MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO: A PARTÍCULA EM UMA CAIXA

MOVIMENTO DE

TRANSLAÇÃO: A PARTÍCULA

EM UMA CAIXA

Prof. Harley P. Martins Filho

• Partícula livre movendo-se em uma dimensão

Não há restrições às soluções da equação de Schrödinger  A e B podem assumir qualquer valor, assim como k  energia não é quantizada.

m

k

E

Be

Ae

ikx ikx

2

2 2

_











o Partícula em uma caixa

 Partícula confinada entre duas paredes a uma distância L uma da outra. Além das paredes a energia potencial é infinita. Entre as paredes: V(x) = 0

 Translação de moléculas em recipientes fechados  Elétrons de valência em peça de metal

 Elétrons do sistema de ligações  de moléculas conjugadas Dentro da caixa, a equação de Schrödinger tem a mesma forma que a da partícula livre. Solução:

Mas agora as soluções devem satisfazer as condições de

contorno, que definem o sistema:

 Fora da caixa (x < 0 e x > L) a partícula não existe  = 0.

 A função de onda deve ser contínua (0) = 0 e (L) = 0 kx D kx C kx B A i kx B A kx kx B kx kx A Be Ae x ikx ikx k cos sen sen ) ( cos ) ( ) isen (cos ) isen (cos ) (              

m

k

E

2

2 2

_



Para x = 0, (0) = Csen(k·0) + Dcos(k·0) = D = 0

Para x = L, (L) = CsenkL = 0

Se C = 0  = 0 para todo x (inaceitável) Se senkL = 0, kL = n n = 1, 2, 3, ...

n = 0 implicaria novamente em  = 0 para todo x (inaceitável). Valores de n negativos apenas mudam o sinal da função de onda em relação aos valores negativos, gerando os mesmos estados.

kx C x k( ) sen   L x n C x n



sen ) (    2 2 2 2 2 2 2 2 2

8

2

2

mL

h

n

mL

n

m

k

E













Soluções são compatíveis com a hipótese da partícula ser uma onda estacionária com nós (amplitude zero) nas paredes:

De acordo com a relação de de Broglie, L nh h p 2  



A energia da partícula é toda cinética e pela relação desta energia com o momento,

2 2 2 2

8

2

mL

h

n

m

p

E

_K





n L n L k 2 2 2 _{ }      2 2 2

8mL

h

n

E

n



Para n = 1, energia da partícula é mínima (energia do ponto zero):

Origem física:

 Posição da partícula não é totalmente indefinida  momento tem incerteza correspondente (não pode ser nulo).

  deve ser diferente de zero na caixa mas nula nas paredes  como é contínua, tem que ter curvatura ao longo da caixa  tem que haver energia cinética.

2 2 1

8mL

h

E



Separação de energia entre dois níveis de energia adjacentes:

Átomos e moléculas deslocando-se em recipientes de laboratório  L grande demais  variações de energia praticamente não-quantizadas.

Elétron confinado em caixa de 1,0 nm  E1 = 6,010-20 J (60 zJ ou 0,37 eV). Energia de excitação mínima (n = 1 na equação acima): (2·1 + 1)E₁ = 3E₁ =1,8102 _{zJ (1,1 eV)}













1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 8 1 2 8 8 1 E n mL h n mL h n mL h n E E_{n n}         

• Normalização

Constante C será ajustada para que

1

2 2 2 *

























d



L

x

n

sen

C

d

d

x x cos2 2 1 2 1 sen2   2 / 1 2

2

1

2























L

C

L

C





























L

x

n

L

x

n



sen

2

)

(

2 / 1

• Energia cinética

Com o aumento de n, aumenta a curvatura média da função  aumento da energia cinética. Quanto maior n, maior o número de nós (pontos onde a função passa por zero)  Em geral, quanto maior o número de nós, maior a energia. Número de nós = n -1.

• Momento linear

Função senkx não é autofunção do momento linear, mas  pode ser expressa alternativamente como

 Superposição de estados com p = kℏ e –kℏ . Em metade do tempo a partícula move-se para a direita e na outra metade para a esquerda.





L

n

k

e

e

L

i

L

x

n

L

x

ikx ikx n





_

_













































2

2

1

sen

2

)

(

2 / 1 2 / 1

• Densidade de probabilidade:

L x n L x n



2 2 sen 2 ) (  

Para n pequeno, densidade de probabilidade varia muito dentro da caixa, mas para n elevado ela vai se tornando uniforme (comportamento clássico)  princípio da

correspondência (resultados da mecânica clássica surgem dos da mecânica quântica em números quânticos elevados)

• Ortogonalidade e a notação de Dirac

Como em qualquer sistema quântico, as funções de onda da partícula na caixa são ortogonais, ou seja _n*

n’d = 0 para quaisquer n e n’ diferentes.

Exemplo: ₁ e 3  área Sob a curva verde é nula Notação de Dirac:

Bra < n∣ = n*

Ket ∣n > = _n

A reunião de um bra com um

ket significa a integração do

produto das funções em todo o espaço:



d

n

n









_n*



_n Condição de ortogonalidade:

Se as funções de onda são normalizadas,

As duas condições podem ser expressas conjuntamente através da equação

onde _nn é o delta de Kronecker, igual a 1 quando n = n e zero

quando n n.

Conjuntos de funções que são normalizadas e mutuamente ortogonais são chamadas de ortonormais.

0





n

n

1



n

n

n n

n

n









•

Movimento em duas ou mais dimensões

Partícula em superfície retangular de comprimento L₁ na direção x e L₂ na direção y. V(x,y) = 0 dentro da caixa e  além das paredes.

Equação de Schrödinger: para cada dimensão de movimento deve haver um operador de energia cinética.

                         E y x m y m x m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2     Separação de variáveis

Suponhamos que a função de onda possa ser expressa como um produto de funções, cada qual função apenas de x ou y:

Precisamos das derivadas parciais de  na equação de Schrödinger: ) ( ) ( ) , (x y  X xY y  E y Y XY X x X XY Y m EXY y Y X x X Y m y Y X y XY y x X Y x XY x                                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d 2 d d d d 2 d d d d  

E

y

Y

Y

x

X

X

m



_

















2 2 ₂ 2₂

d

d

1

d

d

1

2



Para um dado valor de x, valor do primeiro termo à esquerda assume um valor constante, assim como o segundo termo em relação a um valor de y. Mas como os dois termos são

independentes, a sua soma só pode resultar constante se os dois termos forem constantes. Chamamos estas constantes de E_x e E_y:

Uma equação análoga se aplica à função Y  Equação de Schrödinger foi separada em duas equações diferenciais

ordinárias. Energia do sistema: E = E_X + E_Y. Como cada equação tem a forma da equação para a partícula na caixa unidimensional, podemos adaptar os resultados já conhecidos:

X

E

x

X

m

E

x

X

X

m



_



X







X











2 2 ₂ 2 2 ₂

d

d

2

d

d

1

2







2



sen sen ( , ) ) , ( sen 2 ) ( sen 2 ) ( 2 1 2 2 1 1 2 / 1 2 1 , 2 2 2 / 1 2 1 1 2 / 1 1 2 1 2 1 n n L y n L x n L L y x L y n L y Y L x n L x X n n n n                      

m

h

L

n

L

n

mL

h

n

mL

h

n

E

E

E

_{n n X Y}

8

8

8

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ,2 1

























Extensão para três dimensões:

3 3 2 2 1 1 1/2 3 2 1 ,

, sen sen sen

8 ) , , ( 3 2 1 L z n L y n L x n L L L z y x n n n







       





Funções de onda da partícula na caixa bidimensional: a) n₁ = 1 e n₂ = 1 b) n₁ = 2 e n₂ = 1 c) n₁ = 2 e n₂ = 2 •

Degenerescência

Se L₁ = L₂ = L (caixa quadrada),

Soluções para os casos n₁ = 1, n₂ = 2 e n₁ = 2, n₂ = 1:

 Funções são diferentes mas degeneradas, ou seja, correspondem à mesma energia. L y n L x n L y x n n   2 1 , sen sen 2 ) , ( 2 1  





2 2 2 2 2 1 ,

8

2 1

mL

h

n

n

E

_{n n}





L y L x L y x L y L x L y x









sen 2 sen 2 ) , ( 2 sen sen 2 ) , ( 1 , 2 2 , 1     2 2 1 , 2 2 2 2 , 1

8

5

8

5

mL

h

E

mL

h

E





Estados degenerados estão relacionados por simetria. Os estados ∣1,2〉 e ∣2,1〉, por exemplo, podem ser interconvertidos por uma rotação de 90º:

Em uma caixa cúbica, estados ∣1,1,2〉, ∣1,2,1〉 e ∣2,1,1〉 são degenerados  nível de energia 6(h2_/8mL2_{) é triplamente} degenerado.

•

Tunelamento

Se energia potencial das paredes não é infinita, partícula pode existir dentro das paredes e até atravessá-las mesmo que E < V_parede Tunelamento.

À esquerda da barreira,

Equação de Schrödinger dentro da barreira (energia potencial constante V):





1/2

2

k

mE

Be

Ae

ikx



ikx























2

2 2 2

E

V

dx

d

m



Solução:

 Exponenciais reais. À direita da barreira, soluções são do mesmo tipo que a partícula livre:

Condição de continuidade da função de onda no início da barreira (x = 0) e no fim (x = L):

Condição de continuidade das primeiras derivadas no ínício e no fim da barreira:





1/2

)

(

2

m

V

E

De

Ce

x



x









 

_

_





1/2

2

k

mE

e

B

e

A



ikx





ikx









_

ikL ikL L L

e

B

e

A

De

Ce

D

C

B

A





















 ikL ikL L L

e

B

ik

e

A

ik

De

Ce

D

C

ikB

ikA































 Quatro equações com seis coeficientes.Se não há partícula movendo-se para a esquerda fora da barreira, B’ = 0. A razão entre as probabilidades da partícula estar se deslocando para a direita depois da barreira (∣A’∣2_{) e antes da barreira (∣A∣}2_{) é a}

probabilidade de transmissão T: onde  = E/V e





₂ 1 2 2 ) 1 ( 16 1                    L _e L e T A A

Para barreiras altas e largas (L >> 1),

L

e

T



16



(

1





)

2

Gráficos de T contra , para  < 1 e  > 1.

Valores indicados são de





1/2 ) ( 2mVE   



2mV



1/2/ L

 T diminui exponencialmente com L e m1/2 _{(efeito é muito} importante para elétrons, mas não tanto para prótons)

Tunelamento de elétrons determina velocidade de transferência de elétrons em eletrodos e em sistemas biológicos.

Reações de transferência de prótons entre ácidos e bases têm equilíbrio muito rápido devido ao tunelamento.

 Microscopia de varredura por tunelamento

Agulha muito fina (platina-ródio ou tungstênio) varre superfície de um condutor, com corrente determinada por tunelamento passando da agulha para a superfície.  Corrente constante: agulha afasta-se e aproxima-se da superfície para manter corrente constante.

 z constante: agulha mantém altura constante e a corrente varia conforme distância da superfície.