VOLUME 1 Probabilidades e combinatória
Definição clássica de probabilidade – lei de Laplace
A probabilidade de um acontecimento A de um espaço de resultados cujos acontecimentos elementares são equiprováveis é:
p(A) =
Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades
Seja E um espaço de resultados e sejam os acontecimentos A e B , tais que A ! E e B ! E .
•
Axioma 1: p(A) ≥ 0 ;•
Axioma 2: p(E) = 1 ;•
Axioma 3: Se A " B = { } (A e B são incompatíveis), então p(A # B) = p(A) + p(B) .Dados os acontecimentos A e B de um espaço de resultados E , com p(B) ≠ 0 , chama-se probabilidade condicionada de A , dado B , e escreve-se p(A | B) , ao valor definido por:
p(A | B) =
Relações úteis:
•
p(A " B) = p(A | B) × p(B) = p(B | A) × p(A)•
p(A | B) =Teorema da probabilidade total
Seja A um acontecimento do espaço de resultados E , assim como B1, B2, … , Bn(n
acon-tecimentos). Se B1, B2, … , Bn são incompatíveis dois a dois e B1# B2# … # Bn= E , então: p(A) = p(B1) × p(A | B1) + p(B2) × p(A | B2) + … + p(Bn) × p(A | Bn)
Acontecimentos independentes
Dois acontecimentos A e B são independentes se: p(A " B) = p(A) × p(B)
Portanto, os acontecimentos A e B , com p(A) ≠ 0 e p(B) ≠ 0 , são independentes se só se:
p(A | B) = p(A) (ou, de modo equivalente, p(B | A) = p(B) )
Tabela de distribuição de probabilidades
As probabilidades p1, p2, … , pn devem satisfazer as seguintes
propriedades:
•
0 < pi≤ 1, ∀ i = 1, 2, … , n•
p1+ p2+ … + pn= 1Valor médio ou esperança matemática de uma variável aleatória X , que toma os valores
x1, x2, … , xn com probabilidades p1, p2, … , pn, respetivamente, é o número:
!= x1p1+ x2p2+ … + xnpn= n
∑
i= 1xipi
Desvio padrão populacional:
" = !p"1"(x"1"–"!)"2"+"p2"(x"2"–"!)"2"+"···+""p"n(xn""–"!)"2=
!
###
número de casos favoráveis à ocorrência de A ######
número de casos possíveis
p(A " B) # p(B) p(B | A)× p(A) ## p(B)
Teorema 1 Se –A é o acontecimento contrário de A , tem-se p( –A) = 1 – p(A) .
Corolário 1 Se A é o acontecimento impossível, então p(A) = 0 .
Corolário 2 Para qualquer acontecimento A , tem-se 0 ≤ p(A) ≤ 1 .
Teorema 2 Se A e B são acontecimentos, então:
p(A # B) = p(A) + p(B) – p(A " B)
xi pi= p(X = xi) x1 p1 x2 p2 … … xn pn n
∑
i= 1pi(xi– !) 2 …Modelo normal ou gaussiano
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória normal fica descrita pelos seus parâmetros, valor médio ! e desvio padrão " , e representa-se por
N (!, ") .
Permutações, arranjos e combinações
Triângulo de Pascal 0C 0 1C 0 1C1 2C 0 2C1 2C2 3C 0 3C1 3C2 3C3 4C 0 4C1 4C2 4C3 4C4 … Binómio de Newton (a + b)n= nC 0anb0+ nC1an – 1b1+ … + nCn – 1a1bn – 1+ nCna0bn, com n $ IN0
Distribuição binomial de probabilidade de parâmetros n e p (B(n, p))
Se Y é uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros n e p , B(n, p) , então:
p(Y = x) = nC
x· px· (1 – p)n – x
O valor médio e o desvio padrão de uma variável aleatória binomial de parâmetros n e p são dados, respetivamente, por:
!= np ; " = !n"p""(1"–"p)" Este formulário é uma ofer ta que acompanha o manual Y, 12. oano, não podendo ser vendido separ adamente. !0,14% !0,14% !68,27% !95,45% !99,73% ! ! – " ! – 2" ! – 3" ! + 2" ! + 3" ! + " Propriedade 1: nC k= nCn – k, ∀ n, k $ IN0 com n ≥ k Caso particular: nC 0= nCn= 1, ∀ n $ IN0 Propriedade 2: nCk+ nCk + 1= n + 1Ck + 1, ∀ n $ IN, ∀ k $ IN 0 , com n > k Propriedade 3: nC 0+ nC1+ … + nCn – 1 + nCn= 2n, ∀ n $ IN0
A uma maneira de ordenar n objetos dis-tintos dá-se o nome de permutação de n objetos.
Pn= n! = n× (n – 1) × … × 1 Arranjo de n objetos distintos, tomados
k a k , é uma sequência (a1, a2, … , ak) ,
onde cada termo ai é um dos n objetos,
não podendo existir termos repetidos.
nAk= #n!
(n – k)!
Arranjo com repetição de n objetos dis-tintos, tomados k a k , é uma sequência (a1, a2, … , ak) , onde cada termo ai é um
dos n objetos, podendo haver termos repetidos.
nA' k= nk
Combinação de n objetos, tomados k a
k , é um subconjunto {a1, a2, … , ak} , onde
cada termo ai é um dos n objetos, não
havendo termos repetidos.
nC k= # nA k! k # ; nC k= #(n – k)! k!n!
Introdução ao cálculo diferencial II
Função exponencial x ! ax, a > 1 Função logarítmica x ! log
ax, a > 1
•
D = IR•
D' = IR+•
D = IR+•
D' = IR•
lim x→ +!a x= +!•
lim x→ –!a x= 0•
limx→ +!loga x = +!
•
limx→ 0+logax = –!•
y = logax⇔ x = ay•
aloga x= x•
logaax= x
•
log x = log10x•
In x = logex•
loga(xy) = logax + logay•
loga(x: y) = logax – logay•
loga(xu) = u logax•
logax = "lloogg b b a x" e, em particular, logax = "IInn"ax e logax = "lloogg"ax
Operações sobre limites infinitos
•
#! # ! = #!•
#!× (#!) = +!•
#!× ($!) = –!•
#!+ b = #!, b ! IR•
#!× b = #!, b ! IR+•
#!× b = $!, b ! IR–•
= 0, b ! IR•
= #!, b ! IR+•
= $!, b ! IR–•
= #!, b ! IR+ ou b = +!•
= $!, b ! IR– ou b = –! Limites notáveis•
lim!
1 +"
n= e•
lim x→ +! = +!, a > 1, p ! IR•
xlim→ +! = 0, a > 1•
lim x→ 0 = 1•
xlim→ 0 = 1 Indeterminações !– ! 0 × ! Continuidade•
A função f diz-se contínua no ponto a (que pertence ao domínio e é seu ponto de acumu-lação) se e só se limx→ af(x) = f(a) .
•
Se limx→ a–f(x) = f(a) a função f diz-se contínua à esquerda no ponto a .
•
Se limx→ a+f(x) = f(a) a função f diz-se contínua à direita no ponto a .
Teorema de Bolzano
Se a função f é contínua em [a, b] e se f(a) < k < f(b) ou f(b) < k < f(a) , então: ∃ c ! ]a, b[: f(c) = k
Assíntotas verticais
•
Se limx→ a+f(x) = ±! ou limx→ a–f(x) = ±! , então a reta de equação x = a é assíntota vertical
do gráfico da função f . #! " b #! " b b " 0± logax " x ax " xp In (x + 1) " x ex– 1 " x 0 " 0 ! " ! b " 0± b " #! 1 " n VOLUME 2 O x y 1 f(x) = ax com a > 1 O x y f(x) = loga x com a > 1 1
Assíntotas não verticais
•
Se limx→ +![f(x) – (mx + b)] = 0 ou limx→ –![f(x) – (mx + b)] = 0 , com m, b ! IR , a reta de
equação y = mx + b é assíntota do gráfico da função f .
Se m = 0 a assíntota diz-se horizontal e se m ≠ 0 a assíntota diz-se oblíqua.
•
A reta de equação y = mx + b , com m, b ! IR , é assíntota do gráfico de f se e só se:m = lim
x→ +! e b = limx→ +![f(x) – mx] ou m = limx→ –! e b = limx→ –![f(x) – mx]
•
Se limx→ +!f(x) = b ou limx→ –!f(x) = b , com b ! IR , então a reta de equação y = b é assíntota
horizontal do gráfico de f .
Taxa média de variação da função f no intervalo [a, b] : t.m.v.f, a, b=
Derivada da função f no ponto a (f'(a))
f'(a) = lim
h→ 0 ou f'(a) = limx→ a
Quando f'(a) é um número real, a função f diz-se derivável em a .
Equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a
Se f é derivável no ponto a , a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é a reta de equação:
y = f'(a)(x – a) + f(a)
Derivabilidade e continuidade
Se uma função é derivável no ponto a então é contínua em a .
O recíproco não é verdadeiro: uma função contínua no ponto a pode não ser derivável em a .
Regras de derivação
Derivada, monotonia e extremos relativos
Se f é uma função derivável, o estudo da variação de sinal da derivada permite tirar conclusões acerca da monotonia e extremos da função f .
Se f é derivável em a e se tem um extremo para x = a , então f '(a) = 0 .
Segunda derivada, sentido da concavidade e pontos de inflexão
Se f é uma função duas vezes derivável, o estudo da variação de sinal da segunda deri-vada permite tirar conclusões acerca do sentido da concavidade e pontos de inflexão do gráfico da função f .
Se a função f é duas vezes derivável numa vizinhança de a e se f tem um ponto de in-flexão para x = a , então f'' (a) = 0 .
f(x) " x f(b) – f(a)" b – a f(x) – f(a) "" x – a f(a + h) – f(a) "" h f(x) " x Este formulário é uma ofer ta que acompanha o manual Y, 12. oano, não podendo ser vendido separ adamente. (u + v)' = u' + v' (u · v)' = u' · v + u · v'
! "
"u ' = v ""u' · v – u · v'v2 (un)' = n · un – 1 · u'(eu)' = u' · eu (au)' = u' · au· Ina (In u)' =u'"
u (logau)' = "u' u ·Ina
(g
˚
f)'(x) = g'[f(x)] · f'(x)!
#
nu$
"
' = ""u'Trigonometria e números complexos
Funções trigonométricas
Limite notável
lim
x→ 0 = 1
Fórmulas da soma, da diferença e da duplicação
Derivadas das funções trigonométricas sen x
!
x
VOLUME 3
\ Seno Cosseno Tangente
Domínio IR IR
!
x ! IR: x ≠!π+ kπ, k ! ZZ"
2 Contradomínio [–1, 1] [–1, 1] IR Zeros kπ, k ! ZZ !π + kπ, k ! ZZ 2 kπ, k ! ZZ Sinal Positivo ]k2π, π + k2π[, k ! ZZ Negativo ]π + k2π, 2π + k2π[, k ! ZZ Positivo#
– + k2π, + k2π$
, k ! ZZ Negativo#
+ k2π, + k2π$
, k ! ZZ π ! 2 π ! 2 3π ! 2 π ! 2 Positivo#
kπ, + kπ$
, k ! ZZ Negativo#
+ kπ, π + kπ$
, k ! ZZ π ! 2 π ! 2 Extremos Máximo 1, para x = + k2π, k ! ZZ Mínimo –1, para x = – + k2π, k ! ZZ π ! 2 π ! 2 Máximo 1, para x = k2π, k ! ZZ Mínimo –1, para x = π + k2π, k ! ZZNão tem extremos
Monotonia Estritamente crescente
$
– + k2π, + k2π#
, k ! ZZ Estritamente decrescente$
+ k2π, + k2π#
, k ! ZZ π ! 2 π ! 2 3π ! 2 π ! 2 Estritamente crescente [π + k2π, 2π + k2π], k ! ZZ Estritamente decrescente [k2π, π + k2π], k ! ZZ Estritamente crescente#
– + kπ, +kπ!π$
, k ! ZZ 2 π ! 2Paridade Ímpar Par Ímpar
Período
posi-tivo mínimo 2π 2π π
Assíntotas
do gráfico Não tem Não tem x= + kπ, k ! ZZ
π ! 2
cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos (2α) = cos2α – sen2α sen (2α) = 2 sen α cos α
tg (α – β) = tg α – tg β!!1 + tg α tg β tg (α + β) = tg α + tg β!!1 – tg α tg β tg (2α) = 2 tg α!!1 – tg2α
(sen x)' = cos x (cos x)' = –sen x (tg x)' = !!cos12x
(sen u)' = u' cos u (cos u)' = –u' sen u (tg u)' = !!u' cos2u
Operações com números complexos na forma algébrica Sejam z1= a + bi e z2= c + di números complexos:
•
z1+ z2= (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i•
z1– z2= (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i•
z1× z2= (a + bi) × (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i•
= = + iRepresentação de números complexos na forma trigonométrica
z = ρ cos ! + (ρ sen !) i = ρ(cos ! + i sen !) = ρ cis ! Se z = ρ cis ! então –z= ρ cis (–!) .
Se z = ρ cis ! então –z = ρ cis (! + π) .
Operações com números complexos na forma trigonométrica
•
z1× z2= ρ1 cis !1× ρ2 cis !2= ρ1ρ2 cis (!1+ !2)•
= = cis (!1 – !2)•
zn= (ρ cis θ)n= ρncis (nθ) , com n ! IN•
!
n"
z=!
n"""
ρcis θ""
=!
n"
ρcis#
$
, com k ! {0, 1, … , n – 1}, n ! INDomínios planos e condições em variável complexa
|
z1– z2|
representa a distância entre as imagens geométricas dos complexos z1 e z2 .|
z – z0|
= r , com r ! IR+, é uma condição em variável complexa que define acircunfe-rência de raio r com centro em Z0.
A condição em variável complexa
|
z – z1|
=|
z – z2|
definea mediatriz do segmento de reta [Z1Z2] .
O conjunto das imagens geométricas dos números com-plexos z , cujo argumento é θ , é a semirreta com origem na origem do referencial que forma com o semieixo real positivo um ângulo orientado de amplitude θ e que se pode representar pela condição arg (z) =θ .
A semirreta com origem em Z0 , que forma com ·Ox um
ângulo orientado de amplitude θ , é o conjunto das ima-gens geométricas dos números complexos z que satisfa-zem a condição arg (z – z0) =θ .
z1 "z 2 a + bi " c + di ac + bd" c2+ d2 bc – ad" c2+ d2 z1 " z2 ρ1 " ρ2 θ + k2π " n ρ1 cis θ1 " ρ2cis θ2 Este formulário é uma ofer ta que acompanha o manual Y, 12. oano, não podendo ser vendido separ adamente. O Re (z) Im (z) Z1 Z2 |z – z1| = |z – z2| Re (z) O Im (z) ! Z arg (z) = ! Re (z) O Im (z) ! Z Z0 arg (z – z0) = !
