Active FEL-Klystrons as Formers of Femto-Second Clusters of Electromagnetic Field. Description of Models on the Basis of Sections of ‘Ordinary’ FEL’: Analisys

Ж.нано- електрон. фіз./ J. Nano- Electron. Phys. 2011. –Т.3, №3. –С. 100-113

2011 СумДУ

(Сумс кий ержавний університет)

100 PACS number: 41.60.Cr

МУЛЬТИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФОРМИРОВАТЕЛИ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КЛАСТЕРОВ НА БАЗЕ

«ОБЫКНОВЕННЫХ» ЛСЭ: АНАЛИЗ

В.В. Кули 1_{, А.В. Лысенко}2_{, А.Ю. Брусник}1

1 _{На ионал ный авиа ионный университет,}

пр. Космонавта Комарова, 1, 03680, Киев, Украина E-mail: kulish2001@ukr.net

2 _{Сумской осу арственный университет,}

ул. Римско о-Корсакова, 2, 40007, Сумы, Украина

Проанализированы физи еские про ессы, протекающие при формировании ультра

-коротких электрома нитных кластеров в мульти армони еских параметри

-еских лазерах на свобо ных электронах. Выяснены условия, необхо имые ля формирования таких кластеров. Изу ены ва варианта формирования, которые

разли аются спектрами электрома нитно о си нала на вхо е в систему и

спектрами мульти армони еско о ма нитно о поля нака ки. Про емонстри

-рована возможность формирования ультракоротких кластеров электрома нит

-но о поля в системах типа мульти армони еские параметри еские лазеры на свобо ных электронах.

Клю евые слова: ЛАЗЕРЫ НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ, УЛЬТРАКОРОТКИЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КЛАСТЕРЫ, МУЛЬТИГАРМОНИЧЕСКИЕ ВЗАИМО

-ДЕЙСТВИи.

(Полу ено 02.07.2011, в отре актированной форме – 30.10.2011,

опубликовано online– 05.11.2011)

1. ВВЕДЕНИЕ

Данная стат я является трет ей аст работы, ве из которых опубли -кованы в [1, 2]. В первой из них [1] произве ено общее ка ественное описание ново о класса релятивистских электронных устройств – мул ти

-армони еских ЛСЭ-клистронов, пре назна енных ля формирования фемтосекун ных кластеров электрома нитно о поля. З ес прове ено обсуж ение серии возможных теорети еских мо елей таких лазеров на свобо ных электронах, в том исле, и их конструк ионные схемы.

В отли ие от работы [1], которая носит овол но общий характер, в стат е [2] лавное внимание у елено по робному описани о ной из

ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÒÅËÈ ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÛÕ ÊËÀÑÒÅÐÎÂ… 101

íåëèíåéíûõ óêîðî÷åííûõ óðàâíåíèé äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê âçàèìîäåéñòâóþùèõ âîëí.

 äàííîé ñòàòüå, îïèðàÿñü íà îñíîâó, çàëîæåííóþ â ïðåäûäóùèõ ðàáîòàõ, ïðîèçâåäåíî êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ ïðè ôîðìèðîâàíèè óëüòðàêîðîòêèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êëàñòåðîâ â ñåêöèè, ïîñòðîåííîé íà áàçå «îáûêíîâåííûõ» ïàðàìåòðè-÷åñêèõ ËÑÝ. Ïîêàçàíî, ÷òî òàêèå óñòðîéñòâà ìîãóò áûòü ýôôåêòèâíûìè ôîðìèðîâàòåëÿìè óëüòðàêîðîòêèõ, â òîì ÷èñëå è ôåìòîñåêóíäíûõ, êëàñòåðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

2. ÌÎÄÅËÜ ÌÓËÜÒÈÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÒÅËß

ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÊËÀÑÒÅÐÎÂ ÍÀ ÁÀÇÅ «ÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÛÕ» ËÑÝ

Êîíñòðóêöèîííûå îñîáåííîñòè ôîðìèðîâàòåëÿ ôåìòîñåêóíäíûõ ýëåêòðî-ìàãíèòíûõ êëàñòåðîâ íà áàçå ìóëüòèãàðìîíè÷åñêîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ËÑÝ èçëîæåíû â ðàáîòå [2].  äàííîé ðàáîòå äëÿ îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ â ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëå, èñïîëüçîâàíà òåîðåòè-÷åñêàÿ ìîäåëü, ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 1. Çäåñü ïîïåðå÷íî-íåîãðàíè-÷åííûé ïó÷îê 1 äâèæåòñÿ âäîëü îñè z ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ëèíåéíî ïîëÿðè-çîâàííîå ïîëå ìóëüòèãàðìîíè÷åñêîãî ìàãíèòíîãî îíäóëÿòîðà. Êîíñòðóê-öèÿ òàêîãî îíäóëÿòîðà äåòàëüíî îïèñàíà â ðàáîòå [2]. Ìàãíèòíîå ïîëå îíäóëÿòîðà ïðåäñòàâèì â âèäå

(

)

[

]

N

n n

e c c p in B

Br å r

= +

=

1 2, 2 2 2

2

2 exp . . , (1)

ãäå: B2,n2 – êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî n2-îé ãàðìîíèêè

ïîëÿ íàêà÷êè, n2 = 1, 2, …,N – íîìåðà ãàðìîíèê, p2= k2z – ôàçà ïåðâîé

ãàðìîíèêè ïîëÿ íàêà÷êè, k2= 2p/l2 – âîëíîâîå ÷èñëî, ery – îðò îñè y.

Ðèñ. 1– Ìîäåëü ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëÿ ôåìòîñåêóíäíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êëàñòåðîâ. Çäåñü: 1 – ðåëÿòèâèñòñêèé ýëåêòðîííûé ïó÷îê; 2 – ìóëüòèãàðìî-íè÷åñêèé ýëåêòðîìàãíèòíûé ñèãíàë (êëàñòåðíàÿ âîëíà ñèãíàëà) íà âõîäå â ñèñòåìó ñî ñïåêòðîì n1w1, n1k1; 3 – ìóëüòèãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà ïðîñòðàíñòâåí-íîãî çàðÿäà (êëàñòåðíàÿ ÂÏÇ) ñî ñïåêòðîì n3w3, n3k3; 4 – ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèé ýëåêòðîìàãíèòíûé ñèãíàë (êëàñòåðíàÿ âîëíà ñèãíàëà) íà âûõîäå èç ñèñòåìû;

2

102 Â.Â. ÊÓËÈØ, À.Â. ËÛÑÅÍÊÎ, À.Þ. ÁÐÓÑÍÈÊ

Ïîëàãàåì, ÷òî íà âõîä ìóëüòèãàðìîíè÷åñêîãî ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëÿ ïîñòóïàåò ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèé ýëåêòðîìàãíèòíûé ñèãíàë:

(

)

= é ù

= å _ë + _û

r _r

1 1

1 1, 1 1

1

exp . .

N

n x

n

E E in p c c e , (2)

ãäå E1,n1 – àìïëèòóäà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ n1-îé

ãàð-ìîíèêè ïîëÿ ñèãíàëà, n1 = 1, 2, …, N – íîìåðà ãàðìîíèê, p1 =w1t – k1z –

ôàçà ïåðâîé ãàðìîíèêè ïîëÿ ñèãíàëà, w1,k1 – ÷àñòîòà è âîëíîâîå ÷èñëî

ïåðâîé ãàðìîíèêè, er_x – åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü îñè x.

 ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëåé íàêà÷êè (1) è ñèãíàëà (2) â ñèñòåìå âîçáóæäàåòñÿ ìóëüòèãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà ïðîñòðàíñòâåííîãî çàðÿäà:

[

]

N

n n n

e c c ip

E E

Er å r å r

= +

= =

1 3, , 3, , ,

3 3

3

3

3exp( c ) . .

c

c c , (3)

ãäå c= ±1 – çíàê, îáîçíà÷àþùèé òèï ïîëÿ ÂÏÇ (c = +1 ñîîòâåòñòâóåò ìåäëåííîé, à c = –1 – áûñòðîé ÂÏÇ), E3,c,n3 – àìïëèòóäà íàïðÿæåííîñòè

ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ n₃-îé ãàðìîíèêè ïîëÿ c-îé ÂÏÇ, n₃= 1, 2, …, N – íîìåðà ãàðìîíèê, p_3,c,n3 = n3w3t - k3,c,n3z – ôàçà, à n3w3, k3,c,n3 – ÷àñòîòà è

âîëíîâîå ÷èñëî n₃-îé ãàðìîíèêè ïîëÿ c-îé ÂÏÇ, er_z – åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü îñè z.

Âçàèìîäåéñòâèå âîëí â ñèñòåìå ïîëàãàåì êâàçèñòàöèîíàðíûì è óñòàíîâèâøèìñÿ, ò.å., ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî âñå ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â ñèñòåìå çàêîí÷èëèñü. Ïðè ýòîì èñïîëüçóåì ãðàíè÷íîå óñëîâèå:

1 1

3 0 1, 0 10,

, ,

3 n z 0, E n z E n

E _{c =} = ₌ = . (4)

Ñ÷èòàåì, ÷òî â ñèñòåìå ðåàëèçóåòñÿ êîìïòîíîâñêèé ðåæèì ìíîæåñòâåí-íîãî ïàðàìåòðè÷åñêè-ðåçîíàíñìíîæåñòâåí-íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ [3]. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà â òàêîì ñîñòîÿíèè íå ðàçëè÷àåò áûñòðûõ è ìåäëåííûõ ÂÏÇ:

(

)

(

)

, ,

3 3 1 k 3 1 n k

k cn c =+ » cn c =- » . (5)

Óñëîâèÿ äëÿ ðåàëèçàöèè òàêîãî ìíîæåñòâåííîãî âûðîæäåííîãî ïàðà-ìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà âûáèðàåì â ôîðìå [3-5]:

1 1 3 3, 3 3 1 1 2 2

nw »nw n k »n k +n k . (6)

Òàêæå ó÷èòûâàåì òðåõâîëíîâûå ïàðàìåòðè÷åñêèå ðåçîíàíñíûå âçàèìî-äåéñòâèÿ ìåæäó ãàðìîíèêàìè âîëíû îäíîãî è òîãî æå òèïà.

ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÒÅËÈ ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÛÕ ÊËÀÑÒÅÐÎÂ… 103

3. ÁÀÇÎÂÛÅ ÓÊÎÐÎ×ÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄËß ÀÌÏËÈÒÓÄ

ÃÀÐÌÎÍÈÊ ÂÎËÍ

 êà÷åñòâå èñõîäíûõ âûáèðàåì ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà è ðåëÿòèâèñòñêîå êâàçèãèäðîäèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïó÷êà. Äàëåå èñïîëüçóåì âûøå ïðåäëîæåííûå òåîðåòè÷åñêèå ìîäåëè, ñòàíäàðò-íóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ìåòîäû òåîðèè èåðàðõè÷åñêèõ êîëåáàíèé è âîëí, îïèñàííûå, íàïðèìåð, â ìîíîãðàôèÿõ [3-5].  èòîãå äîâîëüíî ãðîìîçäêèõ àíàëèòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê ïîëåé (2), (3) â êóáè÷åñêè-íåëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óêîðî÷åííûõ óðàâíåíèé:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1, 1, 3, 2, 3, 1,

, 1 , 2 2 , 1 2 ,

1 n n n n n n

n n n

n D E K B E F

dz dE K dz E d

K + + = + , (7)

3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 _{3 3} 3

2

3, 3, _{* int}

1, ₂ 2, 3, 3, 3, 1, 2, 4, 3 3 3,

n n

n n n n n n n n _{n p} n

d E dE

C C D E C E B C E E F

dz + dz + = + + .

 ýòèõ óðàâíåíèÿõ:

(

)

[

(

)

]

1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ,

1 ₁ n /c k c n

D n = - - p , _÷÷

ø ö ç ç è æ W -× -= 3 2 3 2 3 2 3 3 ,

3 3 ( ) 1 _g

w

n k

n i

D n p ,

(

)

/ 1 12

, 1 2 ,

1 ₁ D ₁ ink

K n =¶ n ¶- , /

(

)

2 3 3 , 3 2 ,

1 ₃ D ₃ in k

C n =¶ n ¶- ,

(

)

, 1 ,

2 1 D 1/ ink

K n =¶ n ¶- , C2,n3 =¶D3,n3/¶(-in3k3),

÷ ÷ ø ö ç ç è æ W -W = 3 3 2 2 3 2 1 4 3 2 1 1 2 , 3 2 1 k c c k k m n e K e p n g u g w w

, å

= ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -W = 2 , 1 ₃ 3 2 2 2 2 3 2 3 3 2 , 3 3 q _e p n c k c k c m n ek C w u g w , ÷ ÷ ø ö ç ç è æ -W × W = ₂ 2 3 3 6 3 3 3 3 2 , 4 3 3 _c k m in ek C e p n g u g w ,

( )

1 1 c u g -= , e p m e n 2

2 4p

w = ,

u

wc c

c = -k

W , èíäåêñ c ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 1,3. Òàêæå çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ

( )

(

)

= p c c

p c c 2 0 3 2 1 3 ... exp( )

2 1

..._{n p} in p dpdpdp ,

å

= úú_û

ù ê ê ë é + = N m n

n cc

in p in E E 1

int exp( ) _{. .}

c c c c

c c c , (c =1,3).

104 Â.Â. ÊÓËÈØ, À.Â. ËÛÑÅÍÊÎ, À.Þ. ÁÐÓÑÍÈÊ + + + ¢ = 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 int 3 int 3 , 2 , 7 int 3 3 , 2 , 6 , 2 int , 3 , 5 , 1 p n n n p n n n n n n

n K E B K B EE K B E E

F

(

)

1 9, , 3, 2, 1 int 1 int 1 1 , 8 . p n N l ilp l l l n p n

n EE E E K E B e cc

K ÷ ø ö ç è æ ₊ + å = 2 , 2 , , 11 1 2 , 3 , , 10 ,

1 1 1 n1 l l

N

l n l l

n K E K B

E . (8)

+ + ¢ = 3 3 3 3 3 3 3 int 3 int 3 3 , 6 * , 2 , 1 , 5 , 3 p n n n n n

n C E B C EE E

F

(

)

è æ ÷ ø ö + + +

+ å å

= =

N

l n l l n l l

n p n N l ilp l l l

n E B e cc E C E C B

C E 1 2 , 2 , , 9 2 , 1 , , 8 , 3 1 * , 2 , 1 , , 7

3 _{3 3 3}

3 3 3 3 . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 int 3 int 3 , 12 int 3 3 , 11 int 3 3 ,

10n EE _{n p} C n EE _np C n E E _{n p}

C ¢ + ¢ + ¢

+ . (9)

 ñîîòíîøåíèÿõ (8)-(9) èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå

å

= ú_û

ù ê ë é + = ¢ N m m c c imp dz dE E 1 , . . ) exp( _c c c .

Êîýôôèöèåíòû C è K çàâèñÿò îò âîëíîâûõ ÷èñåë, ÷àñòîò, ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè u è êîíöåíòðàöèè n ýëåêòðîííîãî ïó÷êà. Ñèñòåìó óðàâíåíèé (7) äîïîëíèì óðàâíåíèÿìè äëÿ ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ

(

)

l l l l l

c c B E E V E E V dz d

1 2,

* , 1 , 3 , 2 0 1 1 1 . u 0 int 3 3 3 3 , 5 0 int 3 int 3 3 3 , 4 0 3 3 3 ,

3 E E V E E E V E E E

V ¢ + +

+ . (10)

(

)

l l l l l

c c B E E N E E N dz n d

1 2,

* , 1 , 3 , 2 0 1 1 1 . 0 int 3 3 3 3 , 5 0 int 3 int 3 3 3 , 4 0 3 3 3 ,

3 E E N EE E N EE E

N ¢ + +

+ . (11)

Êîýôôèöèåíòû V è N çàâèñÿò îò âîëíîâûõ ÷èñåë, ÷àñòîò, ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè u è êîíöåíòðàöèè n ýëåêòðîííîãî ïó÷êà.

Óðàâíåíèÿ (7)-(11) îïèñûâàþò äèíàìèêó ìíîæåñòâåííîãî ïàðàìåòðè÷åñêè-ðåçîíàíñíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ãàðìîíèê âîëí â ðàáî÷åé îáëàñòè ìóëüòèãàðìîíè÷åñêîãî ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëÿ. Äàëåå, èñïîëüçóÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (7)-(11) êàê áàçîâóþ, à òàêæå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (4), ïðîèçâåäåì àíàëèç ïðîöåññà ôîðìèðîâàíèÿ ôåìòîñåêóíäíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êëàñòåðîâ.

4. ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÍÈß ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÛÕ

ÊËÀÑÒÅÐÎÂ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËß

ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÒÅËÈ ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÛÕ ÊËÀÑÒÅÐÎÂ… 105

Ïîíÿòíî, ÷òî â èäåàëüíîì ñëó÷àå íà âûõîäå èç ìóëüòèãàðìîíè÷åñêîãî êëàñòåðíîãî ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëÿ ìû äîëæíû ïîëó÷èòü ïåðèîäè÷åñêóþ ñåðèþ äåëüòà-ôóíêöèé, êîòîðûå èìåþò, íàïðèìåð, ñëåäóþùèé âèä

)) 4 / 3 ( ) 4 / ( ( )

(t A T t T nT t T nT

E = × × -d - + +d - + . (12)

 ýòîé ôîðìóëå d – äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà, T – ïåðèîä, n – öåëîå ÷èñëî, A – íåêîòîðûé ìíîæèòåëü. Ïî ñâîåé ñóòè, òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåëüòà-ôóíêöèé E(t) ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì ïåðèîäè÷åñêèì ìóëüòèãàðìî-íè÷åñêèì ñèãíàëîì, è åå ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå

(

)

å¥ =

+ × +

=

1

0 exp( (2 / ) ) . . )

(

m m

c c t T im E

E t

E p , (13)

ãäå

ò

-×

-×

= /2

2 /

) ) / 2 ( exp( ) ( ) / 1

( T

T

m T Et im T d

E p t t (14)

êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà m-îé ãàðìîíèêè. Äëÿ èññëåäóåìîãî ñëó÷àÿ, êîãäà E(t) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (12), íåñëîæíî, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (14), âû÷èñëèòü êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû E_m.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

) 2 / sin( 2iA mp

E_m = × . (15)

Òî åñòü E₀ = 0, E₁ = + 2iA, E₂ = 0, E₃ = – 2iA, E₄ = 0, E₅ = + 2iA, E₆ = 0, E7 = – 2iA è òàê äàëåå. Èç ñîîòíîøåíèÿ (15) ñëåäóåò: 1) àìïëèòóäû âñåõ

÷åòíûõ ãàðìîíèê ðàâíû íóëþ; 2) ìîäóëè íå÷åòíûõ ãàðìîíèê îäèíàêîâû è ðàâíû, â äàííîì ñëó÷àå, 2À; 3) ôàçû 1-é, 5-é, 9-é è ò.ä. ãàðìîíèê ðàâíû (+ p/2); 4) ôàçû 3-é, 7-é, 11-é è ò.ä. ãàðìîíèê ðàâíû (– p/2). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ñåðèþ ôåìòîñåêóíäíûõ êëàñòåðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (12) íåîáõîäèìî ñôîðìèðîâàòü ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë, àìïëèòóäû è ôàçû êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿëè áû óñëîâèþ (15).

Ïðîàíàëèçèðóåì óðàâíåíèÿ (7), êîòîðûå îïèñûâàåò äèíàìèêó êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ñèãíàëà è ÂÏÇ â êóáè÷åñêè-íåëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè â ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ËÑÝ ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèíöèïèàëüíîé âîçìîæíîñòè ðåøèòü âûøå ñôîðìóëèðîâàííóþ çàäà÷ó. Îãðàíè÷èìñÿ ëèíåéíûìè ñëàãàåìûìè. Ðåøåíèÿ òàêîé ñèñòåìû áóäåì èñêàòü â âèäå E1,m ~ E01,mexp(amz), E3,m ~ E03,mexp(amz), ïðèíèìàÿ

âî âíèìàíèÿ, ÷òî â ñèñòåìå ðåàëèçóþòñÿ ìíîæåñòâåííûå òðåõâîëíîâûå ïàðàìåòðè÷åñêèå ðåçîíàíñû ìåæäó ãàðìîíèêàìè âîëí ñèãíàëà, ÂÏÇ è ìàãíèòíîãî ïîëÿ îíäóëÿòîðà (n1 = n2= n3 = m).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì

ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íà÷àëüíûõ àìïëèòóä E01,m

E03,m

(

)

(

)

, 01 *

, 2 ,

3 + + =

106 Â.Â. ÊÓËÈØ, À.Â. ËÛÑÅÍÊÎ, À.Þ. ÁÐÓÑÍÈÊ

Ñèñòåìà (16) áóäåò èìåòü íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, åñëè åå îïðåäåëèòåëü áóäåò ðàâåí íóëþ

(

)(

)

2 , 1 ,

2 2 ,

1m m+K m m C m m+C m m -K mC mB m =

K a a a a . (17)

Íåñëîæíî íàéòè ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (17)

... , 1 ,

0 + +

= _{m m}

m a a

a , (18)

ãäå

(

)

w a

c m eB c

k K

C B C K

e m

m p

m m

m m m m

| | 2

, 2 2 / 3 , 2 ,

2 , 2

2 , 2 , 3 , 3 ,

0 = » (19)

èíêðåìåíò ïàðàìåòðè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè, ñîâïàäàþùèé ñ èíêðåìåíòàìè, ïîëó÷åííûìè â [3, 4, 8-12],

(

)

, 0 ,

1m =-a m K m K m+C m C m

a . (20)

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ K, C (ñì. êîììåíòàðèè ê ñèñòåìå (7)), íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî a0,m ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî äåéñòâèòåëüíîé

âåëè÷èíîé, à a1,m – ÷èñòî ìíèìîé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü

èíêðåìåíòà a0,m îòâå÷àåò çà èçìåíåíèå ìîäóëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû

m-é ãàðìîíèêè, à a1,m – çà èçìåíåíèå íà÷àëüíîé ôàçû êîìïëåêñíîé

àìïëèòóäû. Òàêèì îáðàçîì, ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèé ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëü íà áàçå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ËÑÝ ìîæåò èçìåíÿòü êàê ìîäóëè àìïëèòóä ãàðìîíèê, òàê è èõ ôàçû. Ñîîòíîøåíèÿ (19) è (20) ïîçâîëÿþò ãðóáî îöåíèòü òàêèå èçìåíåíèÿ. Áîëåå òî÷íûå ðåçóëüòàòû ìû ìîæåì ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ñèñòåìó (7). Èòàê, ôîðìèðîâàòåëü íà îñíîâå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ËÑÝ ñïîñîáåí ñîçäàâàòü ñâåðõêîðîòêèå èìïóëüñû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Òàáëèöà 1 – Ïàðàìåòðû ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëÿ

Äëèíà âîëíû ïåðâîé ãàðìîíèêè ñèãíàëà 0,37 ñì Çíà÷åíèå ðåëÿòèâèñòñêîãî ôàêòîðà ýëåêòðîííîãî ïó÷êà 6,6

Ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà ïó÷êà 1,2·10 11 ñ – 1

Ïðîñòðàíñòâåííûé ïåðèîä îíäóëÿòîðà 13,3 ñì

Èññëåäóåì äèíàìèêó ôîðìèðîâàíèÿ ìîùíîãî óëüòðàêîðîòêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî êëàñòåðà ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèé (7) â ñèñòåìå, ïàðàìåòðû êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå 1. Ïðè ýòîì èçó÷èì äâà âàðèàíòà. Ñëó÷àé, êîãäà ýëåêòðîìàãíèòíûé ñèãíàë íà âõîäå â ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëü èìååò: à) íîðìàëüíûé ñïåêòð (áîëåå âûñîêàÿ ãàðìîíèêà èìååò ìåíüøóþ àìïëèòóäó) è á) àíîìàëüíûé ñïåêòð (áîëåå âûñîêàÿ ãàðìîíèêà èìååò áîëüøóþ àìïëèòóäó).

5. ÑËÓ×ÀÉ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÃÎ ÑÏÅÊÒÐÀ ÂÕÎÄÍÎÃÎ

ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÑÈÃÍÀËÀ

ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÒÅËÈ ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÛÕ ÊËÀÑÒÅÐÎÂ… 107

ãàðìîíèêè èìåþò ìåíüøóþ àìïëèòóäó (ñì. äàëåå ðèñ. 4à). Êàê èçâåñòíî, â êëàñòåðå àìïëèòóäû íå÷åòíûõ ãàðìîíèê äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè. Ïîýòîìó, åñëè íà âõîäå â ñèñòåìó áîëåå âûñîêèå ãàðìîíèêè èìåþò ìåíüøóþ àìïëèòóäó, òî îíè äîëæíû áûòü óñèëåíû ñèëüíåå, òî åñòü èñõîäÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (19) èìåòü áîëåå âûñîêèå èíêðåìåíòû íàðàñòàíèÿ

a0,m. Ýòî òðåáîâàíèå ìîæíî âûïîëíèòü, èñïîëüçóÿ ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèé

îíäóëÿòîð ñ àíîìàëüíûì ñïåêòðîì. Íà ðèñ. 2à ïðåäñòàâëåí ñïåêòð ìàãíèòíîãî ïîëÿ òàêîãî îíäóëÿòîðà, à íà ðèñ. 2á – çàâèñèìîñòü èíêðå-ìåíòà íàðàñòàíèÿ a0,m îò íîìåðà ãàðìîíèêè äëÿ ñëó÷àÿ íîðìàëüíîãî

ñïåêòðà âõîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà.

à á

Ðèñ. 2 – Çàâèñèìîñòè àìïëèòóä ãàðìîíèê èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B2,m îíäóëÿòîðà (à) è èíêðåìåíòà íàðàñòàíèÿ a0,m (á) îò íîìåðà ãàðìîíèêè äëÿ ñëó÷àÿ íîðìàëüíîãî ñïåêòðà âõîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà

Êàê âèäèì, äàííàÿ ïðîáëåìà ðåøàåòñÿ áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ îíäó-ëÿòîðà ñî ñïåêòðîì, â êîòîðîì áîëåå âûñîêèå ãàðìîíèêè èìåþò áîëüøóþ àìïëèòóäó. Òàêæå ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ÷åòíûå ãàðìîíèêè îíäóëÿòîðà ðàâíû íóëþ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ ÷åòíûõ ãàðìîíèê ñèãíàëà óñèëåíèå áóäåò îòñóòñòâîâàòü è íà âûõîäå ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëÿ òàêèå ãàðìîíèêè áóäóò òàêæå îòñóòñòâîâàòü. Ýòî ïîçâîëÿåò âûïîëíèòü îäíî èç óñëîâèé ôîðìèðîâàíèÿ êëàñòåðà (ñì. êîììåíòàðèè ê ñîîòíîøåíèþ (15)). Äàëåå, èñïîëüçóÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (7), ïðîàíàëèçèðóåì äèíàìèêó àìïëèòóä è ôàç ãàðìîíèê â ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëå, â êîòîðîì ñïåêòð ìàãíèòíîãî ïîëÿ îíäóëÿòîðà ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2à, ñ ó÷åòîì êóáè÷åñêèõ íåëèíåéíîñòåé.

108 Â.Â. ÊÓËÈØ, À.Â. ËÛÑÅÍÊÎ, À.Þ. ÁÐÓÑÍÈÊ

Ðèñ. 3 – Çàâèñèìîñòè ìîäóëåé êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê âîëíû ñèãíàëà E1,m îò ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû z

à á

Ðèñ. 4 – Çàâèñèìîñòè ìîäóëåé êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê ýëåêòðî-ìàãíèòíîãî ñèãíàëà E1,m îò íîìåðà ãàðìîíèêè äëÿ ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû íà âõîäå â ñèñòåìó z = 0 ñì (à) è ïðè z = 118 ñì (á)

Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåíû çàâèñèìîñòè íà÷àëüíûõ ôàç êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê ìóëüòèãàðìîíè÷åñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû îò ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû. Êàê âèäèì, â îáëàñòè ñ ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòîé z = 118 ñì íà÷àëüíûå ôàçû 1-é, 5-é, 9-é è ò.ä. ãàðìîíèê ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíû (+ p/2) (êðèâûå 1 íà ðèñ. 4), à íà÷àëüíûå ôàçû 3-é, 7-é, 11-é è ò.ä. ãàðìîíèê ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû (– p/2) (êðèâûå 2 íà ðèñ. 4).

Èòàê, ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèé ïàðàìåòðè÷åñêèé ËÑÝ ôîðìèðóåò â òî÷êå z = 118 ñì êëàñòåð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ãàðìîíèêè êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (15). Íà ðèñ. 6 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà îò âðåìåíè, íîðìèðîâàííîãî íà ïåðèîä ïåðâîé ãàðìîíèêè t/T. Êàê è ïðåäïîëàãàëîñü, ýëåêòðîìàãíèòíûé ñèãíàë èìååò âèä êîðîòêîãî êëàñòåðà äëèòåëüíîñòüþ 2,5_·10 – 13 _{ñ. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïó÷êà}

èññëåäóåìîé ñèñòåìû ðàâíà 1 ñì2_{, òî ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü òàêîãî}

ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÒÅËÈ ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÛÕ ÊËÀÑÒÅÐÎÂ… 109

Ðèñ. 5 – Çàâèñèìîñòè íà÷àëüíûõ ôàç êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê âîëíû ñèãíàëà E1,m îò ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû z. Êðèâûå 1 ñîîòâåòñòâóþò 1-é, 5-é, 9-é è ò.ä. ãàðìîíèêàì, êðèâûå 2 ñîîòâåòñòâóþò 3-é, 7-é, 11-é è ò.ä. ãàðìîíèêàì

Ðèñ. 6 – Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà îò íîðìèðîâàííîãî âðåìåíè t/T ïðè z =118 ñì

6. ÑËÓ×ÀÉ ÀÍÎÌÀËÜÍÎÃÎ ÑÏÅÊÒÐÀ ÂÕÎÄÍÎÃÎ

ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÑÈÃÍÀËÀ

Ñîçäàíèå ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèõ îíäóëÿòîðîâ, â êîòîðûõ âûñøèå ãàð-ìîíèêè ìàãíèòíîãî ïîëÿ èìåþò áîëüøóþ àìïëèòóäó, ÷åì íèçøèå ãàðìîíèêè (ñì. ðèñ. 2à), ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé òåõíîëîãè÷åñêîé çàäà÷åé. Ïîýòîìó â ðÿäå ñëó÷àåâ òåõíîëîãè÷åñêè ïðîùå ñîçäàòü íà âõîäå â ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëü ýëåêòðîìàãíèòíûé ñèãíàë ñ àíîìàëüíûì ñïåêòðîì (áîëåå âûñîêàÿ ãàðìîíèêà èìååò áîëüøóþ àìïëèòóäó) è ïðè ýòîì èñïîëüçîâàòü ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèé îíäóëÿòîð ñ îáû÷íûì ñïåêòðîì, â êîòîðîì âûñøèå ãàðìîíèêè èìåþò ìåíüøóþ àìïëèòóäó. Èìåííî ýòîò ñëó÷àé ìû èññëåäóåì â ýòîì ðàçäåëå.

110 Â.Â. ÊÓËÈØ, À.Â. ËÛÑÅÍÊÎ, À.Þ. ÁÐÓÑÍÈÊ

à á

Ðèñ. 7 –Çàâèñèìîñòè àìïëèòóä ãàðìîíèê èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B2,m îíäóëÿòîðà (à) è èíêðåìåíòà íàðàñòàíèÿ a0,m (á) îò íîìåðà ãàðìîíèêè äëÿ ñëó÷àÿ àíîìàëüíîãî ñïåêòðà âõîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà

Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå (ñì. ðèñ. 2à) ÷åòíûå ãàðìîíèêè îíäóëÿòîðà ðàâíû íóëþ. Áëàãîäàðÿ ýòîìó ÷åòíûå ãàðìîíèêè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ òîæå áóäóò îòñóòñòâîâàòü, òî åñòü áóäåò âûïîëíÿòüñÿ îäíî èç óñëîâèé ôîðìèðîâàíèÿ êîðîòêîãî êëàñòåðà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (ñì. êîììåí-òàðèè ê ñîîòíîøåíèþ (15)).

Èñïîëüçóÿ ñèñòåìó êóáè÷åñêè-íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (7), èññëåäóåì äèíàìèêó àìïëèòóä è ôàç ãàðìîíèê â ËÑÝ-ôîðìèðîâàòåëå, â êîòîðîì ñïåêòð ìàãíèòíîãî ïîëÿ îíäóëÿòîðà ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 7à.

Ðèñ. 8 – Çàâèñèìîñòè ìîäóëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê âîëíû ñèãíàëà E1,m îò ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû z

ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÒÅËÈ ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÛÕ ÊËÀÑÒÅÐÎÂ… 111

Ðèñ. 9 – Çàâèñèìîñòè íà÷àëüíûõ ôàç êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ãàðìîíèê âîëíû ñèãíàëà E1,m îò ïðîäîëüíîé êîîðäèíàòû z. Êðèâûå 1 ñîîòâåòñòâóþò 1-é, 5-é, 9-é è ò.ä. ãàðìîíèêàì, êðèâûå 2 ñîîòâåòñòâóþò 3-é, 7-é, 11-é è ò.ä. ãàðìîíèêàì

Èòàê, ìóëüòèãàðìîíè÷åñêèé ïàðàìåòðè÷åñêèé ËÑÝ ôîðìèðóåò â òî÷êå z = 118-120 ñì êëàñòåð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ãàðìîíèêè êîòîðîãî óäîâ-ëåòâîðÿþò óñëîâèþ (15). Íà ðèñ. 10 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà îò âðåìåíè íîðìèðîâàííîãî íà ïåðèîä ïåðâîé ãàðìîíèêè t/T â òî÷êå z = 119 ñì. Êàê è ïðåäïîëàãàëîñü, ýëåêòðî-ìàãíèòíûé ñèãíàë èìååò âèä êîðîòêîãî ìîùíîãî êëàñòåðà. Ñðàâíèâàÿ ðèñ. 10 è ðèñ. 6 âèäèì, ÷òî ïàðàìåòðû êëàñòåðîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîëó÷åííûõ â îáîèõ ñëó÷àÿõ, ÿâëÿþòñÿ ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâûìè.

Ðèñ. 10 – Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà îò íîðìèðîâàííîãî âðåìåíè t/T ïðè z =119 ñì

7. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ

112 Â.Â. ÊÓËÈØ, À.Â. ËÛÑÅÍÊÎ, À.Þ. ÁÐÓÑÍÈÊ

ACTIVE FEL-KLYSTRONS AS FORMERS OF FEMTO-SECOND CLUSTERS OF ELECTROMAGNETIC FIELD. DESCRIPTION OF MODELS ON THE BASIS OF

SECTIONS OF «ORDINARY» FEL: ANALISES

V.V. Kulish1, A.V. Lysenko2, A.Ju. Brusnik1

1 _{National Aviation University,}

1, Kosmonavta Komarova Ave., 03680, Kiev, Ukraine

E-mail: kulish2001@ukr.net

2 _{Sumy State University,}

2, Rimsky-Korsakov Str., 40007, Sumy, Ukraine

Physical processes of ultrashort electromagnetic cluster formation in multiharmonic parametrical free electron lasers are analyzed. The conditions, which are necessary for formation of such clusters, are found out. Two formation variants, which differ with input electromagnetic signal spectra and multiharmonic pumping magnetic field spectra, are studied. Possibility of the ultrashort electromagnetic field cluster formation in the multiharmonic parametrical free electron lasers is shown.

Keywords: FREE ELECTRON LASERS, ULTRASHORT ELECTROMAGNETIC CLUSTERS, MULTIHARMONIC INTERACTIONS.

ÌÓËÜÒÈÃÀÐÌÎͲ×Ͳ ÔÎÐÌÓÂÀײ ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÈÕ

ÅËÅÊÒÐÎÌÀÃͲÒÍÈÕ ÊËÀÑÒÅв ÍÀ ÁÀDz «ÇÂÈ×ÀÉÍÈÕ» ËÂÅ: ÀÍÀ˲Ç

Â.Â. Êóë³ø, À.Â. Ëèñåíêî, À.Þ. Áðóñí³ê

1 _{Íàö³îíàëüíèé àâ³àö³éíèé óí³âåðñèòåò,}

ïð. Êîñìîíàâòà Êîìàðîâà, 1, 03680, Êè¿â, Óêðà¿íà

E-mail: kulish2001@ukr.net

2 _{Ñóìñüêèé äåðæàâíèé óí³âåðñèòåò,}

âóë. Ðèìñüêîãî-Êîðñàêîâà, 2, 40007, Ñóìè, Óêðà¿íà

Ïðîàíàë³çîâàí³ ô³çè÷í³ ïðîöåñè, ùî ïðîò³êàþòü ïðè ôîðìóâàíí³ óëüòðà-êîðîòêèõ åëåêòðîìàãí³òíèõ êëàñòåð³â ó ìóëüòèãàðìîí³÷íèõ ïàðàìåòðè÷íèõ ëàçåðàõ íà â³ëüíèõ åëåêòðîíàõ. Ç'ÿñîâàí³ óìîâè, ÿê³ íåîáõ³äí³ äëÿ ôîðìóâàííÿ òàêèõ êëàñòåð³â. Âèâ÷åí³ äâà âàð³àíòè ôîðìóâàííÿ, ùî ð³çíÿòüñÿ ñïåêòðàìè åëåêòðîìàãí³òíîãî ñèãíàëó íà âõîä³ â ñèñòåìó é ñïåêòðàìè ìóëüòè-ãàðìîí³÷íîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ íàêà÷êè. Ïðîäåìîíñòðîâàíî ìîæëèâ³ñòü ôîðìó-âàííÿ óëüòðàêîðîòêèõ êëàñòåð³â åëåêòðîìàãí³òíîãî ïîëÿ â ñèñòåìàõ òèïó ìóëüòèãàðìîí³÷í³ ïàðàìåòðè÷í³ ëàçåðè íà â³ëüíèõ åëåêòðîíàõ.

Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ËÀÇÅÐÈ ÍÀ ²ËÜÍÈÕ ÅËÅÊÒÐÎÍÀÕ, ÓËÜÒÐÀÊÎÐÎÒʲ ÅËÅÊÒÐÎÌÀÃͲÒͲ ÊËÀÑÒÅÐÈ, ÌÓËÜÒÈÃÀÐÌÎͲ×Ͳ ÂÇÀªÌÎIJ¯.

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ

1. Â.Â. Êóëèø, À.Â. Ëûñåíêî, À.Þ. Áðóñíèê. Æ. íàíî- åëåêòðîí. ô³ç. 2 ¹2, 50

(2010).

2. Â.Â. Êóëèø, À.Â. Ëûñåíêî, À.Þ. Áðóñíèê. Æ. íàíî- åëåêòðîí. ô³ç. 2 ¹3, 54

(2010).

3. V.V. Kulish, Hierarchical methods: Undulative electrodynamic systems, Vol.2

(Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers: 2002).

4. V.V. Kulish, Methods of averaging in nonlinear problems of relativistic

ÔÎÐÌÈÐÎÂÀÒÅËÈ ÔÅÌÒÎÑÅÊÓÍÄÍÛÕ ÊËÀÑÒÅÐÎÂ… 113

5. V.V. Kulish, Hierarchic Methods: Hierarchy and Hierarchic Asymptotic Methods

in Electrodynamics, Vol.1 (Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers: 2002).

6. V.V. Kulish, O.V. Lysenko, V.I. Savchenko, I.G. Majornikov Laser Physics 15,

1629 (2005).

7. V.V. Kulish, A.V. Lysenko, V.I. Savchenko, Int. J. Infrared Millim. Waves 24,

501 (2003).

8. T.C. Marshall, Free electron laser (New York, London: Mac Millan: 1985).

9. C. Brau, Free electron laser (Boston: Academic Press: 1990).

10. Ä.È. Òðóáåöêîâ, À.Å. Õðàìîâ, Ëåêöèè ïî ñâåðõâûñîêî÷àñòîòíîé

ýëåêòðî-íèêå äëÿ ôèçèêîâ, òîì 2 (Ìîñêâà: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ: 2003).

11. H.P. Freund and T.M. Antonsen, Principles of Free Electron Lasers (Springer:

Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: 1996).

12. E.L. Saldin, E.V. Scheidmiller and M.V. Yurkov, The physics of Free Electron

Lasers (Springer: Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: 2000).

13. T. Shiozawa, Classical Relativistic Electrodynamics: Theory of Light Emission