Tratamento algébrico e computacionalmente eficiente para a interação entre sistema...

INSTITUTO DE FÍSICA DE SO CARLOS

TIAGO BARBIN BATALHO

Tratamento algébrio e omputaionalmente

eiente para a interação entre sistema

e meio ambiente

Tratamento algébrio e omputaionalmente

eiente para a interação entre sistema e

meio ambiente

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Físia do Instituto de

Físia de SãoCarlos daUniversidade de São

Paulo, paraobtenção dotítulodeMestre em

Ciênias.

Área de onentração: FísiaBásia

Orientador: Prof. Dr. MiledHassan Youssef

Moussa

Versão orrigida

(versãooriginal disponível naUnidade quealojao Programa)

TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO PARA

FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalográfica elaborada pelo Serviço de Biblioteca e Informação do IFSC,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Batalhão, Tiago Barbin

Tratamento algébrico e computacionalmente

eficiente para a interação entre sistema e meio

ambiente / Tiago Barbin Batalhão; orientador Miled

Hassan Youssef Moussa - versão corrigida -- São

Carlos, 2012.

115 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em

Física Básica) -- Instituto de Física de São Carlos,

Universidade de São Paulo, 2012.

1. Dissipação quântica. 2. Decoerência. 3. Equações

mestras quânticas. 4. Redes de osciladores

MARIAAMÉLIA BARBIN BATALHO

Meus primeiros agradeimentosnão poderiam ir para outros a não ser osmeus pais,

a quem dedio essa dissertação. Reonheço toda o arinho, a dediação e esforço que

elessempredemonstraramparagarantirumavidafelizeonfortávelaosseuslhos,tanto

enquantoaindamoravaomelesquantonosúltimosseisanosemqueestouemSãoCarlos.

Agradeço também o suporte familiarque sempre tive por parte de avós e tios, de quem

aprendimuito, e de irmão e primos.

Gostaria de fazer um agradeimento espeial a meu orientador, Miled Moussa, por

quem fui apresentado a muitos temas interessantes, que me motivaram em diferentes

momentosdemeumestrado,eomquemonsideroquedesenvolviumarelaçãodeamizade

além da relação de orientador-aluno, que me valeu bons onselhos em momentos de que

deles preisei.

Agradeçoaosinúmerosprofessoresqueonheidurantetodoesseperíododegraduação

emestrado, pelas boas aulas queministraram e pelaótima relaçãoque mantiveom eles

forada salade aula, e queespero queontinue porum longo tempo.

Agradeço tambémaos professores que tive antes dauniversidade, no InstitutoSanta

ÚrsuladeRibeirãoPreto,emespeialaoprofessorSérgio,quemeestimulouemepreparou

parapartiipar de Olimpíadas de Físia,oque posso dizer quefoi oprinipalmotivoque

me levou à deisão de ursar Físia e optar pelo exelente Instituto de Físia de São

Carlos.

Agradeço ainda aoapoio naneiro de Capes eFapesp, de quem fui bolsista durante

aesrita dessa dissertação.

Noampopessoal,sougratoportertidováriasamizadesdurantediversosperíodosde

minhavida,inluindomuitosdequemperdioontatomasaindaguardoboaslembranças.

Algunsdeles, noentanto,estiveram a meulado durante vários anos já,e seique

ontinu-aremosjuntosainda por muito mais. Amigos queme foramimportantes, desejo-lhes um

profundoagradeimento. CitoaquiRodrigoVeiga, FelipePenha, LuianoFalqueto,Cora

Gentil Neto, Paulo Moryia, Camillo Valenia, e Wilson Merado. Apesar de nos

onhe-ermos há no máximo dois anos, voês foramimportantes nesse período, ada um à sua

maneira.

Por m, um agradeimento a uma pessoa que entrou em minha vida há pouo mais

de um ano e tem sido espeial desde então, Laís Serrão. Agradeço a ela por todos os

momentos que passamos juntos, portodos os momentos emque ela meapoiou nabusa

de meus desejos e sonhos, e pelos momentos em que tive a oportunidade de retribuir.

Desejo a elaum exeelentefuturo, om muita feliidade, assim omosei que eladeseja o

BATALHO,T. B.Tratamentoalgébrioeomputaionalmenteeienteparaainteração

entre sistema e meio ambiente. 2012. 113 p. Dissertação (Mestrado em Ciênias)

-Institutode Físiade São Carlos,Universidade de São Paulo, São Carlos,2012.

Realizamosnessetrabalhoumtratamentoabrangentedainteraçãoentreumsistema

quân-tioeomeio ambientemodeladoomoum onjuntode osiladoresharmnios. Partimos

para isso de um tratamento prévio de redes de osiladores harmnios quântios

dissi-pativos. Utilizando a função araterístia, transformamos a equação de von Neumann

em uma equação diferenial, e explorando a sua linearidade, essa é transformada em

uma equação vetorial, uja resolução é omputaionalmenteeiente. Nosso formalismo,

que parte de uma rede de osiladores harmnios, não neessariamente dividida entre

sistema e meio ambiente, permite que se ontorne a neessidade da hipótese de

aopla-mento súbito sistema-reservatório para o tratamento exato da evolução do sistema. Em

seguida,mostramos queessa evolução pode ser sempredesrita poruma equação mestra

naformausualdeLindblad,embora osoeientes queadenempossamserdependentes

dotempo. Issoabre novaspossibilidadespara adinâmiadosistema,e levaaefeitos que

podem ser lassiados de não-Markovianos, embora sejam desritos por uma equação

mestra ompletamente loal no tempo. Ressaltamos que, por ser baseado em uma

so-lução exata, o método pode ser apliado para qualquer intensidade de aoplamento, e é

onsideravelmentemais simplesdoqueoutrosmétodosdisponíveisparaesse m,omoos

baseados em integraisde trajetória. Por m, utilizamos simulações omputaionais para

exploraravalidadedasaproximaçõesdeondasgirantesedeBorn-Markov, eosfenmenos

quepodem ser observados nos regimesem queelas deixam de ser válidas.

Palavras-have: Dissipação quântia. Deoerênia. Equações mestras quântias. Redes

BATALHÂO, T. B. Algebri and omputationally eient treatment for the

system-environmentinteration. 2012. 113 p. Dissertação(Mestrado emCiênias) -Institutode

Físiade São Carlos,Universidade de São Paulo, São Carlos, 2012.

We present a omprehensive treatment of the interation of a quantum system with an

environmentmodeledasasetofharmoniosillators. Westartfromaprevioustreatment

of a network of quantum dissipative harmoni osillators. Using the harateristi

fun-tion, we transform the von Neumann equation in a dierential equation, and exploring

its linearity, this is transformed in a vetor equation, whose solution is omputationally

eient. Our method,whoseorigin liesona network not neessarilydivided intosystem

andreservoir,allowsustoirumventtheneessity ofthesudden-ouplingapproximation

for the exat treatment of the system evolution. After this, we show that this dynamis

an always be desribed by a master equation in standard Lindblad form, although its

oeients may be funtions of time. This opens new possibilitiesfor the system

dyna-mis,and leadtoeets that maybeallednon-Markovian,even if theyare desribed by

a ompletelyloal-in-timemaster equation. It should be emphasized that, as it is based

onanexat solution,the methodmay beappliedfor anystrength ofthe system-reservoir

interation,anditisonsiderablysimplerthanotheravailablemethods, suhasthose

ba-sedonpathintegrals. Finally,weemployomputer simulationstoinvestigatethe validity

of the rotating-wave and Born-Markov approximations, and the phenomena that migth

beobserved inregimes inwhihthey fail tobe valid.

Keywords: QuantumDissipation. Deoherene. Quantum masterequations. Networks of

Figura2.1 Topologiadeumarededeosiladoresompletamenteinteragentes,

orrespondente ao Hamiltoniano 2.1. Figura extraída de, 1

om

permissãodoautor. . . 28

Figura3.1 Topologiade uma rede de osiladores na onguraçãoentral, ou

estrela, orrespondenteao Hamiltoniano3.1. Figuraextraída de, 1

om permissão doautor. . . 60

Figura4.1 Elementosde matrizde

S

e

S

OG

,representandoo deaimentodas

quadraturas. Em linha heia, os elementos

S

2

,

2

e

S

2

,

1

, represen-tandoumestadoiniialdesloadonaquadraturademomento. Em

linhatraejada,oselementos

S

1

,

1

e

−

S

1

,

2

,representandoumestado iniial desloado naquadratura de posição. Emlinha pontilhada,

o quadratura iniial e a quadratura ortogonalna aproximação de

ondas girantes . . . 70

Figura4.2 Elementos diagonaisde

S

e

S

OG

,emesala logarítmia. Similarà

gura 4.1 . . . 70

Figura4.3 Espetro de Fourier dos elementos diagonais de

S

e

S

OG

, om

ajusteLorentziano. A largurade ada ajuste éindiada. . . 71

Figura4.4 Taxa de deaimento variável no tempo. A taxa varia de forma

linear emtemposurtos, mas atingeum valoronstante, e

onsis-tente om osajustes mostrados nas guras4.2 e4.3. . . 72

Figura4.5 Detalhe da evolução das quadraturas em tempos urtos. . . 72

Figura4.6 Evoluçãodaquadratura iniialnoreferenialgirante, om a

apro-ximação de ondas girantes, para diferentes formas de ruído. No

inset, as densidades espetraisde aordoom a equação 3.13 . . . 73

tér-mio atemperaturazero . . . 74

Figura 4.9 Evoluçãodaenergiamédiadoosiladorparaumestadoiniialom

|

α

_|

= 7

. . . 75

Figura 4.10 Evolução dapureza de um estado iniialoerente, para diferentes

intensidades de aoplamento . . . 75

Figura 4.11 Evoluçãodaenergiamédiapara reservatórios Lorentzianosa

tem-peraturazero. As urvas pontilhadas apresentam omportamento

Markoviano, enquantoaurvaheiaapresentaumomportamento

não-Markoviano . . . 77

Figura 4.12 Evoluçãodaenergiamédia parareservatórios Lorentzianosa

tem-peraturazero,naaproximaçãodeondasgirantes. Asurvas

ponti-lhadasapresentamomportamentoMarkoviano, enquantoaurva

heia apresenta um omportamentonão-Markoviano . . . 78

Figura 4.13 Evolução de uma quadratura para reservatórios Lorentzianos, na

aproximaçãodeondasgirantes. Asurvaspontilhadasapresentam

omportamentoMarkoviano,enquantoaurvaheiaapresentaum

omportamentonão-Markoviano . . . 80

Figura 4.14 Evoluçãodoparâmetro

γ

1

(

t

)

daequaçãomestra,queorresponde a uma taxa de deaimento. Para reservatórios não Markovianos,

1 Introdução 21

2 Tratamentoalgébrio dainteração sistema-reservatório 25

2.1 Dinâmia unitárialinear . . . 26

2.1.1 Ondasgirantes e aaproximação de James . . . 30

2.1.2 Equações de Heisenberg . . . 32

2.1.3 Representação de estadosoerentes . . . 33

2.1.4 Funçãoaraterístia . . . 36

2.1.5 Transformação simplétia . . . 39

2.1.6 Mapa Gaussiano . . . 41

2.2 Dinâmia reduzida . . . 42

2.2.1 Traço pariale função araterístia. . . 43

2.2.2 Mapa Gaussiano . . . 46

2.2.3 Fidelidadedaevolução . . . 47

2.4 Variáveisdisretas . . . 54

3 O limite doreservatório ontínuo 59 3.1 Dinâmia de um modo . . . 59

3.1.1 Aoplamento de oordenadas . . . 60

3.1.2 Aproximação de ondas girantes . . . 63

3.2 Limite doontínuo . . . 64

4 Simulação eiente de um reservatórioestruturado 67 4.1 Grandezas relevantes . . . 67

4.2 Aoplamento frao . . . 68

4.2.1 Quadraturas . . . 69

4.2.2 Forma espetral doruído . . . 72

4.2.3 Termalização . . . 73

4.3 Comportamentonão-Markoviano . . . 75

4.3.1 Equação mestra . . . 78

5 Conlusões eperspetivas 81 REFERÊNCIAS 83 APÊNDICES 88 A Meânia Quântia no espaço de fase 91 A.1 Funções de quasi-probabilidade . . . 91

A.1.1 Regras de ordenamento. . . 92

B Equação Mestra (derivação mirosópia) 97

B.1 Forma de Lindblad . . . 102

C Dinâmia efetivade James 105

C.1 Hamiltonianoefetivo . . . 105

C.2 Equação mestra efetiva . . . 108

INTRODUÇO

O problema da dissipação em Meânia Quântia remonta ao trabalho de Weisskopf e

Wigner, 2

de 1930, em que se alula a largura natural de linha (espetros de transições

atmias)atravésdateoriaquântia daradiação. Apartirdestetrabalho,diversas

ontri-buições foram apresentadas no intuito de formalizar o tratamento de sistemas quântios

abertos, 36

mas apenas om o trabalhode Senitzky, 7

de 1960, é quese onsidera

explii-tamente a interação entre o sistema de interesse om um reservatório térmio quântio.

Senitzkyestavapartiularmenteinteressado,noâmbitodaÓptiaQuântia,noproblema

dadissipação de um mododaavidade om fatorde qualidade nito.

No ontexto da Físia de Estado Sólido, mais espeiamente no estudo do

ompor-tamentode junçõesJosephson abaixas temperaturas, Koh eolaboradores 8

apresentam

um tratamentopelo qualproura-sepreservar noâmbito daMeâniaQuântia, a

equa-ção de Langevin, utilizada para a desrição do movimento de uma partiula lássia de

massa

m

emummeiovisoso àtemperatura

T

eonstantedeamorteimento

η

. O

proe-dimento adotado por Koh e olaboradores onsisteem substituir a orrelação temporal

entre as forças estoástiaslássias queatuam sobre a partíula, desritapela relação

idêntia, pelasua ontrapartida quântia

h

F

(

t

1

)

F

(

t

2

)

i

=

1

2

π

Z

Ω

0

e

−iω

(

t

1

−t

2

)

η

~

_ω

_coth

_~

ω

2

k

B

T

dω ,

(1.2)

em que

k

B

india a onstante de Boltzmann e

Ω

uma frequênia de orte,

adequa-damente esolhida. Evidentemente, para intervalos de tempo de interesse, nos quais

|

t

1

−

t

2

| ≫

Ω

−

1

, a orrelação quântia reupera o resultado lássio no limite de altas

temperaturas

k

B

T

≫

~

|

t

1

−

t

2

|

−

1

, e dele diverge, onforme se espera, para o regime de

baixas temperaturas.

No trabalho seminal de Caldeirae Leggett, 9

o proedimentoadotado proura

oni-liar os aspetos fundamentais das referênias, 7,8

introduzindo, por um lado, um

reserva-tório térmio quântio, modelado por um onjunto de osiladores harmnios quântios,

e prourando, de outro lado, reuperar o omportamentolássio nolimite de altas

tem-peraturas. Para otratamento daevolução temporaldo aoplamentosistema-reservatório

térmio, Caldeira e Leggett reorrem à teoria do funional de inuênia de F

eynman-Vernon. Apósa derivação dooperador densidade douniverso, elimina-seasoordenadas

doreservatório ereupera-seo operador densidade reduzido dosistema de interesse.

Aindaqueoutrostrabalhos tenhamrealizadotarefas semelhantes aodesenvolvimento

de Caldeirae Leggett, 10 12

atravésde ténias outras queofunional de inuênia, os

re-sultados derivados apliam-se aoregime de amorteimentofrao, aquele onsideradopor

Weisskopf-Wigner. Aoontrário,omodelode CaldeiraeLeggettontemplaigualmenteo

regimedeamorteimentoforte,prestando-seportantoaumamploespetrode apliações,

inlusivenoâmbitodaFísiade EstadoSólido,paraoqualfoioriginalmentedesenvolvido

(tratamentoda inuênia dadissipação no tunelamento quântio em sistemas

marosó-pios 13

).

A físia dos sistemas quântios abertos foi também amplamente empregada na

pro-posição de modelos para o proesso da medida quântia. No iníio da déada de 1980

nossa ompreensão doproesso de deoerênia de estados quântios (ou da transição da

dinâmiamiropara amarosópia,oqueompreendeparte doproessode medida)foi

onsideravelmente ampliadapelo trabalhopioneirode W. Zurek. 14,15

Centrado na

inter-pretação de vonNeumann 16

meioambiente. Dessaforma,ainteraçãoom oaparatode medidainduza supressãodos

termos de oerênia de fase do operador densidade reduzido do sistema. A ontribuição

deZurek, noentanto,mais queembasadanumtratamentorigorosodafísiadainteração

sistema-meio ambiente, apresenta onsideraçõesgerais sobre o que deveria representar o

aoplamento sistema-aparato de medida (modelado de forma fenomenológia omo que

um toy model). Neste enário, o modelo de Caldeira e Leggett propiia a Zurek uma

plataformaadequadapara uma melhorompreensãodomeanismode deoerêniade

es-tadoseparaaderivaçãodequantidadesesseniais àmedidaquântia omo,porexemplo,

otempode deoerênia.

Emsetratandodemodelosmirosópiosdoproessodedeoerêniadevemostambém

menionar aimportanteontribuiçãode Joos-Zeh, 17

pela quala emergênia das

proprie-dadeslássiasdeorredaasserçãodequeosistemaquântioatuaomoentroespalhador

de partíulas leves do meio ambiente. Ghirardi-Rimini-Weber-Pearle(GRWP), 18 20

num

passoadianteàspropostasde Zurek,Caldeira-LeggetteJoos-Zeh,abordamoproessode

medidaporumaequação de Shrodinger estoástia, ujaevoluçãodesreve não somente

oproessodedeoerênia,omotambémaompetiçãopelaqualapenasumdoselementos

dadiagonaldo operadordensidade reduzido sobrevive aoproesso de medida.

Nas últimas déadas, as ténias para o tratamento de sistemas quântios abertos

têm sido amplamente utilizados no ontexto da teoria da informação quântia, em que

álulosdadelidade de proessostaisomoaimplementaçãode operaçõeslógias

quân-tias 21

e o teletransporte de estados, 22,23

são prementes. Mais que isso, estas ténias, e

fundamentalmente as equações mestras quântias, tem sido empregadas na tarefa de se

ontornar, ou superar, os meanismos de deoerênia, no intuito de maximizar as

de-lidades das operações de informação quântia. Citamos aqui, dentre outas, as ténias

de engenharia de reservatórios, 24 26

subespaços livres de deoerênia, 27

desaoplamento

dinâmio, 2833

eporm, guardando semelhançasom odesaoplamentodinâmio,a

pos-sibilidadedodesaoplamentoefetivoentre osistemaeoreservatórioatravésdautilização

de estados quântios não estaionários. 34

Portanto, o advento da teoria da informação

quântia ontribui para uma maior visibilidade da físia dos sistemas quântios abertos,

voltada basiamente, até adéadade 1980, paraa fundamentaçãodameânia quântia,

Motivados pelateoria dainformaçãoquântia, mais espeiamentepelotratamento

de perdas em iruitos de informação quântia, diversos trabalhos voltaram-se para a

análise da dissipação em redes de sistemas aoplados. Dentre estes, itamos as

realiza-çõesnasRefs., 1,35

queabordamredesdeosiladoresharmniosnãoideais,quaisquer que

sejam suas topologias, ou seja, a forma pela qual os osiladores aoplam-se entre si, o

onjunto das magnitudes destes aoplamento, e por m, o onjunto de suas frequênias

naturais. Os desenvolvimentos alançados nas Refs. 1,35

permitiram a derivação de

re-sultados interessantes omo dispositivos para o armazenamento dinâmio de estados em

redesdeosiladores 36

eaengenhariadesubespaçoslivresdedeoerênianapresença,além

dadissipação, do meanismo de difusão deorrenteda temperaturanita doreservatório

térmio. 37

Em função dos desenvolvimentos obtidos em redes de osiladores dissipativos, e da

resente atenção voltada para a físia dos sistemas quântios abertos, nesta dissertação

voltamos nossa atenção para as redes tratadas nas Refs. 1,3537

para o desenvolvimento

de uma abordagem alternativa para o tratamento da interação sistema-reservatório

tér-mio. Pinçando um dos osiladores da rede omo o sistema de interesse, e onsiderando

os demaisosiladores omo o reservatório térmio, derivamos então um tratamento

algé-brio eomputaionalmenteeientepara a interaçãosistema-reservatório térmio. Esta

ténia,de omplexidade polinomial,é portantoadequada paraotratamentode redes de

sistemasquântios abertos e, onsequentemente, àsapliaçõesmais reentes dateoria da

informaçãoquântia.

Noapítulo2propomosométodoparaotratamentoexatodainteraçãoentresistemae

um reservatórioestruturado, enquantooCapítulo3éreservado àanálisedolimitede um

reservatório ontínuo. Simulações omputaionais, que objetivam demonstrar aspetos

peuliares do método por nós desenvolvidos, são apresentadas no Capítulo 4, e por m,

TRATAMENTO ALGÉBRICO DA

INTERAÇO SISTEMA-RESERVATÓRIO

Nesseapítulo,estudaremososproessoslinearesquepodemoorreremumaredede

osi-ladores. Vários sistemas físiosse omportam omo osiladores quântios, espeialmente

quandoseenontram próximosàposiçõesde equilíbrio. Vibraçõesde umarede ristalina

(fnons), íons emuma armadilhainia, e vibraçõesdo ampo eletromagnétio, em que

ada modo(dado por um vetor de onda e uma polarização) orresponde a um osilador.

Ténias de Óptia Linear, om o uso de materiais óptios omo polarizadores, lâminas

birrefringentes,separadoresdefeixes(beam-splitters),permitemmanipularoestadodessa

rede de osiladores de forma linear.

Nosso fooprinipalserá namodelagemdadinâmia não-unitáriade sistemas

quân-tios abertos. Os postulados da Meânia Quântia (espeiamente a evolução unitária

governada pela equação de Shrödinger) se apliam a sistemas fehados. Para tratar os

sistemasabertos, modelamosum reservatório omo sendouma oleção de modos

harm-nios(em geral um número muito grande)que interagemlinearmenteom o sistema. No

ontexto de deaimento atmio (modelo de Wigner-Weisskopf), esses modos são os do

amposeletromagnétionoespaçolivrequeirunda oátomo. Noontexto de avidades,

são os modos do ampo eletromagnétio fora da avidade que se aoplam om o modo

da avidade através do espelho om reetividade inferior a um. Qualquer que seja sua

a-e usualmente nenhuma formade manipulação oudeteção.

Oonjuntosistemaabertoereservatório,omumentehamadode universo,ongura

umsistemafehadoepossui umadinâmiaunitária. A partirdessadinâmia,alulamos

adinâmiadosistema(omumentehamadadedinâmiareduzida),everiamosqueelaé

não-unitária. Essadinâmianão-unitáriaégeradaporumaequaçãomestra,generalização

da equação de von Neumann, que depende apenas de operadores do sistema e inlui

os efeitos do reservatório de maneira fenomenológia. Mostraremos que, permitindo a

possibilidade de oeientes dependentes dotempo, uma equaçãomestra loal notempo

pode desrever qualquer tipo de dinâmianão-unitária.

Aevoluçãolineartem apropriedadede manteruma lassemuitoimportantede

esta-dos, os gaussianos. Esses estados são ompletamentedeterminados pelos seus momentos

deprimeiraesegundaordem,eontêmosestadosoerentes. Comoessesformamumabase

ompleta (na verdade, super-ompleta),qualquer estado iniialpode ser expandido omo

uma superposição de estados Gaussianos. Desse modo, espeiar omo estes evoluem

é equivalente a espeiar o mapa ompleto da evolução. Não há portanto neessidade

de onsiderar o espaço de Hilbert ompleto, que tem dimensão innita, pois o problema

pode ser ompletamente resolvidono espaço de fase, queé um espaço vetorial de

dimen-são nita,omreursos omputaionaispolinomiaisnonúmero

N

de modos. Essa última

ondição implia quea dinâmiaé simulávellassiamente.

Veremos nesse apítulo que as equações de Heisenberg exigem o onheimento da

dinâmia ompleta do universo para que o omportamento do sistema seja onheido.

Apresentaremos então o método da função araterístia, que permite que alulemos

apenasasinformaçõesqueserãorelevantespara determinaradinâmiadosistema,sendo

onsequentemente um métodomais eonmio do pontode vistaomputaional.

2.1 Dinâmia unitária linear

as formas quadrátias são aeitáveis, pois o estado fundamental deve ser bem denido.

UmHamiltonianoquadrátioquepossuaumestadofundamentalbemdenido éhamado

de positivo-denido. Consideramos que o aoplamento entre os diferentes modos se dá

atravésdesuas oordenadas

q

ˆ

k

;essa éasituaçãoomumparasistemasmassivos,masnão

apresentarealmenteuma perda de generalidade. Dito isso, onosso pontode partida será

oHamiltonianopositivo-denido (aquiomo emtodoorestodadissertação seráadotado

~

_{= 1}

)

H

=

N

X

k

=1

1

2

m

k

ˆ

p

2

_k

+

m

k

̟

2

k

2

q

ˆ

2

k

+

1

4

N

X

k,j

=1

λ

k,j

(ˆ

q

k

−

q

ˆ

j

)

2

,

(2.1)

que é geral no sentido de que todos os modos podem estar aoplados om todos os

de-mais, omo mostrado na gura 2.1. Cada modo é araterizado por uma massa

m

k

e

uma frequênia natural livre

̟

k

, e o aoplamento entre os modos é araterizado por

oeientes

λ

k,j

que formam uma matriz real e simétria. Esse Hamiltoniano permite o

tratamento do regime de aoplamento forte entre os osiladores, para o qual os

aopla-mentos são da mesma ordem de grandeza das frequênias, sem que os modos normais

resvalem para regimesnão físios (omofrequênias negativas,emque não háum estado

de menor energiabem denido).

Sem perda de generalidade, os oeientes

λ

k,j

são simétrios. É útil separar esse

Hamiltonianoem termosque representam a dinâmiaisoladade ada grau de liberdade,

H

k

=

1

2

m

k

ˆ

p

2

_k

+

N

X

j

=1

λ

k,j

2

q

ˆ

2

k

,

(2.2)

eum termo de aoplamentoentre eles

H

C

=

−

1

2

N

X

k,j

=1

λ

k,j

q

ˆ

k

q

ˆ

j

.

(2.3)

A partir dos Hamiltonianos livres,denimos uma frequênialivre

ω

k

=

v

u

u

t

̟

2

k

+

1

m

k

N

X

j

=1

Figura2.1Topologiade uma rede deosiladores ompletamente interagentes, orrespondente ao

Ha-miltoniano2.1. Figuraextraídade, 1

ompermissãodoautor.

além dos operadores de riação edestruição

ˆ

q

k

=

r

1

2

m

k

ω

k

a

k

+

a

†

_k

(2.5a)

ˆ

p

k

=

r

m

k

ω

k

2

−

ia

k

+

ia

†

k

.

(2.5b)

Isso permiteesrever oHamiltonianolivreomo um osiladorde frequênia

ω

k

(dife-renteda frequênia livre

ν

k

):

H

k

=

ω

k

a

†

_k

a

k

+

1

2

A onstante de aoplamentoentre osmodos pode ser denida omo

g

k,j

=

λ

k,j

2

√

m

k

ω

k

m

j

ω

j

,

(2.7)

eos termosde aoplamentoentre os osiladores,

H

C

=

−

1

2

N

X

k,j

=1

g

k,j

a

k

+

a

†

k

a

j

+

a

†

j

,

(2.8)

podem ser divididos em dois tipos. O primeiro orresponde a uma troa de interações

entre osmodos, naforma

a

†

k

a

j

; são hamadosde termospassivos ougirantes. O primeiro

nomeéonsequêniadaonservaçãodonúmerototaldeexitações;osegundovemdofato

de que, emum referenial girante, taistermos variam lentamente no tempo. O segundo

tipo (

a

k

a

j

) representa uma interação ativa, ou ontra-girante, que ria ou destrói pares

de exitações nos modos.

Além desses termos, podemos ter termos de bombeamento lássios, naforma linear

forma

H

B

=

i

N

X

k

=1

β

k

a

†

k

−

β

∗

k

a

k

,

(2.9)

ouquadrátia,

H

Q

=

1

2

N

X

k

=1

η

k

a

†

k

2

−

η

∗

k

a

2

k

,

(2.10)

O Hamiltoniano quadrátio mais geral possível (inluindo bombeamentos) pode ser

esritode uma formamais ompata omo

H

=

N

X

k,j

=1

G

k,j

a

†

_k

a

j

+

1

2

N

X

k,j

=1

F

k,j

a

†

_k

a

†

j

+

F

k,j

∗

a

k

a

j

+

i

N

X

k

=1

β

k

a

†

_k

−

β

k

∗

a

k

.

(2.11)

A ondição de hermitiidadedo Hamiltonianoimplia que amatriz

G

é hermiteana,

ea matriz

F

é simétria:

G

k,j

=

G

∗

j,k

(2.12a)

Como ilustração,para oHamiltoniano2.1, asmatrizes

G

e

F

assumem a forma

G

k,j

=

δ

k,j

ω

k

−

(1

−

δ

k,j

)

g

k,j

(2.13)

F

k,j

=

−

(1

−

δ

k,j

)

g

k,j

.

(2.14)

Como já dito, arenormalizaçãodas frequênias naturais dada pelaequação 2.4é

ne-essáriaparaevitarsituaçõesnãofísias.Aondição matemátiaparaqueoHamiltoniano

seja positivo-denidoé quea seguintematrizde dimensão

2

N

sejapositivo-denida(isso

é,possuia todos os auto-valores positivos):

H

=





ℜ

(

G

+

F

)

_ℑ

(

F

₋

G

)

ℑ

(

F

₋

G

)

_ℜ

(

G

₋

F

)





≥

0

.

(2.15)

2.1.1 Ondas girantes e a aproximação de James

O Hamiltoniano2.11 é a soma de termos de dinâmialivre de ada osilador

(equa-ção 2.6) e termos de aoplamento entre os modos (equação 2.8). O primeiro, por ter

uma solução trivial,pode ser usado para denir umarepresentação de interação, em que

os operadores de ampo

a

k

e

a

†

k

variam no tempo governados pelo Hamiltoniano livre,

enquanto o estadovarianotempogovernado peloHamiltonianode interação

H

I

=

−

1

2

N

X

k,j

=1

g

k,j

a

†

_k

a

j

e

i

(

ω

k

−ω

j

)

t

+

a

k

a

†

j

e

−i

(

ω

k

−ω

j

)

t

−

1

2

N

X

k,j

=1

g

k,j

a

†

_k

a

†

_j

e

i

(

ω

k

+

ω

j

)

t

₊

_a

k

a

j

e

−i

(

ω

k

+

ω

j

)

t

.

(2.16)

Esse Hamiltoniano está na forma da equação C.3 do apêndie C (que é por sua vez

baseado na referênia 38

), permitindo utilizar as ténias alidesritas para obter um

mente notempo. Assumimosque para a maioriados modos valeque

ω

k

≈

ω

j

, ouseja,

|

ω

k

−

ω

j

|

<<

|

ω

k

+

ω

j

|

.

(2.17)

Assim, oúltimotermo doHamiltoniano2.16varianotempo deformamuito mais

rá-pidadoqueoprimeiro. Aprimeiraaproximaçãode James,queonsisteemsimplesmente

desprezá-los,é hamado de aproximaçãode ondasgirantes:

H

RW A

=

−

1

2

N

X

k,j

=1

a

†

_k

a

j

e

i

(

ω

k

−ω

j

)

t

+

a

k

a

†

j

e

−i

(

ω

k

−ω

j

)

t

.

(2.18)

Na notaçãoda equação 2.11, issoé equivalente afazer

F

k,j

= 0

.

A segunda aproximação de James é desrita pelas equações C.31 e C.33. Um fato

uriosoqueoorreéque oHamiltonianoefetivode segunda ordem (C.31)ontém apenas

termosgirantes daforma

a

†

k

a

j

,mesmoquandoonsideramosostermosontra-girantesno

Hamiltonianode interação:

H

2

=

−

1

4

X

k,j

X

n6

=

k,j

g

k,n

g

j,n

1

ω

n

+

ω

k

+

1

ω

n

+

ω

j

!

e

i

(

ω

k

−ω

j

)

t

_a

†

k

a

j

.

(2.19)

É possível também mostrar que o termo dissipativo é pequeno. No limite de

ao-plamento frao, em que uma expansão em série de potênias nos aoplamentos

g

k,j

faz

sentido,ostermosontra-girantesrepresentamapenasumaleveorreçãonadinâmia,que

é dominada pelos termos girantes. Isso, no entanto, não oorre quando os aoplamentos

2.1.2 Equações de Heisenberg

Umpossível método 39

para resolveradinâmiageradapeloHamiltoniano2.11 são as

equaçõesde Heisenberg

d

dt

a

k

=

−

i

N

X

j

=1

G

k,j

a

j

+

F

k,j

a

†

j

+

β

k

(2.20a)

d

dt

a

†

k

=

i

N

X

j

=1

G

∗

_k,j

a

†

_j

+

F

_k,j

∗

a

j

+

β

_k

∗

.

(2.20b)

Embora essa equaçãoestejadenida emumespaço deHilbertde dimensão innita,a

relação entre os operadores no tempo

t

e os operadores notempo

0

é uma relação linear

emum espaçovetorial de dimensão nita:

a

k

(

t

) =

N

X

j

=1

U

k,j

(

t

)

a

j

+

V

k,j

∗

(

t

)

a

†

j

+

ω

k

(

t

)

(2.21a)

a

†

_k

(

t

) =

N

X

j

=1

U

_k,j

∗

(

t

)

a

_j

†

+

V

k,j

(

t

)

a

j

+

ω

∗

_k

(

t

)

.

(2.21b)

As equações de Heisenberg 2.20 são equivalentes aos sistemaslineares

d

dt

U

k,n

=

−

i

N

X

j

=1

(

G

k,j

U

j,n

+

F

k,j

V

j,n

)

(2.22a)

d

dt

V

k,n

=

i

N

X

j

=1

G

∗

_k,j

V

j,n

+

F

k,j

∗

U

j,n

,

(2.22b)

e

d

dt

ω

k

=

−

i

N

X

j

=1

G

k,j

ω

j

+

F

k,j

ω

j

∗

+

β

k

(2.23a)

d

dt

ω

∗

k

=

i

N

X

j

=1

G

∗

k,j

ω

j

∗

+

F

k,j

∗

ω

j

+

β

∗

O segundo índie é mantido xonas equações2.22, e portanto o problema se separa

em

N

sistemas lineares independentes (um para ada valor de

n

= 1

, . . . , N

). Cada um

desses sistemas tem dimensão

2

N

, e todos têm a mesma forma (mesmas equações); a

diferençase enontraapenas nas ondiçõesiniiais.

U

k,n

(0) =

δ

k,n

(2.24a)

V

k,n

(0) = 0

.

(2.24b)

A ondição iniialpara a equação 2.23 é

ω

k

(0) = 0

.

(2.25)

As equações2.21 são a soluçãoompleta doproblema, poisovaloresperado de

qual-quer operador pode ser alulado omo

D

f

n

a

†

_k

o

,

_{

a

k

}

E

t

=

D

f

n

a

†

_k

(

t

)

o

,

_{

a

k

(

t

)

}

E

0

.

(2.26)

2.1.3 Representação de estados oerentes

As equações de Heisenberg 2.20 possuem a mesma forma que a equação lássia de

movimento. No entanto, não é apenas nesse sentido que podemos dizer que a evolução

ditada pelo Hamiltoniano quadrátio é lássia. Tal evolução também pode, sob ertas

irunstânias, preservar o aráter lássio dos estados mais lássios possíveis de uma

rede de osiladores, que são os estados oerentes. Esses estados são hamados de

lás-sios porque possuem a mínima inerteza possível, sendo bem loalizados em ambas as

quadraturas:

∆

x

1

= ∆

x

2

=

1

a

, que são por sua vez proporionaisaos operadores de posição e momento.

ˆ

x

1

=

1

√

2

a

+

a

†

(2.28a)

ˆ

x

2

=

1

i

√

2

a

−

a

†

(2.28b)

Matematiamente,umestadosoerentede

N

modoséumauto-estadodosoperadores

a

k

,

a

k

|

α

1

,

· · ·

, α

N

i

=

α

k

|

α

1

,

· · ·

, α

N

i

.

(2.29)

Na equação 2.20, vemos que, se

F

k,j

= 0

(o que signia realizar a aproximação de

ondasgirantes),osoperadores evoluídos

a

k

(

t

)

sãoumafunçãoapenasdosoperadores

a

j

,e

portantoum estado oerentepermanee oerente durante todaa sua evolução. O estado

oerente de

N

modos é um estado produto; um proesso passivo não é apaz de riar

emaranhamento nesse aso (no entanto, outros estados iniiais separáveis podem evoluir

para um estado emaranhado).

|

α

1

i ⊗ · · · ⊗ |

α

N

i → |

α

1

(

t

)

i ⊗ · · · ⊗ |

α

N

(

t

)

i

,

(2.30)

om

α

k

(

t

) =

N

X

j

=1

U

k,j

(

t

)

α

j

+

ω

k

(

t

)

(2.31)

Os valores médios dos momentos de primeira ordem seguem as suas trajetórias

lás-sias, aompanhadas pela nuvem de inerteza quântia araterístia de um estado

oe-rente. 39

A simpliação trazida à análise é onsiderável, pois a ondição

V

= 0

implia

que adimensão daequação 2.22 éreduzida de

2

N

para

N

,

d

dt

U

k,n

=

−

i

N

X

j

=1

G

k,j

U

j,n

(2.32)

d

dt

ω

k

=

−

i

N

X

j

=1

G

k,j

ω

j

+

β

k

.

(2.33)

A ondição

F

k,j

= 0

, ou seja,a ausênia de termos dotipo

a

k

a

j

ou

a

†

k

a

†

j

,é de grande

desprezados. Esse proedimento éonheido omo a aproximaçãode ondasgirantes.

Devidoàssuaspropriedades,éinteressanteexpandirumestadoqualqueremumabase

de estados oerentes. A hamada representação

P

de Glauber-Sudarshan orresponde à

expansãodiagonal:

ρ

=

Z

d

2

N

_{

α

_}

P

(

_{

α

_}

)

_|{

α

_{}i h{}

α

_}|

.

(2.34)

Na representação de Shrodinger, aevolução nessa formaébastantesimples,

ρ

(

t

) =

Z

d

2

N

_{

α

_}

P

(

_{

α

_}

)

_|{

α

(

t

)

_{}i h{}

α

(

t

)

_}|

,

(2.35)

om

α

k

(

t

)

dado por2.31 e

U

(

t

)

e

ω

(

t

)

obedeendo às equações 2.32 e 2.33. No aso de

um estado iniial oerente, a função

P

(

{

α

}

,

{

α

∗

}

)

se reduz a uma delta de Dira, e a

equação 2.35 india imediatamenteque o estado permane oerente, mas om os valores

médiosevoluindode aordoom a equação de movimentolássia.

Para o aso mais geral, é possível transformar a equação de von Neumann para o

operador densidade em uma equação diferenial parial para a função

P

, busando uma

orrespondênia entre super-operadores no espaço de Hilbert e no espaço de fase onde a

função

P

édenida (um super-operador éuma operaçãolinear queassoiadois

operado-res). No espaçode Hilbert,os super-operadores queatuamsobre

ρ

sãoa multipliação,à

esquerdaouà direita,pelos operadores

a

k

ou

a

†

k

. No espaçode fase,eles orrespondema

ombinaçõesde

P

e derivadas:

a

k

ρ

→

α

k

P

(2.36a)

ρa

k

→

α

k

P

−

∂P

∂α

∗

k

(2.36b)

a

†

_k

ρ

_→

α

∗

k

P

−

∂P

∂α

k

(2.36)

ρa

†

_k

_→

α

∗

A equação de vonNeumann para oHamiltoniano2.11 se traduzomo

∂P

∂t

=

−

i

N

X

k,j

=1

G

∗

k,j

α

∗

j

+

F

k,j

∗

α

j

∂P

∂α

∗

k

+

i

N

X

k,j

=1

G

k,j

α

j

+

F

k,j

α

∗

j

∂P

∂α

k

−

₂

i

N

X

k,j

=1

F

k,j

∂

2

_P

∂α

k

α

j

−

F

_k,j

∗

∂

2

_P

∂α

∗

k

α

∗

j

+

N

X

k

=1

(

β

_k

∗

α

k

−

β

k

α

∗

k

)

P .

(2.37)

Napresençadostermosontra-girantes,essaequaçãoenvolvederivadasdesegundaordem.

Veremos na próxima subseção que é possível obter uma equação diferenial de primeira

ordem quedesreva a evolução darede de osiladores mesmona presença desses termos.

2.1.4 Função araterístia

Noasoqueestamosestudando,oespaçodeHilbertédesneessariamenteompliado,

omasua dimensãoinnita,poistodasasrelaçõesentreobserváveisemdiferentestempos

são lineares. Por esse motivo, mudaremos também a desrição do estado quântio para

uma forma denida emum espaço de fase, noqual a evolução linear orresponde a uma

simples deformação desse espaço. Dentre as formas possíveis de se fazer isso, a que se

mostramaisonvenienteéatravésdafunçãoaraterístiadeordenamentosimétrio,que

é simplesmente o valor esperado do operador de desloamento (equação A.9), e ontém

todaa informaçãosobre o estado.

Utilizamosomesmométododebusarumaorrespondêniaentreossuper-operadores

noespaçodeHilbertenoespaçodefase. Essaorrespondêniaédiferentedoasoanterior,

e édada por

a

k

ρ

→ −

∂χ

∂α

∗

k

−

α

₂

k

χ

(2.38a)

ρa

k

→ −

∂χ

∂α

∗

k

+

α

k

2

χ

(2.38b)

a

†

_k

ρ

_→

∂χ

∂α

k

−

α

∗

k

2

χ

(2.38)

ρa

†

_k

_→

∂χ

∂α

k

+

α

∗

k

.

Essa diferença tem duasorigens. A primeiraéque estamosonsiderandouma função

araterístia,que é uma transformada de Fourier da função de quase probabilidade. A

segundaéqueafunçãoaraterístiaquedenimosorrespondeaoordenamentosimétrio

dooperadordedesloamento,enquantoafunção

P

estáassoiadaaoordenamentonormal.

Com essas onsiderações, hegamos àequação diferenial

∂χ

∂t

=

−

i

N

X

k,j

=1

G

∗

_k,j

α

∗

_j

+

F

_k,j

∗

α

j

∂χ

∂α

∗

k

+

i

N

X

k,j

=1

G

k,j

α

j

+

F

k,j

α

j

∗

∂χ

∂α

k

+

N

X

k

=1

(

β

_k

∗

α

k

−

β

k

α

k

∗

)

χ ,

(2.39)

que possui uma solução bastante simples na forma de um produto de um termo de

des-loamentoede um termode uxo noespaço de fase,dada peloansatz(uma hipótese,ou

proposta de solução,que deve ser testada):

χ

(

_{

α

k

}

, t

) = exp

N

X

k

=1

(

α

k

ω

˜

∗

k

−

α

∗

k

ω

˜

k

)

!

χ

(

_{

α

k

(

t

)

}

,

0)

.

(2.40)

Oprimeirotermo doladodireitoorresponde aodesloamentodoespaçode faseausado

pelos termos de bombeamento,e obedeem às equações

d

dt

ω

˜

k

=

−

i

N

X

j

=1

G

k,j

ω

˜

j

+

F

k,j

ω

˜

j

∗

+

β

k

(2.41a)

d

dt

ω

˜

∗

k

=

i

N

X

j

=1

G

∗

_k,j

ω

˜

_j

∗

+

F

_k,j

∗

ω

˜

j

+

β

_k

∗

,

(2.41b)

idêntias às 2.23. Além disso, obedeem às mesmas ondições iniiais, e são portanto

iguais:

˜

ω

k

(

t

) =

ω

k

(

t

)

.

(2.42)

A função araterístiamantém a sua forma(a menos de um desloamento)durante

transformação induzidapor

d

dt

α

k

=

i

N

X

j

=1

G

k,j

α

j

+

F

k,j

α

∗

j

(2.43a)

d

dt

α

∗

k

=

−

i

N

X

j

=1

G

∗

k,j

α

∗

j

+

F

k,j

∗

α

j

.

(2.43b)

Essas equações são similaresàs equações de Heisenberg 2.20, eesrevemos a solução

naforma

α

k

(

t

) =

N

X

j

=1

˜

U

k,j

(

t

)

α

j

+ ˜

V

k,j

∗

(

t

)

α

∗

j

(2.44a)

α

∗

k

(

t

) =

N

X

j

=1

˜

U

∗

k,j

(

t

)

α

∗

j

+ ˜

V

k,j

(

t

)

α

j

.

(2.44b)

As equações análogasa 2.22 são

d

dt

U

˜

k,n

=

i

N

X

j

=1

G

k,j

U

˜

j,n

+

F

k,j

V

˜

j,n

(2.45a)

d

dt

V

˜

k,n

=

−

i

N

X

j

=1

G

∗

k,j

V

˜

j,n

+

F

k,j

∗

U

˜

j,n

.

(2.45b)

Para estabeleer uma relação entre os oeientes

U,

˜

V

˜

e os oeientes

U, V

,

alu-lamos osmomentosde primeira ordema partir dafunção araterístia:

h

a

k

i

t

=

N

X

j

=1

˜

U

j,k

(

t

)

h

a

j

i

₀

−

V

˜

j,k

∗

(

t

)

D

a

†

_j

E

t

+

ω

k

(

t

)

(2.46a)

D

a

†

_k

E

t

=

N

X

j

=1

˜

U

_j,k

∗

(

t

)

D

a

†

_j

E

0

−

˜

V

j,k

(

t

)

h

a

j

i

_t

Uma omparaçãoentre asequações2.21 e2.46 permiteonluir que

˜

U

j,k

(

t

) =

U

k,j

(

t

)

(2.47a)

˜

V

j,k

(

t

) =

−

V

k,j

(

t

)

.

(2.47b)

Com essas assoiações, podemos reesrever as equações 2.45 emtermos de

U

e

V

na

forma:

d

dt

U

n,k

=

i

N

X

j

=1

U

n,j

G

∗

j,k

−

V

n,j

F

j,k

(2.48a)

d

dt

V

n,k

=

−

i

N

X

j

=1

V

n,j

G

j,k

−

U

n,j

F

j,k

∗

.

(2.48b)

Essas equaçõese as 2.22 têm uma diferença importante. Naquelas, o segundo índie

era mantido xo, o que signia que ada oluna de

U

e

V

pode ser alulada de forma

independente das demais. Nessas, o primeiroíndie é mantido xo, e as matrizes

U

e

V

sãoonstruídaslinha porlinha. Essa diferençavêmdofatode queafunçãoaraterístia

édenida nãonoespaçode fasepropriamentedito,mas noespaçode fasedual(que estão

relaionadospor uma transformada de Fourier, mas têm a mesmaestrutura).

2.1.5 Transformação simplétia

Na representação de Shrodinger, os estados emtempos diferentes de um sistema

fe-hadosãorelaionadosporumatransformaçãounitária. NarepresentaçãodeHeisenberg,

omesmo fatoé expresso pelaregra de transformação das relações de omutação

h

ˆ

A

(

t

)

,

B

ˆ

(

t

)

i

=

U

†

₍

_{t, t}

0

)

h

ˆ

A

(

t

o

)

,

B

ˆ

(

t

o

)

i

Apliado àstransformações2.21, isso impliaem

N

X

m

=1

(

U

k,m

V

j,m

−

U

j,m

V

k,m

) = 0

(2.50a)

N

X

m

=1

U

_k,m

∗

U

j,m

−

V

k,m

∗

V

j,m

=

δ

k,j

.

(2.50b)

Isso deneumaestrutura simplétia(propriedades daestrutura simplétiasão disutidas

noapêndieD). Expliitamente, a matrizde dimensão

2

N

denida pelos bloos

W

=





{

U

_{} {}

V

∗

_}

{

V

_{} {}

U

∗

}





,

(2.51)

satisfaz a relação

W

T

Ω

W

= Ω

,

(2.52)

onde

Ω =





0

_I

−I

0





.

(2.53)

É importante dizer que a denição usual de matriz simplétia são as matrizes de

entradas reais que satisfazem 2.52; omo

W

assim denido não é real, não é também

uma matriz simplétia. Porém, é possível obter uma matriz simplétiarelaionada a

W

onsiderando a transformação das quadraturas, que por serem reais impliam em uma

matriz de transformação real:

Z

=





{ℜ

(

U

+

V

)

_{} {−ℑ}

(

U

+

V

)

_}

{ℑ

(

U

₋

V

)

_}

_{ℜ

(

U

₋

V

)

_}





.

(2.54)

Uma transformação simplétia e linear é a ontrapartida no espaço de fase de uma

2.1.6 Mapa Gaussiano

Na linguagem da teoria de informação quântia, um mapa é uma operação linear

apliada a um operador densidade, que resulta em um outro operador densidade. Para

isso,essa operaçãodeveser, além de linear,ompletamentepositiva. 40

A evolução de um

sistemapodeser expressapor umafamíliade mapas,ada um dos quaisassoiaoestado

iniialao estadoem um instante espeíode tempo:

ρ

(

t

) =

_U

t

(

ρ

(0))

.

(2.55)

A equação 2.40 é um exemplo de mapa no espaço de fase, pois fornee uma regra

paraobterafunção arateristianotempo

t

(olado esquerdodaequação)emtermosda

função arateristianoinstanteiniial (que aparee noseu lado direito).

A solução2.40preservaaformaGaussianadafunçãoaraterístia. Comoosestados

quepossuem essa formasão de grandeimportânia(poisontém osestadosoerentes, os

omprimidos e os térmios) , é interessante tratar a evolução gerada pelo Hamiltoniano

quadrátiopela alteração que ele ausa nos momentosde primeirae segunda ordem que

denem um estado Gaussiano:

x

(

t

) =

W

(

t

)

r

(0) +

ω

(

t

)

(2.56a)

C

(

t

) =

W

(

t

)

V

(0)

W

T

(

t

)

,

(2.56b)

onde

x

(

t

)

e

C

(

t

)

são o vetor de quadraturas ea matrizde ovariânia, respetivamente:

x

(

t

) =





{h

a

k

i}

nD

a

†

_k

Eo





t

(2.57)

C

(

t

) =





{h

a

k

a

j

i − h

a

k

i h

a

j

i}

n

1

2

D

a

k

a

†

j

+

a

†

j

a

k

E

− h

a

k

i

D

a

†

_j

Eo

n

1

2

D

a

†

_k

a

j

+

a

j

a

†

k

E

−

D

a

†

_k

E

_h

a

j

i

o

nD

a

†

_k

a

†

_j

E

₋

D

a

†

_k

E D

a

†

_j

Eo





t

.

(2.58)

uma orrespondênia unívoa entre esses parâmetros e um onjunto de mapas noespaço

de Hilbert.

ρ

(

t

) =

_U

W,ω

(

ρ

(0))

.

(2.59)

Essas transformações são denidas emum espaçovetorial de dimensão nita, querese

linearmenteomonúmerodegrausdeliberdade. Épossívelportantosimulardeforma

e-ienteessemapa emum omputadorlássio,om reursos queresem polinomialmente

om número de graus de liberdade. Para que seja possívelrealizar omputação quântia

om um sistema de variáveis ontínuas, é preiso uma fonte de não-lassialidade, que

podevirde duasmaneiras. A primeiraéatravésde termosnão-linearesnoHamiltoniano,

omo por exemplo o efeito Kerr (que gera um termo na forma

a

†

1

a

1

a

†

2

a

2

); nesse aso, a análise aqui feita não se aplia. A segunda maneira é através de um estado iniial

não-Gaussiano,quepodeserumestadodenúmeroouumestadode faseúbia. 41

Asequações

2.56aindasãoválidas,poissão deduzidaspeloformalismode Heisenberg semqualquer

hi-pótese sobreo estadoiniial. Apenaso omportamentodos momentosde ordemsuperior

são afetados quando o estado iniialnão é Gaussiano.

2.2 Dinâmia reduzida

Um sistema quântio aberto interage om graus de liberdade sobre os quais um

ex-perimentador não tem qualquer tipo de ontrole ou possibilidade de efetuar a medida.

Embora essas interações possam edevamser levadas emontapelateoria, é onveniente

que ao nal a desrição seja realizada apenas em termos de graus de liberdade sobre os

quais se tem aesso experimental. Esses últimos referem-se ao sistema de interesse,

en-quanto os primeiros referem-se ao reservatório. O sistema e o reservatório onsiderados

emonjunto éhamado de universo.

Ouniversoformaumsistemafehadoepossuiuma dinâmiaunitária,omoestudado

na seção 2.1. Porém, o reservatório possui em geral um grande número de graus de

liberdade, muito maiordo queo dosistema. Uma soluçãogeral dadinâmia douniverso

Veremos nessa seção que o método de Heisenberg exige o onheimento da dinâmia

ompletadouniverso,enquantoométododafunçãoaraterístiapermitequealulemos

apenas asinformaçõesque serão relevantes para determinara dinâmiadosistema.

Paraomeçar aanálise,separamos asdimensõesdoespaçode fase emdois onjuntos:

S

=

_{

1

, . . . , N

S

}

(2.60a)

R

=

_{

N

S

+ 1

, . . . , N

}

.

(2.60b)

Ofatode queestamosinteressadosapenas noomportamentodosistemaimpliaque

osúnios observáveis de interesse são da forma

ˆ

F

=

F

_{

a

k

(

t

)

}

_k∈S

=

F





(

_N

X

j

=1

U

k,j

a

k

+

V

k,j

∗

a

†

j

)

k∈S





.

(2.61)

Preisamos portantoapenas dos oeientes

U

k,j

e

V

k,j

para os quais

k

∈ S

, ouseja,

preisamosde apenas

N

S

linhasde

U

e

V

,istoé,apenasumanoasoemqueosistemade

interessereduz-seaum únioosilador. AsequaçõesdeHeisenberg sãoresolvidas

oluna-por-oluna; resolvê-la ompletamente implia em uma grande quantidade de informação

(nosentidolássio)queéaluladaeentãodesartada. Aequação2.48,deduzidaapartir

daequaçãodiferenial paraa função araterístia,éresolvida linha-por-linha,e

preisa-mos resolverapenas

N

S

linhaspara obter adinâmiadosistema, aoinvésdas

N

olunas

dométodode Heisenberg. Isso pode representarum onsiderável ganhoomputaional.

2.2.1 Traço parial e função araterístia

No espaço de Hilbert, o proedimento para eliminar os graus de liberdade do

reser-vatório é o traço parial. No espaço de fase onde a função araterístia é denida, o

proedimento análogo é alulá- la na origem do sistema de oordenadas referente ao