1
JU Prva gimnazija u Zenici školska 2013/2014
Zenica
Ime i prezime: Damir Heco
Izborno područje Matematičko-informatičko
Odjeljenje IV- 8
MATURSKI RAD
iz
MATEMATIKE
TEMA: OSNOVNE ALGEBARSKE STRUKTURE
MENTOR:
_____________________
Contents
UVOD ... 3
OSNOVNE ALGEBARSKE STRUKTURE ... 4
Grupoid i polugrupa... 5
Grupa ... 7
Prsten ... 9
Tijelo i polje ... 12
3
UVOD
Algebra je jedna od fundamentalnih grana matematike. Jedna od mogućih definicija bila bi da je to nauka o algebarskim operacijama, tj. proučavanje algebarskih struktura. Pritom priroda samih elemenata skupa na kojem se izvode spomenute algebarske operacije nije od primarne važnosti, osnovni cilj je proučavanje tih algebarskih operacija.
U ovom djelu ću ja obraditi osnovne algebarske strukture, a to su: grupa, podgrupa, Abelova
grupa, prsten, tijelo i polje. Algebarske strukture opisuju se popisom operacija (tzv. signatura)
i aksiomima koji se zahtijevaju za te operacije. Svaki skup s istim popisom operacija i koji zadovoljavaju dane aksiome je „model“ te strukture. Time algebra kao disciplina postaje dio teorije modela, koja može uključivati i složenije aksiomatske sustave od algebarskih. U nastavku djela će biti detaljnijih informacija o svakoj algebarskoj strukturi posebno, uz odgovarajuće primjere.
Primjena algebarskih struktura je široka pa jedan tip algebarskih struktura ima izuzetan značaj za matematičku logiku: Booleove ili bulovske algebre, nazvane prema Georgeu Booleu koji je 1847. napisao „Mathematical Analysis of Logic“. Nicholas Bourbaki zasniva svoj opći
pregled matematike na općem pojmu strukture, koji je općenitiji od algebarske strukture. Pored algebarskih struktura, spomenimo strukturu uređaja i topološku strukturu. Informacije sam uglavnom skupio iz literature za studente prirodno matematičkog fakulteta i sa interneta.
Tema je obrađivana u prvom polugodištu četvrtog razreda, lično mi se svidjela i bila veoma zanimljiva tako da sam nju izabrao kao svoju temu za maturski rad iz matematike.
OSNOVNE ALGEBARSKE STRUKTURE
Neka je S neki neprazan skup. Algebarska struktura na S je taj skup zajedno sa:
-bar jednom binarnom operacijom i njenim aksiomama. Aksiomi su u pravilu neka od sljedećih dobro poznatih svojstava: komutativnost, asocijativnost, postojanje neutrala, postojanje inverza, asocijativnost, distributivnost,..
U algebraske strukture ubrajamo
:
1. Grupu
2. Prsten
3. Tijelo
4. Polje
5
Grupoid i polugrupa
U skupu N prirodnih brojeva definisane su operacije sabiranje i množenje. Sabiranjem, odnosno množenjem svako uređenom paru (x, y) iz NxN pridružujemo element x + y, odnosno x*y iz N. Operacije sabiranja i množenja pridrodnih brojeva su, dakle, određena preslikavanja
N x N →
N, N x N → N
Definicija: Neka je zadan neprazan skup X. Preslikavanje
X x X → X
Koje svakom uređenom paru (x, y) iz X x X pridružuje određen element x * x iz X zove se unutršnja binarna kompozicija ili operacija u X. Ako je u nepraznom skupu X zadana operacija * onda se kaže da ta operacija na skupu X određuje strukturu grupoida. Skup X sa operacijom *, tj. Uređen par (X, *) zove se tada grupoid.
Binarnu kompoziciju označavamo najčešće aditivno (znakom +) ili multiplikativno (znakom *). Tada govorimo o aditivnom, odnosno multiplikativnom grupoidu.
Komutativnost : Operacija * zadana u skupu X je komutativna ako vrijedi
x * y = y * x ,
∀ x ∈ XAsocijativnost : Operacija * zadana u skupu X je asocijativna ako vrijedi
(x * y) * z = x * (y * z) ,
∀ x ∈ XUkoliko je operacija * u grupoidu (X, *) asocijativna, odnosno komutativna, onda se kaze da je grupoid asocijativan odnosno komutativan. Asocijativan grupoid zove se još i polugrupa.
Neutralni element : Neka je (X, *) grupoid. Element e tog grupoida zove se neutralni
element ako vrijedi
e * x = x * e = e ,
∀ x ∈ XU aditivnom grupoidu neutralni element se obično zove nulaelelement i označava se sa 0, ako se želi istaknuti da je riječ o nulaelementu grupoida X, onda imamo
0 + x = x + 0 = x ,
∀ x ∈ XU multiplikativnom grupoidu neutralni element se obično zove jedinični element i za njega se pored, pored oznake e, često koristi oznaka 1. Dakle, za jedinični element vrijedi
1 * x = x * 1 = x ,
∀ x ∈ XInverzni element : Neka je (X, *) polugrupa sa neutralnim elementom e. Za element a iz X
kaze se da ima inverzni element a-1 iz X takav da vrijedi
a
-1* a = a * a
-1= e
U aditivnoj polugrupi X inverzni element elementa a zove se još suprotni element elementa a i označava se sa –a. U tom slučaju umjesto prethodne relacije imamo
-a + a = a + (-a) = 0
Primjer 1. Spomenuti su grupoidi (N, +), (N, *) i (Z, +). Grupoidi su i (Z, *), (Q, +), (Q, *), (R, +), (R, *), (C, +) i (C, *). Pri tome je Q, odnosno R, odnosno C skup racionalnih brojeva, odnosnos realnih, odnosno kompleksnih brojeva, dok su operacije + i * uobičajno sabiranje i množenje brojeva. Svi ovi grupoidi su asocijativni i komutativni. Svaki od njih osim grupoida (N, +), ima i neuralni element i to je za aditivne grupoide broj 0, a za multiplikativne broj 1.
7
Grupa
Posebno je zanimljiva polugrupa X sa jediničnim elementom e u kojoj je svaki element inverzan.
Grupa : Grupoid (G, *) ima strukturu grupe, ili čini grupu, ako operacija * ima osobine: 1. Operacija je asocijativna
( a * b ) * c = a * ( b * c) , a, b, c
∈G
2. Operacija ima neutralni element e (∈G)
a * e = e * a = a , a, e
∈G
3. Svaki element a ima simetričan element a' za operaciju *
a * a' = a' * a = e , a, a'
∈G
Ako je (g, *) grupa, kaže se da elementi skupa G obrazuju grupu.
Abelova grupa : Ako je (G, *) grupa i ako je operacija * komutativna
a * b = b * a , a, b
∈G
kaže se da je grupa komutativna ili Abelova.
Podgrupa : Ako je (G, *) grupa i H je podskup G, pri čemu važi:
x, y
∈H ⇒ x
·
y
∈H
x
∈H ⇒ x
-1∈H
x * y = x
·
y
grupa (H, *) naziva se podgrupa date grupe G.
Za operaciju * u podgrupi H kaže se da je dobijena restrikcijom operacije · iz G. Uobičajno se
ove dvije operacije označavaju istim simbolom.
Svaka grupa G ima dvije trivijalne podgrupe, a to su : sama grupa G i grupa {e} čiji je jedini element jedinični element e grupe G.
Primjer 2. (Z, +), (Q, +), (R, +) i (C, +) su grupe. Isto tako (Z, *), (R, *) i (C, *) su grupe.
Grupe su također (Q+
, *) i (R+, *) gdje je Q+, odnosno R+ skup strogopozitivnih racionalnih, odnosno realnih brojeva. Sve ove grupe su komutativne odnosno Abelove.
Skup racionalnih brojeva, u donosu na sabiranje, obrazuje beskonaču Abelovu grupu. Ovdje je jedinični eleemnt 0, a inverzni eleemnt racionalnog broja r je –r.
Cijeli brojevi u odnosu na sabiranje obrazuju beskonačnu Abelovu grupu.
Prirodni brojevi ne obrazuju grupu u odnosu na množenje, jer ne postoji simetrični elementi (osim broj 1).
Primjer 3. Ako je (X, *) polugrupa s aneutralnim elementom e, a X* skup svih invertibilnih elemenata te polugrupe, tada X* nije praza skup, jer je e elemenat X*. Osim toga, skup X* ima osobinu
a, b
∈X
*⇒ a * b
∈X
*To znači da je (X*
, *) grupoid sa neutrlanim elementom e. No, taj grupoid je aocijativan, jer
asocijativnost očigledno naslijeđuje od grupoida (X, *). Konačno, ako je a ∈ X*
, tada postoji a-1 ∈ X. Odatle se vidi da a ima invertibilan element
(a
-1)
-1= a
9
Prsten
Vidjeli smo da je (Z, +) Abelova grupa, a (Z, *) polugrupa (sa jediničnim elementom e = 1). Osim toga, operacija množenja je distributivna u odnosu na sabiranje, tj. vrijedi
(x + y) z = xz + yz, x (y + z) = xy + xz ,
∀x, y , z
∈Z
Isto vrijedi i kad umjesto Z uzmemo Q ili R ili C. Ima još mnogo primjera gdje se pojavljuje ista situacija. Zato se uvodi opšta definicija.
Prsten : Neka je zadan neprazan skup R u kome su definisane dvije binarne operacije + i *.
Skup R sa operacijama + i *, tj. uređena trojka (R, +, *) zove se (asocijativni) prsten ako su ispunjeni sljedeci uslovi
1. (R, +) je Abelova grupa;
2. (R, *) je polugrupa;
3. Množenje je distributivno u odnosu na sabiranje tj. vrijedi
(x + y) z = xz + yz, x (y + z) = xy + xz za svako x, y, z iz R.
Ukoliko je polugrupa (R, *) Abelova, onda se kaže da je prsten (R, +, *) komutativan. Ako polugrupa (R, *) ima jedinični element e, tada se e zove jedinični element prstena (R, +, *).
Vidjećemo da kad prsten R1
ima bar dva elementa, onda je obavezno e nije 0R. Dakle,
kada govorimo o prstenu R sa jediničnim leemntom, smatraćemo da taj prsten ima bar dva elementa.
Zbog toga što su sabiranje i množenje u prstenu vezani zakonom distribucije, ne može se u svakoj Abelovoj grupi (R, +) asocijativno množenje definisati proizvoljno, pa da se dobije prsten R. Međutim , može se uvijek staviti
xy = 0R (x, y ∈ R)
Tako dobijeni prsten sa trivijalnim množenjem zove se nulaprsten. Iz veze koja postoji između množenja i sabiranja u prstenu proističe osobita uloga nulaeleemnta kod množenja, kao i dobro poznato „pravilo i množenju predznaka“. U svakom prstenu R vrijedi
( x = 0R
∨ y = 0
R )⇒ xy = 0
R ;x * (-y) = (-x) * y = - (xy) ,
∀ x, y ∈ R
Djelitelj nule : Neka je R prsten sa bar dva elementa. Za element a prstena R
kažemo da je djelitelj nule ako vrijedi
(
∃ z ∈ R) ( az = 0
R∨ za = 0
R) , z = 0
RU prstenu R koji ima bar dva elementa 0R je sigurno djelitelj nule. To je trivijalni djelitelj
11 Komutativan prsten R sa jediničnim elementom zove se oblast cijelih ili integralno podrucje (domen), ako nema netrivijalni djelitelja nule.
Djelitelj nule u svakom prstenu R su isto što i singularni elementi polugrupe (R, *). Naime, ako je a singularan element polugrupe (R, *), tada
(
∃ x, y ∈ R) ( ax = ay
∨ xa = ya ) , x
≠
y
No, tada je
a ( -x + y ) = a ( -x ) +ay = -( ax ) + ay = 0
R,
( -x +y ) a = ( -x ) a + ya = -( xa ) + ya = 0R ,
pa za z = -x + y vrijedi (∃ z ∈ R) ( az = 0R ∨ za = 0R ) , z = 0R tj. a je djelitelj nule prstena R. Obrnuto, ako je a djelitelj nule prstena R, tada iz prethodne definicije na osnovu a * 0R = 0R * a = 0R slijedi da je a singularni element polugrupe (R, *)
Regularni i invertibilni elementi prstena : Neka je R prsten. Regularni, odnosno singularni
elementi polugrupe (R, *) zovu se regularni, odnosno singularni elementi prstena R. Ako prsten R ima jedinični eleemnt, onda se invertibilni element polugrupe (R, *) zove invertibilni element prstena R.
Kako smo već vidjeli, singularni elementi prstena su isto što i djelitelji nule. Prema samoj definiciji, u svaom prstenu R sa jediničnim elementom, svi invertibilni elementi prstena su
sigurno regularni. Zato 0R, kao singularni element prstena, ne može biti invertibilan element
Tijelo i polje
Prema onome što smo upravo rekli, od prstena R sa jedinčnim elementom e možemo u pogledu invertibilnosti tražiti najviše da svi elementi a ∈ R, a ≠ 0 budu invertibilni, jer 0R ne može biti invertibilan. Ima mnogo prstena sa jediničnim elementom koji ispunjavaju ovaj zahtjev. Za njih uvodimo ovu definiciju.
Tijelo : Prsten (K, +, *) sa jediničnim elementom e (≠0K) zove se tijelo ako je svaki elementi iz K, osim elementa 0K, invertibilan u K.
Polje : Komutativno tijelo zove se polje.
Skup K* invertibilnih elemenata prstena K sa jediničnim elementom, prema primjeru 1.3. a)
čini multiplikativnu grupu. U slučaju da je K tijelo, K* = K* = K ∖ {0K}. Vrijedi i obrnuto, pa
možemo reći:
Prsten K ( sa jediničnim elementom) je tijelo ako i samo ako je (K*, *) grupa.
Tijelo nema netrivijalnih djelitelja nule, pa je, u svakom tijelu R, (R, *) polugrupa čiji su svi elementi regularni. Ova polugrupa je konačna ako i samo ako je prsten R konačan. Zato vrijedi:
Svaki konačan prsten R sa jediničnim eleemntom koji nema netrivijalnih djelitelja nule je tijelo.
Primjer . U odnosu na sabiranje i množenje brojeva, sljedeći skupovi čine polje: 1) Skup Q
2) Skup R 3) Skup C
13 4) Skup svih brojeva oblika a + ib, gdje su a i b ∈ Q
5) Skup svih brojeva oblika a + √ , gdje su a i b ∈ Q. U odnosu na sabiranje i množenje brojeva, skup Z je prsten, ali ne i polje.
Literatura:
Veselin Perić „ALGEBRA: Prsteni i moduli, linearna algebra I“
D. S. Mitrinović, D. Mihailov, P. M. Vasić „Linearna algebra, polinomi,
analitička geometrija“
http://matematiranje.in.rs/
http://hr.wikipedia.org/
15
