
p
, para a
parte realdas frequ^enias dadaspelas equa~oes (5.18)
e (5.24); o valor 1 para este oeiente orresponde
a rela~ao de dispers~ao de Bohm-Gross (5.16). As
va-ria~oesparaaparteimaginaria!
i
,dasequa~oes(5.19)
0
1
2
3
4
5
ν
/
ω
p
0.25
0.5
0.75
1
Coeficiente de (3/4) (kv
0
/
ω
p
)
2
Plasma Isotermico
Plasma Termico
Figura 2. Parte real darela~ao dedispers~ao omo fun~ao
dafrequ^eniadeolis~ao.
0
1
2
3
4
5
ν
/
ω
p
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Coeficiente de −(1/2)
ω
p
(kv
0
/
ω
p
)
2
Plasma Isotermico
Plasma Termico
5.2 Amorteimentode Landau
Consideraremos o aso em que a frequ^enia de
olis~ao e menor que a frequ^enia de amorteimento
( <j!
i
j)easondass~ao fraamenteatenuadas(j(+
!
i )=!
r
j 1); assim, o polo t
= z esta loalizado
abaixo e proximodo eixo real t,no quarto quadrante
do plano omplexo t. Seguindo a presri~ao de
Lan-dau[5℄,oontornoCparaaintegra~aodaequa~ao(5.5)
oinide omo eixo real t sendodeformado para
pas-sar abaixodopolo t=!
r
=k de modoque afun~ao de
dispers~aodeplasmaedadapela equa~ao(5.7).
Desprezando os termos que envolvem produtos do
numerodeondakomafrequ^eniadeolis~ao,desde
quek1,podemosesreveraequa~ao(5.1)omo
0
B
B
B
B
k 2A(z) 0
0 k!
z 2
+2A(z) 0
0 2B(z)
3k
2z 4
1
C
C
C
C
A 0
B
B
n
v
x
T 1
C
C
A
=0; (5:27)
e,dasequa~oes (5.7)e(5.11), temos para afun~ao de
dispers~aodeplasma
W(z)= 1
z
1+ 1
2z 2
+ 3
4z 4
+i p
exp h
(!
r =k)
2 i
: (5:28)
Igualandoazeroodeterminantedosoeientesdaequa~ao(5.27)eomA(z)dadopelaequa~ao(4.29),temos
W(z)+ 1
z +
k!
2z 2
=0: (5:29)
Substituindo aequa~ao (5.28) naequa~ao anterior ereintroduzindo asunidades usuais, obtemos arela~ao de
dispers~ao
! 2
=! 2
p (
1+ 3
2
kv
0
!
p
2
2i "
!
p +
p
!
p
kv
0
3
exp "
!
p
kv
0
2
3
2 ##)
; (5:30)
d
onde tomamos ! =!
p
no segundomembro exeto no
expoente ondeusamosarela~aodedispers~ao(5.16).
Da equa~ao (5.30) obtemos para a parte real da
frequ^enia
!
r =!
p "
1+ 3
4
kv
0
!
p
2 #
; (5:31)
queeequivalentearela~aodedispers~aodeBohm-Gross
(5.16); paraaparteimaginariadafrequ^enia, obtemos
!
i
=
p
!
p
!
p
kv
0
3
exp "
!
p
kv
0
2
3
2 #
:
(5:32)
Osdoistermosdoladodireitodaequa~ao(5.32)
re-presentamosdiferentesmeanismosdeatenua~aopara
a ondaquesepropaga. O primeirodelesrepresenta a
atenua~aodevidaas olis~oesentreoseletronseosons
onstituintes do plasma. O segundotermo representa
ummeanismoressonanteparaatransfer^eniade
ener-giadaondaquesepropagaparaoseletronsquese
mo-vimentam omveloidades proximasdaveloidade de
fasedaonda. Estetermo,denominadofatorde
amorte-imento deLandau, eessenialmente oresultado(5.3)
exeto queLandau empregou ! = !
p
no termo
expo-nenial,de modoqueseuresultadoeexp(3=2)'4;48
maiorque oresultadomais preisodadopela equa~ao
VI Conlus~oes
Nosso objetivoneste artigo foi obter, atraves do
mo-delo BGK para a equa~ao de Boltzmann aopladaas
equa~oesdeMaxwell,asrela~oesdedispers~aopara
on-das eletrostatias longitudinais apresentadas nos
tra-balhos lassios de Landau[5℄ e de Bathnagar, Gross
eKrook[9℄, de uma maneirasimples e onsistente. O
resultado obtidomostra que a ondaque se propagae
atenuada porolis~oes entre eletrons eons bem omo
porummeanismodetransfer^eniadeenergiadaonda
para os eletrons que se movimentam om veloidades
proximasdaveloidadedefasedaonda.
Desta forma, este artigo onstitui uma exelente
aplia~aoparaosalunosiniiadosemteoriainetiade
gasese eletromagnetismo, no nvel dos ursos de
gra-dua~ao,bemomo aosinteressadosnoestudo defsia
deplasmas.
Agradeimentos
Osautoresagradeemassugest~oesdoProfessor
Gil-berto MedeirosKremere oapoio doProfessorMario
re-Refer^enias
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