Conjuntos de continuidade sequencial fraca para polinômios em espaços de Banach

(1)

Conjuntos de continuidade

sequencial fraca

para polinˆ

omios

em espa¸

cos de Banach

Pedro Levit Kaufmann

disserta¸c˜ao de mestrado

INSTITUTO DE MATEM ÁTICA E ESTATÍSTICA DA UNIVERSIDADE DE S ÃO PAULO

´

Area de concentra¸c˜ao: An´alise

Orientadora: Profa. Dra. Mary Lilian Louren¸co

Durante o programa de mestrado, o autor obteve apoio financeiro do CNPq e da CAPES

(2)

Resumo

Esta disserta¸cão tem por objetivo a apresenta¸cão de um estudo em espa¸cos de Banach sobre os conjuntos nos quais determinados polinômios homogêneos cont´ınuos são fraca-mente sequencialfraca-mente cont´ınuos. Algumas propriedades desses conjuntos são estudadas e ilustradas com exemplos, em maior parte no espa¸co lp. Obtemos um fórmula para o

conjunto de continuidade sequencial fraca do produto de dois polinômios e algumas con-sequências. Resultados mais fortes são obtidos quando restringimos nossos espa¸cos de Banach a espa¸cos com FDD incondicional e/ou separáveis. Os resultados estudados aqui foram obtidos por R. Aron e V. Dimant em [2].

Abstract

This work has the purpose of presenting a study on Banach spaces about sets in which determined homogeneous continuous polynomials are weakly sequentially continu-ous. Some properties of these sets are studied and illustrated with examples, most in the space lp. We obtain a formula for the weak sequential continuity set of the product of two

polynomials, and some consequences. Stronger results are obtained when we restrict our Banach spaces to spaces with unconditional FDD and/or separable. The results studied here were obtained by R. Aron and V. Dimant in [2].

(3)

Introdu¸

c˜

ao:

O espa¸co dos polinômios homogêneos cont´ınuos definidos em espa¸cos de Banach tem sido objeto cont´ınuo de pesquisa nos últimos anos. Um dos pontos a se destacar é o grande interesse em estabelecer rela¸cões entre um espa¸co de Banach E e o espa¸co dos polinômios definidos sobre E. Podemos observar tal fato em diversos trabalhos cient´ıficos que es-tudam como os polinômios portam-se em conexão com certas propriedades geométricas dos espa¸cos de Banach onde estão definidos e de propriedades definidas em termos de polinômios. Citamos aqui alguns trabalhos, [4], [5] e [11], que abordam o referido tema.

O interesse sobre conjunto de continuidade sequencial fraca de um polinômio P , deno-tado por CP, tem como origem o fato de que nem todo polinômio é fracamente

sequencial-mente cont´ınuo em todo dom´ınio ou em ponto algum, como se verifica logo ao in´ıcio do cap´ıtulo 3. Algumas propriedades interessantes são obtidas quando P é homogêneo. Uma fórmula para CP.Q nos permite analisar a irredutibilidade de determinados polinômios,

estabelecendo assim uma interessante conexão entre propriedades topológicas e algébricas de polinômios. Os resultados sobre o assunto aqui expostos se encontram em [2]

A seguir descrevemos os assuntos abordados em cada cap´ıtulo.

No cap´ıtulo 1, são apresentados primeiramente alguns resultados básicos de análise funcional usados no decorrer deste trabalho.

A seguir há uma introdu¸cão aos espa¸cos de Banach com FDD incondicional, com algumas propriedades, inclusive a de que espa¸cos deste tipo são separáveis.

Também no cap´ıtulo 1 desenvolvemos a teoria básica de topologia fraca, estabelecendo-se o conceito de convergência fraca, que é central neste trabalho. É apresentada uma caracteriza¸cão de convergência fraca em espa¸cos do tipo lp, útil para o desenvolvimento

de certos exemplos.

No cap´ıtulo 2 estudamos polinômios cont´ınuos, enfatizando os polinômios homogêneos. Apresentamos ainda uma versão análoga ao Teorema de Banach-Steinhaus para polinômios homogêneos. Desenvolve-se também a técnica de complexifica¸cão de um polinômio em um espa¸co de Banach real. Algumas propriedades dos polinômios fracamente sequencialmente cont´ınuos também são estudadas, e é enunciado sem demonstra¸cão o Teorema de Pitt, que terá grande importância para compreensão de certos exemplos no cap´ıtulo 3.

(4)

Na primeira se¸c˜ao do cap´ıtulo 3 definimos o conjunto CP e estudamos suas propriedades

básicas. Os resultados nesta se¸cão foram obtidos por R. Aron e V. Dimant em [2]. Apresen-tamos uma fórmula para CP.Q, e algumas aplica¸cões desta fórmula para irredutibilidade de

polinômios. Estudamos certas questões envolvendo CP que são colocadas e parcialmente

respondidas em [2], no caso em que E ´e um espa¸co de Banach qualquer.

Na segunda se¸c˜ao ´e estudado o conjunto CP para espa¸cos de Banach particulares, a

saber, espa¸cos com FDD incondicional e/ou separáveis. Os resultados desta se¸cão se en-contram em [2] e em um trabalho de V. Dimant e R. Gonzalo [6]. Definimos os polinômios diagonais em espa¸cos com FDD incondicional. Para estes espa¸cos, são novamente discu-tidas as questões colocadas ao final da se¸cão anterior.

(5)

Sum´

ario

1 Resultados preliminares 6

1.1 Decomposi¸c˜ao de Schauder incondicional . . . 10

1.2 Topologia fraca . . . 19

2 Polinômios homogêneos cont´ınuos 25 2.1 Aplica¸cões multilineares . . . 25

2.2 Aplica¸c˜oes Multilineares Sim´etricas . . . 33

2.3 Polinˆomios . . . 35

2.4 Polinˆomios fracamente sequencialmente cont´ınuos . . . 44

2.5 Complexifica¸c˜ao de polinˆomios . . . 46

3 O conjunto CP 51 3.1 Propriedades gerais de CP . . . 53

(6)

Nota¸

c˜

oes

N0 N ∪ {0}

K corpo de escalares, reais ou complexos X, Y _K-espa¸cos vetoriais ou espa¸cos normados

E, F espa¸cos de Banach

[M] espa¸co gerado pelo conjunto M

L(E; F ) transforma¸c˜oes lineares cont´ınuas de E em F X∗ funcionais lineares de X

E0 espa¸co dual de E

ek _sequˆ_{encia de escalares que vale 1 na k-´}_{esima coordenada e zero nas demais}

xn w

→ x xn converge fracamente a x

La(mX; Y ) transforma¸c˜oes m-lineares de X em Y

L(m_{E; F ) transforma¸c˜}_{oes m-lineares cont´ınuas de E em F}

L(m_{E) L(}m_{E; K)}

Las(mX; Y ) transforma¸c˜oes m-lineares sim´etricas de X em Y

Ls(mE; F ) transforma¸c˜oes m-lineares sim´etricas cont´ınuas de E em F

Ls(mE) Ls(mE; K)

Pa(mX; Y ) polinˆomios m-homogˆeneos de X em Y

P(m_{E; F ) polinˆ}_{omios m-homogˆ}_{eneos cont´ınuos de E em F}

P(m_{E) P(}m_{E; K)}

Pa(X; Y ) polinˆomios de X em Y

P(E; F ) polinˆomios cont´ınuos de E em F P(E) P(E; K)

Pwsc(mE) polinˆomios m-homogˆeneos fracamente sequencialmente cont´ınuos

Pwsc0(mE) polinˆomios m-homogˆeneos fracamente sequencialmente cont´ınuos na origem

DJ(mE) polinômios m-homogêneos cont´ınuos diagonais com rela¸cão a J

(7)

Cap´ıtulo 1

Resultados preliminares

Apresentamos inicialmente alguns resultados básicos que serão necessários no decor-rer deste trabalho. Muitas afirma¸cões ao longo deste cap´ıtulo serão feitas sem demons-tra¸cão; são consideradas pré-requisitos para o estudo deste trabalho. Essas afirma¸cões podem ser encontradas com demonstra¸cão em boa parte dos livros de análise matemática, por exemplo em [13] e [15]. Serão utilizados também nota¸cões e resultados básicos de topologia. Lembremos que, quando X é espa¸co normado e F é espa¸co de Banach, L(X; F ) munido da norma kT k= sup{kT (x)k : kxk ≤ 1} ´. e um espa¸co de Banach.

Ao longo do estudo, os seguintes trˆes resultados fundamentais (1.1, 1.5 e 1.6) ser˜ao frequentemente referidos:

Teorema 1.1 (Teorema de Hahn-Banach). Sejam X um espa¸co normado, S um subespa¸co qualquer de X e γ ∈ S0. Ent˜ao existe γ ∈ X0 tal que para cada x ∈ S temos que γ(x) = γ(x) e kγk = kγk.

Corol´ario 1.2. Sejam X um espa¸co normado, S um subespa¸co fechado de X e x ∈ X\S. Ent˜ao existe γ ∈ X0 satisfazendo γ(S) = {0}, γ(x) = d(x, S) = inf{kx − yk : y ∈ S} e kγk = 1.

Demonstra¸c˜ao:

Vamos definir um funcional f em S + [x] por f (y + λx) = λd(x, S), para cada y ∈. S, λ ∈ K. Ent˜ao f (x) = d(x, S) e para cada y ∈ S, f (y) = 0.

Para cada y ∈ S e cada λ ∈ K n˜ao nulo temos que

(8)

de forma que f ´e cont´ınuo e kf k ≤ 1. Para cada y ∈ S, kf kkx − yk ≥ |f (x − y)| = d(x, S) e desta forma

kf kd(x, S) = kf k inf{kx − yk : y ∈ S} ≥ d(x, S).

Sendo d(x, S) > 0, temos que kf k = 1. Portanto pelo Teorema de Hahn-Banach (1.1) existe γ ∈ X0 satisfazendo γ(S) = {0}, γ(x) = d(x, S) = inf{kx − yk : y ∈ S} e kγk = 1, como quer´ıamos. ♠

Corolário 1.3. Sejam X um espa¸co normado e x ∈ X não nulo. Então existe γ ∈ X0 tal que γ(x) = kxk e kγk = 1.

Demonstra¸c˜ao:

Considerando S = {0}, podemos usar o corol´ario 1.2 para afirmar que existe γ ∈ X0 satisfazendo γ(x) = kxk e kγk = 1. ♠

Corol´ario 1.4. Seja X um espa¸co normado, e sejam x, y ∈ X distintos. Ent˜ao existe γ ∈ X0 tal que γ(x) 6= γ(y).

Demonstra¸c˜ao:

x − y 6= 0. Ent˜ao considerando de novo S = {0}, pelo corol´ario 1.2 existe γ ∈ X0 satisfazendo γ(x) − γ(y) = γ(x − y) = kx − yk > 0. Assim, γ(x) 6= γ(y). ♠

Teorema 1.5 (Teorema da aplica¸cão aberta). Sejam E e F espa¸cos de Banach e T ∈ L(E; F ) sobrejetora. Então para cada subconjunto aberto U de E temos que T (U ) é um aberto de F .

Teorema 1.6 (Princ´ıpio da limita¸cão uniforme). Sejam E um espa¸co de Banach, Y um espa¸co normado e F uma fam´ılia não vazia de elementos de L(E; Y ). Se sup{kT (x)k : T ∈ F } é finito para cada x ∈ E, então sup{kT k : T ∈ F } é finito.

(9)

Teorema 1.7 (Teorema de Banach-Steinhaus). Sejam E um espa¸co de Banach, Y um espa¸co normado e (Tn)n uma sequˆencia em L(E; Y ).

Ent˜ao, se para cada x ∈ E existir lim

n→∞Tn(x), teremos que T (x)

. = lim

n→∞Tn(x) ´e uma

transforma¸c˜ao linear cont´ınua de E em Y . Demonstra¸c˜ao:

T ´_{e linear, pois para cada x, y ∈ E e cada λ ∈ K temos que} T (x+λy) = lim

n→∞Tn(x+λy) = limn→∞(Tn(x)+λTn(y)) = limn→∞Tn(x)+λ limn→∞Tn(y) = T (x)+λT (y).

Como sup{kTn(x)k : n ∈ N} é finito para cada x ∈ E, então pelo princ´ıpio da limita¸cão

uniforme existe M > 0 tal que sup{kTnk : n ∈ N} < M. Ent˜ao para cada x ∈ E com

kxk ≤ 1 temos que kTn(x)k < M , e assim kT (x)k ≤ M . Portanto T ´e cont´ınua. ♠

Vers˜oes mais gerais desses Teoremas podem ser encontradas nas referˆencias citadas ao in´ıcio do cap´ıtulo.

Vamos precisar também dos dois próximos resultados sobre funcionais lineares. Recorde-mos que um hiperplano em X por defini¸cão é um subespa¸co próprio de X maximal, isto é, um subespa¸co próprio H de X é um hiperplano se para cada subespa¸co H0 distinto de H satisfazendo H ⊂ H0 ⊂ X tivermos que H0 _{= X.}

Proposi¸c˜_{ao 1.8. Sejam X um K-espa¸co vetorial e H um hiperplano em X. Ent˜ao existe} γ ∈ X∗ tal que γ−1(0) = H.

Reciprocamente, se γ é um funcional linear não nulo de X, então H = γ. −1(0) é um hiperplano.

Demonstra¸c˜ao:

Sejam H hiperplano de X e v ∈ X\H. Temos que X = H ⊕ [v], isto ´e, cada x ∈ X se escreve de maneira ´unica na forma x = hx+ λxv, onde hx∈ H e λx ∈ K.

Definimos γ : X → K por γ(x)= λ. x. ´E facil ver que γ ´e linear, e vale que γ−1(0) = H

pois γ(x) = 0 ⇔ λx = 0 ⇔ x = hx+ 0v ⇔ x ∈ H.

Seja agora γ um funcional linear n˜ao nulo de X, e seja v ∈ X tal que γ(v) = 1. Cada y ∈ X se escreve como y = (y − γ(y)v

| {z }

∈γ−1₍₀₎

) + γ(y)v. Agora γ−1(0) ´e um subespa¸co pr´oprio de X, mas cada y ∈ X se escreve como y = w + kv, com w ∈ γ−1(0), de forma

(10)

que X = γ−1(0) + [v]. Logo, γ−1(0) ´e hiperplano. ♠

Proposi¸c˜_{ao 1.9. Sejam X um K-espa¸co vetorial e γ, γ}1, . . . , γn ∈ X∗. Ent˜ao ∩nj=1γ −1 j (0) ⊂

γ−1(0) se e somente se existem α1, . . . , αn ∈ K tais que γ = n

X

j=1

αjγj.

Demonstra¸c˜ao:

Uma das implica¸c˜oes ´e imediata. Para mostrar a outra, definamos T ∈ La(X; Kn) por

T (x)= (γ. 1(x), . . . , γn(x)), ∀x ∈ X.

Observe que para cada x ∈ T−1(0) temos que x ∈ ∩n_j=1γ_j−1(0), e desta forma por hip´otese x ∈ γ−1(0).

Desta forma, podemos definir ψ : T (X) ⊂ Kn → K como sendo, para cada T (x) ∈ T (X),

ψ(T (x))= γ(x).. ψ est´a bem definida, pois para cada x, y ∈ X, temos que

T (x) = T (y) ⇔ T (x − y) = 0 ⇔ x − y ∈ T−1(0) ⇔ x − y ∈ γ−1(0) ⇔ γ(x) = γ(y). Sejam T (x) e T (y) ∈ T (X) e λ ∈ K. Ent˜ao

ψ(T (x) + λT (y)) = ψ(T (x + λy)) = γ(x + λy) = γ(x) + λγ(y) = ψ(T (x)) + λψ(T (y)), logo ψ é linear, e é cont´ınua por estar definida em um espa¸co de dimensão finita.

Aplicando o Teorema de Hahn-Banach (1.1), sabemos que existe uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua e_{ψ : K}n_{→ K tal que, para todo x ∈ X, e}_{ψ(T (x)) = ψ(T (x)).}

Seja {e1, . . . , en} a base canˆonica de Kn. Ent˜ao para cada x ∈ X

γ(x) = ψ(T (x)) = eψ(T (x)) = eψ(γ1(x), . . . , γn(x)) = eψ n X j=1 γj(x)ej ! = n X j=1 e ψ(ej)γj(x) e portanto γ = n X j=1 e

(11)

1.1 Decomposi¸

c˜

ao de Schauder incondicional

A defini¸cão de decomposi¸cão de Schauder incondicional em um espa¸co de Ba-nach é semelhante à defini¸cão de base de Schauder incondicional, como veremos a seguir. Primeiro, vamos definir base de Schauder. Para tal, precisamos estabelecer o conceito de convergência incondicional de séries:

Defini¸c˜ao 1.10. Dizemos que uma s´erie

∞

X

n=1

xn em E ´e incondicionalmente

conver-gente a x se para cada σ permuta¸c˜ao dos naturais tivermos que

∞

X

n=1

xσ(n) = x.

Exemplo 1.11. A s´_{erie em R dada por}

∞

X

n=1

(−1)n

n é convergente mas não é incondicional-mente convergente.

Defini¸cão 1.12. Uma sequência (xn)n em um espa¸co de Banach E é dita uma base de

Schauder para E se para cada x ∈ E existe uma ´unica sequˆencia de escalares (λn)n tal

que x = ∞ X n=1 λnxn.

Se além disso a série converge incondicionalmente para cada x ∈ E, dizemos que (xn)n é

uma base de Schauder incondicional para E.

Observa¸cão: Decorre diretamente da defini¸cão acima que, se (xn)n é uma base de

Schauder para um espa¸co de Banach E, ent˜ao [{xn}n∈N] = E.

Exemplo 1.13. A base clássica de Schauder para C[0, 1] é uma base de Schauder que não é incondicional.

A base clásica de Schauder é dada pela sequência (sn)∞n=0de elementos de C[0, 1], dada

por s0(t) . = 1, s1(t) . = t e para n ≥ 2 sn(t) =        2m _{t − (}2n−2 2m − 1) se 2n−2₂m − 1 ≤ t < 2n−1 2m − 1 1 − 2m t − (2n−1₂m − 1) se 2n−1₂m − 1 ≤ t < 2n 2m − 1

0 caso contr´ario

(12)

s0(t) -6 1 1 s1(t) -6 1 1 s2(t) -6 1 1 @ @ @ s3(t) -6 1 1 A A A s4(t) -6 1 1 A A A s5(t) -6 1 1 C C C s6(t) -6 1 1 C C C s7(t) -6 1 1 C C C s8(t) -6 1 1 C C C

Esse exemplo é de [21], artigo no qual foi introduzida a no¸cão de base de Schauder. Exemplo 1.14. Se E = co ou lp com 1 ≤ p < ∞, a sequência (en)n é base de Schauder

para E. Mas (en₎

n n˜ao ´e base de Schauder para l∞.

Verifiquemos que (en₎

n ´e base de Schauder incondicional para lp. Para cada x =

(x1, x2, . . .) ∈ lp temos que ∞

X

n=1

|xn|p converge, de forma que

x − N X i=1 xiei p = k(0, . . . , 0, xN +1, xN +2, . . .)kp = ∞ X i=N +1 |xi|p !1_p N → 0 e portanto a s´erie ∞ X n=1

xnen converge a x. Assim, (en)n ´e base de Schauder para lp. Para

mostrar que essa base de Schauder ´e incondicional, consideremos σ uma permuta¸c˜ao dos naturais. Vamos definir f : N → N por

f (n)_{= sup{σ(j) : j ∈ N, j ≤ n}.}.

Observe que f (n)→ ∞. Considerando a sequˆencia de escalares (xn σ(n))n temos que

x − N X i=1 xσ(i)eσ(i) p =       X i 6= σ(j) j = 1, . . . , N |xi|p       1 p ≤   ∞ X i=f (N )+1 |xi|p   1 p N → 0.

Desta forma, a s´erie

∞

X

i=1

xiei converge incondicionalmente para x, e podemos concluir que

(en₎

(13)

Verifiquemos agora que (en)n ´e base de Schauder incondicional para co. Seja x =

(x1, x2, . . .) ∈ co. Dado > 0, existe no ∈ N tal que |xn| < , para cada n ≥ no natural.

Ent˜ao x − n X i=1 xiei _∞

= k(0, . . . , 0, xn+1, xn+2, . . .)k∞ ≤ , para cada n ≥ no natural,

de forma que a s´erie

∞

X

n=1

xnen converge a x. Vamos verificar que a convergˆencia ´e

incondi-cional: seja σ uma permuta¸c˜_{ao dos naturais. Vamos definir g : N → N por} g(n)_{= inf{j ∈ N : {1, . . . , n} ⊂ {σ(1), . . . , σ(j)}}.}.

Considerando novamente a sequˆencia de escalares (xσ(n))n, temos agora para cada n ≥

g(no) que x − n X i=1 xσ(i)eσ(i) _∞ = sup{kxjk : j 6= σ(i), i = 1, . . . , n} ≤ sup{kxjk : j > no} ≤

e assim a s´erie converge incondicionalmente.

Para verificar que (en)n n˜ao ´e base de Schauder para l∞, considero x= (1, 1, . . .) ∈ l. ∞.

Para cada (λn)n sequˆencia de escalares temos, para cada N natural, que

x − N X i=1 λiei _∞ = k(1 − λ1, . . . , 1 − λN, 1, 1, . . .)k∞≥ 1 de forma que ∞ X n=1

λnen não converge x. Como (λn)n é arbitrária, concluimos nossa

veri-fica¸c˜ao.

Para definirmos decomposi¸cão de Schauder incondicional, se fará necessária a no¸cão de proje¸cão, dada pela defini¸cão a seguir.

Defini¸c˜_{ao 1.15. Sejam um K-espa¸co vetorial X e S um subespa¸co de X. Dizemos que} Π : X → S ´e uma proje¸c˜ao se Π for linear e Π(Π(x)) = Π(x), para cada x ∈ X.

A defini¸c˜ao de base de Schauder incondicional pode ser reescrita da seguinte forma: ”Seja (xn)n uma sequˆencia em E e En

.

(14)

incondicional para E se para cada x ∈ E existir uma sequˆencia (yn)n em E satisfazendo

yn ∈ En, ∀n ∈ N, tal que x = ∞

X

n=1

yn e a s´erie converge incondicionalmente.”

´

E natural generalizar essa defini¸c˜ao da seguinte maneira:

Defini¸c˜ao 1.16. Dizemos que um espa¸co de Banach E tem decomposi¸c˜ao de Schauder incondicional (ou FDD incondicional), se existirem {En}n∈N subespa¸cos de E de

di-mens˜ao finita tais que cada x ∈ E se escreve de maneira ´unica como x =

∞

X

i=1

xi,

onde xi ∈ Ei, ∀i ∈ N, a série é incondicionalmente convergente e as n-ésimas proje¸cões

associadas `a decomposi¸c˜ao definidas por Πn(x)

. =Pn

i=1xi s˜ao cont´ınuas.

Exemplo 1.17. Seja E com base de Schauder incondicional. Ent˜ao E tem FDD incondi-cional.

Neste caso uma poss´ıvel decomposi¸c˜ao ´e a formada pelos subespa¸cos gerados por cada elemento da base.

Em particular, os espa¸cos lp com 1 ≤ p < ∞ tem FDD incondicional.

Nem sempre um espa¸co com FDD incondicional tem base de Schauder, como se vˆe pelo seguinte exemplo:

Exemplo 1.18. Seja E o espa¸co de Banach formado pelos operadores compactos do l2 que

têm representa¸cão triangular com respeito à base canônica, isto é, que podem ser escritos matricialmente como [T ] =        a11 a12 a13 · · · a22 a23 a33 0 . ..       

Considero para cada n ∈ N o subespa¸co Bn de E formado pelos operadores que se

escrevem como [T ] =           0 · · · 0 a1n 0 · · · .. . ... ... ... 0 · · · 0 ann 0 · · · .. . ... 0 ... .. .          

(15)

Não é dif´ıcil ver que {Bn}n∈Né uma decomposi¸cão incondicional para E, e como cada

Bntem dimens˜ao finita {Bn}n∈N´e uma FDD incondicional para E. No entanto, mostra-se

em [10] que este espa¸co n˜ao admite base de Schauder. Observe que dim Bn

n

→ ∞.

Em um espa¸co de Banach (E, k · k) com FDD incondicional {En}npodemos introduzir

uma outra norma ||| · |||, em fun¸c˜ao de k · k e de {En}n, da seguinte maneira:

||| · ||| : x ∈ E 7→ sup m∈N ( m X n=1 xn ) ∈ R onde x = ∞ X n=1 xn, xi ∈ Ei, ∀i ∈ N. ´

E evidente que para cada x ∈ E, |||x||| ≥ 0 e que |||x||| = 0 se e somente se x = 0. Para cada λ ∈ K, |||λx||| = sup_m∈N ( λ m X n=1 xm ) = sup_m∈N ( |λ| m X n=1 xm ) = |λ| sup_m∈N ( m X n=1 xm ) = |λ| |||x|||. Se x = ∞ X n=1 xn e y = ∞ X n=1 yn∈ E, |||x + y||| = sup_m∈N ( m X n=1 xm+ ym ) ≤ sup_m∈N ( m X n=1 xm + m X n=1 xm ) ≤ sup_m∈N ( m X n=1 xm ) + sup_m∈N ( m X n=1 xm ) = |||x||| + |||y||| .

Provamos portanto que ||| · ||| ´e de fato uma norma sobre E.

Proposi¸c˜ao 1.19. Seja (E, k · k) um espa¸co de Banach com FDD incondicional {En}n.

Ent˜ao (E, ||| · |||) ´e um espa¸co de Banach e existe uma constante K > 0 tal que para cada x ∈ E,

(16)

Para demonstrar a proposi¸cão acima utilizaremos a seguinte consequência do Teorema da aplica¸cão aberta (1.5):

Lema 1.20. Sejam E um K-espa¸co vetorial e k · k1, k · k2 normas sobre E. Se (E, k · k1)

e (E, k · k2) forem espa¸cos de Banach e a aplica¸c˜ao identidade

id : (E, k · k1) → (E, k · k2)

for cont´ınua, então as normas k · k1 e k · k2 são equivalentes, isto é, existem K1, K2 > 0

tais que

K1kxk1 ≤ kxk2 ≤ K2kxk1, ∀x ∈ E.

Demonstra¸c˜ao (do lema):

Como por hip´otese id : (E, k · k1) → (E, k · k2) ´e cont´ınua, defino K2

.

= kidk > 0 e temos que

kxk2 ≤ K2kxk1, ∀x ∈ E.

Pelo Teorema da aplica¸c˜ao aberta (1.5) temos que id−1 : (E, k·k2) → (E, k·k1) tamb´em

´e cont´ınua.

Assim, para cada x ∈ E posso escrever kxk1 ≤ kid−1kkxk2, e definindo K1

.

= kid−1k−1

temos que

kxk2 ≥ K1kxk1, ∀x ∈ E,

como quer´ıamos. ♠

Demonstra¸c˜ao (da proposi¸c˜ao):

Observa¸cão: No decorrer desta demonstra¸cão, as séries convergentes a que nos referirnos são convergentes na norma original de E, k · k.

Seja x ∈ E. Temos que kxk ≤ |||x|||, pois |||x||| = sup m∈N ( m X n=1 xn ) ≥ ∞ X n=1 xm = kxk.

Para provar que (E, ||| · |||) ´e um espa¸co de Banach, basta provar que cada sequˆencia de Cauchy em (E, ||| · |||) converge.

Seja ent˜ao (xj₎ j = ∞ X n=1 xj_n ! j

uma sequência de Cauchy com rela¸cão a ||| · |||, e vamos mostrar que para cada n ∈ N, a sequência (xj

(17)

cada, j1, j2, k ∈ N, k ≥ 2, kxj1 k − x j2 kk = k X n=1 (xj1 n − xjn2) − k−1 X n=1 (xj1 n − xjn2) ≤ 2 ∞ X n=1 (xj1 n − xjn2) = 2 ∞ X n=1 xj1 n − ∞ X n=1 xj2 n .

Assim, como (xj)j ´e de Cauchy com rela¸c˜ao a ||| · |||, temos que (x j

k)j ´e de Cauchy com

rela¸cão a k · k. para cada natural k ≥ 2, e (xj₁) também é de Cauchy com rela¸cão a k · k pois kxj1 1 − x j2 1 k ≤ ∞ X n=1 (xj1 n − x j2 n) = ∞ X n=1 xj1 n − ∞ X n=1 xj2 n .

Sendo (E, k · k) completo, temos para cada k ∈ N que (xjk)j converge para xk em E.

Vamos mostrar que

∞

X

n=1

xn converge e que a sequˆencia (xj)j converge a ∞ X n=1 xn na norma ||| · |||. Seja > 0. Como (xj₎

j ´e de Cauchy com rela¸c˜ao a ||| · |||, existe j ∈ N tal que, se

j1, j2 ∈ N, j1, j2 ≥ j, ent˜ao para cada m ∈ N vale

m X n=1 xj2 n − m X n=1 xj1 n ≤ m X n=1 xj2 n − m X n=1 xj1 n < 3. Ent˜ao, fazendo j2 → ∞ e j1 = j, temos para cada m ∈ N que

m X n=1 xn− m X n=1 xj n < 3 (1.1)

e assim, para m1, m2 ∈ N, m2 ≥ m1, temos

m2 X n=m1 xn− m2 X n=m1 xj n ≤ m2 X n=1 xn− m2 X n=1 xj n + m1−1 X n=1 xn− m1−1 X n=1 xj n ≤ 2 3.

Seja agora m∈ N tal que para cada m1, m2 ∈ N com m2 ≥ m1 ≥ m vale a

desigual-dade m2 X n=m1 xj n < ₃. Ent˜ao m2 X n=m1 xn ≤ m2 X n=m1 xn− m2 X n=m1 xj n + m2 X n=m1 xj n <

(18)

sempre que m1 e m2 s˜ao naturais com m2 ≥ m1 ≥ m, e portanto ∞

X

n=1

xn converge.

Observe que a inequa¸cão 1.1 também ´_{e verdadeira para cada m ∈ N se substituirmos} j por um natural j ≥ j. Isto é,

m X n=1 (xn− xjn) < 3, ∀m, j ∈ N, j ≥ j. Logo, tomando-se o supremo deste valor em m temos que

∞ X n=1 (xn− xjn) = ∞ X n=1 xn− ∞ X n=1 xj_n ≤ 3, ∀j ∈ N, j ≥ j. Ent˜ao ∞ X n=1

xn é o limite da sequência (xj)j com rela¸cão a ||| · |||, e podemos concluir que

(E, ||| · |||) ´e um espa¸co de Banach.

Para mostrar que existe K > 0 tal que para cada x ∈ E temos |||x||| ≤ Kkxk, basta verificar que as normas k · k e ||| · ||| são equivalentes. Como kxk ≤ |||x|||, para cada x ∈ E, a aplica¸cão identidade id : (E, ||| · |||) → (E, k · k) é cont´ınua. Logo, como mostramos que (E, ||| · |||) é espa¸co de Banach , pelo lema 1.20 podemos concluir que as normas k · k e ||| · ||| são equivalentes. ♠

A seguir estudamos uma importante propriedade topol´ogica dos espa¸cos de Banach com FDD incondicional.

Proposi¸c˜ao 1.21. Seja E um espa¸co de Banach com FDD incondicional {En}n∈N. Ent˜ao

E ´e separ´avel.

Lema 1.22. Seja X um espa¸co normado qualquer. Se existe um conjunto enumerável A ⊂ X satisfazendo [A] = X, então X é separável.

Demonstra¸c˜ao (do lema):

X ´_{e um K-espa¸co normado, com K = R ou C. Se K = R, definimos Q} _{= Q, e se}. K = C , definimos Q= {a + bi : a, b ∈ Q}. Em ambos os casos, Q ´e denso e enumer´avel. em K.

Vamos escrever A = {an}n∈N, e vamos definir

Dj . = ( _j X n=1 qnan: q1, . . . , qj ∈ Q ) e D = ∪. ∞_j=1Dj.

(19)

Cada Dj é enumerável e portanto D é enumerável. Vamos verificar que D é denso em X,

concluindo assim a demonstra¸c˜ao.

Sejam x ∈ X e > 0. Como [A] = X, existem m ∈ N e r1, . . . , rm ∈ K tais que

x − m X n=1 rnan ≤ 2.

Sendo Q denso em K, existem q1, . . . , qm ∈ Q tais que, para cada n ∈ {1, . . . , m} temos

Demonstra¸c˜ao (da proposi¸c˜ao):

Para cada i ∈ N, seja {ei1, . . . , eini} uma base para Ei. O conjunto B .

= ∪∞_i=1{ei1, . . . , eini} é enumerável, por ser reunião enumerável de conjuntos finitos; provemos que [B] = E, e poderemos concluir pelo lema 1.22 que E é separável. Sejam então x ∈ E e > 0 quaisquer e mostremos que existe um elemento y ∈ [B] tal que kx − yk < .

x se escreve na forma x =

∞

X

i=1

xi, onde para cada i ∈ N, xi = αi1ei1+ · · · + αinieini ∈ Ei

e existe N ∈ N tal que x − N X i=1 xi < . Mas y =. N X i=1 xi = N X i=1

αi1ei1+ · · · + αinieini ∈ [B], de onde segue o resultado. ♠

Observa¸cão: Em [7] há um exemplo de espa¸co de Banach que é separável mas não possui FDD incondicional. Esse exemplo é conhecido como exemplo de Enflo.

Como consequˆencia do lema, temos o seguinte:

Corolário 1.23. Seja E um espa¸co de Banach com base de Schauder. Então E é separável.

(20)

1.2 Topologia fraca

Vamos definir em um espa¸co normado a topologia fraca. Para isto necessitaremos dos conceitos que a seguir.

Defini¸c˜ao 1.24. Seja X um espa¸co normado. Sejam a ∈ X, f1, . . . , fn ∈ X0 e > 0.

Definimos U (a; f1, . . . , fn; ) . = {x ∈ X : sup i=1...,n |fi(x − a)| < }.

Diremos que U (a; f1, . . . , fn; ) ´e uma vizinhan¸ca fraca de a.

Diremos que V ⊂ X ´e um conjunto fracamente aberto de X se para cada a ∈ V existirem f1, . . . , fn ∈ X0 e > 0 tais que U (a; f1, . . . , fn; ) ⊂ V .

Observe que trivialmente ∅ ´e fracamente aberto. Proposi¸c˜ao 1.25. O conjunto

σ(X, X0)= {V ⊂ X : V ´. e fracamente aberto}, ´e uma topologia sobre X.

σ(X, X0) ´e chamada de topologia fraca sobre X.

Demonstra¸c˜ao:

1) Trivialmente se verifica que ∅, X ⊂ σ(X, X0).

2) Sejam I um conjunto de ´ındices n˜ao vazio e {Vi}i∈I tais que Vi ∈ σ(X, X0), ∀i ∈ I.

Vamos mostrar que ∪i∈IVi ∈ σ(X, X0).

Se Vi = ∅, ∀i ∈ I, ent˜ao ∪i∈IVi = ∅ ∈ σ(X, X0). Caso contr´ario, seja a ∈ ∪i∈IVi.

Ent˜ao existe io ∈ I, a ∈ Vio. Como Vio ∈ σ(X, X

0_{), existem f}

1, . . . , fn ∈ X0 e > 0 tais

que U (a; f1, . . . , fn; ) ⊂ Vio ⊂ ∪i∈IVi e portanto ∪i∈IVi ∈ σ(X, X

0

). 3) Sejam V1, V2 ∈ σ(X, X0) e vamos mostrar que V1∩ V2 ∈ σ(X, X0).

Se V1 ∩ V2 = ∅, sabemos que V1∩ V2 ∈ σ(X, X0). Suponhamos ent˜ao que V1∩ V2 6= ∅,

e seja a ∈ V1∩ V2.

Como V1, V2 ∈ σ(X, X0), existem f1, . . . , fn, g1, . . . , gm ∈ X0 e 1, 2 > 0 tais que

(21)

Vamos mostrar que U (a; f1, . . . , fn, g1, . . . , gm; ) ⊂ V1∩ V2, onde

.

= min{1, 2}. De

fato, se x ∈ U (a; f1, . . . , fn, g1, . . . , gm; ), ent˜ao

sup{|f1(x − a)|, . . . |fn(x − a)|, |g1(x − a)|, . . . , |gm(x − a)|} < ≤ 1.

Em particular, |fi(x − a)| < 1, ∀i ∈ {1, . . . , n} e assim temos que x ∈ V1.

De forma an´aloga provamos que x ∈ V2. Ent˜ao U (a; f1, . . . , fn, g1, . . . , gm; ) ⊂ V1∩ V2.

♠

Proposi¸c˜ao 1.26. Seja X um espa¸co normado, e seja τ (X) a topologia induzida pela norma de X. Ent˜ao

σ(X, X0) ⊂ τ (X). Demonstra¸c˜ao:

Seja V ∈ σ(X, X0) n˜ao vazio, e vamos mostrar que V ∈ τ (X). Fixado a ∈ V , basta verificar que existe r > 0 tal que Br(a) ⊂ V .

Como V ∈ σ(X, X0), existem f1, . . . , fn ∈ X0 e > 0 tais que U (a; f1, . . . , fn; ) ⊂ V .

Seja r = _max

i=1,...,n{kfik}+1, e vamos provar que Br(a) ⊂ U (a; f1, . . . , fn; ). Seja x ∈ Br(a). Ent˜ao kx − ak < _max

i=1,...,n{kfik}+1, e desta forma para cada i ∈ {1, . . . , n},

|fi(x − a)| ≤ kfikkx − ak < kfik

maxi=1,...,n{kfik} + 1

<

e portanto sup_i=1,...,n{|fi(x−a)|} < , de forma que x ∈ U (a; f1, . . . , fn; ), como quer´ıamos.

♠

Precisamos estabelecer a no¸cão de convergência fraca de sequências para podermos posteriormente definir o que é continuidade sequencial fraca:

Defini¸cão 1.27. Seja X um espa¸co normado. Uma sequência (xn)n é dita fracamente

convergente (para x ∈ X) se ela é convergente (para x) com rela¸cão à topologia fraca sobre X.

Neste caso, escreveremos xn w

→ x.

A seguinte caracteriza¸cão de convergência fraca será muito utilizada quando estivermos trabalhando com polinômios:

(22)

Teorema 1.28. Sejam X um espa¸co normado, x ∈ X e (xn)n uma sequência em X. Então xn w → x se e somente se f (xn) → f (x), ∀f ∈ X0. Demonstra¸cão: Suponhamos que xn w

→ x e seja f ∈ X0_{. Dado > 0, existe n}

o ∈ N tal que para cada

n ≥ no natural, xn ∈ U (x; f ; ), pelo fato deste conjunto ser fracamente aberto.

Assim, para n ≥ no natural, |f (x) − f (xn)| < . Como > 0 ´e arbitr´ario, temos que

f (xn) → f (x), como quer´ıamos.

Suponhamos agora que f (xn) → f (x) para cada f ∈ X0. Seja V um conjunto

fraca-mente aberto contendo x. Ent˜ao existem f1, . . . , fk ∈ X0 e > 0 tais que

x ∈ U (x; f1, . . . , fk; ) ⊂ V.

Para cada i ∈ {1, . . . , k}, pelo fato de fi(xn) → fi(x), temos que existe ni ∈ N tal que

|fi(xn) − fi(x)| < para cada n ≥ ni natural.

Se tomarmos no = max. i=1,...,k{ni}, teremos para cada n ≥ no natural e cada i ∈

{1, . . . , k} que |fi(xn) − fi(x)| < e portanto xn ∈ U (x; f1, . . . , fk; ) ⊂ V . Ou seja, (xn)n

converge fracamente a x. ♠

Corol´ario 1.29. Sejam X e Y espa¸cos normados, T ∈ L(X; Y ) e (xn)n uma sequˆencia

em X convergindo fracamente a x. Ent˜ao T (xn) w

→ T (x). Demonstra¸c˜ao:

Basta verificar que, dado f ∈ Y0, f (T (xn)) → f ((T (x)). Mas, j´a que T ´e cont´ınua,

f ◦ T ∈ X0, e ent˜ao podemos usar o Teorema acima para concluir a demonstra¸c˜ao. ♠

Corol´ario 1.30. Sejam X um espa¸co normado, x ∈ X e (xn)n uma sequˆencia em X. Se

xn → x, ent˜ao xn w

→ x. Demonstra¸c˜ao:

Se xn → x, temos que f (xn) → f (x), ∀f ∈ X0, e pelo Teorema anterior podemos

concluir que xn w

→ x. ♠

Exemplo 1.31. No espa¸co lp, 1 < p < ∞, a sequˆencia (ek)k formada pelos elementos da

(23)

A sequˆencia (ek)k n˜ao converge pois para cada l, k naturais distintos temos que kel−

ek_{k =} √p

2, e assim (ek₎

k n˜ao ´e de Cauchy.

Para mostrar que ek w_{→ 0, pelo Teorema anterior basta que, para cada f ∈ l}0

p, f (ek) →

f (0) = 0.

Fixo f ∈ l0_p. Ent˜ao existe (an)n ∈ lq, onde

1 p+ 1 q = 1, tal que f (x) = ∞ X n=1 anxn, para

cada x ∈ lp. Logo, f (ek) = ak, e ak → 0 pelo fato de (an)n ∈ lq e assim concluimos nossa

verifica¸c˜ao.

A seguir temos duas importantes propriedades das sequˆencias fracamente convergentes: Teorema 1.32. Sejam X um espa¸co normado, x ∈ X e (xn)n uma sequˆencia em X

convergindo fracamente a x. Então as seguintes afirma¸cões são verdadeiras: 1) (xn)n é limitada;

2) O limite de (xn)n com rela¸cão à topologia fraca é único.

Demontra¸c˜ao:

1) Definimos para cada n ∈ N Fn∈ X00 por Fn(f )

.

= f (xn), para cada f ∈ X0.

Como xn w

→ x, para cada f ∈ X0 temos que f (xn) → f (x), e assim

lim

n→∞Fn(f ) = limn→∞f (xn) = f (x)

de forma que para cada f ∈ X0 o conjunto {Fn(f ) : n ∈ N} ´e limitado. Como al´em disso

X0 ´e um espa¸co de Banach, podemos usar o princ´ıpio da limita¸c˜ao uniforme (1.6) para concluir que existe M > 0 tal que kFnk ≤ M , para cada n ∈ N. Assim,

|Fn(f )| ≤ kFnkkf k ≤ M kf k, ∀f ∈ X0, n ∈ N.

Vamos supor que kxnk > 0, para cada n ∈ N. Pelo corol´ario 1.3 (do Teorema de

Hahn-banach) podemos afirmar que para cada n ∈ N existe fn ∈ X0 tal que fn(xn) = kxnk e

kfnk = 1. Ent˜ao para cada n ∈ N,

kxnk = |fn(xn)| = |Fn(fn)| ≤ M kfnk = M,

ou seja, (xn)n ´e limitada. Observe que a desigualdade acima vale trivialmente quando

kxnk = 0.

2) Suponhamos que xn w

→ y, para algum y ∈ X distinto de x. Como j´a sabemos que xn

w

→ x, temos que para cada f ∈ X0_{, f (x}

(24)

K é único, concluimos que f (x) = f (y), para cada f ∈ X0. Agora, pelo corolário 1.4 (do Teorema de Hahn-Banach) existe f0 ∈ X0 tal que f0(x) 6= f0(y), uma contradi¸cão. ♠

Proposi¸c˜ao 1.33. Sejam X um espa¸co normado, x ∈ X e (xn)n uma sequˆencia em X.

Ent˜ao xn w

→ x se e somente se as seguintes duas afirma¸cões são verdadeiras: 1) A sequência (kxnk)n é limitada em K;

2) Existe um conjunto M ⊂ X0 tal que [M ] ´e denso em X0 e ∀f ∈ M , f (xn) → f (x).

Demonstra¸c˜ao: Se xn

w

→ x, as afirma¸c˜oes (1) e (2) seguem diretamente dos Teoremas 1.32 e 1.28, respectivamente.

Suponhamos agora que (kxnk)n ´e limitada e que exista M ⊂ X0 satisfazendo as

condi¸c˜oes de (2). Vamos mostrar que, dado f ∈ X0, f (xn) → f (x).

Seja > 0, e seja K > 0 tal que kxnk < K, ∀n ∈ N e kxk < K. Como [M] ´e denso em

X0, existe g ∈ M tal que kg − f k <

3K. Como por hip´otese g(xn) → g(x), existe no ∈ N tal que para cada n ≥ no natural temos que |g(xn) − g(x)| <

3. Ent˜ao, para cada natural n ≥ no

O corolário 1.34 nos dá mais explicitamente uma caracteriza¸cão das sequências fraca-mente convergentes nos espa¸cos lp, com 1 < p < ∞.

Corol´ario 1.34. Considero o espa¸co lp, com 1 < p < ∞, e sejam x = (x1, x2, . . .) um

elemento e (xk)k uma sequˆencia em lp, onde cada xk= (xk1, xk2, . . .).

Vale ent˜ao que xk w

→ x se e somente se as seguintes duas afirma¸cões são verdadeiras: 1) A sequência (kxk_k) k é limitada em K; 2) Para cada n ∈ N, xk n k → xn.

Observe que a sequˆencia (kek₎

kem lpé um exemplo de sequência que satisfaz a condi¸cão

(25)

Demonstra¸c˜ao: Basta tomar M = {ej_} j ⊂ lq = l0p, com 1 p + 1

q = 1, que satisfaz [{e

j_}

j] = lq. Para este

M , a condi¸cão (2) da proposi¸cão acima é equivalente à condi¸cão (2) do corolário, pois para cada j ∈ N, ej é um representante do funcional fj : (xn)n 7→ xj. ♠

(26)

Cap´ıtulo 2

Polinˆ

omios homogˆ

eneos cont´ınuos

2.1 Aplica¸

c˜

oes multilineares

A defini¸cão de polinômio homogêneo em um espa¸co de Banach é baseada na defini¸cão de aplica¸cões multilineares. Esses dois tópicos são apresentados neste cap´ıtulo de forma bastante suscinta, de forma que apresentam-se apenas os resultados que serão utilizados no próximo cap´ıtulo. Um estudo com mais detalhes pode ser encontrado em [16] e [19] .

Defini¸c˜_{ao 2.1. Sejam m ∈ N e X}1, . . . , Xm, Y K-espa¸cos vetoriais. Uma aplica¸c˜ao A :

X1 × · · · × Xm → Y ´e dita uma aplica¸c˜ao m-linear se para cada i ∈ {1, . . . , m} a

aplica¸c˜ao xi 7→ A(x1, . . . , xi, . . . , xm) for linear de Xi em Y .

Definimos tamb´em La(X1, . . . , Xm; Y ) como sendo o K-espa¸co vetorial de todas

as aplica¸c˜oes m-lineares de X1× · · · × Xm em Y .

Quando X = X1 = · · · = Xm, escrevemos La(mX; Y )

.

= La(X1, . . . , Xm; Y ). Por

conveniˆencia definimos La(0X; Y )

. = Y . Quando Y = K, escrevemos La(mX)

.

= La(mX; K).

Para o estudo da continuidade das aplica¸c˜oes m-lineares, estaremos sempre considerando espa¸cos normados, e consideramos em X1× · · · × Xm a norma k · k : X1× · · · × Xm → R

definida por k(x1, . . . , xm)k

.

= sup

i∈{1,...,m}

kxik.

Uma caracteriza¸cão de continuidade de transforma¸cões m-lineares se dá pelo seguinte Teorema:

(27)

Teorema 2.2. Sejam X1, . . . , Xm, Y espa¸cos normados e A ∈ La(X1, . . . , Xm; Y ). Ent˜ao

são equivalentes as seguintes afirma¸cões: 1) A é cont´ınua;

2) A ´e cont´ınua na origem;

3) Existe M > 0 tal que kA(x1, · · · , xm)k ≤ M kx1k . . . kxmk, para cada (x1, . . . , xm) ∈

X1× · · · × Xm.

Demonstra¸c˜ao: ´

E evidente que (1)⇒(2).

Para mostrar que (2)⇒(3) temos por hip´otese A cont´ınua na origem. Logo, existe δ > 0 tal que se kxk < δ ent˜ao kA(x)k ≤ 1. Seja x = (x1, . . . , xn) com xi 6= 0 para cada i ∈

{1, . . . , m}. Temos que δx1 2kx1k , . . . , δxn 2kxnk < δ, assim A δx1 2kx1k , . . . , δxn 2kxnk ≤ 1. Desta forma, kA(x1, . . . , xn)k ≤

2m

δmkx1k . . . kxmk. Se para algum i ∈ {1, . . . , m} tivermos

que xi = 0, a desigualdade acima também é verdadeira, e portanto a afirma¸cão (3) é

verdadeira.

Vamos mostrar que (3)⇒(1).

Observe que A(x) − A(y) = A(x1− y1, . . . , xm) + . . . + A(y1, . . . , ym−1, xm− ym). Desta

forma,

kA(x) − A(y)k ≤ kA(x1− y1, . . . , xm)k + . . . + kA(y1, . . . , ym−1, xm− ym)k

≤ M (kx1 − y1kkx2k . . . kxmk + · · · + ky1k . . . kym−1kkxm− ymk).

Vamos agora mostrar que, fixado r > 0 A ´e uniformemente cont´ınua em Br(0)

. = {x ∈ X1× · · · × Xm: kxk < r}.

Sejam x, y ∈ X com kxk,kyk < r, ent˜ao para cada i ∈ {1, . . . , m} temos que kxik < r

e kyik < r. Logo,

kA(x) − A(y)k ≤ M rm−1_(kx

1− y1k + · · · + kxm− ymk) ≤ M rm−1mkx − yk

e isto nos permite conluir que A ´e uniformemente cont´ınua sobre Br(0). Como r ´e

ar-bitr´ario, A ´e cont´ınua. ♠

Vamos destacar o seguinte detalhe da demontra¸c˜ao de (3)⇒(1):

Corol´ario 2.3. Sejam X e Y espa¸cos normados, U um subconjunto limitado de X × · · · × X e A ∈ La(mX; Y ) cont´ınua. Ent˜ao existe uma constante M ≥ 0 tal que para cada

(28)

x, y ∈ U ,

kA(x) − A(y)k ≤ M kx − yk e por conseguinte A ´e uniformemente cont´ınua sobre U .

Observa¸cão: Sabemos que as transforma¸cões lineares cont´ınuas são uniformemente cont´ınuas em todo o seu dom´ınio. Este resultado não é verdadeiro para transforma¸cões multilineares quaisquer, na realidade qualquer aplica¸cão m-linear com m > 1 não nula não é uniformemente cont´ınua em todo o dom´ınio.

Para verificar esse fato, seja A ∈ La(X1, . . . , Xm; Y ) cont´ınua n˜ao nula. Ent˜ao existem

> 0 e (x1, . . . , xm) ∈ X1× · · · × Xm tais que kA(x1, . . . , xm)k > > 0. Para cada δ > 0,

podemos escolher λ ∈ K tal que kλx1k < δ. Mas ent˜ao temos que

k(x1+ λx1, x2 λ, x3, . . . , xm) − (x1, x2 λ , x3, . . . , xm)k = kλx1k < δ e

kA(x1+ λx1,x_λ2, x3, . . . , xm) − A(x1,x_λ2, x3, . . . , xm)k = kA(λx1,x_λ2, x3, . . . , xm)k

= kA(x1, x2, . . . , xm)k > .

Logo, A n˜ao ´e uniformemente cont´ınua.

Defini¸c˜ao 2.4. Sejam X1, . . . , Xm, Y espa¸cos normados. Denotamos por L(X1, . . . , Xm; Y )

o subespa¸co formado pelas transforma¸c˜oes multilineares cont´ınuas de La(X1, . . . , Xm; Y ).

Quando X1 = · · · = Xm = X, escrevemos L(mX; Y ) = L(X, . . . , X; Y ) e quando Y = K

escrevemos L(mX)= L(. m_{X; K).}

O espa¸co L(X1, . . . , Xm; Y ) ´e um espa¸co normado se munido da norma dada pela

seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.5. k · k : L(X1, . . . , Xm; Y ) → R definida por

kAk= sup{kA(x. 1, . . . , xm)k : (x1, . . . , xm) ∈ X1× · · · × Xm, k(x1, . . . , xm)k ≤ 1}

´e uma norma em L(X1, . . . , Xm; Y ), e para cada A ∈ L(X1, . . . , Xm; Y ),

(29)

Demonstra¸c˜ao:

Observemos inicialmente que para cada A ∈ L(X1, . . . , Xm; Y ) temos que

0 ≤ sup{kA(x1, . . . , xm)k : (x1, . . . , xm) ∈ X1× · · · × Xm, k(x1, . . . , xm)k ≤ 1} < ∞,

pois como j´a vimos A leva conjuntos limitados em conjuntos limitados e portanto k · k est´a bem definida.

Vamos verificar que kAk = 0 ⇔ A = 0. A implica¸cão à esquerda é trivial. Para mostrarmos a outra implica¸cão seja A ∈ L(X1, . . . , Xm; Y ) tal que kAk = 0 e x =

(x1, . . . , xm) ∈ X1× · · · × Xm qualquer, e verifiquemos que A(x) = 0.

Se xi = 0 para algum i ∈ {1, . . . , m}, evidentemente A(x) = 0.

Se xi 6= 0 para cada i ∈ {1, . . . , m}, temos que

x1 kx1k , . . . , xm kxmk = 1, e logo como kAk = 0 temos A x1 kx1k , . . . , xm kxmk = 0. Assim, kA(x)k = A x1 kx1k , . . . , xm kxmk kx1k . . . kxmk = 0

e podemos concluir que A = 0. Para cada λ ∈ K,

kλAk = sup{kλA(x)k : kxk ≤ 1} = |λ| sup{kA(x)k : kxk ≤ 1} = |λkAk.

Falta verificar a desigualdade triangular. Sejam A e B ∈ L(X1, . . . , Xm; Y ). Para cada

x = (x1, . . . , xm) ∈ X1× · · · × Xm de norma menor ou igual a 1 temos que

kA(x) + B(x)k ≤ kA(x)k + kB(x)k ≤ kAk + kBk e portanto

kA + Bk = sup{kA(x) + B(x)k : x ∈ X1× · · · × Xm, kxk ≤ 1} ≤ kAk + kBk.

Vamos verificar agora que para cada A ∈ L(X1, . . . , Xm; Y ), kAk = inf{M > 0 :

kA(x1, . . . , xm)k ≤ M kx1k . . . kxmk, ∀(x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · × Xm}. Seja M ≥ 0 tal

que kA(x1, . . . , xm)k ≤ M kx1k . . . kxmk, ∀(x1, . . . , xm) ∈ X1× · · · × Xm. Ent˜ao para cada

x = (x1, . . . , xm) ∈ X1×· · ·×Xmcom kxk ≤ 1 temos que kA(x)k ≤ M , e assim kAk ≤ M .

Logo,

(30)

Mostremos agora que kAk ´e a maior cota inferior para {M ≥ 0 : kA(x1, . . . , xm)k ≤

M kx1k . . . kxmk, ∀(x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · × Xm}. Para tal, vamos fixar > 0

qual-quer e mostrar que kAk + n˜ao ´e cota inferior para {M ≥ 0 : kA(x1, . . . , xm)k ≤

M kx1k . . . kxmk, ∀(x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · × Xm}. Basta mostrar que M

.

= kAk + ₂ ´e tal que kA(x1, . . . , xm)k ≤ (kAk + ₂)kx1k . . . kxmk, ∀(x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · × Xm. A

desigualdade vale trivialmente se kxik = 0 para algum i ∈ {1, . . . , m}. Consideremos

então kx1k, . . . , kxmk não nulos. Então k(kxx11k, . . . ,

xm

kxmk)k = 1, e pela defini¸c˜ao de kAk temos que kA( x1 kx1k , . . . , xm kxmk )k ≤ kAk < kAk + 2. Logo, kx1k . . . kxmkkA( x1 kx1k , . . . , xm kxmk )k = kA(x1, . . . , xm)k < (kAk + 2)kx1k . . . kxmk, como quer´ıamos. ♠

Nem toda transforma¸cão m-linear cont´ınua em cada variável é continua, de acordo com o seguinte exemplo:

Exemplo 2.6. Seja E = C. L1[0, 1]. Ent˜ao a transforma¸c˜ao 2-linear B(f, g) .

=R₀1f (t)g(t)dt é cont´ınua em cada variável mas não é cont´ınua.

Se impusermos a condi¸cão adicional de os espa¸cos de partida serem de Banach, a con-tinuidade passa a ser equivalente à continuidade em cada variável, como está formalizado no Teorema abaixo:

Teorema 2.7. Sejam E1, . . . , Em espa¸cos de Banach e Y um espa¸co normado. Ent˜ao

A ∈ La(E1, . . . , Em; Y ) é cont´ınua se e somente se o é em cada variável.

Demonstra¸c˜ao:

Suponhamos que A é cont´ınua. As fun¸cões xi 7→ A(x1, . . . , xi, . . . , xm) são cont´ınuas

pois s˜ao restri¸c˜oes de A a {x1} × · · · × {xi−1} × Ei× {xi+ 1} × · · · × {xm} ⊂ E1× · · · × Em.

Vamos mostrar a outra implica¸cão primeiro no caso em que A é bilinear. Seja A : E1 × E2 → Y bilinear cont´ınua em cada variável. Para cada y em E2 vamos definir

Ay(x)

.

= A(x, y), uma aplica¸c˜ao linear cont´ınua por hip´otese. Para cada x ∈ E1, Ax(y)

. =

(31)

A(x, y) tamb´em ´e linear e cont´ınua, e portanto existe Mx > 0 tal que kAx(y)k ≤ Mxkyk,

para cada y ∈ E2.

Temos que kAy(x)k = kA(x, y)k = kAx(y)k ≤ Mxkyk. Em particular, se y ∈ E2 ´e tal

que kyk ≤ 1, ent˜ao kAy(x)k ≤ Mx.

Vamos considerar a fam´ılia F = {A. y : y ∈ E2, kyk ≤ 1}. Ent˜ao kAy(x)k ≤ Mx,

para cada Ay em F . Pelo princ´ıpio da limita¸c˜ao uniforme (1.6), existe M > 0 tal que

kAyk ≤ M , para cada Ay ∈ F . Ent˜ao para cada (x, y) ∈ E1 × E2 tal que kxk ≤ 1 e

kyk ≤ 1, temos que kA(x, y)k = kAy(x)k ≤ kAyk ≤ M , e logo para cada (x, y) ∈ E1× E2

temos kA(x, y)k ≤ M kxkkyk. Ent˜ao A ´e cont´ınua.

Vamos provar a tese por indu¸cão: suponhamos que todo operador (m − 1)-linear cont´ınuo em cada variável é cont´ınuo. Então para cada xm ∈ Em o operador Axm ∈ La(E1× · · · × Em−1; Y ) definido por Axm(x1, . . . , xm−1)

.

= A(x1, . . . , xm−1, xm) ´e cont´ınuo

em cada vari´avel, portanto cont´ınuo. Logo, existe Mxm tal que

kA(x1, . . . , xm)k = kAxm(x1, . . . , xm−1)k ≤ Mxmkx1k . . . kxm−1k.

Se adicionalmente kxik ≤ 1 para cada i ∈ {1, . . . , m−1} temos que kA(x1, . . . , xm−1, xm)k ≤

Mxm. Agora vamos definir, para cada (x1, . . . , xm−1) ∈ E1 × · · · × Em−1, o operador lin-ear Ax1,...,xm−1 ∈ L(Em; Y ) por Ax1,...,xm−1(xm)

.

= A(x1, . . . , xm−1, xm) e consideremos a

fam´ılia G = {Ax1,...,xm−1 : xi ∈ Ei e kxik ≤ 1, ∀i ∈ {1, . . . , m − 1}}. Ent˜ao, por um racioc´ınio similar ao feito anteriormente nesta demonstra¸c˜ao, para cada xm em Em com

kxmk ≤ 1 existe Mxm satisfazendo kAx1,...,xm(xm)k = kA(x1, . . . , xm)k ≤ Mxm, para cada (x1, . . . , xm−1) ∈ E1× · · · × Em−1 com kxik ≤ 1, ∀i ∈ {1, . . . , m − 1}. Assim, novamente

pelo princ´ıpio da limita¸cão uniforme (1.6), kAx1,...,xmk ≤ M , para cada Ax1,...,xm em G. Isto é, kxik ≤ 1, ∀i ∈ {1, . . . , m} implica em kA(x1, . . . , xm)k ≤ M , e portanto A é cont´ınua. ♠

Corolário 2.8. Seja A ∈ La(X1, . . . , Xm; Y ) onde Xi é de dimensão finita, para cada

i ∈ {1, . . . , m}. Então A é cont´ınua. Demonstra¸cão:

Para cada i ∈ {1, . . . , m} o espa¸co Xi ´e de Banach por ser de dimens˜ao finita, e pelo

mesmo motivo temos também que A é cont´ınua em cada variável. Portanto, pelo Teorema anterior, A é cont´ınua. ♠

(32)

Teorema 2.9. Sejam X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn, Z espa¸cos normados. Ent˜ao os espa¸cos

L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z) e L(X1, . . . , Xm; L(Y1, . . . , Yn; Z))

são isométricos. Demonstra¸cão:

Vamos mostrar que a fun¸c˜ao

φ : L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z) → L(X1, . . . , Xm; L(Y1, . . . , Yn; Z))

definida por φ(A)(x)(y) = A(x, y), para cada x = (x. 1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · × Xm e cada

y = (y1, . . . , yn) ∈ Y1× · · · × Yn, ´e uma isometria.

Precisamos mostrar que a defini¸c˜ao de φ acima ´e coerente: seja A ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z)

e vamos mostrar que de fato

φ(A) ∈ L(X1, . . . , Xm; L(Y1, . . . , Yn; Z)).

Fixemos x = (x1, . . . , xm) ∈ X1 × · · · × Xm. É evidente que a aplica¸cão φ(A)(x) é

n-linear, e ´e cont´ınua de norma menor ou igual a kAkkx1k . . . kxmk pois para cada y =

(y1, . . . , yn) ∈ Y1×· · ·×Yn, kφ(A)(x)(y)k = kA(x, y)k ≤ kAkkx1k . . . kxmkky1k . . . kynk. ´E

facil ver que φ(A) ´e m-linear. Ent˜ao pelo fato de que para x = (x1, . . . , xm) ∈ X1×· · ·×Xm

arbitr´ario temos kφ(A)(x)k ≤ kAkkx1k . . . kxmk, segue que φ(A) ´e cont´ınua. Mostramos

portanto que φ(A) ∈ L(X1, . . . , Xm; L(Y1, . . . , Yn; Z)) e que kφ(A)k ≤ kAk, para cada

A ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z).

φ ´e linear, pois se A, B ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z) e λ ∈ K, ent˜ao para cada

(x, y) ∈ X1× · · · × Xm× Y1× · · · × Yn temos que

φ(A + λB)(x)(y) = A(x, y) + λB(x, y) = φ(A)(x)(y) + λφ(B)(x)(y).

Como kφ(A)k ≤ kAk para cada A ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z), segue que φ ´e

cont´ınua.

Para verificar que φ ´e injetora, basta mostrar que φ−1(0) = {0}. De fato, se φ(A) = 0, temos que A(x, y) = φ(A)(x)(y) = 0, para cada x ∈ X1× . . . × Xm, y ∈ Y1× . . . × Yn, isto

(33)

Para provar que φ ´e sobrejetora fixemos B ∈ L(X1, . . . , Xm; L(Y1, . . . , Yn; Z)) e vamos

mostrar que A : X1× · · · × Xm× Y1× · · · × Yn→ Z definida por A(x, y)

.

= B(x)(y) é tal que A ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z) e φ(A) = B. É fácil ver que A é multilinear. Vamos

mostrar que, para cada (x, y) = (x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) ∈ X1× · · · × Xm× Y1× · · · × Yn,

A ´e cont´ınua em (x, y). De fato,

kA(x, y)k = kB(x)(y)k ≤ kB(x)kky1k . . . kynk ≤ kBkkx1k . . . kxmkky1k . . . kynk

observando-se que a primeira desigualdade é devida à continuidade de B(x), e a segunda desigualdade é devida à continuidade de B. Podemos concluir então que A é cont´ınua, e ev-identemente φ(A) = B, pela defini¸cão de φ. Observe também que kAk ≤ kBk = kφ(A)k. Como acabamos de mostrar que φ é uma bije¸cão entre L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z) e

L(X1, . . . , Xm; L(Y1, . . . , Yn; Z)), podemos afirmar que

kAk ≤ kφ(A)k, ∀A ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z).

Mostramos anteriormente que kφ(A)k ≤ kAk, ∀A ∈ L(X1, . . . , Xm, Y1, . . . , Yn; Z), e

por-tanto φ preserva norma.

Como φ é linear, cont´ınua, bijetora, e preserva norma, segue que φ−1 é cont´ınua e φ é uma isometria, como quer´ıamos. ♠

Uma consequência notável deste Teorema é o seguinte corolário:

Corol´ario 2.10. Sejam X1, . . . , Xm espa¸cos normados e F um espa¸co de Banach.

Ent˜ao L(X1, . . . , Xm; F ) ´e espa¸co de Banach.

Demonstra¸c˜ao:

Vamos mostrar que L(X1, · · · , Xm; F ) ´e completo por indu¸c˜ao.

´

E sabido, para o caso m = 1, que L(X1; F ) ´e completo. Vamos supor que L(X1, . . . , Xm; F )

´e completo, e precisamos mostrar que L(X0, X1, . . . , Xm; F ) ´e completo.

L(X0; L(X1, . . . , Xm; F )) ´e completo pelo fato de L(X1, . . . , Xm; F ) ser espa¸co de

Ba-nach, e pelo Teorema anterior L(X0; L(X1, . . . , Xm; F )) ´e isom´etrico a L(X0, X1, . . . , Xm; F )).

(34)

2.2 Aplica¸

c˜

oes Multilineares Sim´

etricas

Vamos estudar agora este importante subespa¸co das aplica¸cões multilineares. Mais adiante veremos que os espa¸cos de polinômios são isomorfos aos espa¸cos de transforma¸cões multilineares simétricas.

Defini¸c˜_{ao 2.11. Sejam X, Y K-espa¸cos vetoriais. Uma aplica¸c˜ao m-linear A : X}m _{→ Y}

´e dita sim´etrica se para cada x1, . . . , xm∈ X tivermos que

A(x1, . . . , xm) = A(xσ(1), . . . , xσ(m)), ∀σ ∈ Sm,

onde Sm ´e o grupo de permuta¸c˜oes de m elementos.

Denotamos por Las(mX; Y ) o espa¸co das transforma¸c˜oes m-lineares sim´etricas

de Xm _{em Y , e se X e Y forem normados denotamos por L}

s(mX; Y ) o espa¸co das

transforma¸c˜oes m-lineares sim´etricas cont´ınuas de Xm _{em Y . Quando Y = K,}

escrevemos Las(mX; K)

.

= Las(mX) e Ls(mX; K)

.

= Ls(mX)

Para simplificar nota¸c˜oes, utilizamos a seguinte conven¸c˜ao, para qualquer A multilin-ear: A(x1, . . . , x1 | {z } n1vezes , x2, . . . , x2 | {z } n2vezes , . . . , xk, . . . , xk | {z } nkvezes )= Ax. n1 1 . . . x nk k

A seguir está enunciada a fórmula de Leibniz, cuja demonstra¸cão omitiremos pois é muito técnica e está bem escrita em [19], mas que tem importantes consequências para o estudo dos polinômios em espa¸cos de Banach:

Teorema 2.12 (F´_{ormula de Leibniz). Sejam X, Y K-espa¸cos vetoriais e A ∈ L}as(mX; Y ),

e seja k ∈ N. Ent˜ao para cada x1, . . . , xk ∈ X vale que

A(x1+ · · · + xk)m = X n1+···+nk=m m! n1! . . . nk! Axn1 1 . . . x nk k onde cada n1, . . . , nk ∈ N0.

Usaremos com mais frequência a versão da fórmula de Leibniz para o caso k = 2: Corolário 2.13 (F´_{ormula binomial). Sejam X, Y K-espa¸cos vetoriais e A ∈ L}as(mX; Y ).

Ent˜ao para cada x, y ∈ X vale que A(x + y)m = m X k=0 m k ! Axm−kyk.

(35)

Demonstra¸c˜ao:

Basta observar que X

n1+n2=m m! n1!n2! Axn1_yn2 ₌ m X n=0 m! n!(m − n)!Ax n ym−n e o resultado é a aplica¸cão direta da fórmula de Leibniz. ♠

Outra consequência da fórmula de Leibniz é a fórmula de polariza¸cão, apresentada no próximo Teorema.

Teorema 2.14 (F´ormula de polariza¸c˜_{ao). Sejam X, Y K-espa¸cos vetoriais e A ∈ L}as(mX; Y ).

Ent˜ao para cada x1, . . . , xm ∈ X vale que

A(x1, . . . , xm) = 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 1. . . mA(1x1+ · · · + mxm)m. Demonstra¸c˜ao:

Pela f´ormula de Leibiniz, temos para cada x1, . . . , xm ∈ X que

A(1x1+ · · · + mxm)m = X n1+···+nm=m m! n1! . . . nm! A(1x1)n1. . . (mxm)nm = X n1+···+nm=m m! n1! · · · nm! n1 1 . . . nm m Ax n1 1 . . . x nm m . Ent˜ao X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 1· · · mA(1x1+ · · · + mxm)m = X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 1. . . m X n1+···+nm=m m! n1! . . . nm! n1 1 . . . nm m Ax n1 1 . . . x nm m = X n1+···+nm=m m! n1! . . . nm! Axn1 1 . . . x nm m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m n1+1 1 . . . nm+1 m .

Quando nj ´e zero para algum j ∈ N, temos que nj+1 j = 1j e assim X i= ±1 1 ≤ i ≤ m n1+1 1 . . . nmm+1 = X j=±1 j X i= ±1 i 6= j n1+1 1 . . . nj−1+1 j−1 nj+1+1 j+1 . . . nm+1 m = 0.

(36)

Desta forma, todas as parcelas da somat´oria X n1+···+nm=m m! n1! . . . nm! Axn1 1 . . . x nm m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m n1+1 1 . . . nm+1 m

se anulam, exceto a parcela em que n1 = · · · = nm = 1. Como

X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 1+1₁ . . . 1+1_m = X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 2₁. . . 2_m = X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 1 = 2m,

podemos concluir que X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 1· · · mA(1x1+ · · · + mxm)m = X n1+···+nm=m m! n1! . . . nm! Axn1 1 . . . x nm m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m n1+1 1 . . . nm+1 m = m!A(x1, . . . , xm)2m,

de onde podemos deduzir a f´ormula de polariza¸c˜ao. ♠

Observa¸cão: Através dessa fórmula podemos concluir que uma transforma¸cão mul-tilinear simétrica em X é unicamente determinada por seus valores na diagonal de Xm_,

que ´e definida como o conjunto {(x1, · · · , xm) ∈ Xm : x1 = · · · = xm}.

2.3 Polinˆ

omios

Nesta se¸cão vamos, a partir das transforma¸cões multilineares, definir os polinômios homogêneos e estabelecer a rela¸cão biun´ıvoca entre os polinômios homogêneos e as trans-forma¸cões multilineares simétricas.

Defini¸c˜_{ao 2.15. Sejam X e Y K-espa¸cos vetoriais. Dizemos que P : X → Y é um} polinômio homogêneo de grau m (ou polinômio m-homogêneo) e escrevemos P ∈ Pa(mX; Y ) se existir A ∈ La(mX; Y ) tal que P (x) = Axm, para cada x ∈ X.

(37)

Dizemos então que A é uma transforma¸cão m-linear associada a P , e que P é o polinômio m-homogêneo associado a A, e denotamos P = Â.

Quando Y = K, denotamos Pa(mX)

.

= Pa(mX; K).

´

E f´acil verificar que o conjunto Pa(mX; Y ) ´e um K-espa¸co vetorial, bem como Pa(X; Y ),

definido a seguir:

Defini¸c˜_{ao 2.16. Sejam X e Y K-espa¸cos vetoriais. Dizemos que P : X → Y ´e um} polinˆ_{omio (de grau m) se existem m ∈ N e P}i ∈ Pa(iX; Y ), i ∈ {0, . . . , m}, Pm 6= 0

tais que

P = P0+ P1+ · · · + Pm. (2.1)

Denotamos por Pa(X; Y ) o K-espa¸co vetorial dos polinˆomios (de grau qualquer), e

quando Y = K escrevemos Pa(X)

.

= Pa(X; K).

Na próxima proposi¸cão, vamos verificar que são únicos os polinômios que satisfazem 2.1. Observemos que, se X e Y s˜_{ao K-espa¸cos vetoriais e P ∈ P(}mX; Y ), então para cada x ∈ X e cada λ ∈ K temos que P (λx) = λm_{P (x).}

Proposi¸c˜_{ao 2.17. Sejam X e Y K-espa¸cos vetoriais. Ent˜ao P}a(X; Y ) ´e a soma direta

alg´ebrica dos espa¸cos Pa(mX; Y ), com m ∈ N.

Demonstra¸c˜ao:

Basta provar que, se P ∈ P(X; Y ) ´e tal que P = P0 + · · · + Pm = 0, Pi ∈ Pa(iX; Y )

para cada i ∈ {0, . . . , m}, ent˜ao P0 = · · · = Pm = 0.

Para cada x ∈ X e r > 0 temos que

P0(rx) + P1(rx) + · · · + Pm(rx) = 0 ⇒ r0P0(x) + rP1(rx) + · · · + rmPm(x) = 0

⇒ 1

rmP0(x) +

1

rm−1P1(x) + · · · + Pm(x) = 0.

Como r > 0 é arbitrário e o lado esquerdo desta última igualdade converge a Pm(x)

quando r → ∞, temos que Pm(x) = 0, para cada x ∈ X. Assim, P = P0+ · · · + Pm−1 = 0.

Repetindo este recurso, podemos concluir que P0 = · · · = Pm = 0. ♠

Proposi¸cão 2.18. Seja P ∈ Pa(mX, Y ), então existe uma única A ∈ Las(mE; F ) tal que

(38)

Demonstra¸c˜ao: Seja P ∈ Pa(mE; F ). Ent˜ao existe A ∈ La(mE; F ) com P (x) =

Axm_{. Vamos gerar uma aplica¸c˜}_{ao sim´}_{etrica a partir desta A. Defino, para cada x}

1, . . . , xm ∈ X, As(x1, . . . , xm) . = 1 m! X σ∈Sm A(xσ(1), . . . , xσ(m)). ´

E f´acil verificar que As ∈ Las(mX; Y ) e que Asxm = Axm = P (x) para cada x ∈ X.

Vamos verificar a unicidade desta solu¸c˜ao. Se A0_s ∈ Las(mE; F ) ´e tal que P (x) = A

0

sxm

para cada x ∈ X, então A0_sxm = Asxm, para cada x ∈ X, e pela fórmula de polariza¸cão

(2.14) concluimos que A0_s = As. ♠

Observa¸cão: A aplica¸cão As definida na demontra¸cão acima é dita a simetriza¸cão

de A.

Considerando este resultado, podemos definir:

Defini¸c˜_{ao 2.19. Sejam X e Y K-espa¸cos vetoriais, e seja P ∈ P}a(mX; Y ). Denotamos

por ˇP a única transforma¸cão m-linear simétrica de X em Y tal que, para cada x ∈ X, ˇ

P xm _{= P (x). Dizemos que ˇ}_{P ´}_{e a tranforma¸}_c˜_{ao m-linear sim´}_{etrica associada a}

P .

Observemos que, dado um polinômio homogêneo P , a fórmula de polariza¸cão (2.14) nos permite obter ˇP .

Proposi¸cão 2.20. Sejam X e Y espa¸cos vetoriais. Então a fun¸cão ϕ : Las(mX; Y ) →

Pa(mX; Y ) definida por ϕ(A)

.

= Â é um isomorfismo sobrejetor de espa¸cos vetoriais. Demonstra¸cão:

A aplica¸cão ϕ é bijetora pela proposi¸cão 2.18. Assim, basta verificar ϕ é linear. Sejam A1, A2 ∈ Las(mE; F ) e λ ∈ K. Então para cada x ∈ X,

ϕ(A1+ λA2)(x) =(A1\+ λA2)(x) = (A1 + λA2)xm= A1xm+ (λA2)xm

= A1xm+ λ(A2xm) = cA1(x) + λcA2(x) = ϕ(A1)(x) + λϕ(A2)(x),

como quer´ıamos. ♠

Quando X e Y s˜ao espa¸cos normados, denotamos por P(m_{X; Y ) o subespa¸co}

(39)

subespa¸co vetorial de Pa(X; Y ) formado pelos polinˆomios cont´ınuos. Temos a seguinte

caracteriza¸cão para os polinômios homogêneos cont´ınuos, semelhante aos casos linear e multilinear:

Teorema 2.21. Sejam X, Y espa¸cos normados, A ∈ Las(mX; Y ) e P ∈ Pa(mX; Y ) com

ˆ

A = P . Então são equivalentes as seguintes afirma¸cões: 1) A ∈ Ls(mX; Y );

2) P ∈ P(m_{X; Y );}

3) P ´e cont´ınuo na origem;

4) Existe M > 0 tal que kP (x)k ≤ M kxkm, para cada x ∈ X.

Demontra¸c˜ao:

((1) ⇒ (2)) Definindo f : x ∈ X → (x, . . . , x) ∈ Xm_{, temos que P = A ◦ f . Como f e}

A são cont´ınuas, P também é. ((2) ⇒ (3)) Trivial.

((3) ⇒ (4)) P (0) = 0, e por hipótese P é cont´ınuo na origem. Então dado = 1 existe δ > 0 tal que kxk < δ ⇒ kP (x)k ≤ 1. Para cada x ∈ X não nulo, temos que

δx 2kxk < δ e desta forma P δ 2 x kxk ≤ 1. Como P δ 2 x kxk = δ m 2m P x kxk = δ m 2m_kxkmkP (x)k, segue que kP (x)k ≤ 2 m δmkxk m , como quer´ıamos.

(40)

x1, . . . , xm ∈ X satisfazendo kxik ≤

1

m, para cada i ∈ {1, . . . , m}. Ent˜ao kA(x1, . . . , xm)k ≤ 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m |1. . . m|kA(1x1+ · · · + mxm)mk ≤ 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m kP (1x1+ · · · + mxm)k ≤ 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m M k(1x1+ · · · + mxm)km ≤ 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m M (kx1k + · · · + kxmk)m = 1 m!2m2 m_{M =} M m!.

Sejam agora x1, . . . , xm ∈ X n˜ao nulos. Ent˜ao para cada i ∈ {1, . . . , m},

xi mkxik ≤ 1 m. Pelo que acabamos de mostrar temos que

A x1 mkx1k , . . . , xm mkxmk ≤ M m!. Ent˜ao kA(x1, . . . , xm)k mm_kx 1k . . . kxmk = A x1 mkx1k , . . . , xm mkxmk ≤ M m! e portanto kA(x1, . . . , xm)k ≤ M mm m! kx1k . . . kxmk.

Como a desigualdade acima vale tamb´em para o caso em que xi = 0 para algum

i ∈ {1, . . . , m}, podemos concluir pelo Teorema 2.2 que A ´e cont´ınua. ♠

Como consequência do corolário 2.3, temos o seguinte resultado análogo ao caso mul-tilinear:

Proposi¸c˜ao 2.22. Sejam X e Y espa¸cos normados, U ⊂ X um conjunto limitado e P ∈ P(mX; Y ). Ent˜ao existe uma constante M ≥ 0 tal que para cada x, y ∈ U ,

kP (x) − P (y)k ≤ M kx − yk

(41)

Demonstra¸c˜ao:

Seja A ∈ L(m_{X; Y ) tal que ˆ}_{A = P . Pelo corol´}_{ario 2.3, temos que existe M ≥ 0 tal}

que para cada x1, . . . , xm, y1, . . . , ym ∈ U ,

kA(x1, . . . , xm) − A(y1, . . . , ym)k ≤ M k(x1− y1, . . . , xm− ym)k.

Em particular, para cada x, y ∈ U

kP (x) − P (y)k = kA(x, . . . , x) − A(y, . . . , y)k ≤ M k(x − y, . . . , x − y)k = M kx − yk, como quer´ıamos. ♠

Sobre o K-espa¸co vetorial P(m_{X; Y ) podemos definir a norma dada pela proposi¸c˜}_ao

seguinte.

Proposi¸c˜ao 2.23. Sejam X, Y espa¸cos normados. Ent˜ao k · k : P(m_{X; Y ) → R definida} por

kP k= sup{kP (x)k : kxk ≤ 1}.

´e uma norma sobre P(m_{X; Y ), e para cada P ∈ P(}m_{X; Y ) temos que}

kP k = inf{M ≥ 0 : kP (x)k ≤ M kxkm_{, ∀x ∈ X}.}

Demonstra¸c˜ao:

A demonstra¸cão é análoga à da proposi¸cão 2.5. ♠

Estabelecida a norma no espa¸co dos polinômios homogêneos cont´ınuos, temos o seguinte aprimoramento da proposi¸cão 2.20:

Proposi¸c˜ao 2.24. Sejam X e Y espa¸cos normados. Ent˜ao para cada A ∈ Ls(mX; Y )

temos que

k bAk ≤ kAk ≤ m

m

m!k bAk (2.2)

e a fun¸cão φ : A ∈ Ls(mX; Y ) → Â ∈ P(mX; Y ) é um isomorfismo topológico.

Demonstra¸cão: Vimos na proposi¸cão 2.20 que ϕ : A ∈ Las(mX; Y ) → Â ∈ Pa(mX; Y )

´e um isomorfismo de espa¸cos vetoriais. Como φ = ϕ |Ls(mX;Y ), φ ´e linear e injetora. Se P pertence a P(m_{X; Y ), pela proposi¸c˜}_{ao 2.18 existe A ∈ L}

as(mX; Y ) tal que bA = P . Pela

(42)

Fixemos A ∈ Ls(mX; Y ) e vamos verificar a desigualdade em quest˜ao. Para m = 0

ou 1, a desigualdade vale trivialmente. Consideremos ent˜ao m ≥ 2. Temos para cada x ∈ X que k bA(x)k = kAxm_{k ≤ kAkkxk}m_{. Logo, k b}_{Ak ≤ kAk. Sejam x}

1, . . . , xm ∈ E, com

kxik ≤ 1 para cada i ∈ {1, . . . , m}. Ent˜ao

kA(x1, . . . , xm)k ≤ 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m |1. . . m|kA(1x1+ · · · + mxm)mk ≤ 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m k bA(1x1+ · · · + mxm)k ≤ 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m k bAkk1x1+ · · · + mxmkm ≤ 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m k bAk(k1x1k + · · · + kmxmk)m ≤ 1 m!2m2 m_{k b}_Akmm ₌ mm m! kAk e podemos concluir que kAk ≤ m

m

m!k bAk. ♠

O pr´oximo exemplo ilustra a necessidade da constante m

m

m! na inequa¸c˜ao 2.2. Exemplo 2.25. Seja A ∈ L(m_l

1; K) definida para cada xj = (xjn)n ∈ l1, j ∈ {1, . . . , m}

por A(x1, . . . , xm) = 1 m! X σ∈Sm xσ(1)₁ . . . xσ(m)_m . Ent˜ao kAk = 1 m! e k ˆAk = 1

mm, de forma que kAk =

mm

m! k ˆAk.

Sem grande dificuldade pode ser verificado esse resultado. Os c´alculos detalhados podem ser encontrados em [19].

Corol´ario 2.26. Sejam X um espa¸co normado e F um espa¸co de Banach. Ent˜ao P(m_{E; F ) ´}_{e um espa¸}_{co de Banach. Em particular, P(}m_{X) ´}_{e um espa¸}_{co de Banach.}

(43)

Vimos que L(mX; F ) ´e completo. Vamos verificar que Ls(mX; F ) ⊂ L(mX; F ) ´e

fechado: seja A ∈ Ls(mX; F ), e mostremos que A ´e sim´etrica.

Seja ent˜ao (An)n uma sequˆencia em Ls(mX; F ) tal que kAn − Ak → 0. Fixemos

(x1, . . . , xm) em Xm. Para cada n ∈ N, temos

kAn(x1, . . . xm) − A(x1, . . . , xm)k ≤ kAn− Akkx1k . . . kxmk.

Como kAn − Ak → 0, temos que An(x1, . . . xm) → A(x1, . . . xm). Mas, para qualquer

σ ∈ Sm,

An(x1, . . . xm) = An(xσ(1), . . . , xσ(m)) → A(xσ(1), . . . , xσ(m)).

Ent˜ao, pela unicidade do limite, A(x1, · · · , xm) = A(xσ(1), · · · , xσ(m)). Como (x1, . . . , xm)

e σ são arbitrários, concluimos que A é simétrica.

Como pela proposi¸c˜ao 2.24 P(m_{X; Y ) ´}_{e topologicamente isomorfo a L}

s(mX; Y ), e

por-tanto ´e fechado, como quer´ıamos. ♠

Teorema 2.27 (Teorema de Banach-Steinhaus para polinômios homogêneos). Sejam E um espa¸co de Banach, Y um espa¸co normado e (Pn)n uma sequência em P(mE; Y ) tal

que, para cada x ∈ X, a sequˆencia (Pn(x))n ´e convergente.

Ent˜ao, chamando P (x) = lim.

n→∞Pn(x), temos que P ∈ P(

m_{E; Y ).}

Demonstra¸c˜ao:

Pela f´ormula de polariza¸c˜ao (2.14), para cada x1, . . . , xm ∈ E temos que

lim n→∞ ˇ Pn(x1, . . . , xm) = lim n→∞ 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 1. . . mPˇn(1x1 + · · · + mxm)m = 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 1. . . mlim n→∞Pn(1x1 + · · · + mxm) = 1 m!2m X i= ±1 1 ≤ i ≤ m 1. . . mP (1x1+ · · · + mxm)

de forma que ( ˇPn(x1, · · · , xm))n ´e convergente.

Definamos, A(x1, . . . , xm) . = lim n→∞ ˇ Pn(x1, . . . , xm), para cada x1, . . . , xm ∈ E. N˜ao ´e

dif´ıcil ver que A ∈ Las(mE; Y ), e que para cada x ∈ X temos que P (x) = lim

n→∞Pn(x) =

lim

n→∞

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