Capaitor Cilndrio Ex^entrio
Eentriylindrialapaitor
Riardo Egydio de Carvalho e AnaPaula MorinelliAmaral da Silva
Departamento deEstatstia, MatematiaApliadaeComputa~ao,
Institutode Geoi^eniase Ci^eniasExatas,UniversidadeEstadual Paulista
C.P.178, 13500-230,RioClaro,SP,Brasil
E-maildosautores: regydior.unesp.br, apmasr.unesp.br
Reebidoem7demaio,2002. Aeitoem7dejunho,2002.
Consideramosoapaitorilndrioomaplaainternaforadeentroealulamosaapait^ania
orrespondenteusandoateniadatransforma~aoonforme. Observamosqueaapait^aniapode
serampliadaeaquantidadedematerialparaonstruiroapaitorpodeserreduzidaoma
geome-tria ex^entria.Esteresultadopodeserusadoomo tutorialdeumaaulaexperimentalparamedir
oefeitodaexentriidadenaapait^ania enaonstru~aodoapaitorilndrio.
Weonsidertheylindrialapaitorwiththeinnerplateoutofentreandwealulatethe
orres-pondingapaitaneusingtheonformaltransformationtehnique. Weobservethattheapaitane
maybeampliedandthequantityofmaterialtoonstruttheapaitormaybereduedwiththe
eentrigeometry.Thisresultanbeusedasatutorialforanexperimentalletureinorderto
me-asuretheeetoftheeentriityintheapaitaneandalsointheonstrutionoftheylindrial
apaitor.
I Capaitores
I.1 Autiliza~ao dos apaitores
Um apaitor e um dispositivo utilizado para
ar-mazenar energia, na forma de energia potenial,
on-tida em ampos eletrios. Os apaitores t^em varias
aplia~oes alem de servirem omo armazenadores de
energia. Eles onstituem elementos importantes nos
iruitos eletrios de transmissores e de reeptores de
radioetelevis~ao. Osapaitoresmirosopiosformam
osbanosdememoria dosomputadores.Taisampos
eletrioss~aosigniativostambempelainforma~ao
liga-desligaqueapresenaouaus^eniadelesproporiona.
I.2 Capait^ania
Os apaitores se apresentam numa grande
varie-dade de tamanhos eformas. Entretanto, os elementos
basios dequalquerapaitor s~ao doisondutores
iso-lados de formatos arbitrarios. Chamamostais
ondu-tores de plaas, quaisquerque sejam suas geometrias.
S~aobemonheidososapaitoresdeplaasparalelas,
osesferioseosilndrios.
Quando um apaitorearregado, suas plaas
ad-quiremargasiguais,masdesinaisopostos,+Qe Q.
Entretanto, referimo-nos a arga do apaitor omo
sendomeramente Q,ovalorabsolutodasargassobre
asplaas.
Uma vez que as plaas s~ao ondutoras, elas
ons-tituem superfies equipoteniais. Alem disso, existe
umadiferenadepotenialentreasduasplaas,
repre-sentadaporV
1 .
AargaQeadiferenadepotenialV
1
paraum
a-paitors~aoproporionaisentre siemediadasporuma
grandezaC,istoe,
Q=CV
1
(1)
onde a onstante de proporionalidade C e hamada
apait^ania do apaitor. Este par^ametro, tal omo
e onheido, deve depender apenas da geometria das
plaas. Noentanto,mostraremosumresultado
interes-santenestetrabalho.
Aunidadedaapait^anianoSistemaInternaional
deunidadeseooulombporvolt,oufarad (F).
I.3 OCapaitor Cilndrio
A Fig. 1 mostra a se~ao transversal de um
apa-itor ilndrio de omprimento L, formado por dois
ilndrios oaxiais de raios R
1 e R
2
. Supomos que
L >> R
1
, de modo que podemos desprezar a
\dis-tor~ao"doampoeletrioqueoorrenasextremidades
dosilindros. Cadaplaaontemumaargademodulo
Q. Opotenialeletrionaplaa externaeigual aV
1 ,
enquanto a plaa interna enontra-se aterrada, isto e,
Figura1. Se~aotransversaldeumapaitorilndrio om
raios R1 e R2. A plaa interna enontra-se aterrada
en-quanto a externa esta a um potenial V
1
. As plaas t^em
argaQdesinaisopostos.
Amdealularmosaapait^ania,primeiramente,
esrevemosaLei deGauss,
I
~
Ed ~
A= Q
int
"
0
(2)
onde ~
E e o ampo eletrio, "
0
e a permissividade
eletriadovauo,Q
int
eaargaontidadentrodeuma
superfiegaussianaeaintegralealuladasobreesta.
Para o apaitor ilndrio, as superfies
equipo-teniais, na Fig. 1,s~aoilindros on^entrios,ondeas
linhasdeforas~aoretasradiais. Ent~ao,omosuperfie
gaussiana,esolhemosumilindrodeomprimentoLe
raior. Aequa~ao(2)nosda
Q="
0
EA="
0
E(2rL) (3)
e,resolvendopara E,obtemos:
E= Q
2"
0 rL
; (4)
queeovalorabsolutodoampoeletrioradial.
Massabemosque
~
E= ~
rV (5)
ondeV eopotenialeletrio. Destarela~aotemos,
V
1 =
Q
2"
0 L
ln R
1
R
2
(6)
Mas,omo desenvolvidoem[1℄,aexpress~aodo
po-tenial eletrioem qualquerse~aotransversal entre as
plaasedadopor:
V = V
1
ln R1
R ln
r
R
2
(7)
Substituindo arela~ao(6)em(1),obtemos
C=2"
0 L
ln R1
R2
(8)
Admitindoque asplaas s~ao homog^eneas aolongo do
omprimento do apaitor, projetamos oapaitor no
plano denindo um C 0
, denominado apait^ania por
unidadedeomprimento,dadopor:
C 0
= 2"
0
ln R
1
R2
(9)
A partirdessa equa~ao, vemos que a apait^ania
porunidadedeomprimentodeumapaitorilndrio
on^entrio depende somente de fatores geometrios,
R
1 eR
2 .
I.4Capait^aniaom umDieletrio
Quando o espao entre as plaas de um
apai-tor esta ompletamente preenhido om um material
dieletrio,aapait^aniaaaumentadapor umfator
k,hamadoonstantedieletria,queearaterstiado
material. Numa regi~aoompletamente preenhida por
umdieletrio,todasasequa~oeseletrostatiasontendo
"
0
devemsermodiadassubstituindo-se"
0 por k"
0 .
Os efeitos da adi~ao de um dieletrio ao apaitor
podem ser entendidos siamente em termos da a~ao
de um ampo eletrio sobre dipolos eletrios
perma-nentes ouinduzidosna l^amina dieletria. O resultado
eaforma~aodeargassuperiaisinduzidasuja
pre-senaresultanoenfraqueimentodoamponointerior
dodieletrio.
II Transforma~ao Conforme
O potenial eletrio no interior de um apaitor
ilndrioon^entrioedadopelaexpress~ao(7),porem
onosso interesseeenontrarumaexpress~aodo
poten-ialeletrioparaumapaitorilndrioparaqualquer
valor de exentriidade. Para isto, prouramos uma
transforma~aoonforme(TC)queleveageometrian~
ao-on^entria auma ondeosrulosest~aoon^entrios,
para ent~ao esrever uma rela~ao para o potenial
se-melhante a da equa~ao (7), porem om depend^enia
naexentriidade. Apartirda,questionamosqualeo
omportamentodaapait^aniaemfun~aoda
exentri-idade. Oestudante quen~aoestiverfamiliarizadoom
ateniada TCpode enontrarno livrodo Churhill
[2℄edoArfken[3℄uma boaleitura.
De aordo om [4 e 5℄, existe uma transforma~ao
onforme que leva a geometria de dois rulos n~ao
on^entrios (PLANO Z) a uma onde eles est~ao
on^entrios(PLANOW), dadapor:
W = aZ+b
bZ+a
W = a
Z+b
b
Z+a
(11)
ujainversae
Z=
aW b
bW+a
(12)
onde a e b s~ao par^ametros que dependem da
on-gura~ao dos rulos e as barras signiam omplexos
onjugados. Oleitorpodeveriar omoospontosdo
PlanoZ s~ao mapeadosno PlanoW, simplesmente
o-loando asoordenadas(x;y) em Z e obter as
orres-pondentesoordenadas(u;v)deW(vejaAp^endiepara
veriaromo (x;y) serelaionamom (u;v)). Na
-gura2ilustramosatransforma~ao.
A ondi~ao para que exista a TC e a sua inversa,
para todos pontos do plano, e que a 2
b 2
6= 0. Se
a 2
=b 2
, atranforma~ao (10)torna-seuma onstante.
A esolhadeque oruloexternotenharaio unitario
determina que Z
Z = 1 (equa~ao do rulo entrado
na origem em variaveis omplexas) e isto implia que
W
W =1paraesterulo,logor
1 =R
1
=1. Antesda
TC,orulointernoedadopela equa~ao,
(Z+Æ)
Z+Æ
=r 2
2
(13)
edepoisdaTC,aequa~aoparaorulointernoe
W
W =r 02
(14)
Consequentenente, om essas ondi~oes eapos
ex-tensasmanipula~oesalgebrias,hegamosa:
r 02 = 1 2r 2 2 1 2Æ 2 +(Æ 2 r 2 2 ) 2 q
[( 1 2Æ 2
)+(Æ 2 r 2 2 ) 2 ℄ 2 4r 4 2 (15) a 2 = 1+ r 02 (Æ 2 r 2 2 )
(1+r 2
2 Æ
2
)( 1 r 02 ) (16) b 2 = (r 02 +Æ 2 r 2 2 )
(1+r 2
2 Æ
2
)( 1 r 02
)
(17)
d
Figura 2. Ilustra~ao esquematia de uma transforma~ao
onforme que leva dois rulos ex^entrios a dois
on^entrios. O raio interno r2 e transformado emr 0
en-quantooraioexternor1 etransformadoparaR1.
estabeleendouma depend^eniaexplitader 0
em
ter-mos dos par^ametros (r
2
;Æ). Note-se que a igualdade
Æ=0implia emr 0
=r
2
, a=1, b =0 eaTC se
tornaatransforma~aoidentidadeZ=W.
UmavezqueosprinipaispassosdaTCest~ao
apre-sentados, aapait^ania por unidade de omprimento
para o apaitor ilndrio ex^entrio pode ent~ao ser
alulada. Isto e, quando apliamos a T.C, o raio
interno passa assumir o valor r, e os ilndros am
on^entrios. Nestaongura~ao,aapait^aniaedada
pelaequa~ao(9)eereesritaomo:
C 0 = 2" 0 ln 1 0 (18)
mostrando que C 0
= f(r 0
(r
2
;Æ)) e que depende
por-tanto, impliitamente,daexentriidadeÆ.
Paraqueoleitorpossater umpouomais de
on-tato om a algebra omplexa da TC, apresentamos
um ap^endie na Se~ao IV, relaionando as variaveis
do plano omplexo W, que representa a geometria
on^entria,omasvariaveisdoplanoomplexoZ,que
representaageometrian~ao-on^entria.
III Resultados e Conlus~oes
Comrela~aoaequa~ao(18),nosobservamosque,para
todo r 0
< 1; se r 0
derese, a apait^ania derese.
O ontrario tambem se veria: se r 0
rese, a
apa-it^aniaaumenta. Paraolimite r 0
=1,querepresenta
o aso quando asplaas est~ao em ontato, aequa~ao
(18)n~aoestadenidapoisC 0
tendeaoinnito.
Embora seja onheido que a apait^ania sempre
reseomaaproxima~aodeondutoresdeargas
opos-tas, neste sistema a medida que o rulo interno se
aproxima doruloexterno pela esquerda, oma
va-ria~ao daexentriidade Æ, ele seafasta dorulo
ex-terno peladireita. Issotornainteressanteo estudo da
apait^aniadestesistema.
Umpontoimportanteeentenderarela~aoentrer 0
e os par^ametros ( r
2
;Æ) . A Fig. 3mostra um grao
der 0
(raiointernotransformado)ontra r
2
(raio
onde observamos que r 0
e sempre maior que r
2 . Nos
usamosvariosvaloresparaÆparahearesteresultado
eobservamospara qualquerÆ, r 0
>r
2 .
A exentriidade ontribui na equa~ao (18)
forne-endoumvalorder 0
maiordoquer
2
,edeaordoom
aanalise anterior aapait^aniapor unidade de
om-primentoseramaiorqueoasoon^entrio
orrespon-dente,oqualontribuiomr
2
naequa~ao(18). AFig.
4 mostra a apait^ania omo fun~ao do raio interno
paraumapaitoron^entrioeex^entrio.
Figura3. Graodaequa~ao(15),r 0
omofun~aoder2 omovalordeÆ=0:5xado. Observamosquer 0
esempremaior
quer2. Aretade45 o
eparafailitaravisualiza~ao.
Figura 4. A apait^ania por unidadede omprimento omo fun~aode r
2
para as duasongura~oes, a on^entria e a
ex^entria. Paraadavalorder2,oex^entrioontribuiomr 0
Consequentemente, e possvel melhorar a
perfor-mane do apaitor sem propriamente fazer uma
mudana geometria; as plaas ontinuam sendo
ilndrias, mas dispostas de maneira diferente. Este
resultado pode serheado experimentalmente e pode
serdeinteressepara odesenvolvimento de
omponen-tes eletr^onios. Os alulos aqui apresentados servem
de suporte teorio para guiar uma montagem
experi-mental amdemedir aapait^aniadeumapaitor
ilndrioex^entrio.
Paraonluir,queremosenfatizarqueosnossos
re-sultados permitemeonomizar material naonstru~ao
deumapaitor ilndrio. Suponha-seque oobjetivo
seja obter um apaitor om uma determinada
apa-it^ania C, porexemplo. Isso pode seralanadopor
dois aminhos, um om a geometria on^entria para
um dado raio interno R
2
, e outro om a geometria
ex^entriaparaumraiointernor
2 <R
2
,oqual,quando
teoriamente transformado,produziraoR
2
desejadoe
amesmaapait^aniaC. Ouseja,aapait^aniapode
serampliada eaquantidadede material para
ons-truir asplaas do apaitor pode serreduzida om a
geometriaex^entria.
IV Ap^endie
Aseguir,fazemosumquadroindiandoasvariaveisnas
duasgeometrias: asoon^entrioeex^entrio.
PLANOW
(Con^entrio)
PLANOZ
(Ex^entrio)
W =u+iv Z=x+iy
u;v x;y
r; ;'
u=ros x=os'
v=rsin y=sin'
Tabela1. VariaveisreferentesaoPLANOWe
PLANOZ.
A partir desta tabela, fazemos onex~oes entre
as variaveis do plano on^entrio (PLANO W) e
ex^entrio(PLANOZ).
Esrevemos as variaveis polares do PLANO W
(Con^entrio) em fun~ao das variaveis polares do
PLANOZ.Paraisto,utilizamosarela~ao(10),
W = aZ+b
bZ+a
(19)
MasomoZ =x+iy e W =u+iv ent~aoobtemos,
W =(u+iv)=
a(x+iy)+b
b(x+iy)+a
(20)
oquenosda,
u = ab(x
2
+y 2
)+ab+(a 2 +b 2 )x b 2 (x 2 +y 2
)+2abx+a 2 (21) v = a 2 b 2 y b 2 (x 2 +y 2
)+2abx+a 2
(22)
Substituindo asrela~oes x =os'e y =sin' nas
rela~oes(20)e(21)aima,obtemos:
u = ab
2
+ab+(a 2
+b 2
)os'
b 2
2
+2abos'+a 2 (23) v = a 2 b 2 sin' b 2 2
+2abos'+a 2
(24)
Sabendoque r 2
=u 2
+v 2
e tan = v
u
, hegamos as
express~oesseguintes:
r 2 = a 2 2
+2abos'+b 2
b 2
2
+2abos'+a 2 (25) =tan 1 sin'(a 2 b 2 ) ab( 2
+1)+os'(a 2 +b 2 ) (26)
que determinam as rela~oes que transformam as
variaveispolaresdoPLANOZn~ao-on^entrioomas
doPLANOon^entrioW.
Poroutro lado, uma vez que existe a TC inversa,
podemos obter as variaveis do PLANO Z em termos
daquelas do PLANO W. As equa~oes s~ao analogas as
equa~oes(22),(23),(24)e(25).
Utilizamosagoraaequa~ao(12):
Z =
aW b
bW+a
(27)
ComW =u+iv eZ =x+iy a
equa~ao(12)a:
Z=(x+iy)=
a(u+iv) b
b(u+iv)+a
(28)
oquenosda:
x =
ab(u 2
+v 2
) ab+(a 2 +b 2 )u b 2 (u 2 +v 2
) 2abu+a 2 (29) y = (a 2 b 2 )v b 2 (u 2 +v 2
) 2abu+a 2
(30)
Substituindoasrela~oesu=rosev=rsinnas
rela~oes(27)e(28)aimaobtemos:
x = abr
2
ab+(a 2 +b 2 )ros b 2 r 2
2abros+a 2 (31) y = (a 2 b 2 )rsin b 2 r 2
2abros+a 2
(32)
Sabendo que 2
=x 2
+y 2
etan' = y
x
, hegamos
asseguintesrela~oesinversas:
2
= a
2
r 2
2abros+b 2
b 2
r 2
2abros+a 2
(34)
'=tan 1
rsin a 2
b 2
ros( a 2
+b 2
) ab(r 2
+1) !
(35)
que transformam as variaveis polares do PLANO Z
(N~ao-Con^entrio)eoPLANOW (Con^entrio).
Agradeimentos
AgradeemosaoapoionaneirodaFapespna
on-ess~aodaBolsadeIniia~aoCientaidentiadapelo
Proesso00/01304-3.
Refer^enias
[1℄ P.Lorrain,D.R.CorsonEletromagnetiFieldsand
Wa-ves2 a
ed.(1970),W.H.FreemanandCompanyNY.
[2℄ R.V.Churhill,VariaveisComplexasesuasAplia~oes,
(1975)MGraw-Hill,SP.
[3℄ G.B. Arfken, H.J. Weber, Mathematial Methods for
Physiists4 a
ed.(1995),AademiPress,NY.
[4℄ O.Bohigas,D.Boose,R.EgydiodeCarvalho,V.
Mar-vulle,Nul.PhysA560(1993)197.
[5℄ H. Kober Ditionary of Conformal Representations,
