Física - Movimento Uniformemente Variado

(1)

Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.)

3.1- Aceleração Escalar (a):

3.1- Aceleração Escalar (a): Em movimentos nos quais as velocidades dos móveis variam com o decurso doEm movimentos nos quais as velocidades dos móveis variam com o decurso do tempo, introduz-se o conceito de u

tempo, introduz-se o conceito de uma grandeza cinemática denominadama grandeza cinemática denominada aceleração.aceleração.

ACELERAÇÃO

ACELERAÇÃO ESCALAR ESCALAR (a) = (a) = taxa dtaxa de variação e variação da da velocidade velocidade escalar escalar numa unuma unidade dnidade de tempoe tempo.. Num intervalo de tempo (

Num intervalo de tempo (∆∆t t = = tt_f_f- - tt_ii ) , ) , com uma vacom uma variação de veriação de velocidalocidade escalde escalar (ar (∆∆v v = = vv_f_f- - vv_ii ) , define-se a) , define-se a

aceleração escalar média (a

aceleração escalar média (amm) pela relação:) pela relação:

∆ ∆vv

aamm==

∆ ∆

tt

Quando o intervalo de tempo é infinitamente pequeno, a aceleração escalar média passa a ser chamada de Quando o intervalo de tempo é infinitamente pequeno, a aceleração escalar média passa a ser chamada de aceleração escalar instantânea (a) .

aceleração escalar instantânea (a) . EXEMPLO 1: Qual é a aceleração de

EXEMPLO 1: Qual é a aceleração de um móvel que em 5s altera a sua veloum móvel que em 5s altera a sua velocidade escalar de 3 m/s para 13 m/s ?cidade escalar de 3 m/s para 13 m/s ?

Solução: Solução: ∆∆_v_v _v_{v -}_{- vv}₀₀ ₁₁₃_{3 m}_m//s_{s -}_{- 3}_{3 m}_m//s_s ₁₁₀_{0 m}_m//s_s ₂_{2 m}_m//ss a amm= = = = logo logo aamm== ⇒ ⇒ aamm == ⇒ ⇒ aamm== ∆ ∆tt tt-- tt₀₀ 55ss 55ss ss Conclusão: a

Conclusão: amm= 2 m/s= 2 m/s22 ⇒ ⇒ Esse resultado indica que a cada segundo que passa, a velocidade escalar aumenta emEsse resultado indica que a cada segundo que passa, a velocidade escalar aumenta em

2m/s

2m/s em em média.média.

3.2- Classificação do movimento:

3.2- Classificação do movimento: A classificação do movimento com variação de velocidade escalar é feitaA classificação do movimento com variação de velocidade escalar é feita comparando-se os sinais da velocidade e da aceleração em um certo momento, deste modo:

comparando-se os sinais da velocidade e da aceleração em um certo momento, deste modo:

v

>

0

0 e

e

a

>

00 ++

++

- ACELERADO

⇒⇒

mesmo sinal

v

v <

< 0

0 e

e a

a <

< 00

--

--v

v

>

0 0 e

e a

a

<

00 ++

--- RETARDADO

- RETARDADO

⇒⇒

sinais opostos

v

v <

< 0

0 e

e a

a >

> 00

--

++

Conclui-se matematicamente, que nos movimentos acelerados o módulo da velocidade aumenta, enquanto que Conclui-se matematicamente, que nos movimentos acelerados o módulo da velocidade aumenta, enquanto que nos retardados, diminui.

nos retardados, diminui. EXEMPLO 2:

EXEMPLO 2: Qual é a aceleração escalar média de uma partícula que, em 10 segundos, altera a velocidade escalar deQual é a aceleração escalar média de uma partícula que, em 10 segundos, altera a velocidade escalar de 17 m

17 m/s /s para 2 para 2 m/s? m/s? Classifique Classifique o mo movimento.ovimento.

S

Soolluuççããoo: : CCoommo o jjá á vviimmoos s nno o eexxeemmppllo o 1 1 : : v v - - vv00 2 2 - - 117 7 1155

a

amm== llooggoo aamm = = = = - - = = - - 1,5 1,5 m/sm/s22

t t - - tt00 110 0 1100

Observe que esta partícula está sendo freada pois sua velocidade é

Observe que esta partícula está sendo freada pois sua velocidade é positiva mas sua aceleração é negativa,positiva mas sua aceleração é negativa, logo, temos um movimento

logo, temos um movimento progressivo retardado. progressivo retardado.

Obs

(2)

3.3- Movimento Uniformemente Variado (M.U.V) :

3.3- Movimento Uniformemente Variado (M.U.V) : Um movimento no qual o móvel mantém suaUm movimento no qual o móvel mantém sua aceler

aceleração ação escaescalar lar constconstante, não ante, não nula, é nula, é denomidenominado movimentnado movimento o unifuniformemeormemente nte variavariado. Em do. Em consconsequênequência, cia, aa aceleração escalar instantânea (a) e a aceleração escalar média (a

aceleração escalar instantânea (a) e a aceleração escalar média (amm) são iguais.) são iguais.

3.3.1- Equação das velocidades:

3.3.1- Equação das velocidades:Como no MUV a aceleração é constante, Como no MUV a aceleração é constante, teremos teremos a = aa = amm ou seja:ou seja:

t t a a v v v v t t a a v v t t v v a a

⇒

∆∆

==

⋅⋅

∆∆

⇒

−−

==

⋅⋅

∆∆

==

00 v – v

v – v00= a . t= a . t ⇒⇒ Esta expressão é chamada de equação horária das velocidades de umEsta expressão é chamada de equação horária das velocidades de um

MUV. MUV.

EXEMPLO 3: Um móvel tem velocidade de 20 m/s quando a ele é aplicada uma aceleração constante e igual a - 2 EXEMPLO 3: Um móvel tem velocidade de 20 m/s quando a ele é aplicada uma aceleração constante e igual a - 2 m/s

m/s22_._{. D}_Deetteerm_rmiinnee:: _aa)_{) o}_{o iinnssttaanntte}_{e em}_{em qquue}_{e o}_{o m}_móóve_vel_{l ppáárraa;;}

b) classifique o movimento antes da parada e depois da parada sabendo-se que o móvel continuou com b) classifique o movimento antes da parada e depois da parada sabendo-se que o móvel continuou com

aceleração igual. aceleração igual. Solução: Dados: v Solução: Dados: v00= = 220 0 mm//ss aa) ) t t = = ? ? v v = = 00 a a = = - - 2 2 m/sm/s22 v = v v = v00+ a.t + a.t ⇒ ⇒ 0 = 20 - 2.t 0 = 20 - 2.t ⇒ ⇒ 2t = 202t = 20 ⇒ ⇒ t = 10 st = 10 s b) Como o movimento

b) Como o movimento é uniformemente variado, isto significa que a aé uniformemente variado, isto significa que a aceleração é constante, sendo assim celeração é constante, sendo assim a = - 2 m/sa = - 2 m/s22

< 0 < 0 Antes

Antes da da parada parada - - v v > > 0 0 e e a a < < 0 0 - - MUV MUV progressivo progressivo e e retardadoretardado Depois

Depois da da parada parada - - v < v < 0 0 e e a < a < 0 - 0 - MUV MUV retrógraretrógrado e do e acelerado.acelerado.

Obs: Se você

Obs: Se você não enxergou não enxergou que a velocidade anque a velocidade antes de 10 tes de 10 s s é maior que é maior que zero e depois dzero e depois de 10 s e 10 s é menor que é menor que zero, bastazero, basta substituir um tempo qualquer na equação

substituir um tempo qualquer na equação das velocidades que verificará.das velocidades que verificará. 3.3.2- Gráfico das velocidades no MUV:

3.3.2- Gráfico das velocidades no MUV: Como Como no no MUV MUV temos temos que que v v = = vv00 + + a a t t (uma (uma funçãfunção o do do 1º1º

grau em t ) o diagrama correspondente será uma reta. Essa reta poderá ser crescente ou decrescente conforme a grau em t ) o diagrama correspondente será uma reta. Essa reta poderá ser crescente ou decrescente conforme a aceleração seja maior ou menor que zero.

aceleração seja maior ou menor que zero.

vv vv

vv00

vv00 aa>>00 aa <<00

t t tt

Da mesma fo

Da mesma forma que no M.U. , rma que no M.U. , a área sob o gráa área sob o gráfico v x t fico v x t é numericaé numericamentmente igual ao espae igual ao espaço percoço percorrido entrrido entre doisre dois instantes:

instantes:

Uma outra propriedade relacionada ao diagram

Uma outra propriedade relacionada ao diagrama v x t a v x t para o MUV , está ligada à tangente do ânpara o MUV , está ligada à tangente do ângulo formado entre ogulo formado entre o eixo

eixo t t e e a a reta reta do do gráfico gráfico v v x x t:t:

Como

Como∆∆t = t – tt = t – t₀₀, chamaremos de t, chamaremos de t₀₀o exato momentoo exato momento

em que se dispara um cronômetro para registrar o em que se dispara um cronômetro para registrar o tempo t

tempo t00= 0= 0

v = v

(3)

EXEMPL

EXEMPLO 4: O 4: Um ponto materUm ponto material deslocial desloca-se sobra-se sobre uma reta e e uma reta e sua velocisua velocidade em função do tempo é dada pelodade em função do tempo é dada pelo gráfico: gráfico: vv((mm//ss)) PPeeddee--ssee:: a) a velocidade inicial; a) a velocidade inicial; 9 9 bb) ) a a aacceelleerraaççããoo;;

c) a função horária das

c) a função horária das velocidades;velocidades; 5

5 dd) ) o o ddeessllooccaammeenntto o ddo o ppoonntto o mmaatteerriiaal l eennttrre e 0 0 e e 22ss;; e) a velocidade média entre 0 e 2s.

e) a velocidade média entre 0 e 2s. 0

0 22 tt((ss))

Solução: a)

Solução: a) A velocidaA velocidade inicial é de inicial é determinada quadeterminada quando t = ndo t = 0 , 0 , logo logo vv00 = = 5 5 m/s.m/s.

b) A aceleração é calculada pela tangente do

b) A aceleração é calculada pela tangente do ânguloânguloΘ Θ _..

99 ∆∆v v vv₂₂- v- v₀₀ 9 9 - - 5 5 44 ∆ ∆t = t - tt = t - t₀₀ a = tga = tgΘΘ= = = = = = = = = = 22 55 ΘΘ ∆∆t t tt₂₂ - - tt₀₀ 2 2 - - 0 0 22 ∆ ∆v = v - vv = v - v₀₀ então então: : a = a = 2 m2 m/s/s22 0 0 2 2 tt((ss)) c) Como

c) Como o gráfico o gráfico v = f(t) v = f(t) é uma é uma reta, reta, a função a função é do 1º é do 1º grau; portangrau; portanto: to: v = vv = v00 + a.t + a.t

Substituindo

Substituindo os os valores valores encontrados encontrados temos: temos: v v = = 5 5 + + 2 2 t t d) O

d) O desdesloclocameamento é nto é calcalculculado pela áreado pela área a comcomprpreeneendiddida a ententre os re os insinstantantes 0 tes 0 e e 2s 2s e e a a rereta que ta que rereprpreseesenta anta a velocidade: velocidade: v (m/s) v (m/s) Área do trapézio Área do trapézio 9 9 ((99++55)).. 22 A = A =∆∆_S_S ₌₌ ₌₌₁₁₄₄ _m_m 5 5 AA 22 0 0 2 2 tt((ss)) e) e) ∆∆S S 1414 V Vmm= = = = = 7 = 7 , , logo logo VVmm = 7 m/s= 7 m/s ∆ ∆t t 22 V V11 + + VV22 5 5 + + 9 9 1414 ou

ou leitura leitura do do gráfico gráfico só só para para MUVMUV: : VVmm = = = = = = = = 7m/s7m/s

2

2 2 2 22

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:

1) O gráfico da velocidade para um móvel que se desloca numa trajetória retilínea é

1) O gráfico da velocidade para um móvel que se desloca numa trajetória retilínea é dado a seguir:dado a seguir: Determine:

Determine: a) a) A A função horfunção horária das ária das velocidades ;velocidades ; b) o deslocamento do móvel entre 0 e 5 s b) o deslocamento do móvel entre 0 e 5 s Sabemos que tg Sabemos que tgΘΘ==∆∆v /v / ∆∆t t = = aa nn Portanto tg Portanto tgΘΘ= = aa Conclusão : A

(4)

V (m/s) V (m/s) 15 15 0 0 5 5 tt((ss))

2) Os gráficos abaixo indicados representam a velocidade de um móvel em função do tempo. Determine para cada 2) Os gráficos abaixo indicados representam a velocidade de um móvel em função do tempo. Determine para cada caso a função v = f(t) . caso a função v = f(t) . vv((mm//ss)) vv((mm//ss)) vv((mm//ss)) 8 8 1010 66 66 1 1 tt((ss)) 00 22 tt((ss)) 00 44 tt((ss))

(5)

3.3.3- Gráfico da aceleração:

3.3.3- Gráfico da aceleração: No movimento uniformemente variado a aceleração é constante e diferente de No movimento uniformemente variado a aceleração é constante e diferente de zero; portanto, o gráfico tem as formas:

zero; portanto, o gráfico tem as formas:

aa aa a a = cte = cte > 0> 0 0 0 tt a = cte < 0 a = cte < 0 0 0 tt

Propriedade:

No gráfico a = f(t) a área A , compreendida entre os instantes tNo gráfico a = f(t) a área A , compreendida entre os instantes t11 e e tt22 , mede a variação de velocidade, mede a variação de velocidade

entre estes instantes. entre estes instantes.

aa SSaabbeemmoos s qquuee: : A A = = aa11 . . (t(t22 - - tt11) ) 11

∆ ∆VV ∆∆VV aa11 Mas aMas a11 = = == ⇒⇒ ∆∆V = V = aa11. (t. (t22 - - tt11) ) 22 A A ∆∆t t tt₂₂ - - tt₁₁ 0 0 tt11 tt22 tt C

Coommppaarraannddo o 1 1 e e 2 2 vveem m :: nnuummeerriiccaammeennttee 1

1 = = 22 ⇒⇒ A A == ∆∆VV

EXE

EXEMPLMPLO O 5: 5: O O grágráficfico o a a segseguir indiuir indica a ca a aceacelerleraçãação o adqadquiruirida por um ida por um móvmóvel em el em funfunção do tempo sobrção do tempo sobre e umauma trajetória retilínea: trajetória retilínea: a(m/s a(m/s22₎₎

44

t (s) t (s) Sabendo que

Sabendo que no instante no instante t = 0 t = 0 o móvel tino móvel tinha velocidade 1ha velocidade 10 m/s 0 m/s e estava e estava na posição na posição + 8m , + 8m , pede-se:pede-se: Construir o gráfico da velocidade em função do tempo.

Construir o gráfico da velocidade em função do tempo.

Solução:

Solução: Cálculo Cálculo de:de:

a(m/s a(m/s22 ) ) AA11 = = 33 ⇒ ⇒ ∆∆V V 11 = = 3 3 m/sm/s 5 5 AA22 = = 55 ⇒ ⇒ ∆∆V V 22 = = 5 5 m/sm/s 4 4 AA33 = = 44 ⇒ ⇒ ∆∆V V 33 = = 4 4 m/sm/s 3 3 AA44 = = 44 ⇒ ⇒ ∆∆V V 44 = = -4 -4 m/sm/s A A11 AA22 AA33 t(s) t(s) 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 55 A A44 -4 -4 A

A velocidade no velocidade no instante instante t = t = 1s 1s é: é: V V 11 = = V V 00 ++ ∆∆V V 11 = = 10 10 + + 3 3 = = 13 13 m/s.m/s.

A

A velocidade no velocidade no instante instante t = t = 4s 4s é: é: V V 44 = = V V 33 = = 22 22 m/s.m/s.

33

22

00 -4

-4

11

22

33

44

55

(6)

V (m/s) V (m/s) 22 22 18 18 13 13 10 10 AA22 AA33 AA44 AA55 A A11 t(s)t(s) 0 0 11 22 33 44 55 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:

3) O gráfico a seguir indica a velocidade em função do tempo de um móvel que se movimenta sobre uma trajetória 3) O gráfico a seguir indica a velocidade em função do tempo de um móvel que se movimenta sobre uma trajetória retilínea: retilínea: v(m/s) v(m/s) 10 10 8 9 10 11 8 9 10 11 00 22 44 66 tt((ss)) - 5 - 5

4) O gráfico abaixo indica a aceleração adquirida por um móvel sobre uma trajetória retilínea. 4) O gráfico abaixo indica a aceleração adquirida por um móvel sobre uma trajetória retilínea.

a (m/s a (m/s22₎₎ 33 00 22 44 66 88 1100 tt((ss)) -3 -3 Sabendo que no

Sabendo que no instante t = 0 instante t = 0 o móvel estavao móvel estava na posição

na posição +6 m +6 m , , pede-se:pede-se:

a) representar numa trajetória esse movimento; a) representar numa trajetória esse movimento; b) construir o gráfico da aceleração em função b) construir o gráfico da aceleração em função

do tempo. do tempo.

Sabendo que no instante t = 0s o móvel tinha Sabendo que no instante t = 0s o móvel tinha velocidade de 8 m/s e estava na origem das velocidade de 8 m/s e estava na origem das posições, pede-se:

posições, pede-se:

a)

a)a) construir o gráfico v = f(t);construir o gráfico v = f(t);

b)

b) b) reprepresresententar ar numnuma a tratrajetójetória ria essessee movimento.

(7)

3.3.4 - Equação horária das posições no MUV:

3.3.4 - Equação horária das posições no MUV: Uma das formas de demonstrar a função horária doUma das formas de demonstrar a função horária do espaço do MUV

espaço do MUV é a partir do dé a partir do diagrama v x t:iagrama v x t: V V nn BB++bb nn nn nn ∆ ∆s = área =s = área = _.. h h e e B B = = v v , b , b = = vv₀₀ e e h h = = tt vv 22 v + v v + v00 B

B EEnnttããoo:: ∆∆s s == _.. t t , , onde onde v v = = vv₀₀ + + a a . . tt

vv00 22

tt LLooggoo: : vv00+ a . t + v+ a . t + v00 2v2v00 . t + a . t. t + a . t22 a.ta.t22

0 0 hh tt ∆∆s s == _.. tt == ==vv₀₀. t +. t + 2 2 2 2 22 oouu aa..tt22 s - s s - s00 = v= v00. . t t + + PPoorrttaannttoo, , s s = = ff((tt) ) ddo o MMUUV V éé: : a a . . tt22

22 S

S

=

SS

00

+

+ V

V

00

. t +

22 Esta função é do 2º grau em t, cujo gráfico é

Esta função é do 2º grau em t, cujo gráfico é

p

par

arab

aból

ólic

ico,

o,

co

como ser

mo será

á vi

vist

sto

o no pró

no próxi

ximo

mo

segmento.

EXEMPLO 6:

EXEMPLO 6: Um móvel desloca-se Um móvel desloca-se sobre sobre uma reta uma reta segundo segundo a funçãa função horária o horária S = S = -15 - -15 - 2t 2t + + tt22 (no SI) . Pede-se:(no SI) . Pede-se:

a) o tipo de movimento; a) o tipo de movimento; b) a posição inicial; b) a posição inicial; c) a velocidade inicial; c) a velocidade inicial; d) a aceleração; d) a aceleração; e) a e) a função função v = v = f(t);f(t);

f) o instante em que o móvel passa pela origem das posições. f) o instante em que o móvel passa pela origem das posições.

Solução: a) A

Solução: a) A função horária função horária S = -15 - 2t + t S = -15 - 2t + t 22

é do 2º grau, portanto o

é do 2º grau, portanto o movimento é uniformemente variado.movimento é uniformemente variado. b)

b) Por Por comparação: comparação: S S = = S S 00+ v+ v00t + a/2 t + a/2 . t . t 22 ⇒ ⇒ S S 00 = = -15 -15 m m (o m(o móveóvel esl está a tá a 15 m15 metretros dos daa

origem. origem.

(8)

e) V = V

e) V = V 00+ a.t + a.t ⇒ ⇒ Substituindo os valorSubstituindo os valores encontrados anteriores encontrados anteriormente temos que: mente temos que: V = -2 + 2.t V = -2 + 2.t

f)

f) A origem A origem das posições das posições temos quando temos quando S = S = 0 :0 : S = -15 - 2t + t S = -15 - 2t + t 22 0 = -15 - 2t + t 0 = -15 - 2t + t 22 __ __

Resolvendo a equação temos: t= - b

Resolvendo a equação temos: t= - b ± ±

∆∆

₌_{= 2}₂ ± ± ₍₈₎₍₈₎ ⇒ ⇒ _t_{t =}_{= 5s}_{5s .}_{. Obs}_{Obs Em}_{Em cinemática}_{cinemática só}_{só se}_{se considera}_considera

o o

2

2 aa 22 tteemm po positivo po positivo..

EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM: EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM: 5)

5) Um ponto material caminha em Um ponto material caminha em MUV segundo MUV segundo a função horária S a função horária S = 12 - 8 = 12 - 8 t t + 4 t+ 4 t22_{, no S.I.}_{, no S.I. Pergunta-se:}_Pergunta-se:

a) qual a sua posição inicial; a) qual a sua posição inicial; b) qual a sua velocidade inicial; b) qual a sua velocidade inicial;

c) qual a sua aceleração; c) qual a sua aceleração;

d) qual a sua posição no instante 10 s; d) qual a sua posição no instante 10 s;

e) o instante em que ele passa pela origem dos espaços; e) o instante em que ele passa pela origem dos espaços; f) determine a função horária

f) determine a função horária das velocidades;das velocidades;

g) o instante em que o móvel inverte o sentido do movimento; g) o instante em que o móvel inverte o sentido do movimento; h) classifique o movimento para o instante t = 3s .

h) classifique o movimento para o instante t = 3s .

3.3.5 - Gráfico S

3.3.5 - Gráfico S x t no x t no M.U.VM.U.V. :. : Para o MUV temos que S = SPara o MUV temos que S = S00 + V+ V00t + att + at22/ / 2 2 . . Como Como esta esta é é uma uma funçãofunção

do 2º grau em t, o gráfico correspondente será uma parábola. do 2º grau em t, o gráfico correspondente será uma parábola.

(9)

tt

- PROPRIEDADES DO DIAGRAMA: - PROPRIEDADES DO DIAGRAMA: 1ª)

1ª) O diagrama horário de um MUV O diagrama horário de um MUV resulta sempre numa paráboresulta sempre numa parábola, a qual pode apresentar sua cla, a qual pode apresentar sua concavidade voltadaoncavidade voltada para cima ou para baixo:

para cima ou para baixo: S S SS SS00 tt a > 0 a > 0 SS00 a < 0a < 0 tt

O fato de a concavidade ser voltada para cima ou para baixo depende de o

O fato de a concavidade ser voltada para cima ou para baixo depende de o sinal da aceleração ser positivo ou negativo.sinal da aceleração ser positivo ou negativo. 2º) No diagrama horário, quando a curva se apresenta ascendente, a velocidade é positiva; quando descendente, a 2º) No diagrama horário, quando a curva se apresenta ascendente, a velocidade é positiva; quando descendente, a velocidade é negativa. Nos vértices das parábolas, as velocidades se anulam.

velocidade é negativa. Nos vértices das parábolas, as velocidades se anulam.

V = 0 V = 0 S S SS V V > > 0 0 V V < < 00 SS00 tt V V < < 00 V V > > 00 tt V = 0 V = 0

A 2ª propriedade é que de uma maneira não muito simples, pode-se calcular velocidades através de tangentes, A 2ª propriedade é que de uma maneira não muito simples, pode-se calcular velocidades através de tangentes, da mesma forma que já foi visto no M.U. . A demonstração disso você verá quando cursar a universidade e poderá da mesma forma que já foi visto no M.U. . A demonstração disso você verá quando cursar a universidade e poderá utilizar esse fato quando conhecer um pouco de limites e derivadas que será dado no curso de Matemática.

utilizar esse fato quando conhecer um pouco de limites e derivadas que será dado no curso de Matemática.

EXEMPLO 7:

EXEMPLO 7: Baseado no que foi exposto, analisemos o Baseado no que foi exposto, analisemos o gráfico abaixo:gráfico abaixo:

SS

tt33 tt44 tt77 tt88 tt

0

0 tt11 tt22 tt55 tt66

Dele podemos concluir que: Dele podemos concluir que:

1- De 0 a t

1- De 0 a t 22 temos um M.U.Vtemos um M.U.V. . com aceleração negativa, pois a concavidade da parábola é para baixo.com aceleração negativa, pois a concavidade da parábola é para baixo.

2- De 0 a t

(10)

5- De t

5- De t 22 a a t t 44 a aceleração é positiva pois a a aceleração é positiva pois a concavidade da parábola é para cima.concavidade da parábola é para cima.

6- De t

6- De t 22 a a t t 33 o movimento é retrógrado e retaro movimento é retrógrado e retardado, pois a velocidade é dado, pois a velocidade é negativa e a aceleração é negativa e a aceleração é positiva.positiva.

7- De t

7- De t 33 a a t t 44 o movimento é progreso movimento é progressivo e acelerado, pois a sivo e acelerado, pois a velocidade e a aceleração são positivas.velocidade e a aceleração são positivas.

8- De t

8- De t 44 a a t t 55 o movimento é progressivo e uniforme, pois o espaço varia linearmente com o tempo e a curva é o movimento é progressivo e uniforme, pois o espaço varia linearmente com o tempo e a curva é

crescente. crescente. 9- De t

9- De t 55 a a t t 6 6 o corpo está em repouso, pois a sua posição não varia o corpo está em repouso, pois a sua posição não varia no decorrer do tempo.no decorrer do tempo.

10- A partir de t

10- A partir de t 6 6 o movimento é uniforme e retrógrado, pois o espaço varia linearmente com o tempo e a curva é o movimento é uniforme e retrógrado, pois o espaço varia linearmente com o tempo e a curva é

decrescente. decrescente.

11- Nos instantes t

11- Nos instantes t 11 e e t t 33 o móvel inverte o sentido o móvel inverte o sentido do movimento.do movimento.

3.3.6 -

3.3.6 - Equação de Equação de TTorricelli :orricelli : TTemos até agora duas funções que emos até agora duas funções que nos permitem saber a posição do nos permitem saber a posição do móvel e amóvel e a sua velocidade em relação ao tempo. Torna-se útil encontrar uma equação que possibilite conhecer a velocidade de um sua velocidade em relação ao tempo. Torna-se útil encontrar uma equação que possibilite conhecer a velocidade de um móvel sem saber o tempo.

móvel sem saber o tempo.

A equação de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida eliminando o A equação de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida eliminando o tempo entre as funções horárias da posição e da velocidade.

tempo entre as funções horárias da posição e da velocidade. S = S

S = S00 + + VV00. t + (a.t. t + (a.t22))//22 11 VV == VV00 + + a a . . t t 22

Isolando o tempo t na segunda equação e substituindo na primeira, vem: Isolando o tempo t na segunda equação e substituindo na primeira, vem:

De (2) : De (2) : aa v v v v t t

==

−−

00 Substituindo em (1) Substituindo em (1) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1













 −−

⋅⋅

++













 −−

⋅⋅

++

==

a a v v v v a a a a v v v v v v s s s s

     

 

 

 

−−

++

−−

++

==

a a v v vv vv v v a a v v vv vv s s s s 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1

Reduzindo ao mesmo denominador: Reduzindo ao mesmo denominador:

2a(S - S

2a(S - S00) = 2 v) = 2 v00v - 2vv - 2v0022 + + vv22 - 2vv- 2vv00 + + vv0022

2a(S - S

2a(S - S00) = - v) = - v0022 + + vv22

vv22 ₌_{= vv}

0022 + + 2 a 2 a (S - (S - SS00) ) masmas ∆∆S = S = S - S - SS00 Sendo Sendo assim: assim: vv22 = = vv0022 + + 2a2a∆∆SS

Solução:

Solução: São São dados - dados - v v = = 144 144 Km/h = Km/h = 40 40 m/sm/s

∆ ∆_{S = 50 m}_{S = 50 m} vv00= = 00 vv22 = = vv0022 + 2.a.+ 2.a. ∆∆S S 40 4022 = 0 = 022 + 2.a.50 + 2.a.50 ⇒ ⇒ _{1600 = 100 a}_{1600 = 100 a} ⇒ ⇒ _{a = 16 m/s}_{a = 16 m/s}22 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:

6) Um carro tem velocidade de 20 m/s quando, a 30 m

6) Um carro tem velocidade de 20 m/s quando, a 30 m de distância, um sinal vermelho é observado. Qual deve ser ade distância, um sinal vermelho é observado. Qual deve ser a desaceleração produzida pelos freios p

desaceleração produzida pelos freios para que o carro pare a 5 m ara que o carro pare a 5 m do sinal?do sinal?

7) A

7) A equação horária de um móvel é equação horária de um móvel é S = 3 - 4t + tS = 3 - 4t + t22 _{(SI) . Cons}_{(SI) . Construa o diagrama S}_{trua o diagrama S x t}_{x t desse movimento.}_{desse movimento.}

Sujestão: Após construir o diagrama, retorne para a equação horária

(11)

8) Classifique o movimento para cad

8) Classifique o movimento para cada trecho do diagrama S x t a trecho do diagrama S x t abaixo:abaixo:

ss tt33 tt88 0 0 tt11 tt22 tt44 tt55 tt66 tt77 tt77 tt Exercícios de Fixação: Exercícios de Fixação:

9) Coloque V de verdadeiro ou F de falso:

(

)

) 1.

1. No

No MRUV

MRUV a

a aceleração

aceleração do

do móvel

móvel varia

varia linearmente

linearmente com

com o

o tempo.

tempo.

(

)

) 2.

2. No

No MRUV

MRUV a

a velocidade

velocidade varia

varia linearmente

linearmente com

com o

o tempo.

tempo.

(

)

) 3.

3. Um

Um carro

carro em

em marcha

marcha a

a ré

ré não

não pode

pode realizar

realizar movimento

movimento acelerado.

acelerado.

(

)

) 4.

4. No

No movimento

movimento uniformement

uniformemente

e retardado

retardado a

a velocidade

velocidade e

e a

a aceleração

aceleração têm

têm sinais

sinais opostos.

opostos.

(

)

) 5.

5. No

No MRUV

MRUV o

o diagrama e

diagrama e x

x t t fornece

fornece uma

uma reta

reta inclinada

inclinada em

em relação

relação ao

ao eixo

eixo dos

dos tempos.

tempos.

(

)

) 6.

6. A

A declividade da

declividade da reta que

reta que você

você obtém ao

obtém ao construir o

construir o diagrama v

diagrama v x

x t t indica a

indica a aceleração do

aceleração do móvel.

móvel.

(

) 7. A

) 7.

A velocidade

velocidade média

média do

do móvel

móvel que

que realiza

realiza MRUV

MRUV , en

, entre

tre dois

dois instantes

instantes, v

, vale

ale a mé

a média

dia aritmética

aritmética das

das

velocidades instantâneas que o móvel apresenta nos citados instantes.

(

(12)

a) AB / t

11

=

= BC

BC / / tt

22

b) AB / BC = t

22

/ t

11

c) AB / BC = (t

22

/ t

11

))

22

d) AC = (AB / t

11

))

+ ( BC / t

22

)

ee)

) A

AC

C =

= ((A

AB

B +

+ B

BC

C)

) tt

11

tt

22

11) Um móvel partindo do repouso executa movimento retilíneo cuja aceleração escalar varia com o tempo

conforme o diagrama. Pode-se afirmar que ao fim de

conforme o diagrama. Pode-se afirmar que ao fim de 4s, o espaço percorrido é:

4s, o espaço percorrido é:

a (m/s

22

₎₎

_aa)

₎

₄₄₅

₅

_m

b) 100 m

44 cc)

)

11880

0 m

m

d) 30 m

e) 50 m

t(s)

0

33

66 12) Um ponto material caminha em MUV com aceleração de 10 m/s

12) Um ponto material caminha em MUV com aceleração de 10 m/s

22

_{. Sabendo-se que inicialmente sua}

posição era 30 m

posição era 30 m e sua velocidade 15 m/s , encontre a sua

e sua velocidade 15 m/s , encontre a sua função horária e a sua posição no instante t =

função horária e a sua posição no instante t = 3s.

3s.

13) É conhecida a função das velocidades de um ponto material que caminh

13) É conhecida a função das velocidades de um ponto material que caminha em MUV como v =

a em MUV como v = 2 - 8t (SI).

2 - 8t (SI).

Sabendo-se que o móvel partiu da origem pede-se:

a) a função horária do

a) a função horária do móvel;

móvel;

b) o instante em que sua velocidade é nula;

c) o instante em que o

c) o instante em que o móvel passa pela posição -6m .

móvel passa pela posição -6m .

14) Um automóvel trafega sobre uma avenida em M.U. quando é obrigado a freiar bruscamente para não

bater em um poste. Sabendo-se que sua velocidade antes de frear era 20 m/s e que ele pára em 2s , e supondo

que a aceleração imposta pelos freios é constante, qual a distância que ele percorre durante a freagem?

15) Um fuzil é

15) Um fuzil é acionado e sabe-se que a bala sai do

acionado e sabe-se que a bala sai do cano com velocidade de 500 m/s. Sabe-se também que o

cano com velocidade de 500 m/s. Sabe-se também que o

comprimento do cano é 0,7 m. Calcule:

a) a aceleração da bala dentro do cano (suposta constante);

b) o tempo de

b) o tempo de percurso da bala dentro do cano.

percurso da bala dentro do cano.

16) O diagrama abaixo representa a variação da velocidade de um móvel em r

16) O diagrama abaixo representa a variação da velocidade de um móvel em relação ao tempo. Determine:

elação ao tempo. Determine:

V (m/s) V (m/s)

15

15 a) a aceleração do móvel;

a) a aceleração do móvel;

bb)

) o

o iinnssttaanntte

e eem

m qquue

e a

a vveelloocciiddaadde

e é

é nnuullaa.

.

0

55 t

t ((ss))

-10

17) Um ponto material caminha obedecendo a função horária S = 2t

22

_{- 18t + 6 (MKS) .}

_{- 18t + 6 (MKS) . Pede-se:}

_Pede-se:

a) sua posição inicial;

b) sua velocidade inicial;

c) sua aceleração;

d) os instantes em que o móvel passa pela posição -10m.

18) Um ponto material caminha em MUV obedecendo a seguinte função das velocidades: v = 10 - 4t (SI) .

Pede-se:

a) classificar o movimento para t = 2s;

b) classificar o movimento para t = 3s.

19) Um ponto material caminha segundo a função S = 3t - 8t

22

_{(SI) . Classifiq}

_{(SI) .}

_{Classifique o movimento do móvel para:}

_{ue o movimento do móvel para:}

a)

(13)

20) Um

20) Um motorista quando enxer

motorista quando enxerga um

ga um obstáculo e precisa frear, leva cerca de 0,7s para

obstáculo e precisa frear, leva cerca de 0,7s para acionar os freios. Se

acionar os freios. Se

um motorista caminha a 20 m/s , que distância irá percorrer após enxergar um obstáculo e frear (parar) ?

Suponha que os freios do carro imprimam ao

Suponha que os freios do carro imprimam ao veículo uma aceleração de 5 m/s

veículo uma aceleração de 5 m/s

22

_..

21) Um objeto se move de acordo com a seguinte equação horária: d = 5t

22

_{+ 2t + 3. Determine a velocidade}

média deste objeto entre os instantes 0 e 2s (use sistema CGS).

22) Um móvel animado de MRUV , parte do repouso e adquire ao fim de 5s a velocidade de 18 Km/h . Que

distância

distância, em

, em metros percorreu o móvel

metros percorreu o móvel durante esse tempo?

durante esse tempo?

23) Uma partícula se movimenta segundo a equação e = 5 + 2t + 5t

22

_{. Nestas condições pode-se afirmar que,}

no SI:

a) a partícula se movimenta com a velocidade de 10 m/s;

b) a partícula se movimenta com aceleração variável;

c) no intervalo de tempo de 1 a 3s sua velocidade média é de 22 m/s;

d) a trajetória descrita por ela é

d) a trajetória descrita por ela é retilínea;

retilínea;

e) a partícula inicia seu movimento com velocidade de 5 m/s.

24) O gráfico representa a velocidade de uma partícula em função do tempo. Podemos afirmar que:

a) o

a) o movimento é retilíneo uniformemente variado;

movimento é retilíneo uniformemente variado;

b) o movimento é acelerado somente no trecho CD;

c) o movimento é retardado somente no trecho DE;

d) nenhuma das afirmativas é satisfatória.

25) O gráfico a seguir representa a posição de um móvel dado pelo espaço em função do tempo. A

velocidade escalar média no intervalo de 0 a 7s foi igual a:

e(m)

aa)

) 220

0 m

m//s

s

4400

b) 2 m/s

cc)

) 223

3 m

m//s

s

3300

d) 6,6 m/s

ee)

) zzeerroo.

.

0

0 3 5

3 5 6

6 7

7 tt((ss))

As informações a seguir referem-se às questões de 26 e 27:

Uma partícula descreve o movimento cujo gráfico horário, parabólico é dado abaixo, mostrando que para t =

1s , x é

1s , x é máximo. Os valores da abcissa x são medidos a partir de um ponto 0, ponto origem da reta orientada

máximo. Os valores da abcissa x são medidos a partir de um ponto 0, ponto origem da reta orientada

sobre a qual a partícula se movimenta.

x(m)

16

15

0

1

55 tt((ss))

26) A equação horária é:

a) x = 15 + 2t + t

22

D

C

B

A

_E

V

tt

(14)

d) x = 15 + 2t - t

22

e) x = 15 - 2t + ½ t

22

27) A velocidade da partícula obedece a equação:

a) v = 2 - t

b) v = -2 + t

c) v = 2 - 2t

d) v = 2 + 2t

e) v = 1 - 2t

As informações a seguir referem-se às questões de 28 a 32:

O diagrama representa a velocidade de um pequeno foguete, com um só estágio, lançado verticalmente.

V(m/s)

500

00 1100

6600

tt((ss))

28) Enquanto o

28) Enquanto o motor está funcionando a aceleração é:

motor está funcionando a aceleração é:

a) 5,00 x 10

33

_m/s

22

_{b) 2,5 x 10 m/s}

22

_{c) 5,0 m/s}

22

_{d) 9,8 m/s}

22

_{e) n.r.a.}

29) A altura em que o motor deixa de funcionar é:

a)

a) 5,00

5,00 x 1

x 10

0 m

m b) 5

b) 5,00

,00 x 1

x 100

33

_m

_c)

_{c) 2,50}

_{2,50 x}

_{x 10}

_{10 m}

_m

_d)

_{d) 1,00}

_{1,00 x}

_{x 10}

₁₀

33

_m

_e)

_{e) n.r.a.}

_n.r.a.

30) O foguete atinge sua altitude máxima no instante:

a)

a) 10s

10s

b)

b) 60s

60s

c)

c) 5s

5s

d)

d) 115

115s

s

e)

e) n.r

n.r.a.

.a.

31) A altitude máxima atingida pelo foguete é:

a) 3,00 x 10

44

_m

_bb)

_{) 22,,550}

_{0 x}

_{x 1100}

33

_m

_c)

_{c) 1,50}

_{1,50 x}

_{x 10}

₁₀

44

_m

_d)

_{d) 5,00}

_{5,00 x}

_{x 10}

₁₀

22

_m

_ee)

_{) nn..rr..aa..}

32) O foguete atingirá o solo no instante t que vale aproximadamente:

a)

a) 100s

100s

b)

b) 120s

120s

c)

c) 115s

115s

d)

d) 60,0s

60,0s

e)

e) n.r.a.

n.r.a.

33) A velocidade de um carro em função do tempo, pode ser descrita pelo gráfico abaixo. Quanto andou o

carro nos primeiros 5s? Quanto andou durante vinte segundos? Qual a velocidade média do movimento?

V(m/s)

20

20 t(s)

t(s)

0

5

0

5

15

20

20 34) O diagrama abaixo representa, em função do tempo, a velocidade de um objeto. Traçar um diagrama da

34) O diagrama abaixo representa, em função do tempo, a velocidade de um objeto. Traçar um diagrama da

aceleração em função do tempo.

V(m/s)

20

(15)

-20

35) Eis o diagrama representativo da variação do espaço S de um

35) Eis o diagrama representativo da variação do espaço S de um móvel em função do tempo t:

móvel em função do tempo t:

SS((m

m))

A

Assssiinnaalle

e a

a aalltteerrnnaattiivva

a eerrrraaddaa::

5

5 aa)

) A

A vveelloocciiddaadde

e iinniicciiaal

l é

é nneeggaattiivvaa..

b) Entre 0 e 1s , o movimento é retrógrado e uniformemente

retardado.

t(s)

t(s) c)

c) A pa

A partir de t = 3

rtir de t = 3s o movim

s o movimento é un

ento é uniform

iforme.

e.

0

1

2

33 dd)

) A

A vveelloocciiddaadde

e eessccaallaar

r m

mééddiia

a eennttrre

e 0

0 e

e 33s

s é

é iigguuaal

l a

a 55//33

m/s.

e) n.r.a.

-5

Dado o gráfico seguinte, que representa a variação do espaço de uma partícula em relação ao tempo,

responda às questões de 36 a 45 de acordo com o seguinte código:

a. A assertiva e a razão são proposições corretas e a razão é justificativa da assertiva.

b. A assertiva e a razão são proposições corretas, porém a razão não é justificativa correta da assertiva.

c. A assertiva está correta e a razão incorreta.

d. A assertiva está incorreta e a razão correta.

SS

0

0 tt

11

tt

22

tt

22

tt

33

tt

44

tt

36)

36) (

(

)

) De

De 0

0 a

a tt

11

o móvel está se aproximando da origem dos espaços PORQUE de 0 a t

11

a velocidade é

negativa.

37)

37) (

(

)

) De

De 0

0 a

a tt

11

o movimento é acelerado PORQUE de 0 a

o movimento é acelerado PORQUE de 0 a tt

11

a aceleração é positiva.

38)

38) (

(

)

) De

De 0

0 a

a tt

11

o movimento é uni

o movimento é uniformemente varia

formemente variado PORQUE

do PORQUE a velocidade

a velocidade é função do 2º grau em

é função do 2º grau em

relação ao tempo.

39)

39) (

(

)

) De

De 0

0 a

a tt

11

o movimento é retrógrado PORQUE de 0 a t

11

a velocidade é negativa.

40)

40) (

(

)

) De

De tt

11

a t

22

o movimento é retardado PORQUE de t

11

a t

22

a velocidade diminui em módulo.

41)

41) (

(

)

) De

De tt

11

a t

22

o móvel se afasta da origem dos espaços PORQUE no instante t =

o móvel se afasta da origem dos espaços PORQUE no instante t = 2s

2s a aceleração é nula.

a aceleração é nula.

42)

42) (

(

)

) De

De tt

22

a t

33

o movimento é progressivo PORQUE de t

22

a t

33

a aceleração é positivo.

43)

43) (

(

)

) De

De tt

22

a t

33

o movimento é acelerado PORQUE de t

22

a t

33

a velocidade aumenta em módulo.

44)

44) (

(

)

) De

De tt

33

a t

44

o móvel está em repouso PORQUE de

o móvel está em repouso PORQUE de tt

33

a t

44

a aceleração é nula.

45)

(16)

3.4 - Lança

3.4 - Lançamento Vmento Vertical e Queda ertical e Queda Livre:Livre:

Quando um corpo é lançado nas proximidades da superfície da Terra fica sujeito a uma aceleração constante, Quando um corpo é lançado nas proximidades da superfície da Terra fica sujeito a uma aceleração constante, orientada sempre para baixo, na direção vertical. Tal aceleração será estudada na Gravitação. Ela existe devido ao orientada sempre para baixo, na direção vertical. Tal aceleração será estudada na Gravitação. Ela existe devido ao campo gravitacional terrestre.

campo gravitacional terrestre.

A aceleração da gravidade não é a mesma em todos os lugares da Terra. Ela varia com a latitude e com a A aceleração da gravidade não é a mesma em todos os lugares da Terra. Ela varia com a latitude e com a altitude. Ela aumenta quando se passa do equador (g = 9,78039 m/s

altitude. Ela aumenta quando se passa do equador (g = 9,78039 m/s22_{) para o pólo (g = 9,83217 m/s}_{) para o pólo (g = 9,83217 m/s}22_{) . Ela diminui}_{) . Ela diminui}

quando se vai da base de uma montanha para o seu cume. quando se vai da base de uma montanha para o seu cume.

O valor de g num lugar situado ao nível do mar e à

O valor de g num lugar situado ao nível do mar e à latitude de 45º chama-se aceleração normal da gravidade.latitude de 45º chama-se aceleração normal da gravidade. ggnormalnormal = 9,80665 m/s= 9,80665 m/s22

Se trabalharmos com dois algarismos significativos apenas, podemos considerar o valor de g como o mesmo Se trabalharmos com dois algarismos significativos apenas, podemos considerar o valor de g como o mesmo para todos os l

para todos os lugares da Terra:ugares da Terra:

g = 9,8 m/s g = 9,8 m/s22

Para facilitar os cálculos normalmente usa-se g = 10 m/s Para facilitar os cálculos normalmente usa-se g = 10 m/s22 _..

A expressão

A expressão queda livrequeda livre , utilizada com frequência, refere-se a um movimento de descida, livre dos efeitos do, utilizada com frequência, refere-se a um movimento de descida, livre dos efeitos do

ar; é, portanto, um M.U.V. acelerado sob a ação da aceleração da gravidade, assim como no lançamento vertical. ar; é, portanto, um M.U.V. acelerado sob a ação da aceleração da gravidade, assim como no lançamento vertical. Porém no lançamento vertical, quando o corpo sobe o movimento é retardado e quando desce é acelerado.

Porém no lançamento vertical, quando o corpo sobe o movimento é retardado e quando desce é acelerado.

Observações:

Observações: 1) Como a aceleração da gravidade nas proximidades da Terra é constante, nosso movimento será1) Como a aceleração da gravidade nas proximidades da Terra é constante, nosso movimento será

uniformemente variado. (MUV) uniformemente variado. (MUV) 2) Em um mesmo lugar

2) Em um mesmo lugar da Tda Terra todos os corpos caem livremente erra todos os corpos caem livremente com a mesma aceleração, icom a mesma aceleração, independentemente do seundependentemente do seu peso, forma ou tamanho. Isto é,

peso, forma ou tamanho. Isto é, naquele lugar da Terra o valor de g é naquele lugar da Terra o valor de g é o mesmo para qualquer corpo eo mesmo para qualquer corpo em queda livre.m queda livre. 3)

3) Quando Quando lançamos lançamos um um corpo corpo verticalmente verticalmente para para cima, qcima, quando uando este aeste alcançar a lcançar a altura maltura máxima, áxima, sua sua velocidade velocidade seráserá nula (V = 0).

nula (V = 0).

N

Na a ssuubbiidda a NNa a aallttuurra a mmááxxiimma a NNa a ddeesscciiddaa v = 0

v = 0 v

vddiimmiinnuuii ggccttee..

g

g ccttee.. gg ccttee.. vvaauummeennttaa

M

MUUV V rreettaarrddaaddo o MMuuddaannçça a dde e sseennttiiddo o MMUUV V aacceelleerraaddoo Há duas possibilidades para

Há duas possibilidades para a orientação da a orientação da trajetória, conforme as conveniências. A seguirtrajetória, conforme as conveniências. A seguir, elas são , elas são apresentadas comapresentadas com as respectivas equações, em que o espaço (S) é trocado pela altura (h) e a aceleração escalar (a) , pela aceleração as respectivas equações, em que o espaço (S) é trocado pela altura (h) e a aceleração escalar (a) , pela aceleração gravitacional (g) :

gravitacional (g) :

O

Orriieennttaaççãão

o ppaarra

a cciim

ma

a

O

Orriieennttaaççãão

o ppaarra

a bbaaiixxoo

v < 0

+

h

+

gg

-

- gg

v > 0

v

v >

> 0

0 N

Níívveel

l dde

e

N

Níívveel

l ddee

rreeffeerrêênncciiaa

((h

h

=

00)

)

((h

h

==00))

+

hh

v < 0

a =

--gg aa ==gg

g . t

22

_{g . t}

22

h = h

00

+

+ vv

00

t

-

h

=

hh

00

+

+ vv

00

t t ++

(17)

vv

22

₌

_{= vv}

0022

- 2.g.

∆∆

hh

vv

22

=

= vv

0022

+ 2.g.

∆∆

hh

EXEMPLO 9:

EXEMPLO 9: Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 20 m/s. Desprezando aUm corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 20 m/s. Desprezando a

resistência do ar e admitindo g = 10 m/s

resistência do ar e admitindo g = 10 m/s22_{, pede-se:}_{, pede-se:}

aa) ) a a ffuunnççãão o hhoorráárriia a ddaas s aallttuurraass; ; g g = = - - 110 0 mm//ss22 _vv

00= 20 m/s= 20 m/s

b) a função horária das

b) a função horária das velocidades;velocidades;

c) o tempo gasto para o corpo atingir a altura máxima; c) o tempo gasto para o corpo atingir a altura máxima; d) a altura máxima atingida em relação ao solo;

d) a altura máxima atingida em relação ao solo;

ee) ) o o tteemmppo o ggaasstto o ppeello o ccoorrppo o ppaarra a rreettoorrnnaar r aao o ssoolloo; ; 00

ff) ) a a vveelloocciiddaadde e ddo o ccoorrppo o aao o ttooccaar r o o ssoolloo.. oorriiggeem m ddaas s ppoossiiççõõeess

Solução:

Solução: Adotaremos como positiva a trajetória para cima: o movimento em questão é um MUV. Adotaremos como positiva a trajetória para cima: o movimento em questão é um MUV. a) S = S

a) S = S 00 + + V V 00t t + ½ + ½ g t g t 22 , , como como V V 00 = 20 = 20 m/s m/s S S 00 = = 0 0 e e g g = = -10 -10 m/sm/s22 substituisubstituindo na ndo na eq.eq.

teremos: S = 20 t - 5 t teremos: S = 20 t - 5 t 22

b) V = V

b) V = V 00 + + g g tt SSuubbssttiittuuiinnddo o oos s vvaalloorrees s jjá á ccoonnhheecciiddoos s tteerreemmooss: : V V = = 220 0 - - 110 0 t t

c) Na altura máxima ( V = 0 ) c) Na altura máxima ( V = 0 )

V

V = = 220 0 - - 110 0 tt eennttããoo:: 0 0 = = 220 0 - - 110 0 t t ⇒ ⇒ _{10 t = 20}_{10 t = 20} ⇒ ⇒ _t_{t =}_{= 20}_{20 /}_{/ 10}₁₀ _logo_{logo t}_{t =}_{= 2}_{2 ss}

d)

d) Substituindo t Substituindo t = = 2s 2s em S em S = = 20 t 20 t - - 5 5 t t 22 , temos:, temos: S =

S = 20 20 . 2 . 2 - - 5 5 . . 2222 então então S S = = 40 40 - - 20 20 ou ou seja: seja: S S = = 20m20m e) No solo (S = 0) , pois retorna a origem.

e) No solo (S = 0) , pois retorna a origem. S

S = = 20 20 t t - - 5 5 t t 22 , , substituisubstituindo ndo S S = = 0 0 na na eq. eq. terteremos: emos: 0 0 = = 20 20 t t - - 5 5 t t 22 ⇒ ⇒ _{0 = 5t (4 - t)}_{0 = 5t (4 - t)} ⇒ ⇒

t = 4s t = 4s

f) Substituindo t = 4s

f) Substituindo t = 4s em V = em V = 20 - 10 t, temos:20 - 10 t, temos: V = 20 - 10 . 4

V = 20 - 10 . 4 ⇒ ⇒ _{V = 20 - 40}_{V = 20 - 40}⇒ ⇒ _V_{V =}_{= -20}_{-20 m/s}_{m/s (negativa}_{(negativa porq}_porque_{ue é}_{é contrária}_{contrária ao}_{ao sentido}_sentido

positivo adotado). positivo adotado).

Observe n

Observe no exemplo o exemplo anterior qanterior que: ue: - - TTempo de empo de subida = subida = tempo de tempo de descida.descida. -

- VVelocidaelocidade de saída de de saída = velocidade de chegada (em módulo).= velocidade de chegada (em módulo).

Esta observação é válida para qualquer corpo lançado verticalmente para cima, mas sempre em relação ao Esta observação é válida para qualquer corpo lançado verticalmente para cima, mas sempre em relação ao mesmo plano de referência.

mesmo plano de referência.

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM:

46) Um corpo é abandonado do alto de uma torre de 125 metros de altura em relação ao solo. Desprezando a 46) Um corpo é abandonado do alto de uma torre de 125 metros de altura em relação ao solo. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s

resistência do ar e admitindo g = 10 m/s22_{, pede-se:}_{, pede-se:}

a) a função H = f(t); a) a função H = f(t); b) a função v = f(t); b) a função v = f(t);

c) o tempo gasto para atingir o solo; c) o tempo gasto para atingir o solo; d) a velocidade ao atingir o solo. d) a velocidade ao atingir o solo.

(18)

47) Uma pedra é lançado no vácuo verticalmente para cima com velocidade de 10 m/s. Qual a altura máxima atingida 47) Uma pedra é lançado no vácuo verticalmente para cima com velocidade de 10 m/s. Qual a altura máxima atingida pela pedra? Adote g = 10 m/s

pela pedra? Adote g = 10 m/s22_..

Exercícios de Fixação

Exercícios de Fixação::