calculo1a-1parte

1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos.

Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos explicar e provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração, multiplicação e a divisão por número diferente de zero.

1.1) Sistematização dos Conjuntos Numéricos

Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o processo construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos números naturais demonstrando as propriedades.

- Conjunto dos Números Naturais (N) Propriedades:

1) 1 ∈ N.

2) ∀ n ∈ N, ∃! n+1 ∈N e n+1 é o sucessor de n. 3) ∀ m, n ∈ N se m+1 = n+1 → m = n.

4) Seja S ⊂ N com as propriedades: a) 1 ∈ S.

b) ∀ s ∈ S → s+1 ∈ S.

Logo, S = N (Princípio da Indução) Assim tem-se:

N = {1,2,3,...}

A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado em relação a adição e a multiplicação.

Exemplo: Sejam a, b ∈ N x = a + b e x = a.b

São equações que têm solução em N.

- Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as equações acima. Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a, existe (-a) tal que a + (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero.

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem solução em Z.

Exemplo:

- Conjunto dos Números Racionais (Q)

Q é um conjunto numérico formado por números da forma p q, onde p e q ∈ Z e q ≠ 0. Esses números racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou decimais infinitos e periódicos. Exemplo: 2,3 ; 0,3333... ; 2,2323...

O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, exceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação x2 _{= a}

Exemplo:x2 =2→x = 2∉Q. Demonstração que 2∉Q:

• O quadrado de um número par é par: 2.n onde n é inteiro. N 2 2 2

_4.n

_2.

_(2.n

₎

(2.n)

=

=

é PAR. • O quadrado de um número ímpar é ímpar:

1 2n+ 1 N 2n) 2 (2n 2. 1 4n 2 4n 2 1) (2n+ = + + = + + é ÍMPAR. Demonstração por contradição:

Suponha que 2∈Q∴∃a∈Q a2 = 2

Z

∉

=

→

=

2

5

x

5

2x

. 2 2n 2 m 2 2 n m 2 2 a n m a = = = = mé par

• m, n ≠ 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares

Se m é par m = 2.k, então:

.

2 n 2 2k 2 2n 2 4k 2 2.n 2 (2.k) = = = né par

O que contradiz a hipótese logo 2∉Q. Exemplos de números não racionais: 2,3791...; 2 ;π;e.

- Conjunto dos Números Reais (R)

É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e irracionais. - Conjunto dos Números Irracionais (Q’)

É o conjunto dos números tais que a equação x2 =a tem sempre solução quando a é um número racional positivo. Os números irracionais na notação decimal corresponde aos decimais infinitos e não periódicos.

Exemplos: 2,37951..., π, e. •

Q

∩ Q'

=

φ

ou

{

}

• Q∪Q'=R

Propriedades dos Números Reais: 1) Lei comutativa da adição

∀ x, y ∈ R → x + y = y + x

2) Lei comutativa da multiplicação

∀ x, y ∈ R → x . y = y . x

3) Lei associativa da adição

∀ x, y, z ∈ R → (x + y) + z = x + (y + z)

4) Lei associativa da multiplicação

5) Lei da existência do elemento neutro da adição

∃ o 0 ∈ R / x + 0 = x : ∀ x ∈ R

6) Lei da existência do elemento neutro da multiplicação

∃ 1 ∈ R / 1 . x = x : ∀ x ∈ R

7) Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição

∀ x ∈ R , ∃ (-x) ∈ R / x + (-x) = 0

8) Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação

∀ x ∈ R , x ≠ 0, ∃ x-1_{∈ R / x . x}-1 _{= 1}

9) Lei distributiva da multiplicação em relação a adição

∀ x, y, z ∈ R → x (y + z) = x.y + x.z

10) Lei do fechamento da adição

∀ x, y ∈ R→ x + y ∈ R

11) Lei do fechamento da multiplicação

∀ x, y ∈ R→ x . y ∈ R

12) Lei do cancelamento em relação a adição

∀ x, y, z ∈ R se x + z = y + z x = y

13) Lei do cancelamento em relação a multiplicação

∀ x, y, z ∈ R e z ≠ 0 se x . z = y . z x = y

14) Lei da tricotomia

∀ x, y ∈ R, vale uma e somente uma das afirmações: x > y ou x < y ou x = y

Obs.: fazendo y = 0, temos: x > 0 ou x < 0 ou x = 0

15) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição

16) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação ∀ x, y, z ∈ R e z > 0 se x > y x . z > y . z Obs.: se z < 0 : x > y x . z < y . z 17) Lei da transitividade ∀ x, y, z ∈ R se x > y e y > z x > z Exercícios: 1) Responda (V) ou (F) e justifique.

a) Se x é um número positivo 5x é um número positivo b) Se x < 3 e y > 3 x < y

c) Se x ≤ y -5x ≤ -5y

d) Se x2_{≤ 9 x ≤ 3}

e) Se x ≥ 2 e y > x y > 0

Respostas:

(V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo (x) sempre terá como resultado um número positivo.]

(V) É verdadeiro porque se x < 3, x é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3, y é qualquer número maior que 3. Assim x < y.

(V) Podemos simplificar a equação: -5x ≤ -5y em x ≤ y.

(F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x2_{≤ 9}

x2 _{= 9 x = ± 3 x ≤ 3 x ≥ -3}

(V) x ≥ 2 y > x y > 2 x

1.2) Representação Geométrica dos Números Reais

Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de tal forma que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está associado a um único ponto da reta

negativos 0 positivos

1.3) Espaço Real Unidimensional Definições

1) Conjunto linear

Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou de seus pontos representativos.

2) Intervalos

São subconjuntos da reta e podemos considerar os seguintes casos: (sejam a e b números reais tais que a < b)

a) Intervalo fechado de extremos a e b. [

[ ] {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

a b [a, b] b) Intervalo aberto de extremos a e b. ( ou ]

[ ] {x ∈ R / a < x < b}

a b (a, b) ou ]a, b[ c) Intervalos reais semi-abertos:

c.1) à esquerda ( ] {x ∈ R / a < x ≤ b} a b (a, b] ou ]a, b] c.2) à direita [ ) {x ∈ R / a ≤ x < b} a b [a, b) ou [a, b[ d) Intervalos reais ilimitados

d.1) (-∞, b] {x ∈ R / x ≤ b} ] b d.2) (-∞, b) {x ∈ R / x < b} ) b d.3) [a, ∞) {x ∈ R / x ≥ a} [ a d.4) (a, ∞) {x ∈ R / x > a} ( a

Intervalo degenerado

a {x ∈ R / x = a} = [a, a]

3) Supremo (limite superior)

Um número real L é supremo de um conjunto linear A se e somente se (↔) são verificadas

as seguintes condições:

• L ≥ x, ∀ x ∈ A

• Dado L1 < L, então (→) ∃ x ∈ A / L1 < x < L.

4) Ínfimo (limite inferior)

Um número real l é ínfimo de um conjunto linear a ↔ são verificadas as seguintes

condições:

• l ≤ x, ∀ x ∈ A

• Dado l1 > l → ∃ x ∈ A / l < x < l1.

5) Máximo de um conjunto

Um número real L é máximo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes

condições:

• L é supremo de A

• L ∈ A.

6) Mínimo de um conjunto

Um número real l é mínimo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes

condições: • l é ínfimo de A • l ∈ A. Exercício: A = (2, 5] B = { x ∈ R / x > 2} C = { x ∈ R / x ≤ 3} Determinar:

Superior (A) : 5 Superior (B) : ∃ Superior (C) : 3 Ínfimo (A) : 2 Ínfimo (B) : 2 Ínfimo (C) : ∃

Máximo (A) : 5 Máximo (B) : ∃ Máximo (C) : 3 Mínimo (A) : ∃ Mínimo (B) : ∃ Mínimo (C) : ∃

7) Distância em R (unidimensional)

Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas são a e b respectivamente e a < b. A distância de P até Q indicada por d (P, Q) é dada por |b – a|

P Q a |b – a| b

• |b – a| = (b−a)2

d (P, Q) = |b – a| ou d (P, Q) = (b − a) 2

8) Vizinhança em R (unidimensional)

Denomina-se vizinhança unidimensional de um ponto P0 (X0) e de raio δ (delta) δ ∈ R a

todo conjunto de pontos P (x) ∈ R / d (P, P0) < δ.

V (P0, δ) = {x ∈ R / 0 ≤ d (P, P0) < δ}, onde x é a abscissa do ponto P

P0

( )

x0-δ X0 x0+δ 0 ≤ |x – x0| < δ

δ δ

9) Vizinhança perfurada em R

Denomina-se vizinhança perfurada unidimensional de um ponto P0 (X0) e de raio δ ∈ R a

todo o conjunto de pontos P (x) ∈ R / 0 < d (P, P0) < δ

V (P0, δ) = {x ∈ R / 0 < d (P, P0) < δ}

V (P0, δ) = 0 < |x - x0| < δ

10) Ponto de acumulação

Um ponto P0 (X0) é A se e somente se ∀ V (P0) existir pelo menos um ponto P ∈ R / P ∈ A

e P ∈ V (P0).

a P0 b

OBS.: Um ponto de acumulação pode não pertencer a um conjunto (sendo o supremo do conjunto ou ínfimo).

11) Valor absoluto ou módulo de um número real

Denomina-se módulo ou valor absoluto de um número x ∈ R, o número definido por

|x| = x se x ≥ 0 → |x| = 0 ↔ x = 0

|x| = -x se x < 0

Pela definição podemos notar que o módulo de um número real é ele mesmo caso esse número seja positivo e será o oposto dele caso ele seja negativo.

Geometricamente o módulo de um número real x (|x|) representa a distância que um ponto P (x) se encontra da origem. 0 x | | |x| P -3 0 5 | | | Q P |-3| |5|

Genericamente se P (a) e Q (b) são dois pontos da reta numérica, então a distância de P até Q poderá ser calculada por: d (P, Q) = |b – a|

2 x x =

|b – a| = (b−a)2 d (P, Q) = (b−a)2 Propriedades decorrentes da definição: 1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0

2) |x|2 _{= x}2

3) |x| = x 2 4) |x . y| = |x| . |y|

5) y x y x = se y ≠ 0

6) |x + y| ≤ |x| + |y| → desigualdade triangular

7) |x| = |y| → x = ± y

Seja a ≥ 0 |x| = a → x = ± a

8) |x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a

9) |x| ≥ a → x ≤ -a ou x ≥ a

Demonstrações das propriedades acima P1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0 x ∈ R

Pela Lei da Tricotomia; ou x > 0 ou x < 0 ou x = 0.

• Se x > 0: |x| = x mas x > 0 ∴ |x| > 0 • Se x < 0: |x| = -x mas x < 0 ∴ -x > 0 ∴ |x| > 0 • Se x = 0: |x| = 0 P2) |x|2 _{= x}2 • Se x > 0: |x| = x → |x|2 _{= x}2 • Se x < 0: |x| = -x → |x|2 _{= (-x)}2 _{= x}2 • Se x = 0: |x| = x → |x|2 _{= x}2 P3) |x| = x 2

a indica a raiz quadrada positiva de um número a ≥ 0.

2 2 _x x = _{→ pela propriedade 2} 2 x x =

P4) |x . y| = |x| . |y| |x . y|2 _{= (x . y)}2 |x . y| = (x .y)2 |x . y| = x2.y2 |x . y| = x2. y2 |x . y| = |x| . |y| P5)

(

)

0 y y x y x _{= ≠} P6) |x + y| ≤ |x| + |y| (x + y)2 _{= x}2 _{+ 2xy + y}2 (x + y)2 _{= |x|}2 _{+ 2xy + |y|}2 Obs.: x ≤ |x| 2xy ≤ |2xy| 2xy ≤ 2 |x| |y| (x + y)2_{≤ |x|}2 _{+ 2 |x| |y| + |y|}2 |x + y|2 _{≤ ( |x| + |y| )}2 |x + y| ≤ |x| + |y| P7) |x| = |y| → x = ± y |x|2 _{= |y|}2 x2 _{= y}2 x = ± y P8) |x| ≤ a • x ≥ 0 → |x| = x x ≤ a

0

[

] a

• x < 0 → |x| = -x -x ≤ a → x ≥ -a -

a

[

-a [ ] a

-a ≤ x ≤ a

P9) |x| ≥ a → x ≥ a ou x ≤ -a • x ≥ 0 → |x| = x x ≥ a

a [

• x < 0 → |x| = -x -x ≥ a → x ≤ -a

] –a

]–a a[

x ≥ a ou x ≤ -a Exemplos:

Resolver as equações e inequações: a) |x – 3| = 2 |x| = a → x = ± a • |x – 3| = 2 • |x – 3| = -2 x – 3 = 2 x – 3 = -2 x = 5 x = 1 Resposta: x = 5 ou x = 1. b) |x – 5| = |3x – 1| |x| = |y| → x = ± y • x – 5 = 3x - 1 • x – 5 = -3x + 1 2x = -4 4x = 6 x = -2 x = 2 3 Resposta: x = -2 ou x = 2 3 . c) |4x – 6| ≤ 3 |x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a -3 ≤ 4x - 6 ≤ 3 4 6 3 x 4 6 3+ _{≤ ≤} + − Resposta: 4 9 x 4 3_{≤ ≤} .

d) |3x + 5| > 2 |x| > a → x > a ou x < -a • 3x + 5 > 2 • 3x + 5 < -2 x > -1 x < 3 7 − Resposta: x > -1 ou x < 3 7 − .

2) Sistema de Coordenadas Cartesianas 2.1) Par Ordenado

É um conjunto de 2 elementos x, y indicado por (x, y) em que a ordem dos elementos deve ser respeitada.

(x, y) = (y, x) ↔ x = y

(x1, y1) = (x2, y2) ↔ x1 = x2 e y1 = y2

No par ordenado (x, y) o elemento x é chamado primeiro elemento, primeira projeção ou abscissa; o elemento y é chamado segundo elemento, segunda projeção ou ordenada.

2.2) Produto Cartesiano

Dados os conjuntos lineares A e B diferentes do vazio, denomina-se produto cartesiano de A por B e se indica por A x B. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y)/ x ∈ A e y ∈ B.

A x B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ B}

2.3) Plano Cartesiano

Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de números reais representado pelo seguinte conjunto: R x R = R2_.

No plano cartesiano os pares ordenados (x, y) são referidos como pontos e o elemento x é chamado abscissa e o elemento y ordenada do ponto.

2.4) Representação do Plano Cartesiano

Existe uma correspondência bionívoca entre os infinitos pontos de um plano e os infinitos pares ordenados, desta maneira podemos representar estes pontos através de duas retas perpendiculares.

y (eixo das ordenadas) P (x, y)

0 x (eixo das abscissas)

2.5) Distância Bidimensional (R2₎ y y2 Q (x2, y2) |y2 – y1| d y1 P (x1, y1) x1 x2 x |x2 – x1| [d(P, Q)] = |x2 – x1|2 _{+ |y2 – y1|}2 [d(P, Q)]2 _{= (x2 – x1)}2 _{+ (y2 –y1)}2 2 ) 1 y 2 y ( 2 ) 1 x 2 x ( Q) (P, d ==== −−−− ++++ −−−−

I

II

I

II

2.6) Vizinhança Bidimensional (R2₎

Denomina-se vizinhança bidimensional de um ponto P0 (x0,y0) e raio δ > 0 ao conjunto de todos os

pontos P (x, y) / 0 ≤ d (P, P0) < δ.

{

∈ ≤ <δ

}

= δ) P(x,y) R2/0 d(P,P₀) ), 0 y , 0 x ( 0 P ( 2 V δ < + − + − ≤ ∈ = δ) P(x,y) R2/0 (x x₀)2 (y y₀)2 ), 0 y , 0 x ( 0 P ( 2 V

{

₎2 2

}

0 y y ( 2 ) 0 x x ( 0 / 2 R ) y , x ( P ) ), 0 y , 0 x ( 0 P ( 2 V δ = ∈ ≤ − + − +<δ y y0 x0 x 2.7) Vizinhança Perfurada em R2

Denomina-se vizinhança perfurada bidimensional de um ponto P0 (x0, y0) e raio δ > 0 o conjunto de

todos os pontos P (x, y) ∈ R2 _{/ 0 < d (P, P} 0) < δ.

{

∈ < <δ

}

= δ) P(x,y) R2 /0 d(P,P₀) , 0 P ( 2 V 2.8) Ponto de Acumulação em R2

Dizemos que sem um ponto P0 (x0, y0) é ponto de um conjunto A ⊂ R2 se para toda a V2 (P0) existir

pelo menos um ponto P (x, y) ∈ R2 _{/ P (x, y) ∈ A e P (x, y) ∈ V(P0).}

δδδδ

P0

3) Relações Binárias e Funções Reais 3.1) Relações Binárias

Sejam A e B conjuntos lineares não vazios, chama-se relação plana de A em B a qualquer subconjunto de pares ordenados (x, y) do produto cartesiano A x B.

3.2) Domínio, Imagem, Contradomínio e Gráfico de Relações a) Domínio de relações:

Seja S uma relação de A em B, chama-se domínio de S e se indica por DS o conjunto linear:

DS =

{

x∈A/∃ y∈R e (x,y)∈S

}

⊂A

b) Contradomínio:

Se S é uma relação de A em B, o contradomínio de S que se indica por CdS é o conjunto B.

CdS = B

c) Imagem:

Se S é uma relação de A em B, a imagem de S indicada por ImS é o conjunto linear:

ImS =

{

y∈B/∃ x∈R e (x,y)∈S

}

⊂B

d) Gráfico:

Sendo S uma relação, denomina-se gráfico de S o conjunto: GS =

{

/(x,y) S

}

2 R ) y , x ( ∈ ∈

e) Gráficos das principais relações: 1)

{

(x,y)∈R2/y=x

}

y = x → é função y ≥ x → não é função

45

o

y

x

2)

{

(x,y)∈R2 /y=ax+b

}

aeb∈R a → coeficiente angular b → coeficiente linear a = tan α Se: • a > 0 → tan α > 0 → → α < 90o _{: agudo} • a < 0 → tan α < 0 → → α > 90o _{: obtuso} 3)

( )

∈ = + + parábola c bx 2 ax y / 2 R y , x Se: • a > 0 → • a < 0 → “1” y = 0 ax2 _{+ bx + c = 0} c . a . 4 2 b a . 2 b x − = ∆ ∆ ± − = ”3” • ∆ > 0 → 2 raízes “1” • ∆ < 0 → não existe → ∆ − − a 4 , a 2 b V • ∆ = 0 → 1 única raiz “3” → → →

→ x = 4y2 _{– 9 → também é uma parábola} • a > 0 → • a < 0 →

b

a<0

a>0

α

y

x

α

-4)

{

( )

x,y ∈R2/x2+y2=4

}

Pode ser circunferência, elipse ou hipérbole (quando o sinal entre x e y é de subtração) Equação geral da circunferência

(

_x−α

) (

2_{+ y−β}

)

2_=r2

( )

r raio , C = β α Exemplos: Dados

{

( )

}

( )

≥ ∈ = ≤ + ∈ = 9 x . 4 y / R y , x R e 25 y x / R y , x R 2 2 2 2 2 2 1 , determine: 1) Gráfico de R1∩R2 2) Domínio de R1∩R2 3) Imagem de R1∩R2 1) • 2 x 9 4 y= Para y = 0 x 0 9 2 x 4 0 = =

2) Pontos de interseção → Sistema

25 2 y 4 y 9 4 y 9 2 x 9 2 x 4 y 25 2 y 2 x = + = → = = +

-2

-2

2

2

25 2 y 2 x + ≤ 25 2 y 2 x + =

3

9 2 x 4 y=

3 x 9 4 4 . 9 2 x 4 y 9 2 x 4 25 ' y 4 y 8 41 9 y ) 4 .( 2 ) 100 ).( 4 .( 4 81 9 y 0 100 y 9 2 y 4 0 100 2 y 4 y 9 ± = = = = − = = ± − = − − ± − = = − + = − + D = {x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 3} 3) {y ∈ R} = Im Im = {y ∈ R / 0 ≤ x ≤ 5}

3.3) Função Real de Variável Real

Seja F uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo x pertencente a A corresponder um único y ∈ B, então esta relação denomina-se função.

Notação: F: A → B y = F (x) Domínio:

Se F: A → B, então o domínio de F é o conjunto A já que todo x ∈ A deve figurar em um único par ordenado (x, y) de F. DF = A Contradomínio: Se F: A → B, o contradomínio de F é o conjunto B. CF = B Imagem:

A imagem de F é o conjunto dos y ∈ B que estão relacionados por F, isto é, o conjunto dos y ∈ B que são obtidos a partir de x pela lei F, já que y = F (x).

Determinação do domínio ou Campo de Existência de Funções Reais de Variáveis Reais

Quando definimos uma relação como função apenas pela lei de correspondência y = f (x), estamos admitindo que o domínio ou campo de existência da função é o conjunto de todo x ∈ R que seja possível determinar y ∈ R e y = F (x).

Exemplos:

1) Determinar o domínio ou campo de existência das seguintes funções:

a) x 1 x 3 ) x ( f − =

{

}

{

x R/x 1

}

Df 0 1 x / R x Df ≠ ∈ = ≠ − ∈ = -∞ 1 +∞ Ponto de acumulação b) g

( )

x = x2 +2x+1 1 x 0 1 2x 2 x R D − = = + + =

y

x

assíntota

1

-1

y

x

c) f

( ) (

x = x−4

)(

.x+3

)

(

)(

)

{

}

(

x 4

)(

.x 3

)

0 0 3 x . 4 x R/ x f D ≥ + − ≥ + − ∈ = 4 x-4 - - - + + + + + + + + -3 x+3 - - - + + + + + + + + + + + + + + - + -3 4 x≤−3 x≥4 Df =

{

x∈R/x≤−3oux≥4

}

d) x 9 x 2 ) x ( f ₂ − = 0 9 x x 2 0 9 x x 2 / R x D 2 2 f ≥ − ≥ − ∈ = 0 2x - - - + + + + + + + + -3 3 x2_{-9 + + + + - - - + + + +} - + - + -3 0 3

{

x R/ 3 x 0oux 3

}

D_f = ∈ − < ≤ >

4

-3

y

x

3

-3 0

x

y

e) x 9 x 2 ) x ( f 2₋ =

{

}

0 9 x e 0 x 2 0 9 x e 0 x 2 / R x D 2 2 f > − ≥ > − ≥ ∈ = 0 2x -3 3 x2_{-9 + + + + - - - + + + +} - + - + -3 0 3 Df =

{

x∈R/x>3

}

f) + + − = 1 x 2 x 3 x log ) x ( f 2 0 1 x 2 x 3 x 0 1 x 2 x 3 x / R x D 2 2 f > + + − > + + − ∈ = 1 2 x2_{-3x+2 + + + + + + + - - - + + + +} -1 x+1 - - - - + + + + + + + + + + + + + + - + - + -1 1 2

{

x R/ 1 x 1 ou x 2

}

D_f = ∈ − < < >

3

x

y

g) log

(

x 1

)

2 x arcsen ) x ( f − = ≠ − > − ≤ ≤ − ∈ = 1 e x 1 0 e x 1 1 2 x 1 / R x D_f −1≤x/2≤1 −2≤x≤2 -2 2 1 x 0 1 x− > > 1 2 2 x 1 1 x− ≠ ≠ 1 2

{

x R/1 x 2

}

D_f = ∈ < <

3.4) Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras a) Função Injetora:

Uma função y = F (x) de A em B é injetora se os elementos y ∈ B são imagens de um único

x ∈ A.

b) Função Sobrejetora:

Uma função y = F (x) de A em B é sobrejetora se a imagem de F for igual ao contradomínio de F, isto é, todo y ∈ B deve ser imagem de pelo menos um x ∈ A.

c) Função Bijetora:

Uma função y = F (x) é bijetora se e somente se F for injetora e sobrejetora.

3.5) Classificação das Funções

As funções são classificadas em dois grandes grupos: I) Funções Algébricas Elementares

a) Funções Algébricas Racionais a.1) Inteiras

a.2) Fracionárias

II) Funções Transcendentais a) Trigonométricas b) Exponenciais c) Logarítmicas

I) Funções Algébricas Elementares

São funções cujas variáveis são operações algébricas elementares (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). E são classificadas como segue:

a) Funções Algébricas Racionais:

As funções algébricas racionais são aquelas em que as variáveis não se encontram abaixo de radicais ou não estão elevadas a expoentes fracionários e se classificam em:

a.1) Racionais Inteiras:

São aquelas em que suas variáveis não se encontram em denominador ou não estão elevadas a expoentes negativos. São as funções conhecidas como POLINOMIAIS. Ex.: f(x) = a0.xn+a1.xn-1+...+an

a.2) Racionais Fracionárias:

São funções da forma g(x) ) x ( f ) x (

Q = _{, onde f(x) e g(x) são funções}

racionais inteiras. Ex.: 0 n 1 n-1 n n 1 -n 1 n 0 b ... .x b .x b a ... .x a .x a ) x ( f + + + + + + =

b) Funções Algébricas Irracionais:

São funções algébricas cujas variáveis estão sob radicais ou elevadas a expoentes fracionários positivos ou negativos.

II) Funções Transcendentais:

São funções cujas variáveis estão sujeitas as operações da trigonometria, da exponenciação e da logaritmização.

Exemplos:

Classificar as seguintes funções:

1) x 1 x 3 ) x ( f − =

→função algébrica elementar racional

2) 32x2 5 1 x ) x ( g + + =

3) f(x)=x2+2x+1→função algébrica elementar racional inteira 4) 2t 5 t ) t ( f ₃2 + =

→função algébrica racional fracionária

5) 2x 1 4 x sen ) x ( g + + = →função transcendental

6) h(x)=log(x+1)→ função transcendental

7) f(x)= 3.x2+4x→ função algébrica racional inteira

8) 2x 5 x x ) x ( F 3 3 2 − + =

→ função algébrica irracional

Ainda com referência a classificação as funções algébricas e as funções transcendentais podem ser classificadas em:

a) Funções Explícitas:

São aquelas em que uma das variáveis é resolvida em função da outra, isto é, isola-se uma variável em função da outra. ( y = f(x) )

Ex.: y = x2_+3x

b) Funções Implícitas:

São aquelas em que não é possível resolver uma das variáveis em relação a outra. (F(x, y)=0)

Ex.: y2_+2.x5_.y3_+x2_.seny=0

3.6) Composição de Funções

Se f e g são funções tais que pelo menos um elemento pertencente a imagem de g pertencer ao domínio de f, então a composição de f por g, indicada por fog é definida por:

fog = f ( g (x) ) Exemplo:

1) Determinar fog e gof, sendo f (x) = 3x _{e g (x) = x + 4} → fog = f ( g (x) ) = 3 (x+4) _{= 3}4 _{. 3}x

3.7) Função Inversa

Duas funções f e g são inversas se e somente se: a) A imagem de g está contida no domínio de f; b) Para todo x ∈ ao domínio de f, fog = x;

c) A imagem de f deve estar contida no domínio de g; d) Para todo x do domínio de f, gof = x.

Nestas condições f é dita invertível.

Para que estas condições sejam satisfeitas é necessário que f seja bijetora. Notação:

Se y = f (x) é invertível, a inversa de f é indicada por x = f -1 _{(y) ou x = g (y).}

Gráfico:

O gráfico de funções inversas são simétricos em relação a reta y = x.

TÉCNICA PARA DETERMINAR A INVERSA E REPRESENTÁ-LA NO PLANO CARTESIANO 1) Isola-se x na equação original .

2) Troca-se x por y para respeitar a convenção de representação de função no plano cartesiano que usualmente a variável independente é x e a variável dependente é y.

Exemplos:

Determinar as inversas das seguintes funções: 1) f (x) = x + 4

y = x + 4 x = y – 4

2) x 2 3 x y + − = 1 y y 2 3 x y 2 3 x ) 1 y ( y 2 3 x yx 3 x y 2 yx 3 x y ) 2 x ( − − − = − − = − − − = − − = + − = + 1 x y 2 3 y + − − = → Função inversa 3) y=arctan8x 8 y tan x y tan x 8 = = 8 x tan y= → Função inversa 4) y=e4x 4 _y ln x y ln 4 1 x y ln x 4 = = = 4_x ln y= _{→ Função inversa} 5) 3 x log y= y y 10 . 3 x 3 x 10 = = x 10 . 3 y= _{→ Função inversa}

3.8) Funções Pares e Funções Ímpares Função Par:

Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é par, se e somente se para todo x ∈ D,

-x ∈ D e f (-x) = f (x) .

Observe que o gráfico de funções pares são simétricos ao eixo dos y.

Função Ímpar:

Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é ímpar, se e somente se para todo x ∈ D, -x ∈ D e f (-x) = - f (x) .

Observe que o gráfico de funções ímpares é simétrico em relação a origem

Exemplos:

Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem par nem ímpar: 1) f(x)=x2+4 par Função ) x ( f ) x ( f 4 x ) x ( f 4 ) x ( ) x ( f 2 2 − = + = − + − = −

f(-x)

f(x)

x

-x

2) f(x)=x2+2x ímpar nem par é Não ) x 2 x ( ) x ( f x 2 x ) x ( f ) x ( 2 ) x ( ) x ( f 2 2 2 + − − = − − = − − + − = − 3) f(x)=x3+4x ìmpar Função ) x ( f ) x ( f ) x 4 x ( ) x ( f x 4 x ) x ( f ) x ( 4 ) x ( ) x ( f 3 3 3 − = − + − = − − − = − − + − = − 4) f(x)=cosx Par Função ) x ( f ) x ( f x cos ) x ( f ) x cos( ) x ( f = − = − − = − 5) f(x)=senx ímpar Função ) x ( f ) x ( f x sen ) x ( f ) x sen( ) x ( f − = − − = − − = − 6) 2 e e ) x ( f = x+ −x par Função ) x ( f ) x ( f 2 e e ) x ( f x x − = + = − − 7) 2 e e ) x ( f = x− −x ímpar Função ) x ( f ) x ( f 2 e e ) x ( f 2 e e ) x ( f x x x x − = − + − − = − − = − − −

4) Limite e Continuidade de Funções 4.1) Noção Intuitiva Seja x 2 , Df {x R/x 2}. 4 x ) x ( f 2 = ∈ ≠ − − = Se (x 2) x 2 ) 2 x )( 2 x ( 2 x 4 x ) x ( f 2 x 2 = + − + − = − − = → ≠ 2 x ) x ( f 2 x Se ≠ → = + ∴ x f(x) x f(x) 1 3 3 5 1,5 3,5 2,5 4,5 1,9 3,9 2,1 4,1 1,99 3,99 2,01 4,01

Note que para todo x ∈ V (2, δ)→ f(x) ∈ V (4, ε) podemos dizer que o limite de f(x) quando x tende para 2 é igual a 4 e podemos escrever:

4 2 x 4 x lim 2 2 x − = − →

De modo geral se y = f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação.

L ) x ( f lim a x→ =

4.2) Definição Formal de Limite

Sendo f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação dizemos que f (x) tem limite L quando x tende para a, e se indica por:

L ) x ( f lim a

x→ = _{se e somente se para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que 0 < |x – a| < δ}

L+

ε

L-

ε

a -

δ a a

+

δ

( )

4

2

Exemplos:

Usando a definição de limite, mostre que:

1) limx→1(5x+4)=9 5 1 x 5 1 x 1 x . 5 ) 1 x ( . 5 ) 1 x .( 5 5 x 5 9 ) 4 x 5 ( ε = δ δ < − ε < − ε < − ε < − ε < − ε < − ε < − + 2) xlim→−2(3x+1)=−5 3 2 x ) 2 ( x 3 2 x ) 2 x ( . 3 ) 2 x .( 3 5 1 x 3 ) 5 ( 1 x 3 ε = δ δ < + δ < − − ε < + ε < + ε < + ε < + + ε < − − + Se f (x) = x → y = x (Função Identidade) xlim→ax=a _P1 | x-a | < ε → | x-a | < δ ε = δ Se f (x) = k → y = k k k lim a x→ = _P2

4.3) Propriedades Operatórias do Limite 1) limx→ax=a

2) limx→ak=k

3) xlim→a

[

f(x)±g(x)

]

=xlim→af(x)±limx→ag(x)

4) xlim→af(x).g(x)=xlim→af(x).xlim→ag(x)

5) xlim→acf.(x)=c.xlim→af(x) 6) ≠ = → → → → limg(x) limg(x) 0 ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim a x a x a x a x 7)

[ ]

n a x n a x f(x) limf(x) lim = → → 8) nx a n a x f(x) limf(x) lim → → = 9)

( )

) x ( g lim a x ) x ( g a x a x ) x ( f lim ) x ( f lim ₌ → → →

10) limx→alogbf(x)=logb xlim→af(x)

Exemplo: 1) 5x 1 x 2 x lim 2 2 x − + → 9 8 1 10 4 4 1 2 . 5 2 . 2 2 1 x lim 5 x 2 lim x lim 1 lim x 5 lim x 2 x lim 1 x 5 lim x 2 x lim 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x ₌ − + = − + = − + = − + = − + → → → → → → → → 4.4) Limites Unilaterais

{

∈ ≥

}

→ = − = 4 x / R x Df 4 x ) x ( f existe não ) x ( f lim 4 x→ = < + − ≥ + = 1 x 2 x 3 1 x 4 x 2 ) x ( f − = = = − + → → → lim f(x) 1 6 ) x ( f lim existe não ) x ( f lim 1 x 1 x 1 x Limite à direita:

Seja f uma função definida em um intervalo (a, c) e L um

número real, a afirmação xlim→a+f(x)=L , significa que para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε

sempre que 0 < x – a < δ → a < x < a + δ →

Limite à esquerda:

Seja f uma função definida no intervalo (c, a) e L um número real, a afirmação xlim→a−f(x)=L , significa que para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que -δ < x – a < 0 → a-δ < x < a

( )

4

( )

1

( )

a c

( )

a a+

δ

( )

a-

δ a

4.5) Teorema

1) xlim_→af(x)=L⇔xlim_→a+f(x)=xlim_→a−f(x)=L Exemplos: 1) < ≥ − = 1 x se x 1 x se 1 x 2 ) x ( f ₂ 1 ) x ( f lim iguais são 1 ) 1 ( ) x ( f lim 1 ) 1 1 . 2 ( ) x ( f lim ? ) x ( f lim 1 x 2 1 x 1 x 1 x = = → ∴ = = − = → = → → → → − + 2) − + ≤ > + = 2 x se 4 x 2 2 x se 1 x 3 ) x ( f existe não ) x ( f lim diferentes são 0 ) x ( f lim 7 ) x ( f lim ? ) x ( f lim 2 x 2 x 2 x 2 x = → ∴ = = → = → → → → − +

4.6) Continuidade das Funções ) a ( f ∃ ∴≠ = = → ∃ = ∃ − + → → → lim f(x) c b ) x ( f lim ) x ( f lim ! OK ) a ( f a x a x a x _{f(a) limf(x)} ! OK ) x ( f lim ! OK ) a ( f a x a x → → ≠ ∃ Condições: 1) ∃ f (a) 2) ∃ limx→af(x) 3) f(a)=xlim→af(x)

a

y

x

_a

y

x

b = f

c

a

y

x

y

x

a

Exemplos: 1) Verificar se + > ≤ − = 1 x se x 1 1 x se x 3 ) x ( f ₂ 2 é contínua para x = 1 : i) f(1)=2 OK! ii) limx→1f(x)=? ! OK 2 ) x ( f lim iguais São 2 1 1 ) x ( f lim 2 1 3 ) x ( f lim 1 x 1 x 1 x = ∴ = + = = − = → → → − + iii) f(1)=limx→1f(x) OK! Resposta: É contínua 2) Verificar se = ≠ − − = 3 x se 7 3 x se 3 x 9 x ) x ( f 2 é contínua para x = 3 : i) f(3)=7 OK! ii) 0 0 ) x ( f lim 3 x→ = _{indeterminação} ! OK 6 ) 3 x ( ) 3 x )( 3 x ( lim 3 x como 3 x − = + − ≠ → iii) f(3)≠xlim→3f(x)