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xn _{.3466 .3466 .3361 .3250 .3258 .3075}

xn

g .1534 .1534 .1542 .1675 .1545 .1786

xn

r .5000 .5000 .4847 .4825 .4697 .4639

xg .0000 .0000 .0028 .0054 .0061 .0139

xg

r .0000 .0000 .0084 .0154 .0167 .0361

xr _{.0000 .0000 .0138 .0042 .0272 .0000}

ρg .2348 .2348 .2520 .2607 .2678 .2780

ρg

r .7652 .7652 .7480 .7393 .7322 .7220

vn _{24.9014 24.9014 25.1946 25.2315 25.4845 25.4490}

vn

g 27.1690 27.1690 27.4576 27.4897 27.7462 27.7609

vn

r 28.5883 28.5883 28.8971 28.9466 29.2024 29.1923

vg 43.0693 43.0693 43.6780 43.2609 44.2766 44.0576

vg

r 45.1769 45.1769 45.8419 45.4368 46.4880 46.2235

vr _{44.6820 44.6820 45.2969 44.8691 45.8961 44.6823}

% vg

s 44.6820 44.6820 45.2969 44.8691 45.8961 45.6216

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@ xn

r+xgr = (1−xr)/2

+ + ' % ' + 'xr _{$ + (!* $}

+

(xnr −xng)xr= (xn−xng)B,

xr_{/B = 0 %& x}n _=xn

g xr/B = 1 %& xn =xnr ' $

% + $ B $ + xn_{= 1−B−x}n

r−xng ' xn + . ' (!* '

% %& + $

xng(2B−xr) +xnr(xr+B) =B(1−B) ( >*

B $ +xg=B−xr_−xg

r ' xg ' . ' ("*

(B−xr−xgr)(xr+xrn) =xgrxr+xgrxng ( )*

7 % +xn

g $ ( >* ( )* & % xnr xgr % ' +

& ' xn

r xgr 2 5 ' % 0 ' xr =B/2 & %

$ % xn

r+xgr = (1−xr)/2 + & % $

& xg

r' xr∈(0, B) (0, B−xr)

B % $ + ' + $ %

xg

r =

B(3 + 2B+xr_)−2xr

4(B−2xr₎ −

− 4B + 4xr _{(1 + 2x}r_{) −4B (1 + 3x}r_{) +B (9 + 54x}r_{+ 57x}r _)−4Bxr_{(3 +x}r_{(15 + 14x}r₎₎

4(B−2xr₎ .

3&&

-# xr _{→ 0 ' % && - 3 % $ $ $ x}n _{= x}n

g =

− B−[ B − B _]

, xn

r =

− −B _[ B − B _]

, xg = − B [ B − B ] , xg r =

B−[ B − B _]

. 2

$ + ( * (>* & ( *

π(0 ) = Γ (B) u−1

8K(1−β)B,

Γ (B) =−6−B+(2 +B) 4B −4B+ 9 −6B π(0 )>0⇔Γ (B)>0⇔0< B < b≃0.12405

# xr_{→B ' % && - 3 % $ + $ x}n _=xn

r = −B xng =x g₌

xg

r= 0 xr=B 2 $ + ( * (>* & ( * E

E_{4 $ '}

−→ ₋ −→ ₋

π(B−_{) =} 4B u−(B+ 1)

2K(1−β) (3B+ 1).

π(B−_{)<0⇔u <} B

B .

4 ( * ' 0 < B < b u < B

B π(0 ) > 0 π(B−) <0H ( * ' b < B < 1

u > B

B π(0 )<0 π(B−)>0

3&&

-# B →0 ' % && - 3 + ' % ' $ ' $

+ xn

r = B && x=xn x∈(0, ) $ % % #

0≤xn

g = −x≤ % (=* ρ

g₌ x

x x → −

x

−x ρgr= x

x x → −x

2 $ (D. *

vr ₌ 1

K(1−β) 1

2(u−1) H (! *

vg = 1

K(1−β) xu−(1−x) +β 1

2∆ H (! *

vrg =

1

K(1−β) 1

2u−

1

2−x −β

1

2−x ∆ H (!!*

vn ₌ 1

K(1−β) −(1−x) +β 1

2∆r +β

1

2−x ∆g H (!=*

vn

g =

1

K(1−β) xu− 1

2−βx∆g +β

1

2∆rg H (!"*

vn

r =

1

K(1−β) 1

2u−βx∆r −β

1

2−x ∆rg (!D*

∆ = vgr−v

g

= −x u+

K(1−β) +β(1−x)H (!E*

∆r = vnr −vn =

u+ 1−x

K(1−β) +βH (!F*

∆rg = vnr −vng =

−x u+

K(1−β) +βH (!>*

∆g = vng −vn =

xu+ −x

K(1−β) +β (!)*

3' % + $ ,

π= 0⇔x=F(u) (= *

x∈[1/4,1/2]

F(u)≡ 3 + 2u−

√

5 + 4u

4 (1 +u) .

4 ' % (! .!)* + $ ' vn

r > vng > vn

vr_{>0 v}g r > v

g

β→1

u >5

4⇒v

g

>0 u >1⇒vn>0 (= *

4 (..* & (..* $ % 1< β vn

r −vgn 1< β vgn−vn

1< βvg 1< βvr _{u > β(v}n

r −vn) β→1 '

G(u)≡ 1

2 1−

1

u

x < G(u)⇒1< β vn

r −vng , (=!*

u > 3⇒1< β vgn−vn , (==*

u > 1⇒1< βvg 1< βvr_{, (="*}

u > 3

2⇒u > β(v

n

r −vn). (=D*

' % (= * (=!* + & 'F 'G u= 1 +√2 'u

F % C 0 G ' + & & u >3 ' $

+ %

3&&

- @

# B →1 + && - 3 + ' % ' $ ' $

xg=xg r=

−x _{% ("* ρ}g₌ x

x x → ρ

g r =

x

x x →

2 % $ (>. *

vr = 1 +x

r

K(1−β) 1

2(u−1) (=E*

vg = 1

K(1−β) (1−x

r_)u

−1 +β(1 +x

r₎

2 ∆ (=F*

vrg =

1

K(1−β) u−(1−x

r₎

−β(1 +x

r₎

2 ∆ (=>*

∆ =vg

r−v

g _(=)*

3' % + $ ,

π= 0⇔xr= 1

2. (" *

% (D.F* (=E.=)* B→1 xr₌

vr = 3

4K(1−β){u−1}H (" *

vg = 1

K(1−β) 1

2+

3β

4 [2K(1−β) + 3β] u−1 +

3β

4 [2K(1−β) + 3β] H ("!*

vg

r =

1

K(1−β) 1−

3β

4 [2K(1−β) + 3β] u−

1

2−

3β

4 [2K(1−β) + 3β] H ("=*

∆ = vg

r−v

g₌ u+ 1

2K(1−β) + 3β; (""*

vn = 8K (1−β) 1 + (1−β)βK[19−5u] +β [9−8u]

2K(β−1) [2K(β−1)−3β] H ("D*

vn

g =

4K (1−β) [3−2u] + (1−β)βK[29−23u] + 2β [9−8u]

4K(β−1) [2K(β−1)−3β] H ("E*

vn

r = −

12K (1−β) u+ (1−β)βK[11−29u] + 2β [9−8u]

4K(β−1) [2K(β−1)−3β] H ("F*

∆g = vgn−vn=

4K(1−β) [1 + 2u] +β[9 + 13u]

4 [2K(β−1)−3β] H (">*

∆rg = vrn−vng =

4K(1−β) [3 +u] + 2β[9 + 3u]

4 [2K(β−1)−3β] H (")*

∆r = vrn−vn=

4K(1−β) [4 + 3u] +β[27 + 19u]

4 [2K(β−1)−3β] (D *

4 ' % (" .D * vn

r > vng > vn vr>0 vgr> v g

β→1

u >1⇒vg>0 u > 9

8⇒v

n_{>0 (D *}

4 ( !* & ( D* $ % 1< β vn

r −vgn 1< β vgn−vn

1< βvg 1< βvr _{u > β(v}n

r −vn) # β→1

u > 3⇒1< β vn

r −vgn , (D!*

u > 27

13 ⇒1< β v

n

g −vn , (D=*

u > 1⇒1< βvg 1< βvr_{, (D"*}

u > 27

17 ⇒u > β(v

n

r −vn). (DD*

+ u >3 ' + $ + %

3&&

- 7@ <

$

+

B && + $ & 4 0

$ $ % ,

xg+xr=B xn+xng +xnr = 1−B (DE*

xr_{∈[0, B] B %& ' $ 9 0 g% 9}

' % 0 g

xng(B−xr) +xnrxr = xnB (DF*

xn_(B−xr_{) = x}n

gB. (D>*

7 (DE.D>* % % '

xn = (1−B)B

2 (2B−xr₎; (D)*

xn

g =

(1−B) (B−xr₎

2 (2B−xr₎ ; (E *

xnr =

1−B

2 ; (E *

xg = B−xr; (E!*

xr _{= x}r_{. (E=*}

3 %& $ % $ ' π(xr_{) = 0}

π(xr_)≡vr_−vg _(E"*

+ xr _%

' '

& ( ! B ∈ (0, .2) u < B

B

π(0 )>0 π(B−_{)<0) ! B∈(.2,1) u >}B

B π(0 )<0 π(B−)>0

# xr_{→0 ' % (D).E=* % $ + $ x}n_=xn

g = −B xnr = −B

xg =B 2 $ + (E"* ' %&

π(0 ) = (1−5B) (u−1)

4K(1−β)B .

π(0 )>0⇔0< B < .2

# xr_{→B ' % (D).E=* % $ x}n _=xn

r = −B xng =x

g

=xg

r = 0

2 $ (E"* '

π(B−_{) =}2Bu−(B+ 1)

2K(1−β) .

π(B−_{)<0⇔u <}B B

# , $ % %& % $ 'B 5

( B ∈(0,1) #

# B →0 + ' ' % (D).E=* % ' $ '

$ + xn

r = B && x=xn∈(0,1/2) xng = −x 2 $

' F

vr ₌ 1

K(1−β) 1

2(u−1) (ED*

vg = 1

K(1−β) xu− 1

2−x (EE*

vn = 1

K(1−β) −(1−x) +β 1

2∆r +β

1

2−x ∆g (EF*

vn

g =

1

K(1−β) xu− 1

2−βx∆g +β

1

2∆rg (E>*

vn

r =

1

K(1−β) 1

2u−βx∆r −β

1

2−x ∆rg (E)*

F _{% ' $ % % ' (D*.( *}

∆r = vnr −vn =

u+ 1−x

K(1−β) +β (F *

∆rg = vnr −vng =

−x u+

K(1−β) +β (F *

∆g = vng −vn =

xu+ −x

K(1−β) +β (F!*

3' % + $ ,

π(xr_{) = 0⇔v}r_=vg

⇔x=H(u). (F=*

H(u) = 1

2 1 +_u .

4 ' % (ED.F!* vn

r > vng > vn vr=v g

>0 β→1

u >1⇒vn>0. (F"*

4 > $ % 1 < β vn

r −vgn 1 < β vgn−vn 1 < βv g

1< βvr _{u > β(v}n

r −vn) β→1

x < G(u)⇔1< β vn

r −vgn , (FD*

u > 3⇒1< β vgn−vn , (FE*

u > 1⇒1< βvg=βvr_{, (FF*}

u > √2⇒u > β(vn

r −vn), (F>*

G(u)≡ 1−u ' % (F=.FD* H(u) > G(u)' u≥1. 'β→1

$ % %& % $ $ + + &

3 + ' B 5 +

* B #

# B →1 + ' ' % (D).E=* % ' $ '

$ & $ xg= 1−xr _{2 $ + '}

vr ₌ xr

K(1−β)(u−1) (F)*

vg = 1−x

r

K(1−β)(u−1) (> *

3

vr_=vg

⇔xr₌ 1

2. (> *

> _{% $ % % ' (..*.(..*}

A + ' (F).> * B→1 xr_{= ,}

vr = vg= 1

2K(1−β)(u−1) (>!*

vn ₌ −8K (1−β) +K(1−β)β(4u−14) +β (4u−5)

4K(1−β) [K(1−β) +β] [2K(1−β) + 3β] (>=*

vn

g =

4K (1−β) (u−1) +K(1−β)β(8u−10) +β (4u−5)

4K(1−β) [K(1−β) +β] [2K(1−β) + 3β] (>"*

vnr =

4K (1−β) u+K(1−β)β(8u−4) +β (4u−5)

4K(1−β) [K(1−β) +β] [2K(1−β) + 3β] (>D*

∆g = vgn−vn=

u+ 1

2K(1−β) + 3β, (>E*

∆rg = vrn−vgn=

K(1−β) + β

[K(1−β) +β] [2K(1−β) + 3β], (>F*

∆r = vrn−vn=

u[K(1−β) +β] + 2K(1−β) + β

[K(1−β) +β] [2K(1−β) + 3β] (>>*

7 (>!.>>* %& vn

r > vng > vn vr=vg>0 β→1

u > 5

4⇒v

n _{>0. (>)*}

4 & & $ % 1< β vn

r −vng 1< β vgn−vn

1< βvg 1< βvr _{u > β(v}n

r −vn) # β→1

u > 2⇒1< β vn

g−vn , () *

u > 1⇒ 1< βvg=βvr_{, () *}

u > 5

4 ⇒u > β(v

n

r −vn). ()!*

β→1 1< β vn

r −vgn 'β→1

$ % %& % $ $ + + &

3&&

- @ <

$

$

B && + $ & ' + $ / +

- + ' % + $ % 2 + $ '

+ $ / $ + + $ 9 . 9

' $ $ 7 (!* (=* +

xng(B−xr) +xnrxr+xnrx g

= xnB ()=*

xn_(B−xr_{) = x}n

g(B+xgr) ()"*

& B , ' % + ( 9 0*xn

rx

g _{' . ' (!*}

' % $ + ' % ' . ' (=* +

++ + + % 3&& - 3 + $ ' %

/ 2 $ % xn

r +xgr = (1−xr)/2 B % & $

$ ' 'xr _{3 B && $ % $ 3}

B && 0 xr_{/B = 1 % $ ' % $ x}r_{/B= 0}

, $ $ $ xn

r = 1/2 xng = (

√

3−1)/4 xn _{= (3−}√_{3)/4 2 % ' +}

' %1/4 (√3−1)/4 $ + $ '

$ ' $ $ /

4 B && 0 xr_{/B x}n_∈((3−√_3)/4,1/2)

' xn _{$ % (1/4,1/2) 2 $ %}

B && 0 $ ' # B && 0 $ & / & %

$ ' $ $ ' / $ + $ '

+ $ H 'xn

r $ % ' $ % xgr/(xgr+xg)

% $ % 2 ' xn _{'(1/4,1/2) ((3−}√_3)/4,1/2)

' xn_∈((3−√_{3)/4,1/2) + & / ' + $ % $ % ' $ 4'}

'xn _{%& π = 0 $ % % %& π = 0 ? + '}

F(u) 3&& - , u u > u %& π= 0' % xn _∈((3−√_3)/4,1/2)

$ % ' u > u π= 0 ' % $ % 'xn _{' $ %}

# % $ % 'xr_{/B $ % B→0 2}

$ 'π xn_∈((3−√_{3)/4,1/2) % % $ π(x}r_{) & +}

xr_{/B / + ' (!.=* $}

2 $ % 'xr_{/B % $ 2 & / & , '}

$ ' 'xr_{/B % $ ' $ + $ ' +}

/ $ + + .$ $ + ' 'xr_{/B 2}

'xr_{/B ' % ' ' & + + & / ' + $}

,- ' $ # xr_{/B = 1 $ ' $ %}

$ ' & / ' + $ # xr_{/B % $ $ %}

$ % & / ' + $ & ' $ $

$ ' + 'xr_{/B ' π= 0}

B→0 % $ ' $ %

4 $ 0 ' $ B && 0

&& u≤u # %& % $ $ ( $ u= 2 +√3*

& $ $ % xr_{/B= 0 $ $ % % $}

B→0

# ' & & B $ &

- + ' & + + & &

$ - & + & % + +

$ + ' $ + % +

+ .$ & $ + ' & 2 'vn

r ,

Kvn

r = u(xn+xng+x

g_+xr_{) +}

β (xn+xr+xg)vn+xngvgn+ [K−(xn+xr+xng +x g

)]vrn , ()D*

' (F* xg $ % ' % % % & +vn

g $ % & +

vn

# B →0 $ $ B $ % + $

B = 0 & & 3&& - && ' '

& & β→1 u >3 2 ' F %& π= 0 ' '

u≥u= 2 +√3 2 u >2 +√3 β 5 + 5 ' ' ' & &

B 5

# B && + $ $ $

/ $ ' $ $ % B →1 2 $ % %

3&& - + xr _{= 1/2 A + $ % ' % $}

$ & & $ %& ' $ B →1 2

K(1−β)vr ₌ 3

4(u−1)

K(1−β)vg = 1

2+

3β

4 [2K(1−β) + 3β] u−1 +

3β

4 [2K(1−β) + 3β]

K(1−β)vg

r = 1−

3β

4 [2K(1−β) + 3β] u−

1

2−

3β

4 [2K(1−β) + 3β]

∆ = vg

r−v

g₌ u+ 1

2K(1−β) + 3β,

K(1−β)vn ₌ 32K (1−β) + 4 (1−β)βK(19−5u) + 3β (13−10u)

2 [4K(1−β) + 6β] +β

K(1−β)vn

g =

8K (1−β) (3−2u) + 2 (1−β)βK(29−23u) + 3β (13−10u)

2 [4K(1−β) + 6β] +β

K(1−β)vnr = −

24K (1−β) u+ 6 (1−β)βK(4−9u) + 3β (13−10u)

2 [4K(1−β) + 6β] +β

∆g = vgn−vn=

4K(1−β) [1 + 2u] +β(9 + 13u)

[4K(1−β) + 6β] +β

∆rg = vrn−vgn=

4K(1−β)(3 +u) +β(17 + 4u)

[4K(1−β) + 6β] +β

∆r = vrn−vn=

4K(1−β)(4 + 3u) +β(26 + 17u)

[4K(1−β) + 6β] +β

β→1 u > 1⇒ vg >0( $ ' * u >13/10⇒vn _{>0 u >5⇒1< β(v}n r −vgn)

u >28/13⇒1< β(vn

g −vn) u > 1⇒1< βv

g _{1< βv}r _{u >13/10⇒u > β(v}n

r −vn) + β

5 + 2 ' ' u + $ u > 5 ;

&+ + u $ % % 5 $ +

, & ' +