NovoEspaco_12ano_OUT2017

(1)

11 •

• Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretendes que não seja classificado.Não é permitido o uso de corretor. Deves riscar aquilo que pretendes que não seja classificado.

•

• A prova inclui um formulário.A prova inclui um formulário.

•

• As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.

CADERNO 1

(É permitido o uso

(É permitido o uso de calculadora gráfica)

de calculadora gráfica)

1.

1. Numa tômola !á cinquenta olas numeradas de 1 a "#.Numa tômola !á cinquenta olas numeradas de 1 a "#. Num sorteio são retiradas sucessivamente$ sem reposição$ cinco Num sorteio são retiradas sucessivamente$ sem reposição$ cinco olas formando uma sequ%ncia de cinco

olas formando uma sequ%ncia de cinco n&meros.n&meros. 1.1.

1.1. 'uantas sequ%ncias diferentes !á com pelo menos 'uantas sequ%ncias diferentes !á com pelo menos um m&ltiploum m&ltiplo de "(

de "( 1.2.

1.2. 'ual é o n&mero de sequ%ncias$ tendo$ no má)imo$ dois'ual é o n&mero de sequ%ncias$ tendo$ no má)imo$ dois n&meros de um s* al+ar

n&meros de um s* al+arismo(ismo(

2.

2. Na montra de uma perfumaria vão ser e)postos$ lado a lado$ oito frascos de perfume$ sendo tr%sNa montra de uma perfumaria vão ser e)postos$ lado a lado$ oito frascos de perfume$ sendo tr%s deles i+uais entre si e

deles i+uais entre si e os restantes todos diferentes.os restantes todos diferentes.

'uantas sequ%ncias se podem formar$ atendendo ao

'uantas sequ%ncias se podem formar$ atendendo ao tipo de frasco(tipo de frasco( ,ndica a opção correta.

,ndica a opção correta. (A)

(A)

6720

(B)(B)

720

(C)(C)

120

(D)(D)

40 320

3.

3. De uma lin!a do rin+ulo de /ascal composta porDe uma lin!a do rin+ulo de /ascal composta por





_

$ com $ com

 ∈∈ 0

0 ,1

,1 ,…

,… ,

,

$ sae-se que0$ sae-se que0

•

• _n_{n é mpar2}_{é mpar2} •

• _{o maior n&mero oservado é 13142}_{o maior n&mero oservado é 13142} •

• _{a soma de todos os elementos dessa lin!a menores que 1314 é i+ual 534#.}_{a soma de todos os elementos dessa lin!a menores que 1314 é i+ual 534#.}

Determina o n&mero de termos dessa lin!a. Determina o n&mero de termos dessa lin!a.

(2)

6

constitudo por uma sequ%ncia de cinco al+arismos se+uida de uma sequ%ncia de tr%s letras$ tal como é su+erido na fi+ura. 8onsidera o alfaeto com 64 letras.

4.1. Determina o n&mero de matrculas diferentes sem al+arismos repetidos e com e)atamente uma e uma s* vo+al.

4.2. 'uantas são as matrculas que satisfa9em as se+uintes condições0

• _{tem e)atamente dois 9eros$ sendo os restantes al+arismos diferentes2} • _{a soma dos al+arismos é um n&mero par2}

• _{as tr%s letras são vo+ais diferentes.}

4.3. :m computador +era$ de forma aleat*ria$ uma matrcula do sistema.

'ual é a proailidade de oter uma matrcula em que a sequ%ncia de al+arismos represente um n&mero maior que ;# ### e que seja uma capicua(

Apresenta o resultado em percenta+em.

Nota: :m n&mero di9-se capicua quando se l% de i+ual forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.

FIM (Caderno 1)

Cotações Total Questões - Caderno 1 1.1. 1.2. 2. 3. 4.1. 4.2. 4.3. Pontos 15 15 8 15 12 15 15 95

(3)

;

CADERNO 2

(Não é permitido o uso de calculadora)

1. 8onsidera os conjuntos0

 =  ∈ ℤ ∶ | − 1| ≤ 3

e

 =  ∈ ℕ ∶ 7 − 3 ≥ −8

'ual dos se+uintes n&meros representa

⋕ !"

(

,ndica a opção correta.

(A) 1 (B) 6 (C) ;" (D) 5

2. Dado um conjunto A$ sae-se que

#  = 

$ com

 ∈ ℕ

_$

. 'ual dos se+uintes n&meros pode ser i+ual a

#  %  % "

(

(A) 1" (B) 63 (C) < (D) 61

3. =ejam A e B dois acontecimentos associados > mesma e)peri%ncia aleat*ria. Determina

&"

saendo que0

•

&'(" =0,4)

•

&  * " =0,8

•

&  ' 

+

" =0,7

4. Numa certa lin!a do rin+ulo de /ascal$ o pen&ltimo elemento é a quarta parte do terceiro. 'ual é a soma de todos os elementos dessa lin!a(

,ndica a opção correta.

(A) "16 (B) ;6 (C) 1#65 (D) 1#

5. No desenvolvimento da e)pressão



-.

/

− 

-

$ pelo ?in*mio de Ne@ton$ !á um termo independente de



. sse termo pode ser representado na forma





_

.

(4)

5 numeradas de 1 a 16.

As olas com n&mero mpar são a9uis e as olas com n&mero par são vermel!as.

6.1. Ao acaso$ retira-se uma ola do saco e verifica-se a cor e o n&mero.

=eja A e B os acontecimentos0

A0 Ba ola retirada tem n&mero m&ltiplo de ;C B0 Ba ola retirada é a9ulC

Determina o valor de

& 5

$ sem aplicar a f*rmula de proailidade condicionada. Na resposta deves indicar0

• _{o si+nificado de}

& 5

₂ • os casos possveis2

• _{os casos favoráveis2}

• _{o resultado na forma de fração irredutvel.}

6.2. etomando o saco com as 16 olas$ ao acaso$ e)traem-se sucessivamente duas olas$ sem reposição$ oservando-se o n&mero e a cor de cada uma delas.

=ejam C e D os acontecimentos0

C 0 Ba primeira ola e)trada é vermel!aC

D0 Ba soma dos n&meros das duas olas retiradas é parC

(5)

"

7. 8onsidera um prisma reto com n arestas laterais$ com

 ≥ )

$ tendo sido identificado cada vértice por uma letra.

7.1. Do conjunto dos vértices do prisma foram escol!idos dois ao acaso. A proailidade de os vértices escol!idos definirem uma reta que conten!a uma aresta do prisma é dada por0

(A)



9

/

: (B) :



_;

_/ (C) /:



_;

_/ (D) :



₉

_/

7.2. Do conjunto dos vértices do prisma vão ser escol!idos tr%s. 'uantas escol!as diferentes podem ser feitas de modo que os tr%s vértices não pertençam todos > mesma ase do prisma(

A se+uir são apresentadas duas respostas corretas0 Resposta A0





_

− 2 % 



_

Resposta B0

2 % 



_

Numa composição matemática e)plica o raciocnio associado a cada resposta$ e)plicitando com clare9a o si+inificado$ no conte)to$ de





_

e de

2 % 



_

$ na resposta A e de

2 % 



_

$ na resposta B.

FIM (Caderno 2)

Cotações Caderno 1 (com calculadora) Questões 1.1. 1.2. 2. 3. 4.1. 4.2. 4.3.

Pontos 15 15 8 15 12 15 15 Total 95

Caderno 2 (sem calculadora)

Questões 1. 2. 3. 4. 5. 6.1. 6.2. 7.1. 7.2.

Pontos 8 8 15 8 12 15 15 8 16 Total 105

(6)

4

r

α

Eα F amplitude, em radianos, do ângulo ao centro;

r F raio)

eas #e &!$as p*a"as

+o*,o"o e$*a: Semiperímetro Apótema×

-eto %!%$*a: 6 6

r

α

Eα F amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r F raioG

eas #e s$pe&,%!es

Hrea lateral de um cone0 πr g

Er F raio da base2 g F geratrizG

Hrea de uma superfcie esférica0 5πr 6

Er F raioG o*$mes +!/m!#e: 1

;× Área da base Altura× Co"e: 1

;× Área da base Altura×

Es&ea: 5 ;

; πr (r F raio)

+ROGRE--0E-=oma dos n primeiros termos de uma pro+ressão EunG0

+oesso a!tmt!%a: 1 6 n u u n + × +oesso eomt!%a: 1 1 1 n r u r − × − TRIGONOMETRIA ( )

sin a b+ = sin cos a b+sin cosb a

( )

cos a b+ = cos cos a b−sin sina b

sin sin A sinB C

a = b = c 6 6 6 ₆ _cos a = b + c − bc A COM+EO-( _cis)n n _cis(_n ) _ou

(

_eiθ

)

n n_einθ ρ θ = ρ θ ρ =ρ 6 i 6 cis cis ou e e  n n n n  n n θ θ θ ρ θ ρ ρ ρ + π + π   = _ _ =   { }

(

∈ # ... , , n− 1 e n∈ℕ

)

1 1 n n µ ( )6 ( )6 1 1 n n p ! p ! σ = −µ +…+ −µ =e " é #₍ µ σ , ₎ $ então0 ( ) # 4I63 $ µ σ − < < + " µ σ ≈ , ( 6 6 ) # <"5" $ µ − < < + σ " µ σ ≈ , ( ; ; ) # <<3; $ µ − < < + σ " µ σ ≈ , REGRA- DE DERIAO

( u % & u& %& + ) = +

( u % & u& % u %& ) = +

6 u u& % u %& % % ′ ₋   =    

( )

_{u & n u}n ₌ n−1 _u& ( _n_{∈ ℝ})

( sin u & u&) = cosu

( cos u &) = −u&sinu

( tan ) 6 cos u& u & u =

( )

e u eu u& ′ ₌

( )

u u ,n

(

J 1{ }

)

a ′₌u& a a a_{∈ ℝ}+ ( ,nu) u& u ′ = (lo+ )

(

J 1{ }

)

,n a u& u a u a + ′ = ∈ℝ IMITE- NOTEI-1 lim 1 e n n   + =     ( n ) ∈ℕ # sin lim 1 ! ! ! → = # e 1 lim 1 ! ! → ! − = ,n lim # ! ! ! →+∞ = ( ) e lim ! p ! →+∞_! p = +∞ ∈ℝ