Estudo de
Elementos Finitos
Roberto D Algarte
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Estudo de Elementos Finitos
Roberto D Algarte
1
Problemas de Valor de Contorno Elípticos
1.1
Definições Preliminares
Nesta seção, alguns pré-requisitos matemáticos, utilizados ao longo do texto, são apresentados de maneira superficial. Ao leitor não familiarizado com esses conceitos, recomenda-se o aprofundamento adequado em cada um deles. 1.1.1 Funções
Com relação ao uso de funções neste trabalho, admite-se os seguintes itens: i. A representaçãoh : A 7! B é denominada mapeamento, onde h é a função
que atua no domínioA, tal que o valor h (a) 2 B, 8a 2 A. ii. A função emh : A 7! B é dita contínua em A se
lim
x!ah (x) = f (a) ; 8a 2 A: (1)
Em termo intuitivos, numa função contínua, pequenas variações quanti-tativas no domínio determinam pequenas variações na imagem.
iii. Uma função é dita suave de grau q ou q-suave se for contínua e possuir derivadas até ordem q também contínuas. Diz-se que esta função pertence à classeCq de continuidade. Uma função é denominada apenas suave se a ordemq = 1.
iv. A função em h : A 7! B é dita contínua de Lipschitz no domínio A se dadosa1; a22 A quaisquer e um escalar ,
dB(h (a1) ; h (a2))
dA(a1; a2) 6 ; (2)
ondedAedBsão distâncias definidas nos espaçosA e B respectivamente. A continuidade de Lipschitz estabelece um valor máximo para a declivi-dade da reta definida entre dois pontos quaisquer do domínio.
v. Uma função h é dita um operador em A se h : A 7! A. Um operador é dito diferencial se sua regra possuir termos diferenciais. A ordem deste operador corresponde à maior ordem dentre os seus termos.
vi. Um operador emi : A 7! A é dito identidade se
i (x) = x; 8x 2 A : (3)
vii. Um operadorh é dito simétrico em A se
h (x) y = x h (y) ; 8x; y 2 A : (4) 1.1.2 Contorno e Interior
Seja a um membro1 qualquer do espaço métrico A. Diz-se que o conjunto Ba;r A é uma bola aberta de centro a e raio r 2 R>0 se
Ba;r= fx 2 A j (a; x) < rg ; (5)
onde é uma métrica ou distância. Seja S A tal que a 2 S. Uma vizinhança de a em S é o conjunto qualquer [a]S S no qual é possível definir uma bola aberta Ba;r [a]S. Intuitivamente, [a]S é um conjunto onde a consegue se “mover” para qualquer direção sem deixar de ser seu membro.
O fechamentoS do conjunto S é formado por todo o membro de A tal que quaisquer de suas vizinhanças sempre interceptamS, ou seja,
S = fx 2 A j [x]A\ S 6= ;g : (6) Diz-se queS é um conjunto fechado, representado ^S, se S = S. O conjuntoS, denominado interior deS, é definido por
S = fx 2 S j 9 [x]Sg : (7)
Assim, o conjunto @ ^S := ^S nS é denominado o contorno de ^ S. Para os fins deste trabalho, um domínio é dito de Lipschitz se seu contorno for definido por uma função contínua de Lipschitz.
1.1.3 Formulação Forte
O problema apresentado a seguir é um clássico problema de valor de contorno linear, escrito de maneira generalizada. Como exemplo, operadores diferenciais hiperbólicos e elípticos enquadram-se no caso em estudo. Na área da elasti-cidade, a equação de equilíbrio elastostático, detalhada em seções posteriores, está contemplada neste problema genérico.
Problema 1. Seja Rm um espaço euclidiano m-dimensional. Sejam um conjunto A formado por funções suaves que mapeiam o domínio de Lipschitz ^B Rmpara o espaço R e a função D(q)um operador diferencial de ordem q, simétrico em A. Dada a função f 2 A, encontre g 2 A, tal que
D(q)(g) = f emB ; (8) respeitada a condição de contorno
C(g) = c em @ ^B ; (9) onde são prescritos o operador diferencial C e a função c 2 A.
1.1.4 Tipos de Condições de Contorno
Nos termos do problema 1, dada uma funçãoc, uma condição de contorno é dita de Dirichlet se o operador C for identidade. Em outras palavras, uma condição de Dirichlet prescreve valores da solução do problema no contorno@ ^B.
Seja o mapeamento n : @ ^B 7! Rm tal que os valores da função são veto-res unitários e normais ao seu domínio. Um condição de contorno é dita de Neumman se a função C(g) = rg n ou C(g) = m X i=1 @g @xini; (10)
onde ni e xi são os i-ésimos componentes da função normal unitária n e do vetor x 2 @ ^B respectivamente. Em outras palavras, a condição de Neumman especifica valores em cada ponto do contorno para a projeção do gradiente deg sobre n.
Sejam@ ^B1; ; @ ^Bn parcelas disjuntas do contorno@ ^B onde @ ^B =
n
[
i=1
@ ^Bi: (11) Sejam os operadores lineares C1; ; Cn em A e as funções c1; ; cn de A, tais que são válidas as restrições Ci(g) = ciem@ ^Bi. Uma condição de contorno é chamada mista se há diferentes restrições ao longo do contorno, ou seja, se
C(g) =C1(g) Cn(g)T (12) e
c =c1 cnT : (13)
No contexto deste trabalho, serão considerados apenas os tipos de condição de contorno apresentados nesta seção. Assim, a condição de contorno C mais gené-rica corresponde a uma condição mista, composta por restrições de Neumman, de Dirichlet ou ambas.
1.2
Formulação Fraca
Existem algumas situações onde a solução do problema genérico 1 é muito difícil ou até impossível de ser obtida. Como exemplo desse último caso, a presença de eventuais descontinuidades no domínio, heterogeneidades e singularidades nos dados do problema o tornam insolúvel por conta do pressuposto de suavidade das funções do conjunto A. Convém salientar que este trabalho não tratará desse tipo de incompatibilidade, dessa inviabilidade de solução por conta de restrições fortes, muito embora o método apresentado a seguir seja aplicável à tais questões. Aqui, busca-se solucionar a primeira situação colocada: facilitar a procura por soluções onde as condições do problema a torna bastante com-plicada. Nesse intuito, uma estratégia já consagrada é converter o problema 1, escrito na forma forte, para uma relação integral equivalente, denominada forma fraca.
1.2.1 Espaços de Sobolev
Na forma fraca do problema 1, elimina-se a condição de suavidade imposta aos membros do conjunto A. Um conjunto adequado e muito utilizado para esta classe de problemas é o espaço de Sobolev, no qual a restrição de continuidade envolve derivadas fracas ou de Gâteaux, mais abrangentes do que as derivadas clássicas ou fortes ou de Fréchet.
A Derivada de Gâteaux. Seja a função realg com domínio ^B. A derivada de Gâteaux ou a G-derivada da funçãog na direção h 2 ^B é definida da seguinte forma:
[DGg (x)] (h) = lim
!0
g ( h + x) g (x)
; (14) onde é real e x 2 ^B. O lado direito direito de (14) expressa que no decurso da aproximação ! 0, a direção h é constante. Intuitivamente, isto se processa em partes, fixando-se primeiramente a direção h e depois levando-se à zero. Se a definição anterior for válida para qualquer direção h, diz-se que g é G-diferenciável em ^B e que a função DGg é a G-derivada de g em ^B.
Convém lembrar que a derivada clássica, derivada de Fréchet ou F-derivada deg na direção h 2 B é definida por:
[DFg (x)] (h) = lim
h!0
g (h + x) g (x)
khk : (15) Nesta definição, o lado direito mostra que a aproximação h ! 0 define uma “trilha” ou um “caminho” próprio. De maneira similar à G-derivada, DFg é a F-derivada de g em ^B e g é F-diferenciável em ^B para qualquer “caminho” h2 ^B.
Importante ressaltar que a restrição de F-diferenciabilidade é mais forte do que a de G-diferenciabilidade. Desta forma, toda função F-diferenciável (deri-vada forte) é G-diferenciável (deri(deri-vada fraca), enquanto o contrário não é ver-dade. Portanto, seg é F-diferenciável, DGg = DFg.
O Espaço de Sobolev. A função emg : ^B 7! R é dita uma Lp-função em ^B se a integral Z
^ Bjgj
p< 1 ; (16)
onde 0 < p < 1. Seja um espaço de Banach Lp^
B, formado por Lp-funções em
^
B, cuja norma é definida por kgkp= p sZ ^ Bjgj p ; 8g 2 Lp ^ B: (17) Um espaço de Banach Sq;p^
B é dito de Sobolev em ^B se seus membros e as
G-derivadas desse membros, até a ordem q, pertencem aLp^
B. Em outras palavras,
SBq;p^ :=ng j g 2 LpB^; D1
Gg 2 LpB^; ; DqGg 2 LpB^
o
Define-se a seguinte norma para espaços de Sobolev: kgkq;p= p v u u tXq i=0 Z ^ BjD i Ggjp: (19)
O Espaço HqB^. Uma função membro do espaço L2^
B, ou uma L2-função em
^
B, é denominada quadrado-integrável. A admissibilidade de soluções para grande parte dos problemas de valor de contorno da Física-Matemática reside necessariamente numa condição de regularidade atendida por funções quadrado-integráveis. No contexto da citada estratégia de tornar o problema 1 menos restritivo, o espaço de Sobolev, gerado a partir deL2^
B, tem importância
funda-mental, pois a utilização de G-derivadas, alidada à condição de integrabilidade atendida por uma L2-função, é, por si só, mais fraca do que o pressuposto de suavidade colocado para a solução do problema.
Convém observar que um espaçoSq;2^
B , ouHqB^, é sempre um espaço de
Hil-bert2quando, dadas as funções quaisquerf; g 2 Sq;2 ^
B , se define o produto interno
f g = q X i=0 Z ^ BD i GfDiGg ; (20)
ondeDiGg é o conjugado de DiGg. Pode-se constatar esse fato da seguinte forma: considerando funções reais, onde DiGg = DiGg, a norma do espaço de Sobolev e a igualdadejzj =pzz, onde z é complexo, tem-se o desenvolvimento:
kgkq;2 = v u u tXq i=0 Z ^ BjD i Ggj2 = v u u tXq i=0 Z ^ BD i GgDiGg = pg g ; (21) onde se observa que a norma é induzida pelo produto interno.
Para os problemas tratados neste trabalho, no âmbito de sua formulação fraca, apresentada a seguir, é suficiente admitir soluções que sejam funções quadrado integráveis, membros do espaço de Sobolev H1^
B.
1.2.2 Relações Integrais
A abordagem utilizada para o desenvolvimento da formulação fraca do problema 1 baseia-se em convertê-lo para uma relação integral equivalente. Ao se proceder dessa forma, considerando também que as possíveis soluções pertençam àH1^
B, a
restrição de suavidade imposta à incógnita pode ser eliminada, já que a equação integro-diferencial obtida é regida por uma soma infinita (integral) ao longo do domínio, enquanto que a equação diferencial deve ser válida em cada um de seus pontos. Neste caso, além das soluções fortes, é possível obter as chamadas soluções fracas, que atendem à relação integral mas não à diferencial.
Suporte de Função. Dado o mapeamentou : V 7! R, chama-se suporte de u o conjunto
supp (u) := fx 2 V j u (x) 6= 0g ; (22) ou seja, trata-se do fechamento do subconjunto deV onde os valores de u não são nulos.
Conjunto Compacto. Um conjuntoA é dito compacto se para uma coleção qualquer de subconjuntos abertos U A, 2 Z, onde A =S 2ZU , existir uma coleção finitaU1; ; Un tal que
A =
n
[
=1
U : (23)
Desta definição resulta que em qualquer coleção infinita de membros distintos de um conjunto compacto sempre haverá pelo menos um “ponto de acumulação”, para o qual os demais se aproximam. O domínio [0; 1], por exemplo, é um conjunto compacto, enquanto[0; 1[ não.
Solução Fraca. Seja a incógnitag membro do subespaço G H1^
Bdas funções
quadrado-integráveis que atuam em ^B. Sejam o subespaço W G das funções cujos valores são nulos em@ ^B e o subconjunto WS W daquelas com suporte compacto em ^B. Seja um operador diferencial D(q), simétrico emG. Dada uma função qualquer w 2 WS, tem-se a igualdade
wD(q)(g) = gD(q)(w) ; 8g 2 G: (24) Subtraindo os dois lados da igualdade pela funçãowf, obtém-se
wD(q)(g) f
= gD(q)(w) wf: (25)
Integrando essa expressão ao longo do domínio ^B, tem-se Z Bw D(q)(g) f = Z BgD (q)(w) wf ; (26)
uma vez quew é nula no contorno. Se a função g for solução do lado direito da expressão, então Z Bw D(q)(g) f = 0 ; 8w 2 WS; (27) onde a função w é denominada função peso, função teste ou variação. O Teorema de Lax-Milgram assegura que expressões desse tipo possuem solução única, denominada solução fraca do problema 1. Caso a funçãog e a função peso w sejam suaves (membros de C1) no domínio, o Lema de du Bois-Reymond3
demonstra que
D(q)(g) = f; (28) cujo formato é idêntico a (8). Com base no que foi apresentado, seja, a seguir, a formulação fraca do problema 1.
Problema 2. Seja Rm um espaço euclidiano m-dimensional. Sejam o espaço de SobolevG H1^
B formado por funções que mapeiam o domínio de
Lipschitz ^B Rmpara o espaço R e a função D(q)um operador diferencial de ordem q, simétrico em G. Sejam o conjunto W G das funções cujos valores são nulos em @ ^B e o subconjunto WS W daquelas com suporte compacto em ^B. Dada a função f 2 G, encontre g 2 G tal que
Z Bw D(q)(g) f = 0 ; 8w 2 WS; (29)
respeitada a condição de contorno
C(g) = c em @ ^B ; (30) onde são prescritos o operador diferencial C e a função c 2 G.
1.3
Operador Elíptico
1.3.1 Notação Multi-Indicial
A fim de evitar sobrecarga notacional nas expressões subsequentes, dotadas de diversos índices, serão utilizados os chamados índices. Assim, um multi-índicem-dimensional % é uma tupla ordenada composta por números naturais, ou
% := (%1; ; %m) ; % 2 Nm; (31) onde cada membro%i = 0; ; li. A partir daí, as seguintes definições podem ser utilizadas: ()%= ()%1%m; (32) j%j = m X i=1 %i; (33) x%=Ym i=1 x%i i ; x 2 Rm; (34) X % =Xl1 %1 Xlm %m ; (35) X cond% =X %
; respeitando a condição cond%; (36)
@%= @j%j=@x%1
1 @x%mm; xi 2 R: (37) 1.3.2 Definição
Um operador diferencial linear de ordemq > 0 do tipo L(q)(g) := X
j%j6q
ondeh%2 H1^
B, é dito elíptico se, dadosq ímpar e 2 Rm não nulo,
X
j%j=q
h%(x) %6= 0 8x 2 ^B : (39)
Caso q = 2k for par, então L(q) é elíptico se existir uma contante qualquer C 2 R tal que
( 1)k X j%j=q
h%(x) %> Cj jq; 8x 2 ^B : (40)
Admitindo-se um operador diferencial elíptico para a formulação fraca descrita no problema 2, pode-se escrever a partir de (29) que
Z Bw L(q)(g) f = 0 Z BwL (q)(g) =Z Bwf : (41) 1.3.3 Integração por Partes Recursiva
A integração por partes do produto de duas funções quaisqueru e v do espaço G, numa dada dimensão k de Rm, resulta a seguinte igualdade:
Z Buv = Z @ ^Buv(1)nk Z Bu (1)v (1); (42)
onde nk é a componente k da função normal unitária n ao contorno @ ^B e as notações (1) e (1) representam a derivada e a antiderivada de ordem 1 em xk 2 R, respectivamente. Em alguns casos, esse procedimento é bastante conveniente para simplificar ou mesmo viabilizar o processo de integração de certas expressões. Pode ocorrer que esse objetivo seja atingido somente após repetidas aplicações da integração por partes, nas quais os termos integrais em
B são integrados por partes recursivamente. Assim, após r > 0 aplicações, obtém-se que Z Buv = Z @ ^B ( r X i=1 ( 1)i 1u(i 1)v (i) ) nk+ Z B( 1) ru(r)v (r): (43)
No caso da equação (41), mediante a integração por partes recursiva aplicada no termo à esquerda, pode-se “transferir” todas as diferenciações parciais da incógnitag para a função peso w, conforme a igualdade
Z BwL (q)(g) =Z @ ^BC (g; w) + Z BgL (q)(w) ; (44)
onde L(q) é o operador adjunto formal de L(q), descrito por L(q)(x) = X
j%j6q
( 1)j%j@%(h
e o funcional bilinear4 emC : G W S7! R é descrito por C (g; w) = X j%j6q j%j X i=1 ( 1)i 1(h %w)(i 1)(@%g)(i)nki; (46) tal que ki:= 8 > > > > < > > > > : 1 se 1 6 i 6 %1 2 se %1< i 6 %1+ %2 .. . m se %1+ + %m 1< i 6 %1+ + %m : (47)
Convém ressaltar que as eventuais restrições de Neumman em C, na condição de contorno, precisam ser compatíveis com os integrandos presentes no funcional C. A partir da igualdade (44), pode-se reescrever a equação (41) da seguinte forma: Z BgL (q)(w) =Z Bwf Z @ ^BC (g; w) ; (48) que se mostra mais simples no que diz respeito à busca por soluções, uma vez que não há operador diferencial na incógnita g, mas apenas em w, que é uma função qualquer de WS.
Em resumo, pode-se concluir que a integração por partes da formulação fraca promove dois benefícios:
i. simplifica o processo de solução da equação, retirando as diferenciações da incógnita;
ii. destaca um termo específico que contempla as restrições de Neumman. 1.3.4 Decomposição aditiva
Conforme apresentado na seção anterior, o funcionalC está relacionado apenas às restrições de Neumman da condição de contorno. A fim de se considerar as eventuais restrições de Dirichlet em C, pode-se admitir que a solução g do problema 2 seja decomposta da seguinte forma:
g = g0+ gc; (49) ondeg02 W é nula no contorno e gc2 G uma parcela conhecida que obedece à condição de contorno de Dirichlet. Considerando essa decomposição aditiva em (48), obtém-se que Z Bg0 L(q)(w) = Z Bwf Z Bgc L(q)(w) Z @ ^BC (g; w) : (50) 1.3.5 O Problema Elíptico
A partir do que foi apresentado nesta seção, o problema 2, considerando-se operadores diferenciais elípticos, pode ser escrito como se segue.
4Como os demais termos da igualdade (44) são bilineares, entãoC
Problema 3. Seja Rm um espaço euclidiano m-dimensional. Sejam o espaço de Sobolev G H1^
B formado por funções que mapeiam o domínio
de Lipschitz ^B Rmpara o espaço R e L(q)um operador elíptico de ordem q em G. Sejam o conjunto W G das funções cujos valores são nulos em @ ^B e o subconjunto WS W daquelas com suporte compacto em ^B. Dadas
as funções f; gc2 G, encontre g02 W tal que Z Bg0 L(q)(w) = Z Bwf Z Bgc L(q)(w) Z @ ^BC (g; w) ; 8w 2 WS; (51) repeitada a condição de contorno
C(g) = c em @ ^B ; (52) onde são prescritos a função c 2 G e o operador diferencial C, compatível com gc e com o funcional bilinear em C : G WS 7! R.
Problema vetorial. Os problemas de valor de contorno tratados até aqui consideram a incógnita como uma função escalar. No entanto, há diversos pro-blemas da Física-Matemática cuja solução é vetorial. Dentre eles, serão consi-derados neste trabalho os problemas cuja descrição em cada dimensão puder ser feita segundo os termos do problema 3. Em outras palavras, tal problema pode ser colocado como se segue.
Problema 4. Seja Rm um espaço euclidiano m-dimensional. Sejam o espaço de Sobolev G H1^
B formado por funções que mapeiam o domínio
de Lipschitz ^B Rmpara o espaço R e L(q)um operador elíptico de ordem q em G. Seja Gp o conjunto das funções que mapeiam ^B para o espaço
euclidiano Rp, cujas componentes ortonormais são membros de G. Sejam o conjunto Wp Gp das funções cujos valores são nulos em @ ^B e o subconjunto WSp Wp daquelas com suporte compacto em ^B. Dadas as funções f; gc2 Gp, encontreg02 Wp tal que, para qualquer w 2 WSp,
p X k=1 Z Bg0k L(q)(wk) ^ek = p X k=1 Z Bg0k Z Bwkfk Z Bgck L(q)(wk) Z @ ^BCk(gk; wk) ^ek; (53)
respeitadas as condições de contorno
p X k=1 Ck(gck) ^ek= p X k=1 ck^ek em@ ^B ; (54) onde são prescritos as funções ck 2 G e os operadores diferenciais Ck, compatíveis com gck e com os funcionais bilineares emCk : G WS7! R.
1.4
Soluções Aproximadas
A intenção agora é discretizar o problema 3 a fim de viabilizar soluções nu-méricas. Para tal, seja o subespaço G G dimensionalmente finito. Neste
contexto, as funçõesgc2 G, g02 W e w 2 WS são aproximações degc,g0 ew respectivamente. Desta maneira, a equação (51) pode ser reescrita como
Z Bg0 L(q)(w) = Z Bwf Z Bgc L(q)(w) Z @ ^BC (g; w) ; 8w 2 WS: (55) 1.4.1 O Método de Galerkin
Nos termos do problema 3 discretizado, o método de Galerkin propõe que a incógnita g0 e a função pesow sejam descritas pela mesma base. Assim, se o conjuntoU = fg1; ; gng é uma base de G, então pode-se escrever que
w =Xn i=1 !igi: (56) e a função g0= n X j=1 jgj (57) Incluindo essas igualdades na expressão (55), pode-se realizar o seguinte desen-volvimento: Z B n X j=1 jgjL(q) n X i=1 !igi ! =Xn i=1 !i Z B h gif gcL(q)(gi) i Z @ ^BC (g; gi) n X i=1 !i Z B n X j=1 jgjL(q)(gi) = n X i=1 !i Z B h gif gcL(q)(gi) i Z @ ^BC (g; gi)
Como a expressão anterior deve ser vália para qualquer!i, tem-se que
n X i=1 n X j=1 Z Bgj L(q)(gi) | {z } ~ Kij j |{z} ~ dj = n X i=1 Z B h gif gcL(q)(gi) i Z @ ^BC (g; gi) | {z } ~ Fi ; (58)
onde ~K é uma matriz quadrada, ~d e ~F são matrizes coluna. Assim, pode-se definir a seguinte igualdade:
~
K ~d = ~F : (59) Problemas vetoriais. Diante do apresentado no problema 4, a igualdade (59), obtida a partir da discretização de Galerkin de uma única função escalar, precisa ser rearranjada para contemplar a discretização de cada uma dasp com-ponentes ortonormais da solução. Para tal, pode-se considerar que existem as igualdades ~ Kkd~k = ~Fk; k = 1; ; p ; (60) onde ( ~Kk)ij = Z Bgj k L(q)(gik) ; (61) ( ~Fk)j = Z B h gj kf gckL(q) gj ki Z @ ^BCk gk; gj k ; (62) ( ~dk)j = j k: (63)
Seja então a matriz diagonal de dimensão p [K]ij:= 2 6 6 6 4 ( ~K1)ij 0 0 0 ( ~K2)ij 0 .. . ... . .. ... 0 0 0 ( ~Km)ij 3 7 7 7 5: (64)
Seja também uma matriz quadradaK de dimensão r = p:n, tais que as diversas matrizes[K]ij são suas submatrizes segundo a definição
K = 2 6 6 6 4 [K]11 [K]12 [K]1n [K]21 [K]22 [K]2n .. . ... . .. ... [K]n1 [K]n2 [K]nn 3 7 7 7 5: (65)
Assim, considerando as matrizes coluna de dimensãor 1
F := ( ~F1)1 ( ~F2)1 ( ~Fp)1 ( ~F1)2 ( ~Fp)n T (66)
e
d := ( ~d1)1 ( ~d2)1 ( ~dp)1 ( ~d1)2 ( ~dp)n T ; (67)
tem-se
Kd = F : (68) Para que essa igualdade seja um sistema linear, onde somente d é incógnita, faz-se necessário especificar os membros da base U, tornando K uma matriz conhecida.
