MicroFinanceira Slide2 Revisao

(1)

Microeconomia Financeira

Jos ´e Guilherme de Lara Resende

Departamento de Economia – UnB Agosto 2019

(2)

T ´opicos

1 Revis ˜ao Matem ´atica

Conjuntos Func¸ ˜oes

Derivaç ão e Integraç ão

2 _{Revis ão Estat´ıstica} Conceitos Iniciais Vari áveis Aleat órias

Esperanc¸a e Outros Momentos 3 _{Modelando Ativos com Risco}

Introduc¸ ˜ao Exemplos

Princ´ıpio da Diversificac¸ ˜ao

(3)

T ´opicos

2 _{Revis ˜ao Estat´ıstica}

Conceitos Iniciais Vari ´aveis Aleat ´orias

Esperanc¸a e Outros Momentos

3 _{Modelando Ativos com Risco} Introduc¸ ˜ao

Exemplos

(4)

T ´opicos

3 _{Modelando Ativos com Risco}

(5)

T ´opicos

Conjuntos

Func¸ ˜oes

(6)

Conjuntos

Seja U oconjunto universo(ouconjunto fundamental) de

elementos em consideraç ão (por exemplo, U = N, U = R, etc). O conjunto universo deve sempre ser especificado (por ém muitas vezes é deixado subentendido).

Definiç ão: Conjunto. Umconjunto é uma coleç ão de elementos de U.

Conjuntos podem ser descritos ou elencando todos os seus elementos ou por meio de uma propriedade que seus elementos satisfazem.

(7)

Alguns Conceitos

A notaç ão x ∈ A significa que o elemento x pertence ao conjunto A (relaç ão de pertin ência).

Note que oelementox ´e diferente do conjunto {x}, formado

apenas por x (vale x ∈ {x}).

Dizemos que o conjunto {x} ´e umconjunto unit ´ario, pois

cont ´em um ´unico elemento, x.

Oconjunto vazio∅ n ˜ao tem elementos.

Por exemplo, o conjunto {x ∈ R | x > 0 e x < 0}, definido por propriedades que seus elementos devem satisfazer, é um conjunto vazio, j á que nenhum n úmero real é ao mesmo tempo positivo e negativo.

(8)

Subconjuntos e Igualdade entre Conjuntos

Definiç ão: Subconjunto. A ⊂ B significa que se x ∈ A, ent ão

x∈ B.

Definic¸ ˜ao: Igualdade entre Conjuntos. A = B significa que

A⊂ B e B ⊂ A.

Logo, para provarmos que A e B s ão iguais, devemos mostrar que A est á contido em B e tamb ém que B est á contido em A.

(9)

Uni ão e Interseç ão de Conjuntos

Auni ˜aoA∪ B entre os conjuntos A e B ´e definida por:

A∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ou x ∈ B}.

Ainterseç ãoA∩ B entre os conjuntos A e B é definida por:

A∩ B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∈ B}.

(10)

Diferenc¸a de Conjuntos

Adiferenc¸aA\ B do conjunto A com B ´e definida por: A\ B = {x ∈ U | x ∈ A e x /∈ B}.

OcomplementoAc do conjunto A ´e definido por: Ac= U \ A = {x ∈ U | x /∈ A}.

Logo, A ∪ Ac _{= U} _{e A ∩ A}c _{= ∅.}

(11)

Diagramas de Venn

Diagramas de Vennconstituem uma ferramenta bastante útil para visualizar conjuntos e que auxiliam a verificaç ão da validade de certas propriedades, como as listadas abaixo.

No diagrama de Venn a seguir, a ´area (A ∪ B) \ (A ∩ B) est ´a hachurada.

N ão é dif´ıcil perceber que o conjunto (A \ B) ∪ (B \ A) gera exatamente a mesma área hachurada, o que indica que os conjuntos (A ∪ B) \ (A ∩ B) e (A \ B) ∪ (B \ A) s ão iguais.

(12)

Exemplo de Diagrama de Venn

A B

U

(13)

Fam´ılia de Conjuntos

Seja I um conjunto qualquer, chamadoconjunto ´ındice. Se

para todo i ∈ I existe um conjunto Ai associado a i, dizemos

que {Ai}i∈I ´e umafam´ılia de conjuntos. Se:

I = 1, 2, 3, . . . , n, escrevemos {Ai}n

i=1(fam´ılia finita de conjuntos).

I = 1, 2, 3, . . ., escrevemos {Ai}∞_i=1(n ˜ao existe A∞) (fam´ılia

infinitaenumer ´avelde conjuntos).

I ´e um conjunto de ´ındices qualquer, {Ai}i∈I (fam´ılia infinita de conjuntos).

(14)

Operac¸ ˜oes com Fam´ılias de Conjuntos

S

i∈IAi=S Ai = {x ∈ U | ∃ i ∈ Ital que x ∈ Ai}

T

i∈IAi=T Ai = {x ∈ U | x ∈ Ai∀i ∈ I}

(15)

Definic¸ ˜oes

Definiç ão: Conjuntos Disjuntos. Os conjuntos A e B s ão disjuntosse A ∩ B = ∅.

Definic¸ ˜ao: Dois-a-Dois Disjuntos. A fam´ılia de conjuntos

{A}i∈I ´edois-a-dois disjuntase Ai∩ Aj= ∅, para todo i 6= j.

Definiç ão: Partiç ão. A fam´ılia de conjuntos {A}i∈I é uma

partiç ão do conjuntoAse {A}i∈I é dois-a-dois disjunta, com

Ai6= ∅, para todo i ∈ I, eS

i∈IAi = A.

Definic¸ ˜ao: Conjunto das Partes. Seja A um conjunto

qualquer. Oconjunto das partesde A, representado por P(A)

ou por 2A_{, ´e o conjunto dos subconjuntos de A, definido como:}

P(A) = {B ⊂ U | B ⊂ A}

(16)

Alguns Resultados

(Ac₎c _{= A;} A⊂ B ⇔ Bc_{⊂ A}c_; A= ∅ ⇔ Ac= U; (A ∪ B)c _{= A}c_{∩ B}c _{(leis de Morgan);} (A ∩ B)c = Ac∪ Bc _{(leis de Morgan).}

(17)

Pares Ordenados e Produto Cartesiano

Sejam A e B conjuntos quaisquer. Oproduto cartesianode A e

B ´e definido como A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}, onde a ordem

do par (a, b) importa: (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d.

Podemos definir o produto cartesiano dos conjuntos A1, A2, . . . , AN como:

A₁× A₂× · · · × An= {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ Ai, i = 1, 2, . . . n}

Vamos usar a notac¸ ˜ao Anpara denotar o produto cartesiano

A× A × · · · × A, n vezes. Tamb ém vamos usar a notaç ão

n Y

i=1

Ai = A1× A2× · · · × An

(18)

Notac¸ ˜ao

N = {1, 2, 3, . . . } denota o conjunto dos n ´umeros naturais;

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } denota o conjunto dos n ´umeros inteiros;

Q = {p/q | p, q ∈ Z, q 6= 0} denota o conjunto dos n ´umeros

racionais;

R denota o conjunto dos n ´umeros reais.

I denota o conjunto dos n ´umeros irracionais, em que

I = R \ Q.

(19)

T ´opicos

Conjuntos

Func¸ ˜oes

(20)

Definic¸ ˜ao

Definiç ão: Funç ão. Umafunç ão f : A → B é uma regra que

associa a cada elemento de A um´unicoelemento de B.

Uma funç ão é caracterizada:

1) pelo conjunto A, chamado dom´ınio;

2) pelo conjunto B, chamadocontra-dom´ınio; e 3) pela regra de associac¸ ˜ao x 7−→ f (x).

(21)

Definic¸ ˜ao

1) pelo conjunto A, chamadodom´ınio;

2) pelo conjunto B, chamado contra-dom´ınio; e 3) pela regra de associac¸ ˜ao x 7−→ f (x).

(22)

Definic¸ ˜ao

1) pelo conjunto A, chamadodom´ınio;

2) pelo conjunto B, chamadocontra-dom´ınio; e

3) pela regra de associac¸ ˜ao x 7−→ f (x).

(23)

Igualdade entre Func¸ ˜oes

Portanto, as funç ões f : A → B e g : C → D s ão iguais se, e somente se, A = C, B = D e f (x) = g(x), para todo x ∈ A.

Ou seja, para mostramos que duas funç ões s ão iguais temos que mostrar que o dom´ınio, o contradom´ınio e a regra de associaç ão que elas definem s ão iguais.

(24)

Definic¸ ˜oes Auxiliares

1 _{Se ˜}_A_{⊂ A, chamamos}

f(Ã) = {y ∈ B | ∃x ∈ Ãtal que f (x) = y} aimagemde Ãpor

f : A → B. O conjunto

f(A) = {y ∈ B | ∃x ∈ Atal que f (x) = y}, onde A ´e o

dom´ınio de f , ´e chamado apenas de aimagemde f .

2 _{Se ˜}_B∈ B, chamamos f−1_(˜_{B) = {x ∈ A | f (x) ∈ ˜}B} a_imagem

inversade ˜B por f : A → B.

(25)

Func¸ ˜oes Injetivas e Sobrejetivas

f : A → B é funç ãoinjetiva(ou biun´ıvoca) se para todo x, y ∈ Atais que f (x) = f (y), ent ão x = y (ou, de modo equivalente, se x 6= y, ent ão f (x) 6= f (y)).

f : A → B é funç ãosobrejetivase f (A) = B (ou seja, ∀z ∈ B, ∃x ∈ A tal que f (x) = z).

f : A → B é funç ãobijetivase é injetiva e sobrejetiva.

(26)

Exemplo

A funç ão f (x) = x2 é injetiva? É sobrejetiva? Observe que n ão descrevemos completamente a funç ão f (n ão sabemos o seu dom´ınio nem o seu contradom´ınio). Logo n ão podemos responder essas perguntas. Por exemplo, se:

f _{: R → R, f (x) = x}2, ent ão f n ão é nem injetiva nem sobrejetiva.

f _{: R}+→ R, f (x) = x2, ent ão f é injetiva mas n ão é

sobrejetiva.

f _{: R → R}+, f (x) = x2, ent ão f n ão é injetiva mas é

sobrejetiva.

f _{: R+}_{→ R+, f (x) = x}2, ent ˜ao f ´e injetiva e sobrejetiva (bijetiva).

(27)

Exemplo

f _{: R+}_{→ R, f (x) = x}2, ent ão f é injetiva mas n ão é sobrejetiva.

f _{: R → R}+, f (x) = x2, ent ão f n ão é injetiva mas é

sobrejetiva.

f _{: R}+→ R+, f (x) = x2, ent ˜ao f ´e injetiva e sobrejetiva

(bijetiva).

(28)

Exemplo

f _{: R → R+, f (x) = x}2, ent ão f n ão é injetiva mas é sobrejetiva.

f _{: R}+→ R+, f (x) = x2, ent ˜ao f ´e injetiva e sobrejetiva

(bijetiva).

(29)

Exemplo

f _{: R → R+, f (x) = x}2, ent ão f n ão é injetiva mas é sobrejetiva.

f _{: R+}_{→ R+, f (x) = x}2, ent ˜ao f ´e injetiva e sobrejetiva (bijetiva).

(30)

Composiç ão de Funç ões

Sejam f : A → B e g : B → C. A func¸ ˜ao g ◦ f , chamada

composiç ão dege f , é uma funç ão com dom´ınio A e contra-dom´ınio C, cuja regra de associaç ão é definida por g◦ f (x) = g(f (x)), para todo x ∈ A.

Exemplo: Sejam f : R → R2definida por f (x) = (x2, x − 2) e g: R2_{→ R definida por g(x, y) = xy. Ent ˜ao g ◦ f (x) = x}2_{(x − 2).}

(31)

Alguns Resultados

A composiç ão de funç ões injetivas é injetiva: Sejam f : A → Be g : B → C injetivas. Ent ão h = g ◦ f : A → C é injetiva.

A composiç ão de funç ões sobrejetivas é sobrejetiva: Sejam f : A → B e g : B → C sobrejetivas. Ent ão h= g ◦ f : A → C é sobrejetiva.

A composiç ão de funç ões bijetivas é bijetiva: Sejam f : A → Be g : B → C funç ões bijetivas. Ent ão h= g ◦ f : A → C é bijetiva.

(32)

Alguns Resultados

A composiç ão de funç ões injetivas é injetiva: Sejam

f : A → Be g : B → C injetivas. Ent ˜ao h = g ◦ f : A → C ´e

injetiva.

A composiç ão de funç ões sobrejetivas é sobrejetiva: Sejam f : A → B e g : B → C sobrejetivas. Ent ão h= g ◦ f : A → C é sobrejetiva.

(33)

Alguns Resultados

A composiç ão de funç ões injetivas é injetiva: Sejam

f : A → Be g : B → C injetivas. Ent ˜ao h = g ◦ f : A → C ´e

injetiva.

A composiç ão de funç ões sobrejetivas é sobrejetiva: Sejam f : A → B e g : B → C sobrejetivas. Ent ão

h= g ◦ f : A → C ´e sobrejetiva.

(34)

Func¸ ˜ao Inversa

Considere a func¸ ˜ao idX : X → X, definida por idX(x) = x, para

todo x ∈ X, chamadafunc¸ ˜ao identidade(em X).

Definiç ão: Inversa. A funç ão f−1: B → A é umainversade f : A → Bse f ◦ f−1= idB e f−1◦ f = idA.

Nem sempre a inversa de uma funç ão existe (exemplo: f _{: R → R, f (x) = x}2). Por ém se ela existir, ela ser á única. O resultado abaixo caracteriza a condiç ão para a exist ência de inversa:

A funç ão f possui inversa se, e somente se, é bijetiva.

(35)

Conjuntos Finitos e Infinitos

Definiç ão: Conjunto Finito. Dizemos que o conjunto X éfinito

quando for vazio ou quando tiver um n ´umero finito de elementos.

Quando X for finito, podemos descrev ˆe-lo como

X= {x1, x2, . . . , xn}, em que n é on úmero de elementos(ou n úmero cardinal ou cardinalidade) em X.

Definiç ão. Um conjunto éinfinitoquando ele n ão for finito. Logo, um conjunto X é infinito quando ele n ão for vazio e n ão possuir um n úmero finito de elementos, ou seja, n ão for poss´ıvel enumerar seus elementos de maneira finita.

(36)

Conjuntos Enumer ´aveis

Definiç ão: Conjunto Enumer ável. O conjunto A é

enumer ável(oucont ável) se for poss´ıvel listar todos os seus elementos de acordo com uma contagem. Portanto, podemos escrever A como A = {x1, x2, . . . }, ou de modo finito ou de modo infinito. Se A for enumer ável n ão finito, dizemos que é um conjunto infinito enumer ável.

Existem conjuntos infinitos tais que o n úmero de elementos é t ão grande que n ão podem ser listados em uma enumeraç ão. Um exemplo é o intervalo [0, 1] da reta real. Isso significa que existem (pelo menos) dois tipos de infinito relacionados a tamanhos de conjuntos, infinito enumer ável e infinito n ão-enumer ável.

(37)

Exemplos

Todo subconjunto X ⊂ N ´e enumer ´avel.

Os conjuntos N, Z e Q s ˜ao enumer ´aveis.

O intervalo [0, 1] da reta real n ão é enumer ável.

O conjunto R n ão é enumer ável. O conjunto dos n úmeros irracionais (I = R\Q) n ão é enumer ável.

(38)

Exemplos

(39)

Exemplos

(40)

Exemplos

(41)

T ´opicos

(42)

Derivac¸ ˜ao

Definic¸ ˜ao: Derivada de f em a. Sejam I ⊂ R um intervalo,

f : I → R. Aderivada de f no ponto a ´e definida pelo limite:

lim x→a f(x) − f (a) x− a = limh→0 f(a + h) − f (a) h ,

caso esse limite exista. Nesse caso, dizemos que f ´e deriv ´avel

no pontoa. Se o limite n ão existir, dizemos que f n ão é deriv ável no ponto a.

Se f ´e deriv ´avel em a, denotamos a sua derivada por f0(a), ou

(df /dx)(a). Se existir a derivada de f em todos os pontos do seu dom´ınio, dizemos que f : X → R ´e deriv ´avel no conjunto X

e obtemos uma nova func¸ ˜ao f0 _{: X → R.}

(43)

Derivac¸ ˜ao

Considere f : [a, b] → R. Denotamos f0∈ C[a, b] se f0for

cont´ınua em todo o intervalo [a, b]).

Neste caso dizemos que f ´econtinuamente diferenci ´avel. A

classe das funç ões reais continuamente diferenci áveis em [a, b] é denotada por C1_{[a, b].}

Dizemos que f : [a, b] → R ´eduas vezes continuamente

diferenci ´avelse f0 ∈ C1_{[a, b].}

Para qualquer k ∈ N, definimos o conjunto Ck_{[a, b], das func¸ ˜oes}

k-vezes continuamente diferenci ´aveis, de modo indutivo.

(44)

Exemplos

Toda funç ão constante é deriv ável, com derivada igual a zero em todo ponto.

Se f : R → R ´e definida por f (x) = cx + b, ent ˜ao f0(x) = c, para todo x ∈ R.

Dado n ∈ N qualquer, f : R → R definida por f (x) = xn_{, ´e}

deriv ´avel em todo ponto do seu dom´ınio e f0(x) = nxn−1.

(45)

Exemplos

Dado n ∈ N qualquer, f : R → R definida por f (x) = xn_{, ´e}

deriv ´avel em todo ponto do seu dom´ınio e f0(x) = nxn−1.

(46)

Exemplos

Dado n ∈ N qualquer, f : R → R definida por f (x) = xn_{, ´e} deriv ´avel em todo ponto do seu dom´ınio e f0(x) = nxn−1.

(47)

Resultados

Resultados. Sejam f , g : X → R deriv ´aveis no ponto a ∈ X. As

funç ões f ± g, f · g e f /g (com g(a) 6= 0) s ão tamb ém deriv áveis no ponto a, e as derivadas dessas funç ões s ão:

(f ± g)0(a) = f0(a) ± g0(a)

(f · g)0(a) = f0(a) · g(a) + f (a) · g0(a) f

g 0

(a) = f

0_{(a) · g(a) − f (a)g}0_(a) g(a)2

Regra da Cadeia. Sejam f : X → R, g : Y → R, a ∈ X, b ∈ Y, F(X) ⊂ Y e f (a) = b. Se f é deriv ável no ponto a e g é deriv ável no ponto b, ent ão h = g ◦ f : X → R é deriv ável no ponto a e:

h0(a) = (g ◦ f )0(a) = g0(f (a)) · f0(a) . Jos é Guilherme de Lara Resende Revis ão Matem ática e Estat´ıstica

(48)

Resultados

Resultados. Sejam f , g : X → R deriv ´aveis no ponto a ∈ X. As

funç ões f ± g, f · g e f /g (com g(a) 6= 0) s ão tamb ém deriv áveis no ponto a, e as derivadas dessas funç ões s ão:

(f ± g)0(a) = f0(a) ± g0(a)

(f · g)0(a) = f0(a) · g(a) + f (a) · g0(a) f

g 0

(a) = f

0_{(a) · g(a) − f (a)g}0_(a) g(a)2

Regra da Cadeia. Sejam f : X → R, g : Y → R, a ∈ X, b ∈ Y,

F(X) ⊂ Y e f (a) = b. Se f é deriv ável no ponto a e g é deriv ável no ponto b, ent ão h = g ◦ f : X → R é deriv ável no ponto a e:

h0(a) = (g ◦ f )0(a) = g0(f (a)) · f0(a) .

(49)

Func¸ ˜ao Inversa

Exemplo. Dada f : R → R deriv ável, considere as funç ões

g_{, h : R → R definidas por g(x) = f (x}2)e h(x) = f (x)2_{. Para todo} x_{∈ R, a regra da cadeia implica que g}0(x) = f0(x2) · 2x e

h0(x) = 2f (x) · f0(x).

Funç ão Inversa. Sejam X, Y ⊂ R e f : X → Y uma bijeç ão com inversa f−1: Y → X. Se f é deriv ável no ponto a ∈ X e f−1 é cont´ınua no ponto b = f (a), ent ão f−1 é deriv ável no ponto b se, e somente se, f0(a) 6= 0. Nesse caso, temos que

(f−1)0(b) = 1/f0(a).

(50)

Func¸ ˜ao Inversa

Exemplo. Dada f : R → R deriv ável, considere as funç ões

g_{, h : R → R definidas por g(x) = f (x}2)e h(x) = f (x)2_{. Para todo} x_{∈ R, a regra da cadeia implica que g}0(x) = f0(x2) · 2x e

h0(x) = 2f (x) · f0(x).

Funç ão Inversa. Sejam X, Y ⊂ R e f : X → Y uma bijeç ão com

inversa f−1: Y → X. Se f é deriv ável no ponto a ∈ X e f−1 é cont´ınua no ponto b = f (a), ent ão f−1 é deriv ável no ponto b

se, e somente se, f0(a) 6= 0. Nesse caso, temos que

(f−1)0(b) = 1/f0(a).

(51)

Derivac¸ ˜ao

Sejam f : X → R e a ∈ X. Dizemos que a ´e um:

M ´aximo local de f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.

M ´aximo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.

M´ınimo localde f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.

M´ınimo local estritode f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.

M áximo global(ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo x∈ X. Dizemos que a é um m áximo global estrito de f se f(x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.

M´ınimo global(ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f(a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.

(52)

Derivac¸ ˜ao

M ´aximo localde f se existir δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.

M ´aximo local estrito de f se existir δ > 0 tal que f (x) < f (a) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.

(53)

Derivac¸ ˜ao

M´ınimo local de f se existir δ > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ X, |x − a| < δ.

(54)

Derivac¸ ˜ao

M´ınimo local estrito de f se existir δ > 0 tal que f (a) < f (x) para todo x ∈ X, 0 < |x − a| < δ.

(55)

Derivac¸ ˜ao

M áximo global (ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo x∈ X. Dizemos que a é um m áximo global estrito de f se f(x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.

(56)

Derivac¸ ˜ao

M ´aximo global(ou absoluto) de f se f (x) ≤ f (a) para todo

x∈ X. Dizemos que a ´e um m ´aximo global estrito de f se

f(x) < f (a), para todo x ∈ X \ {a}.

M´ınimo global (ou absoluto) de f se f (a) ≥ f (x) para todo x∈ X. Dizemos que a ´e um m´ınimo global estrito de f se f(a) < f (x), para todo x ∈ X \ {a}.

(57)

Derivac¸ ˜ao

Resultado. Seja f : [a, b] → R deriv ´avel no intervalo aberto

limitado (a, b) e suponha que f assume um m ´aximo (ou m´ınimo) em algum x ∈ (a, b). Ent ˜ao f0(x) = 0.

Definiç ão: Ponto Cr´ıtico. Dizemos que c ∈ X é umponto cr´ıticoda funç ão deriv ável f : X → R quando f0(c) = 0.

(58)

Derivac¸ ˜ao

Todo ponto c ∈ (a, b) que é ponto de m áximo ou m´ınimo local é um ponto cr´ıtico (ou seja, estamos assumindo que

f _{: [a, b] → R ´e diferenci ´avel em c).}

Por ém nem todo ponto cr´ıtico c ∈ (a, b) ser á um ponto de m áximo ou m´ınimo local.

Por exemplo, para f : R → R dada por f (x) = x3_{, x = 0 ´e um}

ponto cr´ıtico de f , mas n ão é nem m´ınimo nem m áximo local de f .

(59)

Resultados

Se para f : I → R cont´ınua no intervalo I temos que f0(x) = 0 para todo x ∈ int I, ent ão f é funç ão constante. Se f , g : I → R cont´ınuas no intervalo I = [a, b] s ão

deriv áveis em (a, b) com f0(x) = g0(x), para todo x ∈ (a, b), ent ão existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c, para todo x ∈ I. A funç ão deriv ável f : I → R émon ótona n ão-decrescente (mon ótona n ão-crescente)no intervalo I ⊂ R se, e

somente se, f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) para todo x ∈ I. Se f0(x) > 0 (f0(x) < 0) para todo x ∈ I, ent ão f é uma bijeç ão crescente (decrescente) sobre um intervalo J e sua inversa f−1: J → I é deriv ável, com (f−1)0(y) = 1/f0(x), para todo y = f (x) ∈ J.

(60)

Resultados

Se para f : I → R cont´ınua no intervalo I temos que f0(x) = 0 para todo x ∈ int I, ent ão f é funç ão constante.

Se f , g : I → R cont´ınuas no intervalo I = [a, b] s ˜ao

deriv áveis em (a, b) com f0(x) = g0(x), para todo x ∈ (a, b), ent ão existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c, para todo x ∈ I. A funç ão deriv ável f : I → R émon ótona n ão-decrescente (mon ótona n ão-crescente)no intervalo I ⊂ R se, e

(61)

Resultados

Se para f : I → R cont´ınua no intervalo I temos que f0(x) = 0 para todo x ∈ int I, ent ão f é funç ão constante. Se f , g : I → R cont´ınuas no intervalo I = [a, b] s ão

deriv ´aveis em (a, b) com f0(x) = g0(x), para todo x ∈ (a, b), ent ˜ao existe c ∈ R tal que g(x) = f (x) + c, para todo x ∈ I.

A funç ão deriv ável f : I → R é mon ótona n ão-decrescente (mon ótona n ão-crescente) no intervalo I ⊂ R se, e

(62)

Integrac¸ ˜ao

Aintegralde uma funç ão f : [a, b] → R determina a área sob a curva definida por f no plano cartesiano. O m étodo de calcular a integral de uma funç ão é chamadointegraç ão.

Definic¸ ˜ao: Integral de Riemann. Seja f : [a, b] → R uma

funç ão cont´ınua. A funç ão f éintegr ávele o n úmero:

Z b

a

f(x) dx

´e aintegral(de Riemann) de f em [a, b] (ou integral definida ou

apenas integral). Dizemos que f (x) ´e ointegrando, a ´e olimite

inferior, b é olimite superior, e dx denota que estamos integrando com relaç ão à vari ável x.

(63)

Propriedades

1 _{Seja α ∈ R e considere f : [a, b] → R cont´ınua. Se f ´e integr ´avel,}

ent ão αf tamb ém é, e Z b a αf (x) dx = α Z b a f(x) dx .

2 _{Mais geralmente, sejam α, β ∈ R e considere f , g : [a, b] → R}

cont´ınuas. Se f e g s ão integr áveis, ent ão αf + βg tamb ém é, e Z b a [αf (x) + βg(x)] dx = α Z b a f(x) dx + β Z b a g(x) dx .

3 _{Seja c ∈ [a, b] qualquer e considere f : [a, b] → R cont´ınua. Se f}

é integr ável, ent ão: Z b a f(x) dx = Z c a f(x) dx + Z b c f(x) dx .

(64)

Algumas Regras de Integrac¸ ˜ao

Seja f (x) = α uma funç ão constante. Ent ão:

Z b a α dx = α Z b a 1 × dx = α [x|b_a= α [b − a] .

Seja f (x) = xk_{. Ent ˜ao:}

Z b a xkdx= x k+1 k+ 1 b a = b k+1 k+ 1− ak+1 k+ 1.

(65)

Exemplo

Z 2 0 8x3_{+ 12x}2_{− 2 dx =} Z 2 0 8x3dx+ Z 2 0 12x2dx+ Z 2 0 (−2) dx = 8 Z 2 0 x3dx+ 12 Z 2 0 x2dx− 2 Z 2 0 1 dx = 8 x 4 4 2 0 + 12 x 3 3 2 0 − 2 [x|2₀ = 8 16 4 − 0 4 + 12 8 3 − 0 3 − 2 [2 − 0] = 32 + 32 − 4 = 60 .

(66)

Exemplo

(67)

Exemplo

(68)

Exemplo

(69)

Exemplo

(70)

Teorema Fundamental do C ´alculo

Teorema Fundamental do C álculo. Seja f uma funç ão

cont´ınua definida no intervalo fechado [a, b]. Se a funç ão F é definida por:

F(x) = Z x

a

f(t) dt ,

ent ão F0(x) = f (x)para todo x ∈ [a, b]. Uma funç ão F com essa

propriedade ´e chamadaprimitivaouantiderivadade f . Se F for

uma primitiva de f , ent ˜ao:

Z b

a

f(x) dx = F(b) − F(a) .

(71)

Conferindo

Se houver d úvida de qual é a integral de alguma funç ão, derive a primitiva tomada como a integral.

Por exemplo, como:

d(xk+1/(k + 1))

dx =

(k + 1)x(k+1)−1

k+ 1 = x

k_,

isso confirma que xk+1_{/(k + 1) ´e a primitiva de x}k_.

(72)

Integrais M ´ultiplas

Considere uma funç ão real f : R2_{→ R de duas vari áveis.}

Logo, f leva o par (x, y) a um n ´umero real.

Podemos integrar f com relaç ão a cada uma das suas vari áveis.

Neste caso, é necess ário resolverintegrais m últiplas, onde integramos cada vari ável por vez, usando as regras acima.

(73)

Integrais M ´ultiplas

Exemplo. Suponha que a func¸ ˜ao densidade de probabilidade

conjunta da vari ´avel aleat ´oria bidimensional (X, Y) seja dada por:

f(x, y) = kx(x − y) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2

Encontre o valor k que garante que f (x, y) seja de fato uma func¸ ˜ao de densidade conjunta.

Para que f (x, y) seja de fato uma funç ão de densidade de probabilidade conjunta, a integral de f (x, y) com relaç ão às duas vari áveis x e y para a regi ão descrita deve ser igual a 1:

Z 2

0

Z 2

0

kx(x − y) dy dx = 1 .

(74)

T ´opicos

Conceitos Iniciais

Vari ´aveis Aleat ´orias

(75)

Experimentos Aleat ´orios

Na natureza existem fen ˆomenos imprevis´ıveis, tamb ´em

chamadosaleat ´orios. Umexperimento aleat ´orioproduz um

resultado, dentre v ários resultados poss´ıveis. Mesmo que as condiç ões iniciais de um experimento sejam replicadas, n ão podemos afirmar qual resultado final ocorrer á.

Exemplos de experimentos aleat ´orios:

1 _{Lanc¸ar uma moeda. Resultados: Cara, Coroa.}

2 _{Lanc¸ar um dado. Resultados: 1,2,3,4,5,6.}

3 _{Retirar uma carta de um baralho.}

4 _{Determinar a vida ´util de uma l ˆampada.}

(76)

Espac¸o Amostral

Oespaço amostralde um experimento aleat ório é o conjunto de todas as ocorr ências poss´ıveis associadas a esse

experimento. A convenç ão mais usada em estat´ıstica é

representar o espaço amostral por S ou pela letra grega ômega mai úscula, Ω. Vamos estabelecer essa definiç ão abaixo.

Definiç ão: Espaço Amostral. Oespaço amostralScont ém todos os resultados de um experimento.

Exemplos: Lanc¸amento de uma moeda: S = {Cara, Coroa}.

Lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lançamento simult âneo de duas moedas:

S= {(Cara, Cara); (Cara, Coroa); (Coroa, Cara); (Coroa, Coroa)}.

(77)

Eventos

Definiç ão: Eventos. Um evento é qualquer subconjunto do

espac¸o amostral S.

Em particular, o evento ∅ ´e chamadoevento imposs´ıvel, S ´e

chamadoevento certo, e {s} ⊆ S ´e chamadoevento simples

(ouponto amostralouestado da natureza).

Umevento aleat ´orio pode consistir de apenas um ponto

amostral ou de um conjunto de pontos amostrais. Para espaços amostrais infinitos pode n ão ser poss´ıvel que todo subconjunto do espaço amostral seja um evento. Por ém, no caso de espaços amostrais finitos isso n ão é um problema: todo subconjunto do espaço amostral pode ser visto como um

evento e ter umaprobabilidadeassociada a ele.

(78)

Exemplo de Eventos

Exemplo: Lanc¸ar um dado. Temos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

S ão tamb ém eventos aleat órios: A: sair face par (A = {2, 4, 6});

B: sair face menor que 4 (B = {1, 2, 3}); C: sair face negativa (C = ∅);

D: sair face maior que 5 (D = {6});

E: sair face maior que zero (E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S).

(79)

Eventos Mutualmente Excludentes

Quando dois eventos A e B forem disjuntos (A ∩ B = ∅) ent ˜ao eles n ˜ao podem ocorrer conjuntamente.

Neste caso, ´e comum dizer que os eventos A e B s ˜ao

mutualmente excludentes(ouincompat´ıveis).

(80)

Exemplo

No exemplo de lançamento simult âneo de duas moedas, a classe de eventos aleat órios associados ao espaço amostral

S= {(Cara, Cara); (Cara, Coroa); (Coroa, Cara); (Coroa, Coroa)}

´e: P(S) =            ∅ {e1}; {e2}; {e3}; {e4} {e₁, e2}; {e1, e3}; {e1, e4}; {e2, e3}; {e2, e4}; {e3, e4} {e₁, e2, e3}; {e1, e2, e4}; {e1, e3, e4}; {e2, e3, e4} {e1, e2, e3, e4}            ,

onde e₁= (Cara, Cara), e₂ = (Cara, Coroa), e₃= (Coroa, Cara)e

e4= (Coroa, Coroa). Os eventos {e1, e2} e {e3, e4} s ˜ao mutualmente excludentes.

(81)

N ´umero de Eventos

Observe que o n úmero total de eventos cresce de modo exponencial com o n úmero de elementos em um dado espaço amostral.

Podemos mostrar que o n úmero de eventos é 2#S, onde #S é a

quantidade de pontos amostrais em S, para S finito.

(82)

Probabilidades e Frequ ˆencia Relativa

Umaprobabilidadevincula n ´umeros aos eventos do espac¸o

amostral. Tais n ´umeros expressam asfrequ ˆencias relativasde

cada evento, ou seja, a proporç ão de vezes que se espera que o evento ocorra se o experimento for repetido um grande n úmero de vezes.

Definiç ão: Frequ ência Relativa. Afrequ ência relativaf_Ando evento A obtida em n repetiç ões iguais do experimento E é

igual a nA/n, onde nA representa o n ´umero de vezes que o

evento A ocorreu nas n repetic¸ ˜oes.

(83)

Frequ ˆencia Relativa

A frequ ˆencia relativa fn

A do evento A satisfaz as seguintes

propriedades:

1 _{0 ≤ f}n

A ≤ 1;

2 _fn

A = 1 se, e somente se, A ocorrer em todas as n

repetic¸ ˜oes e fn

A = 0 se, e somente se, A ocorrer em

nenhuma das n repetic¸ ˜oes;

3 _{Se A e B forem eventos mutualmente excludentes e f}n

A∪B for a frequ ˆencia relativa associada ao evento A ∪ B, ent ˜ao f_A∪Bn = f_An+ f_Bn.

(84)

Frequ ˆencia Relativa

A frequ ência relativa de um evento depende do n úmero n de repetiç ões feitas do experimento.

A probabilidade de um evento A muitas vezes ´e vista como o n ´umero para o qual fn

A converge em um certo sentido

probabil´ıstico quando n vai para infinito.

Para os dois exemplos acima, ´e natural assumirmos que:

S= {Cara, Coroa}: p(∅) = 0, p(Cara) = p(Coroa) = 1/2 e

p(S) = 1.

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}: p(∅) = 0, p(Ai) = k/6, onde k ´e o

n ´umero de elementos no subconjunto Ai⊆ S.

(85)

Exemplos

Queremos que a func¸ ˜ao de probabilidade p : 2S _{→ [0, 1]}

satisfaça diversas propriedades que s ão intuitivas em relaç ão ao conceito de probabilidade, tais como:

1 _{p(∅) = 0, p(S) = 1,}

2 _p(Ac_{) = 1 − p(A).}

3 _{p(A ∪ B) = p(A) + p(B), se A e B s ˜ao disjuntos,}

entre outras.

(86)

Problema

Em geral, n ˜ao ´e poss´ıvel atribuir probabilidadesa todosos

eventos de um espaço amostral. Por exemplo, se S = [0, 1], ent ão n ão existe funç ão de probabilidade que satisfaça as propriedades acima e seja definida para qualquer subconjunto de [0, 1].

Portanto, precisamos em alguns casos limitar o conjunto de subconjuntos de S, para que seja poss´ıvel garantir a exist ência de uma funç ão de probabilidade sobre esse conjunto de subconjuntos. Um evento para o qual existe uma probabilidade

definida ´e chamadoevento aleat ´orio. Para isso, usamos o

conceitoσ- ´algebra, definido a seguir.

(87)

σ- ´algebra

Definiç ão: σ- álgebra. Uma σ- álgebra A de S é uma coleç ão

de subconjuntos de S tal que satisfaz:

1 _S∈ A;

2 _{Se A ∈ A, ent ˜ao A}c _{∈ A;}

3 _{Se os conjuntos A}

1, A2, . . . pertencem a A, ent ˜ao ∪∞_i=1Ai ∈ A.

(88)

Espac¸o Mensur ´avel

Suponha que S é um espaço amostral e A é uma σ- álgebra de

S, ent ão dizemos que o par (S, A) é umespaço mensur ável.

Isso quer dizer que ´e poss´ıvel garantir a exist ˆencia de uma

func¸ ˜ao de probabilidadedefinida para os subconjuntos de S

que pertenc¸am a σ- ´algebra A.

(89)

Func¸ ˜ao de Probabilidade

Definiç ão: Funç ão de Probabilidade. Seja (S, A) um espaço

mensur ável, dizemos que p : A → [0, 1] é umafunç ão de

probabilidade(ou umamedida de probabilidadeou

simplesmente umaprobabilidade) se satisfaz:

1 _{p(A) ≥ 0, para todo A ∈ A,}

2 _{p(S) = 1,}

3 _{Se os conjuntos A}

1, A2, . . . em A s ˜ao dois-a-dois disjuntos, ent ˜ao: p ∞ [ i=1 Ai ! = ∞ X i=1 p(Ai) .

(90)

Propriedades

As tr ˆes propriedades acima (chamadasaxiomas de uma

probabilidade σ-aditiva) t ˆem como consequ ˆenciatodasas outras propriedades comuns a uma probabilidade, tais como:

1 _{p(∅) = 0;}

2 _p(Ac_{) = 1 − p(A) (ou p(A) + p(A}c_{) = 1);}

3 _{0 ≤ p(A) ≤ 1;}

4 Se A ⊆ B, ent ˜ao p(A) ≤ p(B);

5 _p₍S∞

i=1Ai) ≤

P∞ i=1p(Ai);

6 _{p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).}

(91)

Espac¸o de Probabilidade

Suponha que S é um espaço amostral, A é uma σ- álgebra de S, e p é uma probabilidade em A. O trio (S, A, p) é chamado

espac¸o de probabilidade.

(92)

Probabilidade Condicional

Vamos definir por p(A | B) a probabilidade de o evento A ocorrer,

dado que o evento B ocorreu.

Chamamos p(A | B) a probabilidade de A condicional em B, que pode ser vista como a probabilidade do evento A, calculada

para oespac¸o amostral reduzidoB.

A probabilidade condicional p(A | B) é interpretada como a proporç ão de eventos A que ocorrem entre os experimentos em que ocorre o evento B.

(93)

Probabilidade Condicional

Definic¸ ˜ao: Probabilidade Condicional. Seja (S, A, p) um

espac¸o de probabilidade. Se B ∈ A e p(B) > 0, ent ˜ao a

probabilidade condicional de A dado B,p(A | B), ´e definida como:

p(A | B) = p(A ∩ B)

p(B) ∀ A ∈ A .

Se p(B) = 0, podemos definir p(A | B) = p(A) (alguns autores definem p(A | B) = 0 quando p(B) = 0).

(94)

Probabilidade Condicional ´e uma Probabilidade

Desse modo, p(· | B) ´e uma probabilidade em A. Isso significa, por exemplo, que valem as seguintes propriedades:

0 ≤ p(A | B) ≤ 1;

p(S | B) = 1, p(∅ | B) = 0; p(Ac_{| B) = 1 − p(A | B);}

p(A1∪ A2| B) = p(A1| B) + p(A2| B), se A1 e A2 forem disjuntos;

etc.

(95)

Regra de Probabilidade Composta

Observe que a definic¸ ˜ao de probabilidade condicional implica que:

p(A ∩ B) = p(A | B) p(B) = p(B | A) p(A) ,

onde estamos supondo que p(A) e p(B) s ˜ao positivos. Esse resultado pode ser generalizado na seguinte regra.

Regra de Probabilidade Composta. Temos que:

p(A1∩A2∩· · ·∩An) = p(A1) p(A2| A1) p(A3| A1∩A2) . . . p(An| A1∩· · ·∩An−1) ,

onde A1, . . . , Ans ˜ao eventos aleat ´orios e n ≥ 2.

(96)

Exemplo

Exemplo: Suponha o experimento de tirar duas cartas de um

baralho, sem reposiç ão. Qual é a probabilidade de tirar dois ases?

Usando a regra de probabilidade composta, temos que: p(dois ases) = p( ´As na 1a ext ∩ ´As na 2a ext)

= p( Ás na 1a ext) × p( Ás na 2a ext | Ás na 1a ext) = 4 52 × 3 51 = 1 221 ≈ 0,45%

(97)

Exemplo

Exemplo: Suponha o experimento de tirar duas cartas de um

baralho, sem reposiç ão. Qual é a probabilidade de tirar dois ases?

Usando a regra de probabilidade composta, temos que:

p(dois ases) = p( ´As na 1a ext ∩ ´As na 2a ext)

= p( Ás na 1a ext) × p( Ás na 2a ext | Ás na 1a ext)

= 4 52 × 3 51 = 1 221 ≈ 0,45%

(98)

Teorema da Probabilidade Total

Teorema da Probabilidade Total. Suponha que A1, A2, . . . formam uma partiç ão de S (i.e., os eventos aleat órios A1, A2, . . . s ão dois a dois disjuntos, a uni ão de todos eles é igual a S, e que p(Ai) > 0, para todo i). Ent ão:

p(B) =X

i

p(Ai) p(B | Ai),

para todo evento aleat ´orio B.

(99)

F ´ormula de Bayes

O Teorema da Probabilidade Total implica af ´ormula de Bayes:

p(Ai| B) = Pp(Ai) p(B | Ai) kp(Ak) p(B | Ak)

,

onde estamos supondo que todos os elementos Ai da partic¸ ˜ao

possuem probabilidade positiva de ocorrerem.

(100)

Exemplo: F ´ormula de Bayes

Suponha que tr ˆes m ´aquinas, A, B e C, produzem

respectivamente 50%, 30% e 20% do n úmero total de peças de uma f ábrica.

As porcentagens de peças defeituosas na produç ão dessas m áquinas s ão respectivamente 3%, 4% e 5%.

Uma peça é selecionada ao acaso e constata-se ser ela defeituosa. Vamos determinar a probabilidade de a peça ter sido produzida pela m áquina A, ou seja, queremos encontrar P(A | D), onde A denota o evento de a peça ter sido produzido pela m áquina A, e D o evento peça defeituosa.

(101)

Independ ˆencia

Alguns livros definem que os eventos A e B s ão independentes se p(A | B) = p(A) e p(B | A) = p(B). Por ém esta definiç ão é menos geral do que a seguir, que vale para o caso em que p(A) = 0 ou p(B) = 0.

Definiç ão: Independ ência. Seja (S, A, p) um espaço de

probabilidade. Dizemos que os eventos aleat ´orios A e B s ˜ao

independentesse:

p(A ∩ B) = p(A) p(B) .

(102)

Independ ˆencia

Portanto, se os eventos A e B forem independentes segundo a definiç ão acima, ent ão p(A | B) = p(A) e p(B | A) = p(B).

Isso captura a ideia de que se A e B forem independentes, a ocorr ˆencia de um deles n ˜ao afeta a probabilidade de

ocorr ˆencia do outro:

conhecer A n ão informa nada adicional sobre a probabilidade de ocorr ência de B (p(B | A) = p(B)), e conhecer B n ão informa nada adicional sobre a probabilidade de ocorr ência de A (p(A | B) = p(A)).

(103)

Independ ˆencia

Exemplos:

O evento “tirar 2” ao lançar o primeiro dado n ão afeta o evento “tirar 5” ao lançar um segundo dado.

Se retiramos uma carta de um baralho e depois retiramos outra, ap ós repor a primeira, os eventos “tirar uma carta de ouros na primeira retirada” e “tirar uma carta de ouros na segunda retirada” s ão independentes. Por ém, se n ão repusermos a primeira carta retirada no baralho, os dois eventos n ão ser ão independentes.

Resultado: Se os conjuntos A e B forem independentes, ent ˜ao

Ae Bc_{(e A}c _{e B; e A}c _{e B}c_{) ser ˜ao independentes.}

(104)

Dois Modos de Generalizar

Dizemos que os eventos aleat ´orios A1, A2, . . . , Ans ˜ao

estocasticamente(oumutualmente)independentesse: p(Ai₁∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aim) = p(Ai1)p(Ai2) . . . p(Aim) ,

para todo 1 ≤ i1≤ i2≤ · · · ≤ im≤ n, para todo m = 2, 3, . . . , n.

(105)

T ´opicos

Conceitos Iniciais

Vari ´aveis Aleat ´orias

(106)

Definic¸ ˜ao

Umavari ável aleat ória (v.a.) é um valor determinado por um experimento aleat ório. Logo, n ão podemos definir o exato valor que uma vari ável aleat ória vai assumir, podemos apenas listar todos os valores poss´ıveis.

Definiç ão: Vari ável Aleat ória. Considere o espaço de

probabilidade (S, A, p). A funç ão X : S → R é umavari ável aleat ória(v.a.) se o conjunto {s ∈ S | X(s) ≤ x} pertencer a A, para todo x ∈ R.

Portanto, uma v.a. é apenas uma funç ão real definida sobre o espaço amostral S.

(107)

Exemplos

Lançar um dado e observar o resultado. Ent ão S_{= {1, 2, 3, 4, 5, 6, } e X : S → R é dada por X(s) = s.}

Suponha lançarmos 10 moedas. Podemos definir a vari ável aleat ória X, o n úmero de caras nos dez

lanc¸amentos. Ent ˜ao X : S → R pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, . . . , 10.

(108)

Notac¸ ˜ao

Considere uma v.a. X e um conjunto T ⊂ R quaisquer. Vamos

denotar por X ∈ T aimagem inversade T por X (denotado

tamb ´em por X−1(T)), definido como:

X−1(T) = {s ∈ S | X(s) ∈ T} ,

ou seja, X−1(T) ´e o conjunto dos pontos amostrais s tais que a

imagem deles por X esteja em T (X(s) ∈ T). Dizemos que T é umevento associado à v.a.X. É comum usar a notaç ão

“X ∈ T” para denotar o conjunto X−1(T).

(109)

Distribuic¸ ˜ao de uma v.a.

Definiç ão. Seja X uma vari ável aleat ória definida no espaço

de probabilidade (S, A, p). A func¸ ˜ao pX, definida sobre os subconjuntos de R, por:

pX(T) = p(X ∈ T) = p({s ∈ S | X(s) ∈ T}),

é chamadadistribuiç ãode X.

Pode se mostrar que dada uma v.a. X qualquer, pX definida por

pX(B) = p(X ∈ B), em que B ´e qualquer subconjunto (boreliano)

da reta real, ent ˜ao pX ´e uma probabilidade sobre subconjuntos

de R.

(110)

V.A. Discreta

Dizemos que X é uma vari ável aleat óriadiscretase assumir

apenas um n úmero cont ável de valores, ou seja, se assumir um valor finito de valores ou um valor infinito enumer ável de valores.

Afunc¸ ˜ao de probabilidade gerada por X discreta, denotada por pX(xi) = p({s ∈ S | X(s) = xi}), satisfaz:

a) 0 ≤ pX(xi) ≤ 1, para todo i,

b) P∞_i=1pX(xi) = 1.

(111)

Probabilidade de T ∈ R

Neste caso, seja T um evento associado `a v.a. discreta X. Se {xi1, xi2, . . . } ∈ T, ent ˜ao: pX(T) = p {s ∈ S | X(s) = xi_j, j = 1, 2, . . . } = ∞ X j=1 pX(xi_j)

(112)

Funç ão de Distribuiç ão Acumulada

Definiç ão. Se X é uma vari ável aleat ória, definimos afunç ão de distribuiç ão acumulada(fda) F : R → [0, 1] de X como:

F(x) = p(X ≤ x) = p({s ∈ S | X(s) ≤ x}) .

A fda pode ser definida para v.a.s discretas e n ˜ao-discretas. Se a v.a. X for discreta, ent ˜ao:

F(x) = p(X ≤ x) =X

xi≤x

pX(xi) .

A fda de uma v.a. discreta ser á uma funç ão em degraus, onde

ela ´e descont´ınua em cada ponto xi em que ´e atribu´ıdo uma

probabilidade positiva.

(113)

Propriedades de uma FDA

Toda funç ão de distribuiç ão acumulada F de uma v.a. X qualquer satisfaz as seguintes propriedades:

1 _{F(−∞) = 0 e F(∞) = 1,}

2 _F é n ão-decrescente: se x ≤ y, ent ão F(x) ≤ F(y),

3 _F _{é cont´ınua à direita: Se xn} _{↓ x, ent ão F(xn) ↓ F(x).}

(114)

V.A Absolutamente Cont´ınua

Definic¸ ˜ao: v.a. absolutamente cont´ınua. Dizemos que a v.a.

X ´eabsolutamente cont´ınua(ou simplesmentecont´ınua) se

existir uma funç ão f : R → R+, chamadafunç ão densidade de

probabilidadede X (fdp), tal que: F(x) =

Z x

−∞

f(t) dt .

(115)

Propriedades de uma FDP

Logo, para toda v.a. cont´ınua com func¸ ˜ao de densidade f , temos que:

(a) f(x) ≥ 0, para todo x,

(b) R+∞

−∞ f(x) dx = 1, e

(c) p(a ≤ X ≤ b) =R_abf(x) dx, para todo a < b.

Poder´ıamos ter definido uma v.a cont´ınua dizendo que ela é cont´ınua se existir uma funç ão real f tal que satisfaça as propriedades (a), (b) e (c) acima.

(116)

FDAs e FDPs

O Teorema Fundamental do C álculo implica que se a v.a. X for cont´ınua com funç ão densidade de probabilidade f e funç ão de distribuiç ão acumulada F, ent ão:

f(x) = dF(x)

dx .

J ´a se a v.a. X for discreta com valores poss´ıveis x1≤ x2≤ . . . , ent ˜ao:

pX(xj) = p(X = xj) = F(xj) − F(xj−1) .

(117)

Dois Casos

Temos dois casos mais usuais de vari áveis aleat órias e de distribuiç ões associadas:

Se X ´e uma v.a. discreta, com valores em {x1, x2, . . . }, ent ˜ao: pX(T) = X i:xi∈T p(X = xi) = X i:xi∈T pX(xi) .

Se X ´e uma v.a. absolutamente cont´ınua, ent ˜ao:

pX(T) =

Z

T

f(x)dx .

(118)

Vetores Aleat ´orios

Vimos que umavari ável aleat ória (v.a.) é um valor determinado

por um experimento.

Pode ocorrer que se deseje observar para um determinado experimento diferentes valores.

Por exemplo, suponha que observamos as pessoas que atravessam uma rua durante um certo per´ıodo e observamos sua altura e seu peso.

Isso gera umvetor aleat ´orio bidimensional.

(119)

Vari ´avel Aleat ´oria Multidimensional

Definiç ão. Dizemos que ovetor aleat órion-dimensional(ou

vari ável aleat órian-dimensional) (X1, X2, . . . , Xn) é composto pelas vari áveis aleat óriasXi : S → R, i = 1, 2, . . . , n.

Vamos analisar apenas o caso bidimensional (X, Y), em que X e Y formam um vetor aleat ório bidimensional e X : S → R e Y: S → R s ão vari áveis aleat órias.

Todas as definiç ões a seguir podem ser facilmente generalizadas para o caso de n vari áveis aleat órias.

(120)

Funç ão de Distribuiç ão Conjunta

Definiç ão. Seja (X, Y) um vetor aleat ório bidimensional. A funç ão de distribuiç ão acumuladaFX,Y de (X, Y) é definida por:

FX,Y(x, y) = p(X ≤ x, Y ≤ y) ,

onde

p(X ≤ x, Y ≤ y) = p({X ≤ x} ∩ {Y ≤ y})

FX,Y(x, y) é tamb ém chamadafunç ão de distribuiç ão conjunta das v.a.s X e Y.

(121)

Vetor Aleat ´orio Discreto

Definiç ão. Dizemos que (X, Y) é um vetor aleat óriodiscretose assumir apenas um n úmero cont ável de valores, ou seja, se

(X, Y)assumir apenas um valor finito de valores ou um valor

infinito enumer ´avel de valores.

(122)

Vetor Aleat ´orio Cont´ınuo

Definiç ão. Dizemos que (X, Y) é um vetor aleat ório

(absolutamente)cont´ınuose existir uma func¸ ˜ao fX,Y(x, y) ≥ 0 tal que: FX,Y(x, y) = Z y −∞ Z x −∞ fX,Y(s, t) ds dt , ∀ (x, y) ∈ R2_.

A funç ão f é chamadadensidadedo vetor aleat ório (X, Y) ou

densidade conjuntadas vari ´aveis aleat ´orias X e Y.

(123)

Distribuic¸ ˜ao Conjunta

Definic¸ ˜ao. A probabilidade definida para os conjuntos A em R2

por p ((X, Y) ∈ A) é chamadadistribuiç ão conjuntade X e Y,

onde usaremos a notac¸ ˜ao pX,Y(A)para denotar a probabilidade

p((X, Y) ∈ A).

(124)

Independ ˆencia entre V.A.s

Definiç ão. As vari áveis aleat órias X e Y s ão(coletivamente) independentesse:

p(X ∈ A, Y ∈ B) = p(X ∈ A) × p(Y ∈ B) , para quaisquer A, B ∈ R.

(125)

Resultados

Se X, Y s ˜ao independentes, ent ˜ao:

FX,Y(x, y) = FX(x) × FY(y) , ∀ (x, y) ∈ R2

Se X, Y s ˜ao independentes e possuem densidades fX e fY,

ent ˜ao:

f(x, y) = fX(x) × fY(y) , ∀ (x, y) ∈ R2,

em que F denota a densidade conjunta de X e Y (ou seja, f = fX,Y).

(126)

Distribuic¸ ˜ao e Densidade Marginais

Se FX,Y(x, y)é a funç ão de distribuiç ão conjunta de X e Y, ent ão a funç ão de distribuiç ão de X é:

FX(x) = lim

y→+∞FX,Y(x, y) def

= F(x, +∞) ,

onde FX obtida desse modo é chamadafunç ão de distribuiç ão marginalde X.

Se fX,Y(x, y)é a densidade conjunta de X e Y, ent ão a funç ão de densidade de X é:

fX(x) = Z +∞

−∞

fX,Y(x, y) dy ,

onde fX obtida desse modo é chamadafunç ão de densidade marginalde X. De modo similar, se integrarmos fX,Y(x, y)com respeito à vari ável x, obtemos a funç ão de densidade marginal fY(y)de Y.

(127)

Os Dois Casos

O c álculo de probabilidades associadas a distribuiç ões conjuntas (X, Y) depende de as v.a.s serem discretas ou cont´ınuas: Caso discreto: pX(xi) = p(X = xi) = ∞ X j=1 p(xi, yj) Caso cont´ınuo: p(a ≤ X ≤ b) = Z b a Z +∞ −∞ f(x, y) dy dx= Z b a fX(x) dx

(128)

Distribuic¸ ˜ao Condicional

Definiç ão. Sejam X uma v.a. e A um evento com p(A) > 0. A distribuiç ão condicional de X dado o evento A é definida por:

p(X ∈ B | A) = p({X ∈ B} ∩ A)

p(A) para (quase...) todo conjunto B ∈ R.

Afunç ão de distribuiç ão condicional de X dado A é definida por: FX(x | A) = p(X ≤ x | A) =

p({X ≤ x} ∩ A)

p(A) , ∀ x ∈ R .

(129)

Distribuic¸ ˜ao Condicional entre V.A.s

Podemos definir a probabilidade condicionada em termos da v.a. Y. Suponha que (X, Y) é um vetor aleat ório discreto. Ent ão:

pX|Y(xi| yj) = p(X = xi | Y = yj) =

p(X = xi, Y = yj) p(Y = yj)

(130)

Suponha agora que (X, Y) ´e um vetor aleat ´orio cont´ınuo com

fdp conjunta fX,Y e denote por fX e fY as distribuic¸ ˜oes marginais

de X e Y, respectivamente. Ent ˜ao:

A fdp de Xcondicionada a um dadoY = y ´e definida por:

f_X|Y(x | y) = fX,Y(x, y)

fY(y) , onde fY(y) > 0 .

A fdp de Y condicionada a um dadoX = x ´e definida por:

f_Y|X(y | x) = fX,Y(x, y)

fX(x) , onde fX(x) > 0 .

(131)

Resultados

Seja (X, Y) um vetor aleat ório discreto. Ent ão X e Y s ão independentes se, e somente se, pX|Y(xi| yj) = pX(xi), para todo i e j (e, de modo, an álogo, se pY|X(yj | xi) = pY(yj), para todo i e j).

Seja (X, Y) um vetor aleat ório cont´ınuo. Ent ão X e Y s ão

independentes se, e somente se, fX|Y(x | y) = fX(x), para

todo (x, y) (ou, de modo an ´alogo, se fY|X(y | x) = fY(y), para todo (x, y)).

(132)

T ´opicos

(133)

Esperanc¸a

Aesperança(ouvalor esperadoouesperança matem áticaou

expect ância) de uma v.a. X, que ser á denotada por EX, é uma medida do valor m édio de X.

Logo, a esperança de uma v.a. é umamedida de tend ência

central.

A esperança de uma v.a. pode ser um valor que a pr ópria v.a. n ão assume. Al ém disso, caso todos os resultados tenham a mesma probabilidade, ent ão a esperança ser á igual à m édia aritm ética.

(134)

Os Dois Casos

Se X for uma v.a. discreta, ent ˜ao a esperanc¸a de X pode ser calculada como: EX = +∞ X i=1 xipX(xi) .

J á se X for uma v.a. absolutamente cont´ınua, ent ão a esperança de X pode ser calculada como:

EX =

Z ∞

−∞

x f(x) dx ,

onde usamos a integral de Riemann para o c ´alculo de EX.

(135)

Exemplo (continuac¸ ˜ao)

Suponha que a funç ão densidade de probabilidade conjunta da vari ável aleat ória bidimensional (X, Y) seja dada por:

f(x, y) = 0,75 x(x − y) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2

Vamos determinar E(X).