Sistemas dinâmicos e equações diferenciais ordinárias

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campus de Rio Claro

Sistemas dinâmicos e equações diferenciais

ordinárias

Mariana Frassetto Malvezzi

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação - Mestrado Profissional em Ma-temática Universitária como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre

Orientadora

Profa. Dra. Suzete Maria Silva Afonso Co-orientador

Prof. Dr. Ricardo Parreira da Silva

517.38 M262s

Malvezzi, Mariana Frassetto

Sistemas dinâmicos e equações diferenciais ordinárias/ Mariana Frassetto Malvezzi - Rio Claro: [s.n.], 2013.

81 f.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti-tuto de Geociências e Ciências Exatas.

Orientadora: Suzete Maria Silva Afonso Co-orientador: Ricardo Parreira da Silva

1. sistemas dinâmicos. 2. equações diferenciais ordinárias. 3. quase periodicidade. 4. recorrência. 5. estabilidade de Lyapunov. I. Título

Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP

Agradecimentos

Agradeço a Deus, acima de tudo. Agradeço por Ele ter me abençoado por gostar de estudar matemática, por me iluminar em minhas escolhas e por me fazer perseverar neste caminho, chegando onde cheguei.

Agradeço aos meus pais, Antonio Gabriel e Maria Inês, por confiarem em meu trabalho, pelo apoio, compreensão e esforços sem medida para poder alcançar meus objetivos.

Agradeço a minha irmã Gabriela por ter dividido comigo momentos alegres de descontração e pela companhia durante os estudos.

Agradeço ao meu namorado Paulo, que sempre esteve ao meu lado, pelo incentivo e otimismo em minhas atividades.

Agradeço a minha orientadora professora Suzete pelo comprometimento, pela pa-ciência, pelo conhecimento compartilhado e por ter me norteado em meio às dúvidas. Agradeço-a também pela amizade construída.

Agradeço aos demais professores que colaboraram com minha formação, em especial ao professor Ricardo Parreira da Silva pela coorientação. E, agradeço a todos os amigos que fiz durante este período. São pessoas muito especiais com as quais dividi excelentes momentos.

"Hoje me sinto mais forte, mais feliz quem sabe. Só levo a certeza de que muito pouco eu sei ou nada sei." (Almir Sater e Renato Teixeira)

Resumo

O objetivo deste trabalho é apresentar a teoria de sistemas dinâmicos em espaços topológicos uniformes. Como uma aplicação, mostraremos a construção de um fluxo para equações diferenciais ordinárias não autônomas e, utilizando a teoria de dinâ-mica topológica abordada, daremos enfoque ao estudo de estabilidade de soluções e à investigação de condições que garantem a existência de soluções periódicas ou quase periódicas.

Palavras-chave: sistemas dinâmicos, equações diferenciais ordinárias, quase periodi-cidade, recorrência, estabilidade de Lyapunov.

Abstract

The purpose of this work is to present the theory of dynamical systems in uniform topological spaces. As an application, we will show the construction of a flow for nonautonomous ordinary differential equations and, by using the theory of topological dynamics discussed, we will focus on the study of stability of solutions and on the investigation for conditions that guarantee the existence of periodic or almost periodic solutions.

Keywords: dynamical systems, ordinary differential equations, almost periodicity, recurrence, Lyapunov stability.

Sumário

1.4 Espaços topológicos lineares . . . 13

2 Sistemas dinâmicos 15 2.1 Fluxos e semifluxos . . . 15

2.2 Definição modificada de um fluxo . . . 18

2.3 Conjuntos limite e trajetórias compactas . . . 21

2.4 Conjuntos minimais . . . 24

2.5 Semifluxos e atratores . . . 28

3 Exemplos de fluxos e semifluxos 30 3.1 Equações diferenciais autônomas . . . 30

3.2 Equações diferenciais não autônomas . . . 31

3.3 Funções contínuas . . . 32

4 Equações diferenciais não autônomas 37 4.1 Construção básica . . . 37

4.2 O problema de extensão . . . 39

4.3 Soluções compactas . . . 39

4.4 Equações limite . . . 42

5 Funções quase periódicas 43 5.1 Definição de quase periodicidade . . . 43

5.2 Propriedades de funções quase periódicas . . . 44

5.3 Caracterização de quase periodicidade . . . 47

6 Recorrência e quase periodicidade 51

6.1 Estabilidade de Poisson . . . 51

6.2 Recorrência . . . 54

6.3 Movimentos quase periódicos . . . 56

7 A estrutura dos conjuntos ω-limite 62 7.1 Caso quase periódico minimal . . . 62

7.2 Caso periódico minimal . . . 64

8 Aplicações a equações diferenciais 66 8.1 A solução φ(x, f, t) e o movimento π(x, f, t) . . . 66

8.2 Estrutura de equações limite . . . 67

8.3 Estabilidade . . . 70

8.4 Existência de soluções periódicas e quase periódicas . . . 75

9 Apêndice: Equações diferenciais ordinárias 79 9.1 Noções básicas . . . 79

9.2 Resultados . . . 80

Introdução

O estudo de fenômenos que apresentam uma evolução determinística ao longo do tempo pode ser feito através da teoria de sistemas dinâmicos. Tais fenômenos são en-contrados em várias áreas da ciência, tais como física, economia, ecologia, meteorologia, dentre outras.

A lei de evolução pode assumir diversas formas; iterações, equações diferenciais, transformações ou fluxos estocásticos. Esta lei nos permite prever a evolução de um sistema, sobretudo a longo prazo.

Neste trabalho, apresentamos a teoria básica de sistemas dinâmicos em espaços to-pológicos uniformes, exibimos exemplos de sistemas dinâmicos e dedicamos uma aten-ção especial a um determinado sistema dinâmico para equações diferenciais ordinárias não autônomas. No que segue, explicamos como o trabalho está dividido.

Dedicamos o Capítulo 1 a um resumo sobre a teoria de espaços topológicos unifor-mes. No Capítulo 2, definimos um sistema dinâmico, também denominado fluxo, num espaço topológico uniforme e discutimos algumas de suas propriedades. Além disso, apresentamos outros conceitos, dentre os quais destacamos: semifluxo, movimento, trajetória, conjuntos limite, conjunto minimal e atrator.

Exemplos de fluxos e semifluxos são abordados no Capítulo 3. No Capítulo 4, apresentamos a construção de um sistema dinâmico para equações diferenciais não autônomas e introduzimos o conceito de equação limite.

A fim de estudarmos movimentos quase periódicos, destinamos o Capítulo 5 ao estudo de funções quase periódicas com imagem em um espaço topológico uniforme.

No Capítulo 6, tratamos de movimentos recorrentes e movimentos quase periódicos, e introduzimos o conceito de estabilidade de Poisson.

No Capítulo 7, um breve estudo sobre a estrutura dos conjuntos ω-limite é realizado. O Capítulo 8 é dedicado às aplicações da teoria de sistema dinâmicos à teoria de equações diferencias ordinárias. Neste capítulo, estudamos a estabilidade de soluções de equações diferenciais ordinárias e investigamos condições para garantir a existência de soluções periódicas e quase periódicas de equações diferenciais ordinárias.

Ao final do trabalho, incluímos um sucinto apêndice com conceitos e resultados de equações diferenciais ordinárias que foram importantes ao longo do mesmo, para a comodidade do leitor.

As principais referências para este trabalho são [3], [4] e [5]. 8

1 Espaços uniformes

Neste capítulo, faremos uma breve e resumida exposição de conceitos e propriedades da teoria de espaços uniformes que serão necessários para o desenvolvimento da teoria de sistemas dinâmicos, foco principal do presente trabalho.

Para um estudo aprofundado da teoria de espaços uniformes, recomendamos a lei-tura do livro intitulado General Topology de J. L. Kelley, [2].

1.1

Sequências generalizadas

Definição 1.1. Um conjunto direto (A, ≥) é definido por um conjunto não vazio A munido da ordem ≥, que satisfaz as seguintes condições :

(i) (Transitividade) Se a, b e c pertencerem ao conjunto A e a ≥ b e b ≥ c, então a ≥ c;

(ii) (Reflexividade) Se a pertence ao conjunto A, então a ≥ a;

(iii) (Limitante superior). Para todo par b e c em A, existe a em A tal que a ≥ b e a ≥ c.

No que segue, denotaremos o conjunto direto (A, ≥) por A.

Definição 1.2. (i) Uma sequência (generalizada) é uma função f definida em um conjunto direto A com imagem em outro conjunto.

O valor de uma sequência generalizada f em um ponto a pertencente ao conjunto A é denotado por fa.

(ii) Uma sequência generalizada f estará em X se a imagem de f estiver em X, isto é, fa ∈ X sempre que a ∈ A.

(iii) Se existir b ∈ A tal que fa ∈ U sempre que a ≥ b, diremos que a sequência generalizada está eventualmente em U , onde U ⊂ X.

(iv) Seja f : A → X uma sequência generalizada, onde X é um espaço topológico. Diremos que f converge para um ponto x em X se a sequência estiver eventu-almente em toda vizinhança de x. Neste caso, escrevemos fa → x ou lim

a fa = x. 9

Limites iterados 10

Em [2], J. L. Kelley usa o termo rede para se referir a uma sequência generalizada. O conceito de convergência de sequências generalizadas é de grande valia, pois nos fornece uma forma conveniente de descrever a topologia em um conjunto X. Em [2], Capítulo II, uma discussão detalhada dessa relação é apresentada. A propriedade abaixo sintetiza a relação entre convergência de sequências generalizadas e topologias. Proposição 1.1. Sejam X um espaço topológico e U ⊂ X. Um ponto x pertencerá ao fecho de U , denotado por U , se e somente se existir uma sequência generalizada {xa} em U que converge para x.

Um tipo especial de divergência será usado, com frequência, nos próximos capítulos. Este segue abaixo.

Definição 1.3. Seja t : A → R (ou t : A → Z) uma sequência. Diremos que ta → +∞ se, para todo inteiro N , existir um índice b em A tal que ta ≥ N sempre que a ≥ b.

Precisaremos do conceito de subsequência (generalizada). E para introduzirmos este conceito, precisamos da noção de subconjunto cofinal de um conjunto direto. Definição 1.4. (i) Diremos que B é um subconjunto cofinal de A se B for um

conjunto direto com a mesma ordem de A e para cada a ∈ A existir b ∈ B com b ≥ a.

(ii) Se f : A → X for uma sequência e B for um subconjunto cofinal de A, então a restrição de f à B, f : B → X, será denominada subsequência (generali-zada).

1.2

Limites iterados

Definição 1.5. Sejam A1 e A2 dois conjuntos diretos e A = A1 × A2 o produto car-tesiano. Se definirmos a ordem (a1, a2) ≥ (b1, b2) sempre que a1 ≥ b1 e a2 ≥ b2, o conjunto A será um conjunto direto. Munido desta relação de ordem, o conjunto A é denominado conjunto produto direto.

Em geral, se tivermos uma família (Ax, ≥x) em que x está em algum conjunto indexado X, poderemos definir uma ordem no produto cartesiano A = ×xAx, dizendo que a ≥ b sempre que para cada componente tivermos ax≥x bx, com x ∈ X.

Proposição 1.2. Seja D um conjunto direto. Para cada n ∈ D, seja An um conjunto direto, e seja A = ×nAn o conjunto produto direto gerado por {An : n ∈ D}. Consi-deremos B = D × A o conjunto produto direto gerado por D e A. Definamos R em B por

R : (n, a) → (n, an) ∈ D × An.

Para cada n ∈ D, seja S(n, ·) = S(n, an) uma sequência definida em An com imagem em um espaço topológico fixo X. Então, S ◦ R converge para lim

n liman

S(n, an) sempre que esse limite iterado existir.

Topologias uniformes 11

1.3

Topologias uniformes

Definição 1.6. Um sistema de vizinhanças uniforme para um conjunto X é de-finido por (X; A, ≥; V ), em que X é um conjunto, (A, ≥) é um conjunto direto e para cada a ∈ A e x ∈ X, Va(x) é um subconjunto de X sujeito às seguintes condições:

(i) x ∈ Va(x);

(ii) Va(x) ⊂ Vb(x) sempre que a ≥ b;

(iii) (Condição de simetria) y ∈ Va(x) se, e somente se, x ∈ Va(y);

(iv) (Condição de uniformidade) Para cada a ∈ A existe um b ∈ A tal que z ∈ Va(x) sempre que z ∈ Vb(y) e y ∈ Vb(x).

É importante observar que, na condição de uniformidade, a escolha de b depende somente de a.

Por aplicações sucessivas da condição de uniformidade, podemos estabelecer o se-guinte resultado.

Proposição 1.3. Sejam a ∈ A e n ≥ 1 um número inteiro. Então, existe um elemento b em A tal que

xi ∈ Vb(xi+1), i = 1, . . . , n ⇒ x1 ∈ Va(xn+1).

Definição 1.7. (i) Um sistema de vizinhanças uniforme para um conjunto X gera uma topologia da forma usual. Isto é, um conjunto U ⊂ X é denominado aberto se para todo x em U existir uma vizinhança Va(x) ⊂ U . Um conjunto U ⊂ X é fechado se o seu complementar X − U for aberto.

(ii) Essa topologia é chamada topologia uniforme (gerada por A e V ). (iii) O conjunto X com essa topologia é denominado espaço uniforme.

Podemos denotar o conjunto X munido da topologia uniforme por X, (X, A), (X, A, V ) ou (X; A, ≥; V ).

Não existe perda de generalidade em assumir que os conjuntos Va(x) sejam abertos na topologia uniforme. De fato, se definirmos V0

a(x) como sendo o maior conjunto aberto em Va(x), então (X; A, ≥; V0) será um sistema de vizinhanças uniforme para X e a topologia gerada por A e V0 _{coincidirá com a topologia gerada por A e V .}

Um espaço topológico X será um espaço de Hausdorff (isto é, um espaço topológico no qual dois pontos distintos possuem vizinhanças disjuntas) se, e somente se, toda sequência em X tiver no máximo um ponto limite. Para um espaço uniforme (X, A, V ) essa afirmação é equivalente a dizer que, para dois pontos distintos x e y em X, existe um índice a em A tal que Va(x) ∩ Va(y) = ∅.

Topologias uniformes 12

No que segue, vamos assumir que o espaço uniforme (X, A, V ) é um espaço de Hausdorff.

Então, vamos considerar que, em adição às quatro condições da definição 1.6, um sistema de vizinhanças uniforme deverá satisfazer:

(v) Cada Va(x) é aberto;

(vi) Se x e y forem pontos distintos em X, então existirá a em A tal que Va(x) ∩ Va(y) = ∅.

Para uma prova do resultado abaixo, veja [2].

Proposição 1.4. Seja (X, A, V ) um espaço uniforme. Então, para todo a em A, existe b em A tal que Vb(x) ⊂ Va(x) para todo x em X.

Definição 1.8. (i) Um conjunto será denominado compacto se ele for compacto no sentido de Heine-Borel.

(ii) Um conjunto U em X será denominado condicionalmente compacto (ou pré-compacto) se o seu fecho U for compacto.

Note que um conjunto U ⊂ X será compacto se, e somente se, toda sequência generalizada em U tiver uma subsequência convergente em U .

Definição 1.9. (i) Uma sequência {xn} em um espaço uniforme (X, A, V ) será de-nominada sequência de Cauchy se, para todo a em A, existir um índice N tal que xn∈ Va(xm) para quaisquer n, m ≥ N .

(ii) Um espaço uniforme (X, A, V ) será denominado completo se toda sequência de Cauchy em X for convergente.

Definição 1.10. Um conjunto U ⊂ X será denominado totalmente limitado em (X, A, V ) se, para todo a em A, existir uma coleção finita {x1, x2, . . . , xn} em U tal que

U ⊂ ∪n_iVa(xi).

Note que um espaço uniforme será compacto se, e somente se, for totalmente limi-tado e completo.

Definição 1.11. (i) Seja f : X → Y uma função onde (X, A, V ) e (Y, A0, V0) são espaços uniformes. Então, f será uniformemente contínua se para todo índice a0 em A0 existir b em A tal que f (x) ∈ V_a00(f (z)) sempre que x ∈ V_b(z), para

Espaços topológicos lineares 13

(ii) Uma sequência {fn} de funções fn definidas em um conjunto D tomando valores em um espaço uniforme X convergirá uniformemente para uma função f se para todo a em A existir um índice N tal que fn(y) ∈ Va(f (y)) para todo n ≥ N e todo y ∈ D.

A próxima proposição é um refinamento da Proposição 1.1.

Proposição 1.5. Sejam (X, A, V ) um espaço uniforme e U ⊂ X. Um ponto x per-tencerá ao fecho U se, e somente se, existir uma sequência generalizada {xa} definida em A com imagem em U tal que xa→ x.

Proposição 1.6. Sejam (X, A, V ) um espaço uniforme e {xn} uma sequência em X com xn → x. Então, para qualquer a ∈ A, temos a propriedade: se y ∈ Va(x), então existirá um índice N tal que y ∈ Va(xn) para n ≥ N .

Demonstração: Seja y ∈ Va(x). Como a vizinhança Va(y) é aberta e x ∈ Va(y), existe U ⊂ Va(y), U aberto, tal que x ∈ U .

Como xn converge para x, existe N tal que xn ∈ U para todo n ≥ N . Daí, xn ∈ Va(y), n ≥ N,

e então,

y ∈ Va(xn), n ≥ N.

Finalizaremos este capítulo definindo um espaço topológico linear.

1.4

Espaços topológicos lineares

Nesta seção, X denotará um espaço linear.

Definição 1.12. Diremos que um sistema de vizinhanças uniforme (X; A, ≥; V ) for-nece uma estrutura linear uniforme no espaço X se, em adição às seis propriedades da seção anterior, as próximas três também forem satisfeitas:

(vii) Va(x) = x + Va(0) para todo a ∈ A, x ∈ X;

(viii) Para todo a em A existe b em A tal que se x, y ∈ Vb(0) então x + y ∈ Va(0); (ix) Se x ∈ Va(0), então −x ∈ Va(0).

Exemplo 1.1. Sejam X um espaço com uma métrica d e A = {a ∈ R : a > 0} com a ordem usual. Definimos Va(x), para a ∈ A e x ∈ X, por

Va(x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1/a}.

Dessa forma, (X; A, ≥; V ) é um sistema de vizinhança para X e a topologia uniforme é a topologia gerada pela métrica d.

Espaços topológicos lineares 14

Para provarmos a afirmação acima, verificaremos que (X; A, ≥; V ) satisfaz as quatro condições da Definição 1.6.

Com efeito:

(i) x ∈ Va(x), pois d(x, x) = 0 < 1/a, a ∈ A.

(ii) Sejam a, b ∈ A tais que a ≥ b. Então, 1/a ≤ 1/b. Assim, para y ∈ Va(x) temos d(x, y) < 1/a ≤ 1/b ⇒ y ∈ Vb(x).

∴ Va(x) ⊂ Vb(x).

(iii) Seja y ∈ Va(x). Portanto, d(x, y) < 1/a. Mas, d(x, y) = d(y, x). Assim, d(x, y) < 1/a ⇔ d(y, x) < 1/a ⇔ x ∈ Va(y).

∴ y ∈ Va(x) ⇔ x ∈ Va(y).

(iv) Dado a ∈ A, tomemos b = 2a. Se

z ∈ Vb(y) e y ∈ Vb(x), então

d(y, z) < 1/b e d(x, y) < 1/b.

Então, como d é uma métrica (sendo assim, satisfaz a desigualdade triangular), obtemos d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < 1 b + 1 b = 2 b = 2 2a = 1 a. ∴ z ∈ Va(x).

Observação 1.1. Considerando X = Rn_{, n ≥ 1, e d uma métrica qualquer em R}n_, concluímos que (Rn_{; A, ≥; V ) é um espaço topológico uniforme. Este fato será utilizado} em capítulos posteriores.

2 Sistemas dinâmicos

Neste capítulo, definiremos o conceito de um sistema dinâmico, ou fluxo, e discu-tiremos algumas de suas propriedades. Para isso, consideraremos que X é um espaço uniforme com a topologia de Hausdorff, gerado pelo conjunto direto (A, ≥) e por uma correspondência V .

2.1

Fluxos e semifluxos

Definição 2.1. Seja T um grupo topológico. Um sistema dinâmico (fluxo) em X é uma aplicação

π : X × T → X que satisfaz as condições:

(i)(propriedade da identidade) π(x, 0) = x, para x ∈ X;

(ii)(propriedade de grupo) π(π(x, t), s) = π(x, t + s), para x ∈ X e t, s ∈ T ; (iii) π é contínua.

Estamos interessados no grupo dos números reais (R) e no grupo dos números inteiros (Z), com suas topologias usuais. Quando T = R, diremos que um sistema dinâmico π é um fluxo contínuo e quando T = Z, diremos que é um fluxo discreto.

Seja π um fluxo em X. Para x ∈ X e t ∈ T , defina πt(x) = π(x, t).

Proposição 2.1. Para cada t ∈ T , a aplicação πt é um homeomorfismo de X em X. Demonstração: Mostremos, primeiramente, que πt é injetora. Sejam x1, x2 per-tencentes a X tais que πt(x1) = πt(x2). Então,

x1 = π(π(x1, t), −t) = π(π(x2, t), −t) = x2. Dado y ∈ X, seja x = π(y, −t). Então,

π(x, t) = π(π(y, −t), t) = π(y, 0) = y. Portanto, πt é sobrejetora.

Fluxos e semifluxos 16

A propriedade de grupo implica que (πt)−1 = π−t. Portanto, πt e (πt)−1 são contí-nuas.

A próxima proposição caracteriza fluxos discretos em termos de homeomorfismo: Proposição 2.2. Uma condição necessária e suficiente para que a aplicação π : X × Z → X seja um fluxo discreto é que exista um homeomorfismo F : X → X tal que

π(x, n) = Fn(x), _{n ∈ Z,}

em que Fn(x) = Fn−1(F (x)) e F0 é definida como sendo a função identidade.

Demonstração: (⇒) Defina F : X → X pondo F (x) = π(x, 1) para todo x ∈ X. Mostremos que F é um homeomorfismo.

De fato: • F é injetora: Se F (x1) = F (x2), então π(π(x1, 1), −1) = π(π(x2, 1), −1) π(x1, 1 − 1) = π(x2, 1 − 1) π(x1, 0) = π(x2, 0) x1 = x2. • F é sobrejetora:

Dado y ∈ X, tomemos x = π(y, −1). Assim,

F (x) = π(x, 1) = π(π(y, −1), 1) = π(y, 0) = y. • F−1 _{é contínua:} Temos F−1(x) = π(x, −1), pois F−1(F (x)) = π(π(x, 1), −1) = π(x, 0) = x, e F (F−1(x)) = π(π(x, −1), 1) = π(x, 0) = x.

Além disso, F−1 é contínua, pois a aplicação π(·, −1) é contínua, visto que π é um fluxo.

Fluxos e semifluxos 17 E mais, π(x, n) = π(π(x, n − 1), 1) = F (π(x, n − 1)) = F (π(x, n − 2), 1) = F (F (π(x, n − 2))) = F (F (. . . F (π(x, n − n)))) = Fn−2(F (F (x))) = Fn(x).

(⇐) Consideremos, agora, π(x, n) = Fn_{(x), n ∈ Z, x ∈ X, e provemos que π é um} fluxo discreto. De fato, para x ∈ X e n, m ∈ Z, temos

(i) π(x, 0) = F0_{(x) = x;}

(ii) π(π(x, n), m) = π(Fn(x), m) = Fm(Fn(x)) = Fm+n(x) = π(x, n + m); (iii) π é uma aplicação contínua, pois é composta de funções contínuas.

Neste caso, o homeomorfismo F é gerado pelo fluxo contínuo π.

Concluímos assim, que o estudo de fluxos discretos é equivalente ao estudo de homeomorfismos e suas iteradas.

Se T = R ou T = Z, definiremos T+ _{= {t ∈ T : t ≥ 0}. Dessa forma, T}+ _{é um} semigrupo.

Definição 2.2. Um semifluxo é uma aplicação π : X × T+ _{→ X, que satisfaz as} seguintes condições:

(i) π(x, 0) = x, para x ∈ X;

(ii) π(π(x, t), s) = π(x, t + s), para x ∈ X e t, s ∈ T+; (iii) π é contínua.

Observe que, restringindo a variável t ao conjunto T+, qualquer fluxo origina um semifluxo. Mas, o contrário não vale. E se π for um semifluxo, a aplicação inversa π−1 não estará definida. Por isso, reescrevemos a proposição anterior da seguinte forma: Proposição 2.3. Uma condição necessária e suficiente para que a aplicação π : X × T+ → X seja um semifluxo é que exista uma aplicação contínua F : X → X (não necessariamente sobrejetora) tal que

Definição modificada de um fluxo 18

Dessa forma, o estudo de semifluxos discretos é equivalente ao estudo de aplicações contínuas e suas iteradas.

Considere a equação diferencial

x0 = f (x) (2.1)

no espaço Euclidiano Rn em que f é uma função de classe C1. Então, pelo Teorema de Existência e Unicidade (veja Apêndice, Teorema 9.2), existe uma única solução φ(x, t) de (2.1) que satisfaz φ(x, 0) = x.

Podemos definir um fluxo contínuo π em Rn fazendo π(x, t) = φ(x, t), no caso em que cada solução φ(x, t) de (2.1) pode ser estendida para todo tempo t. Todavia, é sabido que esta propriedade de existência global (veja Apêndice, Definição 9.4) não é compartilhada por todas as equações diferenciais.

Parece ser mais apropriado modificar a definição de um fluxo de forma que a traje-tória π(x, t) não tenha que ser definida para todo tempo t. Eis, então, uma explicação para a próxima seção.

2.2

Definição modificada de um fluxo

Definição 2.3. Seja X um espaço topológico. Para cada ponto x ∈ X, seja Ix = (αx, βx) um intervalo aberto em T , contendo o zero. Consideremos que os intervalos Ix têm a seguinte propriedade de continuidade: se xn → x em X, então Ix ⊂ lim inf Ixn.

Seja D ⊂ X × T definido por

D = {(x, t) ∈ X × T : t ∈ Ix}.

Uma aplicação π : D → X será denominada fluxo local em X se as seguintes propriedades forem satisfeitas:

(i) π(x, 0) = x, para todo x ∈ X;

(ii) Se t ∈ Ix e s ∈ Iπ(x,t), então (t + s) ∈ Ix e π(π(x, t), s) = π(x, t + s); (iii) π é contínua;

(iv) Cada intervalo Ix é maximal no sentido de que, ou Ix = T ou o conjunto {π(x, t) : 0 ≤ t < βx}

não é condicionalmente compacto se βx < +∞, ou o conjunto {π(x, t) : αx < t ≤ 0}

Definição modificada de um fluxo 19

(v) Os intervalos Ix são semicontínuos inferiormente em x, ou seja, se xn → x, então Ix ⊂ lim inf Ixn.

Da propriedade maximal, se E ⊂ D e π : E → X for um fluxo local, então E = D. De fato, sendo π : D → X um fluxo local, esta aplicação tem a propriedade maximal, ou seja, dado x ∈ X tal que (x, t) ∈ D, ou Ix = T ou {π(x, t) : t ∈ Ix} não será condicionalmente compacto.

Agora, considere

π : E → X, onde E = {(x, t) ∈ D; t ∈ Jx ⊆ Ix}.

Se π : E → X for um fluxo, então Jx será maximal. Dessa forma, ou Jx = T ou {π(x, t) : t ∈ Jx} não é condicionalmente compacto.

Se Jx = T então Ix = T e, portanto, E = D.

Suponha, agora, que Jx 6= Ix. Como {π(x, t) : t ∈ Jx} não é condicionalmente compacto, não podemos estender π para Ix. Eis uma contradição, pois π está definido em Ix. Logo, devemos ter Jx = Ix.

Vimos, assim, que não há razão em distinguir fluxo local de um fluxo. Por isso, omitiremos o termo “local”, a seguir. Entretanto, os fluxos que satisfazem Ix = T , para qualquer x ∈ X, serão denominados fluxos globais.

Proposição 2.4. Seja π um fluxo em X. Se {xn} for uma sequência em X tal que xn → x, então a sequência de funções {π(xn, t)} convergirá para π(x, t) e a convergên-cia será uniforme em conjuntos compactos de Ix.

Demonstração: Seja K um subconjunto compacto de Ix. Pela semicontinuidade inferior de Ix, existe um índice m tal que K ⊂ Ixn para n ≥ m.

A convergência uniforme em K significa que, para toda vizinhança Va(.), a ∈ A, existe um índice p tal que π(xn, t) ∈ Va(π(x, t)) para todo n ≥ p e todo t ∈ K. Provaremos esta propriedade por redução ao absurdo.

Suponha, então, que exista uma vizinhança Va(.) tal que, para todo índice n ≥ m, existe tn∈ K de forma que

π(xn, tn) /∈ Va(π(x, tn)). (2.2) Como K é compacto, a sequência {tn} determinada acima possui uma subsequên-cia convergente, a qual denotaremos também por {tn}, por simplicidade de notação. Digamos que tn → t0. Daí, π(x, tn) → π(x, t0), visto que a aplicação π é contínua. Com a ∈ A dado em (2.2), escolha b ∈ A de forma que

π(x, t0) ∈ Vb(π(x, tn)) e z ∈ Vb(π(x, t0)) ⇒ z ∈ Va(π(x, tn)), (2.3) pela Proposição 1.3.

Definição modificada de um fluxo 20

Segue, novamente, da continuidade de π que π(xn, tn) → π(x, t0). O que significa que podemos encontrar um índice N tal que

z = π(xn, tn) ∈ Vb(π(x, t0)) para n ≥ N .

Aplicando (2.3), temos π(xn, tn) ∈ Va(π(x, tn)), o que contradiz (2.2).

Seja π um fluxo em X e seja x ∈ X fixo. A função π(x, .) é denominada movimento através de x. A trajetória através de x é o conjunto

γ(x) = {π(x, t) : t ∈ Ix},

também denominado de órbita de x. A semitrajetória positiva e a semitrajetória negativa são definidas por

γ+(x) = {π(x, t) : 0 ≤ t < βx} e γ−(x) = {π(x, t) : αx < t ≤ 0}, respectivamente. O fecho da órbita de x é definido por

H(x) = γ(x),

e o fecho da órbita positiva e negativa de x são definidos por H+(x) = γ+_{(x) e H}−_{(x) = γ}−_(x), respectivamente.

Um conjunto E ⊂ X será denominado invariante se γ(x) ⊂ E, sempre que x ∈ E. Diremos que o conjunto E é positivamente invariante ou negativamente invari-ante se γ+_{(x) ⊂ E ou γ}−_{(x) ⊂ E, respectivamente.}

Proposição 2.5. O fecho de um conjunto invariante é um conjunto invariante. Demonstração: Seja E um conjunto invariante e seja y ∈E. Queremos mostrar que γ(y) ⊂ E, isto é, π(y, t) ∈ E, para cada t ∈ Iy.

Como y ∈ E, existe uma sequência {yn} ⊂ E tal que yn → y. Se t ∈ Iy, então, pela propriedade de semicontinuidade inferior do intervalo Iy, existe um índice m tal que t ∈ Iyn para n ≥ m.

Pela continuidade de π, temos π(yn, t) → π(y, t). Como E é invariante, a sub-sequência {π(yn, t) : n ≥ m} ⊂ E, logo π(y, t) ∈ E.

Usando o mesmo argumento, concluímos que o fecho de um conjunto positivamente invariante é positivamente invariante, e o fecho de um conjunto negativamente invari-ante é negativamente invariinvari-ante.

Conjuntos limite e trajetórias compactas 21

2.3

Conjuntos limite e trajetórias compactas

Definição 2.4. Seja π um fluxo em X. Definimos os conjuntos LB+ = {x ∈ X : βx = +∞}

LB− = {x ∈ X : αx = −∞} LB = LB−∩ LB+_, sendo Ix = (αx, βx).

Note que, se LB for não vazio, como LB × T está contido em D, que é o domínio de definição de π, a aplicação π restrita à LB × T será um fluxo global em LB.

Se x ∈ LB+, definiremos o conjunto ω-limite por Ωx = ∩t≥0H+(π(x, t)).

Analogamente, se x ∈ LB−, definiremos o conjunto α -limite por Ax = ∩t≤0H−(π(x, t)).

Proposição 2.6. Os conjuntos-limites são descritos equivalentemente por Ωx = {y ∈ X : y = lim

n→∞π(x, tn) para alguma sequência {tn} com tn→ +∞} e Ax = {y ∈ X : y = lim

n→∞π(x, tn) para alguma sequência {tn} com tn→ −∞}. Demonstração: Provaremos a igualdade do conjunto ω -limite. A demonstração da igualdade do conjunto α-limite é análoga.

(⇐) Se y = lim

n→∞π(x, tn), para alguma sequência {tn} com tn→ +∞, então y ∈ γ+_{(x) = H}+_(x).

Contudo, dado τ ≥ 0, y = lim

n→∞π(x, tn) = limn→∞π(π(x, τ ), −τ + tn) em que (−τ + tn) → +∞.

Daí, para todo τ ≥ 0,

y ∈ H+(π(x, τ )) e, portanto, y ∈ Ωx.

(⇒) Agora, se y pertencer ao conjunto ω - limite, então para τ ≥ 0, y ∈ γ+_{(π(x, τ )).}

Conjuntos limite e trajetórias compactas 22

Segue, da Proposição 1.5, que existe uma sequência {xa}, definida em A, com imagem em γ+(π(x, τ )) tal que xa → y. Digamos que

xa = π(x, τ + ta), para ta≥ 0.

Definimos com a ordem usual em T+, o produto ordenado em T+ × A, isto é, (τ, a) ≥ (σ, b) sempre que τ ≥ σ e a ≥ b.

Seja t uma sequência em T+× A com imagem em T+ _{definida da seguinte forma:} t : n = (τ, a) → τ + ta = tn.

Seja N ∈ Z e fixe (σ, b) ∈ T+× A com σ ≥ N . Se n = (τ, a) e n ≥ (σ, b), então

tn = τ + ta≥ σ + ta≥ σ ≥ N. Portanto, tn → +∞.

Agora, como y = lim xa, temos

y = lim π(x, τ + ta) = lim π(x, tn), com tn→ +∞.

Por conseguinte, y ∈ {y ∈ X : y = limn→∞π(x, tn) para alguma sequência {tn} com tn → +∞}.

Teorema 2.1. Os conjuntos α e ω-limite são fechados e invariantes.

Demonstração: Consideremos o conjunto ω-limite, Ωx. Como Ωx está definido como a interseção de uma família de conjuntos fechados, então Ωx é fechado.

Se y pertencer ao conjunto ω-limite, existirá uma sequência {tn} com tn → +∞ tal que xn = π(x, tn) → y, pela proposição anterior. Pela continuidade de π, para qualquer t em Iy, temos π(π(x, tn), t) → π(y, t).

Contudo, π(π(x, tn), t) = π(x, tn + t), daí π(x, tn + t) → π(y, t). Como (t + tn) → +∞, segue que π(y, t) pertence ao conjunto ω− limite. Logo, Ωx é in-variante.

Para provarmos que o conjunto α-limite é fechado e invariante, procedemos de forma similar.

Os conjuntos limites podem ser vazios. No entanto, queremos encontrar uma con-dição suficiente para que estes conjuntos sejam não vazios. Para isso, introduziremos um novo conceito.

Conjuntos limite e trajetórias compactas 23

Definição 2.5. A órbita de x será denominada compacta se o conjunto γ(x) estiver contido em um conjunto compacto, isto é, π(x, t) será compacto se γ(x) for um conjunto compacto.

Analogamente, a órbita positiva será positivamente compacta se o conjunto γ+(x) estiver contido em um conjunto compacto, isto é, se γ+_{(x) for um conjunto} compacto.

A compacidade negativa é definida de forma análoga.

Pela maximalidade de Ix, vemos que se π(x, t) for positivamente compacto, então x pertencerá ao conjunto LB+_{. De forma similar, se π(x, t) for negativamente compacto} (compacto), então x pertencerá ao conjunto LB−(LB).

O próximo teorema estabelece a relação entre movimentos positivamente compactos e os seus conjuntos ω-limites.

Teorema 2.2. Seja π(x, t) um movimento positivamente compacto. Então, Ωx é não vazio, compacto e invariante. E mais, para todo y em Ωx, temos Iy = T . Além disso, se o grupo T for o conjunto dos números reais, então o conjunto Ωx será conexo.

Demonstração: Já vimos que Ωx é invariante e que, se π(x, t) for positivamente compacto, então H+(x) será um conjunto compacto em X, pela definição.

Sejam τ ≥ 0 e y ∈ H+(π(x, τ )) = γ+_{(π(x, τ )).}

Então, existe uma sequência {yk} ⊂ γ+(π(x, τ )) tal que y = lim yk. Como yk ∈ γ+_{(π(x, τ ) para todo k ∈ N, podemos dizer que y}k= π(x, τ + tk).

Desse modo,

y = lim π(x, τ + tk). Portanto, y ∈γ+_(x).

Desta forma, para τ ≥ 0, H+(π(x, τ )) ⊂ H+(x). Logo, H+(π(x, τ )) é um conjunto compacto em X, para todo τ ≥ 0.

Afirmação: A família de conjuntos {H+(x, τ ); τ ≥ 0} é decrescente. A prova desta afirmação será feita por indução.

Seja τ0 = 0 e considere τ1 > τ0. Vimos acima que

H+(π(x, τ1)) ⊂ H+(x) = H+(π(x, 0)). Suponha que, para τn > τn−1 > · · · > τ1 > τ0,

H+(π(x, τn)) ⊂ · · · ⊂ H+(π(x, τ1)) ⊂ H+(π(x, τ0)). Seja τn+1> τn.

Tome z ∈ H+_{(π(x, τ}

n+1)) = γ+(π(x, τn+1)). Então, z = lim zk, {zk} ⊂ γ+(π(x, τn+1)). Podemos dizer que zk= π(x, τn+1+ tk), com tk ≥ 0.

Conjuntos minimais 24 Considere τn+1 = τn+ rn, rn > 0. Assim, zk = π(x, τn+1+ tk) = π(x, τn+ rn+ tk) = π(π(x, τn), rn+ tk). Portanto, {zk} ⊂ γ+(π(x, τn)) e então z ∈ γ+_{(π(x, τ} n)) = H+(π(x, τn)). Dessa forma, H+(π(x, τn+1)) ⊂ H+(π(x, τn)).

Como {H+_{(x, τ ), τ ≥ 0} é uma família decrescente de conjuntos não vazios e} com-pactos, segue que a interseção ∩t≥0H+(π(x, t)) é um conjunto não vazio e compacto, ou seja, Ωx é um conjunto compacto e não vazio.

Se y ∈ Ωx, então π(y, t) estará em um conjunto compacto Ωx, para todo t em Iy. Daí, pela maximalidade de Iy, temos Iy = T .

Agora, suponha que T = R e que Ωx não seja conexo. Então, existem conjuntos abertos A e B, disjuntos e não vazios, tais que Ωx ⊂ (A ∪ B). Daí, podemos encontrar sequências {tn} e {sn} tais que

0 < s1 < t1 < · · · < sn< tn< sn+1 < . . . , sn → ∞, tn→ ∞ de forma que

π(x, sn) ∈ A e π(x, tn) ∈ B.

Como o caminho π(x, [sn, tn]) é conexo, existe um ponto t∗n ∈ [sn, tn] tal que π(x, t∗_n) /∈ A ∪ B. Da compacidade de Ωx, segue que a sequência {π(x, t∗n)} contém uma subsequência convergente. Denotaremos esta subsequência por {π(x, t∗_n)}, por simplicidade de notação, e diremos que π(x, t∗_n) → y.

O ponto limite y está no conjunto fechado X − (A ∪ B) e como t∗_n → +∞, temos y ∈ Ωx, o que gera uma contradição. Portanto, Ωx é conexo.

Corolário 2.1. Seja π um fluxo em X. Se existir uma trajetória positivamente com-pacta, então o conjunto LB será não vazio.

Demonstração: Segue do teorema precedente que Ωxé não vazio e está no conjunto LB.

2.4

Conjuntos minimais

Definição 2.6. Um conjunto E ⊂ X é denominado conjunto minimal se for não vazio, fechado e invariante e se não contiver subconjunto próprio com essas três pro-priedades.

Conjuntos minimais 25

Definição 2.7. Um ponto x em X é denominado ponto de equilíbrio para o fluxo π se π(x, t) = x, para todo t ∈ T .

Consideremos x um ponto de equilíbrio. Então, E = {x} é um conjunto minimal, pois:

• E 6= ∅;

• E é fechado, pois é conjunto unitário num espaço de Hausdorff; • E é invariante, pois π(x, t) = x, x ∈ E, para todo t ∈ T ;

• Os subconjuntos de E são ele próprio e o conjunto vazio. Logo, não existe sub-conjunto de E que satisfaça as três propriedades de sub-conjunto minimal.

Definição 2.8. Um ponto x é denominado ponto periódico, e a trajetória γ(x) é chamada periódica, se existir τ > 0 tal que π(x, τ + t) = π(x, t) para todo t ∈ T .

Neste caso, diremos que a trajetória γ(x) é τ -periódica. O número τ é um período da trajetória γ(x).

Se x for um ponto periódico, então E = γ(x) será um conjunto minimal.

De fato, E 6= ∅, uma vez que se x ∈ E e x = π(x, 0), 0 ∈ Ix. Além disso, E é invariante, pois a aplicação π(x, ·) está definida para todo t ∈ T , uma vez que x é um ponto periódico. Agora, para que E seja fechado, a igualdade γ(x) = γ(x) deverá ser verdadeira. É sabido que γ(x) ⊂ γ(x). Resta-nos mostrar que γ(x) ⊂ γ(x).

Tome y ∈ γ(x). Então, existe uma sequência {yn} ⊂ γ(x) tal que yn→ y. Podemos dizer que yn = π(x, tn), tn∈ T . Para cada n, existem t∗n∈ [0, τ ) e kn inteiro tal que

tn = t∗n+ knτ.

Como (t∗_n) é limitada, pois (t∗_n) ⊂ [0, τ ), (t∗_n) admite uma subsequência convergente (t∗_n k). Digamos que t ∗ nk → t ∗_. Note que yn= π(x, tn) = π(x, t∗n+ knτ ) = π(π(x, knτ ), t∗n) = π(x, t∗_n) e yn → y. Como t∗_n k → t ∗_{, temos} π(x, t∗_n k) → π(x, t ∗ ). Portanto, y = π(x, t∗) e y ∈ γ(x).

Conjuntos minimais 26

No decorrer da demonstração da propriedade seguinte, resultados sobre ínfimo de um conjunto serão utilizados e enunciados, como o leitor poderá verificar. Como o nosso enfoque, agora, são as propriedades de sistemas dinâmicos, julgamos por bem omitir a prova de tais resultados, visto que são considerados exercícios básicos da teoria de Análise na Reta. Cabe informar que, para a veracidade da propriedade que segue, consideraremos T = R.

Proposição 2.7. Sejam x um ponto periódico e A = {τ > 0 : π(x, τ ) = x}. Considere σ = inf A. Então, x é um ponto de equilíbrio se, e somente se, σ = 0. E mais, se σ > 0, qualquer período τ da trajetória π(x, t) será um múltiplo inteiro de σ.

Demonstração: Inicialmente, mostraremos que x é um ponto de equilíbrio se, e somente se, σ = 0.

(⇒) Suponha que x é um ponto de equilíbrio. Suponha que σ 6= 0, ou seja, σ > 0. Tome 0 < t0 < σ. Como x é ponto de equilíbrio,

π(x, t0) = x.

Daí, t0 ∈ A. Mas isso é um absurdo, pois σ é o ínfimo do conjunto A.

(⇐) Usaremos o seguinte resultado: Seja G 6= {0} um subgrupo aditivo de T . Se inf(G ∩ T+) = 0, então G será denso em T .

Consideremos G = {τ ∈ T : π(x, τ ) = x}. Por hipótese, x é um ponto periódico, isso nos garante que G 6= {0}.

Afirmação 1: G é um subgrupo aditivo de T . Com efeito, • 0 ∈ G, pois π(x, 0) = x;

• Dados t1, t2 ∈ G, então t1+ t2 ∈ G, já que

π(x, t1+ t2) = π(π(x, t1), t2) = π(x, t2) = x. • Se t ∈ G, então −t ∈ G, pois

π(x, −t) = π(π(x, t), −t) = π(x, t − t) = π(x, 0) = x.

Afirmação 2: G é fechado em T . De fato, se {τn}n∈N⊂ G e τn−→ τ então τ ∈ G, pois π(x, t+τ ) = π  x, t+lim n τn  = π  x, lim n (t+τn)  = lim n π(x, t+τn) = limn π(x, t) = π(x, t). Note que G∩T+ = A. Além disso, inf A = 0, por hipótese. Portanto, pelo resultado mencionado acima, G é denso em T , isto é, G = T . Como G é fechado, concluímos que G = T , ou seja,

Conjuntos minimais 27

o que equivale a dizer que x é um ponto de equilíbrio.

Para provar a segunda parte, consideremos x um ponto periódico e σ = inf A > 0. Devemos mostrar que se τ for um período de π(x, t), então

τ = kσ, k ∈ Z.

1. Vamos mostrar que σ ∈ A. Para isso, utilizaremos o seguinte resultado: Seja G ⊂ R um subgrupo aditivo e seja G+o conjunto dos números positivos contidos em G. Se inf G+ > 0, então inf G+∈ G+_.

Novamente, considere G = {τ ∈ R : π(x, τ ) = x}. Vimos, na primeira parte, que G é um subgrupo aditivo. Por hipótese, inf G+ = inf A = σ > 0. Portanto, pelo resultado supracitado, σ ∈ A, ou seja, π(x, σ) = x.

2. Afirmamos que π(x, kσ) = x, para todo k ∈ Z.

De fato, para k = 1, temos: π(x, σ) = x, por 1. Suponha que π(x, kσ) = x, para algum k ∈ N. Então,

π(x, (k + 1)σ) = π(π(x, kσ), σ) = π(x, σ) = x. Agora, se k ∈ Z−, então −k ∈ Z+. Daí,

π(x, kσ) = π(π(x, −kσ), kσ) = π(x, −kσ + kσ) = π(x, 0) = x. Suponha que τ não seja um múltiplo inteiro de σ. Desse modo,

τ = kσ + r, 0 < r < σ, k ∈ Z. Como τ é um período de π(x, t), temos

π(x, t + τ ) = π(x, t), para todo t ∈ R. Em particular, para t = 0, temos:

π(x, τ ) = π(x, 0) = x. Daí, π(x, kσ + r) = x.

Aplicando 2., concluímos que

x = π(x, kσ + r) = π(π(x, kσ), r) = π(x, r). Logo, r ∈ A e r < σ = inf(A), o que é absurdo.

A demonstração do próximo resultado é uma simples aplicação do Lema de Zorn. Recordamos que, através do Lema de Zorn, pode-se concluir que se X for um conjunto não vazio e parcialmente ordenado e toda cadeia em X tiver um limitante inferior, então X terá um elemento minimal. A demonstração do Lema de Zorn, bem como o seu preciso enunciado, pode ser encontrada em [2].

Semifluxos e atratores 28

Teorema 2.3. Se um fluxo π admitir um conjunto não vazio, compacto e invariante, então ele terá um conjunto compacto minimal. Em particular, se existir uma trajetória positivamente compacta π(x, t), o conjunto limite Ωx conterá um conjunto compacto minimal.

Demonstração: Seja E0 = {E} a coleção de todos os conjuntos não vazios, com-pactos e invariantes. Ordene E0 pela relação de inclusão de conjuntos. Se Eα for uma cadeia em E0, isto é, Eα ⊂ Eβ sempre que β 6 α (os índices denotam números ordi-nais), então a interseção E = ∩αEα será um elemento de E0. Portanto, toda cadeia em E0 tem um limitante inferior, a saber, o conjunto E, fato este que nos permite concluir que E0 tem um elemento minimal E0. Sendo assim, E0 é um conjunto minimal para o fluxo π.

Se aplicarmos o mesmo argumento para a coleção F0 = {E ∩ Ωx : E ∈ E0}, quando π(x, t) for uma trajetória positivamente compacta, concluiremos que o conjunto mini-mal E0 pode ser escolhido como um subconjunto de Ωx.

2.5

Semifluxos e atratores

Definição 2.9. Definimos um semifluxo pelas mesmas propriedades que definem um fluxo, mas agora restringindo t ao semigrupo T+_{. Em outras palavras, os intervalos I}

x agora são da forma Ix = [0, βx), em que βx > 0.

As observações feitas para fluxos também são válidas para semifluxos, feitas as modificações adequadas, já que os conjuntos γ−(x) e LB− não estão definidos em semifluxos.

Definição 2.10. Seja π um fluxo em um espaço uniforme X e seja M um subconjunto fechado invariante de X. Assuma que a restrição de π a M seja um fluxo global. M será um atrator se existir um conjunto aberto U0 tal que M ⊂ U0 e, para cada x ∈ U0,

(i) π(x, t) ∈ U0 para todo t ≥ 0;

(ii) π(x, t) → M quando t → ∞, isto é, para toda vizinhança aberta V de M , existe um τ tal que π(x, t) ∈ V para todo t ≥ τ .

Um atrator M será denominado estável se para toda vizinhança U de M existir uma vizinhança V de M tal que π(V, t) ⊂ U para todo t ≥ 0. Se M for um atrator, denotaremos por A(M ) o maior conjunto aberto satisfazendo (i) e (ii). O conjunto A(M ) é denominado região de atração de M .

Teorema 2.4. Seja M um atrator compacto para um fluxo π em um espaço uniforme X. Se x ∈ X tiver a propriedade γ+(x) ∩ A(M ) 6= ∅, então Ωx ⊂ M . E se o espaço X for localmente compacto, então Ωx será não vazio.

Semifluxos e atratores 29

Demonstração: Dado x ∈ X, suponha que γ+(x) ∩ A(M ) 6= ∅. Seja então y = π(x, τ ) ∈ A(M ) para algum τ ≥ 0. Portanto π(y, t) = π(x, t + τ ) → M quando t → ∞. Note que, se z ∈ Ωx = Ωy, então z = lim π(x, τ + tn) para alguma sequência {tn} com tn→ ∞.

Como a sequência {π(x, τ + tn)} está eventualmente em toda vizinhança de z e eventualmente em toda vizinhança de M, segue da propriedade de Hausdorff que z ∈ M .

Se X for localmente compacto, existirá uma vizinhança V condicionalmente com-pacta de M tal que M ⊂ V ⊂ V ⊂ A(M ). Segue de (ii) que π(x, t) ∈ V para t ≥ τ , daí π(x, t) será positivamente compacto. Então, Ωx é não vazio pelo Teorema 2.2.

3 Exemplos de fluxos e semifluxos

Neste capítulo, apresentaremos exemplos de fluxos e semifluxos, que serão de grande valia para as aplicações da teoria de sistemas dinâmicos às equações diferenciais ordi-nárias.

3.1

Equações diferenciais autônomas

Seja v : W → Rn _{um campo de vetores de classe C}1 _{em um conjunto aberto} W ⊂ Rn_.

Para cada x ∈ W , considere o problema de valor inicial (PVI) (

x0 = v(x)

x(0) = x. (3.1)

Seja φ(x, t) a única solução do PVI (3.1) (sendo assim, φ(x, 0) = x) e considere Ix = (αx, βx) o intervalo de definição dessa solução. Cabe mencionar que a unicidade de solução local para qualquer problema de valor inicial envolvendo a equação x0 = v(x) é garantida pela condição v ∈ C1 _{(veja Teorema 9.2 do Apêndice).}

Defina D = {(x, t) ∈ W × R : t ∈ Ix} e π : D → W pondo π(x, t) = φ(x, t). Afirmação: π é um fluxo em W .

Com efeito,

(i) π(x, 0) = φ(x, 0) = x, para todo x ∈ W.

(ii) Vejamos que π(π(x, τ ), t) = π(x, t + τ ), τ ∈ Ix e t ∈ Iπ(x,τ ). Sejam τ ∈ Ix e t ∈ Iπ(x,τ ). Note que

π(π(x, τ ), t) = φ(φ(x, τ ), t) e π(x, t + τ ) = φ(x, t + τ ). Sejam

ψ1(t) = φ(φ(x, τ ), t) e ψ2(t) = φ(x, t + τ ). Veja que ψ1 e ψ2 são soluções do PVI

(

x0 = v(x) x(0) = φ(x, τ ).

Equações diferenciais não autônomas 31

Portanto, segue da unicidade de solução que, ψ1(t) = ψ2(t), ou seja,

φ(φ(x, τ ), t) = φ(x, t + τ ). Logo,

π(π(x, τ ), t) = π(x, t + τ ).

(iii) Como v ∈ C1_{, π(x, t) é contínua (veja Teorema 9.2 do Apêndice).}

3.2

Equações diferenciais não autônomas

Seja v : W × R → Rn _{um campo vetorial de classe C}1_{, onde W ⊂ R}n _{é um} subconjunto aberto.

Considere, para (x, t) ∈ W × R, o PVI: (

x0 = v(x, t) x(0) = x0.

(3.2)

Seja φ(x0, t0, t) a solução de (3.2), assim, φ(x0, t0, 0) = x0. Temos a unicidade de φ(x0, t0, t) num intervalo I(x0,t0), pois v ∈ C

1_. Vamos definir J(x0,t0) = {t : t0+ t ∈ I(x0,t0)} e considerar X = W × R. Definimos também, π(p, t) = (φ(xp, tp, tp+ t), tp+ t) em que p = (xp, tp) ∈ X.

A aplicação π é um fluxo em X definido em X × Jp. De fato, dado p = (xp, tp) ∈ X, temos

π(p, 0) = (φ(xp, tp, tp+ 0), tp+ 0) = (φ(xp, tp, tp), tp)

= (xp, tp) = p.

Verifiquemos agora que π(p, τ + t) = π(π(p, τ ), t), τ ∈ Jp e t ∈ Iπ(p,τ ). Note que

π(π(p, τ ), t) = φ((φ(xp, tp, tp+ τ ), tp+ τ, tp+ τ + t), tp+ τ + t) e

Funções contínuas 32

Fazendo

ψ1(t) = (φ(xp, tp, tp+ τ ), tp+ τ, tp+ τ + t) e

ψ2(t) = φ(xp, tp, tp+ t + τ ), observamos que ψ1 e ψ2 são soluções do PVI:

(

x0 = v(x, t)

x(0) = φ(xp, tp, tp+ τ ).

Portanto, da unicidade de solução local (veja Apêndice, Teorema 9.2), ψ1(t) = ψ2(t).

Logo,

π(π(p, τ ), t) = (ψ1(t), tp+ τ + t) e π(p, τ + t) = (ψ2(t), tp+ τ + t).

∴ π(π(p, τ ), t) = π(p, τ + t).

E π é uma aplicação contínua, pois as soluções da equação x0 = v(x, t) são contínuas (veja Apêndice, Teorema 9.2).

3.3

Funções contínuas

Seja C = C(R, Rn_{) o espaço das funções contínuas definidas em R tomando valores} em Rn_{. Suponha que C tenha a topologia da convergência uniforme em conjuntos} compactos. Ou seja, uma sequência {fk} em C convergirá para uma função limite f se, para todo conjunto compacto K ⊂ R, a sequência de restrições {fk|K} convergir para f |K uniformemente.

Vamos mostrar que essa topologia é metrizável.

Consideremos In= [−n, n], | · | uma norma em Rn e definiremos σn(f, g) = sup{|f (θ) − g(θ)| : θ ∈ In}, ρn(f, g) = min{1, σn(f, g)}, ρ(f, g) = ∞ X n=1 2−nρn(f, g), f, g ∈ C. Afirmações: I) ρ é uma métrica em C;

Funções contínuas 33

II) ρ(fk, f ) → 0 ⇔ {fk} converge uniformemente para f em cada subconjunto com-pacto de R.

Para mostrar que ρ é uma métrica em C, devemos mostrar que, para f, g, h ∈ C, as seguintes propriedades são válidas:

1. ρ(f, f ) = 0;

2. ρ(f, g) = 0 ⇔ f = g; 3. ρ(f, g) ≤ ρ(f, h) + ρ(h, g); 4. ρ(f, g) = ρ(g, f ).

É fácil ver que (i) σn(f, g) = σn(g, f ); (ii) σn(f, f ) = 0;

(iii) σn(f, g) ≤ σn(f, h) + σn(h, g). Assim, σn é uma pseudo-métrica.

Analogamente, ρn satisfaz (i), (ii) e (iii). Além disso, ρn e σnsão equivalentes, isso significa que, para qualquer sequência {fk} em C e para qualquer f ∈ C, temos

ρn(fk, f ) → 0 ⇔ σn(fk, f ) → 0. De fato, ρn(fk, f ) → 0 ⇔ min{1, σn(f, g)} → 0 ⇔ σn(fk, f ) → 0. Veja que |ρ(f, g)| = ∞ X n=1 2−n|ρn(f, g)| ≤ ∞ X n=1 2−n e que ∞ X n=1  1 2 n é convergente. Como a série P∞ n=1 1 2
n

é convergente, a série dada por ρ é absolutamente con-vergente para cada par f, g ∈ C. Segue, então, que ρ satisfaz as condições 1), 3) e 4) acima.

Basta-nos provar que ρ(f, g) = 0 implica f = g. Mas, ρ(f, g) = 0 ⇔ ∞ X n=1 2−nρn(f, g) = 0 ⇔ ρn(f, g) = 0 ⇔ σn(f, g) = 0 ⇔ sup{|f (θ) − g(θ)| : θ ∈ In} = 0 ⇔ f (θ) = g(θ), θ ∈ In.

Funções contínuas 34

Como ∪In= R, segue que f ≡ g. Portanto, ρ é uma métrica em C. Mostremos a afirmação II):

(⇒) Seja K ⊂ R um conjunto compacto. Então, para algum n ∈ Z, temos K ⊂ In. Se ρ(fk, f ) → 0 para alguma sequência {fk}, então ρn(fk, f ) → 0, o que implica que σn(fk, f ) → 0.

Portanto, {fk} converge uniformemente para f nos conjuntos compactos In e K. (⇐) Suponha, agora, que {fk} convirja para f na topologia da convergência uni-forme em conjuntos compactos.

Queremos mostrar que, para todo ε > 0, existe um índice L tal que ρ(fk, f ) < 2ε, sempre que k ≥ L.

Seja ε > 0 dado. Escolhemos N tal que ∞ X n=N +1

2−n≤ ε.

Como {fk} converge uniformemente para f em conjuntos compactos, {fk} con-verge uniformemente em IN. Então, tomemos um índice L tal que as pseudo-métricas σ1(fk, f ), σ2(fk, f ), · · · , σN(fk, f ) sejam pequenas, sempre que k ≥ L.

Podemos escolher L de forma que N X n=1 2−nρn(fk, f ) ≤ ε, k ≥ L. Assim, ρ(fk, f ) ≤ N X n=1 2−nρn(fk, f ) + ∞ X n=N +1 2−n ≤ 2ε, k ≥ L.

Portanto, a topologia gerada por ρ coincide com a topologia da convergência uni-forme em conjuntos compactos.

Definição 3.1. Definimos a aplicação π : C × R → C por π(f, t) = ft,

com (f, t) ∈ C × R, onde ft(θ) = f (t + θ), θ ∈ R.

O próximo resultado garante que a aplicação definida acima é um fluxo em C. Teorema 3.1. A aplicação π(f, t) = ft define um fluxo contínuo em C(R, Rn).

Demonstração: Temos π(f, 0) = f0 e, para θ ∈ R, f0(θ) = f (0 + θ) = f (θ). Portanto, π(f, 0) = f .

Funções contínuas 35

A propriedade de grupo também é satisfeita por π, pois π(π(f, t), s) = π(ft, s) = ft+s = π(f, t + s).

Resta-nos provar que π é contínua.

Consideremos a sequência {f(k)} ⊂ C, cujo limite é f e seja τk uma sequência em R tal que τk→ 0.

Queremos provar que

π(f(k)_{, t + τ}

k) → π(f, t), ∀t ∈ R

Suponha, sem perda de generalidade, que |τk| ≤ 1. E considere K ⊂ R, K1, con-juntos compactos, com K1 definido por

K1 = {θ + τ : θ ∈ K, |τ | ≤ 1}.

Sejam t ∈ R fixo e ε > 0 dado. Escolhemos o índice N1 tal que |f_t(k)(θ0) − ft(θ0)| ≤ ε, (θ0 ∈ K1, k ≥ N1)

e escolhemos δ > 0 pela continuidade uniforme de ft em K tal que |ft(θ + τ ) − ft(θ)| ≤ ε, (θ ∈ K, |τ | ≤ δ).

Escolhemos o índice N2tal que |τk| ≤ δ, sempre que k ≥ N2e seja N = max{N1, N2}. Então, para k ≥ N e θ ∈ K, temos

|f_t(k)(θ + τk) − ft(θ)| ≤ |f (k)

t (θ + τk) − ft(θ + τk)| + |ft(θ + τk) − ft(θ)| ≤ 2ε, o que estabelece a continuidade de π.

O sistema dinâmico descrito acima é, algumas vezes, denominado sistema dinâ-mico Bebutov.

O próximo teorema é uma aplicação direta do Teorema de Ascoli, que afirma que um conjunto A em C será condicionalmente compacto se, e somente se:

(i) A for limitado, isto é, para qualquer θ em R, existe um compacto K em Rn tal que f (θ) pertence a K para qualquer f em A e,

(ii) A for equicontínuo, isto é, para qualquer θ em R e ε > 0, existe δ = δ(ε, θ) > 0 tal que |f (θ) − f (θ0)| ≤ ε para qualquer f ∈ A, sempre que |θ − θ0| ≤ δ.

Teorema 3.2. No sistema dinâmico Bebutov, a trajetória ft será compacta se, e so-mente se, f for limitada e uniformeso-mente contínua.

Demonstração: Note que ft será compacta se, e somente se, o conjunto γ(f ) for condicionalmente compacto.

Suponha que γ(f ) seja condicionalmente compacto. Então, γ(f ) é um conjunto limitado e, para θ = 0 em particular, existe um compacto K tal que ft(0) = f (t) ∈ K

Funções contínuas 36

para todo t em R. Equivalentemente, existe B > 0 tal que |ft(0)| = |f (t)| ≤ B para todo t em R. Então, f é limitada.

Como γ(f ) é equicontínuo em 0, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, se |θ − 0| < δ, então

|ft(θ) − ft(0)| = |f (t + θ) − f (t)| < ε. Portanto, f é uniformemente contínua.

Suponha agora que f seja limitada e uniformemente contínua. Pela continuidade uniforme da f , dados ε > 0 e t ∈ R, existe δ > 0 tal que, se |(t + θ) − (t + θ0)| < δ, então

|f (t + θ) − f (t + θ0_{)| < ε.}

Como |f (t + θ) − f (t + θ0)| = |ft(θ) − ft(θ0)|, concluímos que γ(f ) é equicontínuo. Logo, pelo Teorema de Ascoli, a trajetória ft é compacta.

Os argumentos utilizados na prova do teorema anterior podem ser adaptados para provar o próximo resultado.

Teorema 3.3. Um movimento ft no sistema dinâmico Bebutov será positivamente compacto se, e somente se, f for limitada e uniformemente contínua em R+.

4 Equações diferenciais não

autônomas

Neste capítulo, vamos exibir a construção de um sistema dinâmico distinto do apre-sentado na seção 3.2, para equações diferenciais ordinárias não autônomas.

4.1

Construção básica

Definição 4.1. Seja W um conjunto aberto em Rn e f ∈ C(W × R, Rn). Diremos que a equação diferencial

x0 = f (x, t) (4.1)

é admissível se as soluções de (4.1) forem únicas.

Isso significa que para todo ponto (x0, t0) em W ×R existe precisamente uma solução φ de (4.1) que satisfaz φ(t0) = x0.

Sejam φ(x, f, t) a solução de (4.1) que satisfaz φ(x, f, 0) = x, I(x,f ) o intervalo ma-ximal de definição da solução φ(x, f, t) e γ(f ) a trajetória de f em C(W × R, Rn), ou seja, o conjunto {ft : t ∈ I(x,f )}. Definindo

D = {(x, g; t) ∈ W × γ(f ) × R : t ∈ I(x,g)}, vamos mostrar que a aplicação π : D → W × γ(f ) dada por

π(x, g, t) = (φ(x, g, t), gt), (4.2) definirá um fluxo em W × γ(f ), se f for admissível.

Teorema 4.1. Se f ∈ C(W × R, Rn) for admissível, então a aplicação π dada por (4.2) definirá um fluxo contínuo em W × γ(f ).

Demonstração: Verifiquemos, primeiramente, a propriedade de identidade: π(x, g, 0) = (φ(x, g, 0), g0)

= (x, π(g, 0))

= (x, g), para todo (x, g) ∈ W × γ(f ). 37

Construção básica 38

Vejamos que π(π(x, g, τ ), σ) = π(x, g, τ + σ), para (x, g) ∈ W × γ(f ), τ ∈ I(x,g) e σ ∈ Iπ(x,g;τ ). Temos: π(π(x, g, τ ), σ) = π(φ(x, g, τ ), gτ, σ) = (φ(φ(x, g, τ ), gτ, σ), (gσ)τ) = (φ(φ(x, g, τ ), gτ, σ), gσ+τ). Fazendo φ(τ ) = φ(x, g, τ ), ψ(σ) = φ(φ(τ ), gτ, σ) e ξ(σ) = φ(x, g, σ + τ ),

vemos que φ é a solução de x0 = g(x, t) que satisfaz φ(0) = x. Além disso, vemos que ψ é a solução de

x0 = gτ(x, τ ) = g(x, τ + σ) (4.3) que satisfaz ψ(0) = (φ(τ ), gτ, 0) = φ(τ ).

Contudo, ξ também é uma solução de (4.3) que satisfaz ξ(0) = φ(x, g, τ ) = φ(τ ). Daí, pela unicidade de solução, temos

ξ(σ) = φ(τ + σ) = ψ(σ), ∀σ ∈ Iπ(x,g,t). Consequentemente, π(π(x, g, τ ), σ) = π(φ(τ ), gτ, σ) = (ψ(σ), gτ +σ) = (φ(τ + σ), gτ +σ) = π(x, g, τ + σ).

A continuidade de π e a maximalidade dos intervalos I(x,f ) seguem do Lema de Kamke:

Lema 4.1 (Kamke). Seja A a coleção de todas as funções admissíveis f em C(W × R, Rn). Então, a função solução φ(x, f, t) será contínua no subconjunto de W × A × R, para o qual está definida. Em outras palavras, se {fn} for uma sequência de funções admissíveis em C(W × R, Rn_{) com limite f em C(W × R, R}n_{), onde f é admissível,} {xn} for uma sequência em W com limite x e {τn} for uma sequência em I(xn,fn) com

limite τ , então τ ∈ I(x,f ) e

φ(xn, fn, τn) → φ(x, f, τ ).

Como f ∈ C(W × R, Rn) e f é admissível por hipótese, então f ∈ A.

Logo, pelo Lema 4.1, φ(x, g, τ ) é contínua em W × A × R, onde está definida. Uma demonstração do Lema 4.1 pode ser encontrada em [5], página 189.

O problema de extensão 39

4.2

O problema de extensão

O fluxo construído na seção anterior não tem uma estrutura completa devido ao fato de γ(f ) não ser, em geral, fechado.

Podemos nos perguntar então, se o fluxo π em W × γ(f ) pode ser estendido para um fluxo em W × H(f ), onde H(f ) é o fecho da trajetória de f em C(W × R, Rn). Tal extensão poderia ser dada por

π(x, g, t) = (φ(x, g, t), gt), (4.4) para x ∈ W, g ∈ H(f ) e t ∈ I(x,g).

A relação (4.4) definirá um fluxo em W × H(f ), se toda função g em H(f ) for admissível.

Definição 4.2. Diremos que uma função f em C(W × R, Rn_{) é regular ou que f} satisfaz a condição forte de unicidade, se as soluções de x0 = g(x, t) forem únicas para toda g em H(f ).

Teorema 4.2. Seja f uma função regular em C(W × R, Rn). Então, a aplicação π dada por (4.4) define um fluxo contínuo em W × H(f ).

Demonstração: A demonstração deste resultado é análoga à demonstração do Teorema 4.1 da seção anterior.

4.3

Soluções compactas

Definição 4.3. Seja f uma função regular em C(W ×R, Rn). Para (x, g) ∈ W ×H(f ), seja I(x,g)= (α, β) o intervalo maximal de definição da solução φ(x, g, t). Diremos que φ(x, g, t) é positivamente compacta se o conjunto

{φ(x, g, t) : 0 ≤ t < β} estiver contido em um subconjunto compacto de W .

Compacidade negativa e compacidade são definidas de forma semelhante. Como I(x,g) é maximal, segue que β = +∞ sempre que I(x,g) for positivamente compacto. Se esta solução for compacta, então I(x,g)= R.

O próximo resultado estabelece uma relação entre a solução φ(x, g, t) e sua trajetória π(x, g, t).

Lema 4.2. Seja f uma função regular em C(W × R, Rn_).

(A) Se uma trajetória π(x, g, t) em W ×H(f ) for positivamente compacta (compacta), então a trajetória gt em H(f ) e a solução correspondente φ(x, g, t) também o serão;

Soluções compactas 40

(B) Suponha que a trajetória ft em H(f ) seja positivamente compacta (compacta). Então, a solução φ(x, f, t) será positivamente compacta (compacta) se, e so-mente se, sua trajetória correspondente π(x, f, t) for positivaso-mente compacta (compacta).

Demonstração:

(A) Suponha que π(x, g, t) = (φ(x, g, t), gt) em W ×H(f ) seja positivamente compacta. Então, existem A um subconjunto de W , A compacto e um subconjunto B de H(f ) também compacto tal que φ(x, g, t) ∈ A e gt∈ B, para todo t ≥ 0.

Logo, φ(x, g, t) que é a solução, será positivamente compacta, bem como gt, trajetória de g em H(f ).

(B) (⇐) Como a trajetória π(x, g, t) = (φ(x, f, t), ft) em W × H(f ) é positivamente compacta, cada componente de π(x, g, t) deve ser positivamente compacta. Por hipótese, ft ∈ H(f ) o é, e portanto φ(x, f, t) também é positivamente compacta. (⇒) Segue facilmente.

Consideremos as projeções naturais em W × H(f ), dadas por P : W × H(f ) → W e Q : W × H(f ) → H(f ), em que P (x, g) = x e Q(x, g) = g.

Claramente, P e Q são aplicações contínuas.

Vemos que Q aplica o fluxo π dado pela equação (4.4) no fluxo gt em H(f ).

A projeção P é de grande interesse quando queremos comparar as soluções φ(x, g, t) e as trajetórias π(x, g, t). Por exemplo, notemos que a trajetória π(x, g, t) estará defi-nida para todo tempo t ≥ 0 se, e somente se, a solução φ(x, g, t) estiver defidefi-nida para todo t ≥ 0. Neste caso, o conjunto ω-limite Ω(x,g) estará definido, apesar de poder ser vazio.

Definição 4.4. Definimos o conjunto limite positivo da solução φ(x, g, t) por L+_(x,g)= P (Ω(x,g)).

Se a trajetória ft em H(f ) for positivamente compacta, então o conjunto limite positivo L+ _{poderá ser caracterizado da seguinte forma:}

Lema 4.3. Seja f uma função regular em C(W × R, Rn_{) e consideremos a trajetória} ft positivamente compacta. Então, um ponto y pertencerá ao conjunto limite positivo L+_{(x,f )} da solução φ(x, f, t) se, e somente se, existir uma sequência {τn} em R com

Soluções compactas 41

Demonstração: Primeiramente, note que um ponto (y, g) está em Ω(x,f ) se, e somente se, existir uma sequência {τn} em R tal que

τn→ ∞ e π(x, f, τn) → (y, g), implicando que

φ(x, f, τn) → y e fτn → g. (4.6)

(⇒) Se y ∈ L+_{(x,f )}, então existirá uma função g em H(f ) tal que (y, g) ∈ Ω(x,f ). Daí, existirá uma sequência {τn} em R satisfazendo (4.5) .

(⇐) Como a trajetória ft é positivamente compacta, podemos encontrar uma sub-sequência de {fτn} tal que fτn → g, com τn → ∞. Daí, φ(x, f, τn) → y e, por

conseguinte, (y, g) ∈ Ω(x,f ) e y ∈ L+_{(x,f )}.

Teorema 4.3. Seja f uma função regular em C(W × R, Rn), ft uma trajetória posi-tivamente compacta e φ(x, f, t) uma solução posiposi-tivamente compacta de x0 = f (x, t). Então:

(i) O conjunto ω-limite Ω(x,f ) em W × H(f ) é não vazio, compacto e invariante; (ii) O conjunto limite positivo L+_{(x,f )} é não vazio e compacto em W ;

(iii) Se (y, g) pertencer a Ω(x,f ), então a solução φ(y, g, t) será compacta;

(iv) Se y ∈ L+_{(x,f )}, então existirá uma função g em H(f ) tal que φ(y, g, t) ∈ L+_{(x,f )} para todo t ∈ R.

Demonstração:

(i) A demonstração deste item segue imediatamente do Lema 4.2 e do Teorema 2.2. (ii) Como Ω(x,f ) 6= ∅ em W por (i) e P é contínua, então L+_{(x,f )} é não vazio e compacto

em W .

(iii) Se (y, g) pertencer a Ω(x,f ), então π(y, g, t) também pertencerá a Ω(x,f ) para todo t ∈ R, pelo item (i). Logo, (φ(y, g, t), gt) ∈ Ω(x,f ) para todo t ∈ R e, portanto, φ(y, g, t) é uma solução compacta.

(iv) Seja y ∈ L+_{(x,f )}. Então existe g em H(f ) tal que (y, g) ∈ Ω(x,f ). Assim, π(y, g, t) = (φ(y, g, t), gt) ∈ Ω(x,f ) para todo t ∈ R, pelo item (i), e dessa forma, φ(y, g, t) ∈ L+_{(x,f ) para todo t ∈ R.}

Equações limite 42

4.4

Equações limite

Para a próxima definição, precisamos lembrar que a aplicação (f, t) 7→ ft define um fluxo contínuo em C(W × R, Rn).

Definição 4.5. Seja Ωf o conjunto ω-limite da trajetória ft. Definimos o conjunto de equações limite para

x0 = f (x, t)

como sendo o conjunto de todas as equações diferenciais da forma x0 = f∗(x, t), (f∗ ∈ Ωf).

O próximo resultado é uma consequência do Teorema 2.2.

Proposição 4.1. Seja ft uma trajetória positivamente compacta em C(W × R, Rn). Então, o conjunto de equações limite para f é um subconjunto não vazio, compacto e conexo de H(f ).

O Teorema 4.3 nos permite obter informações sobre a solução limite φ(y, g, t). Esta é uma solução de y0 = g(y, t), a qual é uma equação limite para x0 = f (x, t). Este fato segue da observação que a projeção

Q : W × H(f ) → H(f ) aplica Ω(x,f ) em Ωf.

Teorema 4.4. Seja f uma função regular em C(W × R, Rn) e suponha que a solução φ(x, f, t) esteja definida para todo t ≥ 0. Se (y, g) pertencer ao conjunto Ω(x,f ), então existirá uma sequência {τn} com τn → ∞ e φ(x, f, τn+ t) → φ(y, g, t) uniformemente para t em subconjuntos compactos de I(y,g), que é o intervalo maximal de definição de φ(y, g, t).

Demonstração: A demonstração segue da Proposição 2.4, da Proposição 2.6, e do Teorema 4.2.

5 Funções quase periódicas

Este capítulo destinar-se-á a discussão de algumas propriedades de funções quase periódicas com imagem em um espaço uniforme. Um caso especial ocorrerá quando X for um espaço linear e o sistema de vizinhanças uniforme definir uma estrutura linear em X, o que significa que as vizinhanças Va satisfarão: Va(x) = x + Va(0).

Os números (i) a (ix) serão usados para se referirem às nove propriedades de um sistema de vizinhanças uniforme definidas no Capítulo 1.

5.1

Definição de quase periodicidade

Definição 5.1. Um subconjunto E do grupo T será denominado relativamente denso se existir um número l > 0 tal que todo intervalo de T de comprimento l contenha pelo menos um ponto de E.

A esse número l chamamos número do intervalo de inclusão de E. Seguem alguns exemplos de conjuntos relativamente densos em R. Exemplo 5.1. _{a) Consideremos o conjunto {nτ : n ∈ Z, τ > 0} ⊂ R.}

Podemos reescrevê-lo da forma {· · · , −τ, 0, τ, 2τ, · · · } e tomar l = 2τ . Assim, todo intervalo de R de comprimento 2τ conterá pelo menos um ponto do conjunto em questão.

b) Seja E = {±√_{n : n ∈ Z}+_{} um subconjunto de R.}

Tomando l = 1, E é um conjunto relativamente denso.

Seja f : T → X uma função contínua. Para qualquer índice a ∈ A, definimos E(a, f ) = {τ ∈ T : f (t) ∈ Va(f (t + τ )), ∀t ∈ T }. (5.1) Pela propriedade simétrica (iii) da vizinhança Va, temos ainda

E(a, f ) = {τ ∈ T : f (t + τ ) ∈ Va(f (t)), ∀t ∈ T }. (5.2) Definição 5.2. Diremos que f é quase periódica se ela for contínua e se, para todo a ∈ A, o conjunto E(a, f ) for relativamente denso em T .

Propriedades de funções quase periódicas 44

Se f : T → X for contínua e periódica, isto é, se f (τ + t) = f (t) para todo t ∈ T e algum τ > 0, então f será quase periódica. Com efeito, f é contínua por hipótese e, tomando l = τ , vemos que todo intervalo de tamanho l contém um ponto de E(a, f ).

Se X for um espaço linear normado, com norma k · k, e as vizinhanças V forem geradas pela norma como segue

Va(x) = {y ∈ X : kx − yk < a−1},

onde o conjunto direto (A, ≥) é o conjunto dos números reais positivos com a ordem usual, então (5.1) poderá ser escrito como

E(a, f ) = {τ ∈ T : kf (t + τ ) − f (t)k < a−1, ∀t ∈ T }. (5.3)

5.2

Propriedades de funções quase periódicas

Teorema 5.1. Seja {fn} uma sequência (generalizada) de funções quase periódicas definidas em T com imagem em X. Suponha que fn convirja uniformemente para uma função limite f . Então, f é quase periódica.

Demonstração: Devemos provar que: (i) f é contínua;

(ii) E(a, f ) é relativamente denso em T , para qualquer a ∈ A. Com efeito:

(i) Como a sequência {fn} converge uniformemente para f e cada fn é contínua, f é contínua.

(ii) Seja a ∈ A. Vamos mostrar que existe b ∈ A e um índice N tal que E(a, f ) ⊃ E(b, fN).

Isso provará que E(a, f ) é relativamente denso.

Inicialmente, escolhemos b ∈ A, pela Proposição 1.3, de forma que tenhamos xi ∈ Vb(xi+1), i = 1, 2, 3 ⇒ x1 ∈ Va(x4). (5.4) Como fn converge uniformemente para f , podemos encontrar um N tal que

fn(t) ∈ Vb(f (t)), t ∈ T, (5.5) para todo n ≥ N .

Propriedades de funções quase periódicas 45

Em particular,

fN(t) ∈ Vb(f (t)), t ∈ T. (5.6) Usando a simetria de Vb, obtemos

f (t) ∈ Vb(fN(t)), t ∈ T. (5.7) Tomemos τ ∈ E(b, fN). Por (5.6), temos

fN(t + τ ) ∈ Vb(f (t + τ )), t ∈ T, (5.8) uma vez que (5.6) vale para todo t ∈ T .

Além disso, como τ ∈ E(b, fN), então

fN(t + τ ) ∈ Vb(fN(t)), t ∈ T, (5.9) e equivalentemente fN(t) ∈ Vb(fN(t + τ )). Consideremos x1 = f (t), x2 = fN(t), x3 = fN(t + τ ) e x4 = f (t + τ ). (5.10) Por (5.7), x1 ∈ Vb(x2). Por (5.9), x2 ∈ Vb(x3). Por (5.8), x3 ∈ Vb(x4).

Logo, por (5.4), concluímos que

x1 ∈ Va(x4), ou seja,

f (t) ∈ Va(f (t + τ )), para todo t ∈ T e, portanto, τ ∈ E(a, f ).

Teorema 5.2. Sejam X e Y dois espaços uniformes e g : X → Y uniformemente contínua. Se f : T → X for quase periódica, então a composição g ◦ f : T → Y será quase periódica.

Demonstração: Sejam A e A0 os conjuntos de índices para uniformidade de X e Y , respectivamente.

Se a0 ∈ A0_{, pela continuidade uniforme de g, escolha a ∈ A tal que se x}0 _{∈ V} a(x), para qualquer x ∈ X, então